CRITERIOS PROGRESION ARITMETICA CRITERIO PROGRESION GEOMETRICA

DEFINICION

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por (d).

DEFINICION

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

EXPRESION MATEMATICA

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

EXPRESION MATEMATICA

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

6/3 = 2

12/6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

r= 2.

TERMINOS PRESENTES

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

8, 3, -2, -7, -12, ..

an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak + (n - k) · d

TERMINOS PRESENTES

Término general de una progresión geométrica

1 Si conocemos el 1er término.

an = a1 · rn-1

3, 6, 12, 24, 48, ..

an = 3· 2n-1 = 3· 2n · 2-1 = (3/2)· 2n

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak · rn-k

a4= 24, k=4 y r=2.

a4= -7 y d= -5

an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7, -12.

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an

an = a4 · rn-4

an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

3, 6, 12, 24 , 48.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)

-4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 8, 3, -2, -7, -12,...

progresión geométrica decreciente ilimitada:

Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

3, 6. 12, 24, 48, ...

48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12

144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométrica

Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

EJEMPLOS DE SU APLICACIÓN EN LA

Préstamos amortizables por cuotas de amortización constantes

Son préstamos donde la cuota crece en progresión geométrica, de tal modo que dependiendo de la razón de la progresión la cuota inicial puede ser muy distinta de la cuota

ADM.TRIBUTARIA Préstamos donde sólo las cuotas

de amortización del préstamo son constantes. La fórmula utilizada para determinar la anualidad (mensualidad, trimestralidad, semestralidad) será:

Fórmula

Si la amortización es constante la cuota será:

Y las sucesivas anualidades (semestralidades, trimestralidades, mensualidades) serán:

Siendo:C = Cantidad nominal del préstamo,n = duración de la operación en meses, trimestres, semestres, años,i = tipo de interés efectivo correspondiente al período considerado (misma periodicidad que la duración),a1, a2,….., an = anualidad, semestralidad, trimestralidad o mensualidad variable que se paga para amortizar el préstamo y pagar los intereses correspondientes al período

final. Pueden existir dos modalidades con variación de cuota periódica o anual.Fórmula

1ra Cuota de Amortización de Préstamo en P.G=Cx 1+i.q

1.qn x(1+i)-n

Siendo: C = Cantidad nominal del préstamo, n = duración de la operación en meses, trimestres, semestres, años, i = tipo de interés efectivo correspondiente al período considerado, a1 = primera cuota que se paga para amortizar el préstamo, q = razón de la progresión geométrica que sirve para determinar las cuotas al multiplicar la primera de ellas por dicha razón y así sucesivamente.

considerado

EJERCICIOS

1) Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.2) Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.3) Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.4) Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.5) El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.6) Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.

EJERCICIOS

1)Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

2) Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48,...Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros. 3) Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continúa indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infinitos cuadrados.4) Hallar la fracción generatriz de 0.18181818...5) Encontrar la fracción generatriz de 3.2777777...