Curso CalculoAgosto2010

7/21/2019 Curso CalculoAgosto2010

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Temario

Unidad I: Numeros reales

1.1 Introduccion a los numeros reales

1.2 Numeros naturales. Principio de induccion matematica

1.3 Enteros, Racionales e Irracionales.

1.4 Campo de los numeros reales

1.5 Valor absoluto de un numero real. Propiedades

1.6 Ley de tricotomıa1.7 Definicion de intervalos en los numeros reales

1.8 Solucion de desigualdades de primer y segundo grados en una y dosvariables.

Unidad II: Funciones reales de variable real

2.1 Introduccion

2.2 Concepto de funcion real de variable real.

2.3 Determinacion de dominio, rango de una funcion.

2.4 Grafica de una funcion

2.5 Operaciones fundamentales entre funciones: suma, sustraccion, multiplicacion, division y composicion de funciones. Funcion inversa.

2.6 Funciones positivas y negativas

2.7 Funciones pares e impares

2.8 Funciones crecientes y decrecientes.

2.9 Funciones polinomiales.

2.10 Funciones racionales.

2.11 Funciones exponenciales.

2.12 Funciones logarıtmicas

2.13 Funciones trigonometricas circulares, identidades trigonometricas.Leyde senos y cosenos. Funciones trigonometricas circulares inversas.

2.14 Funciones trigonometricas hiperbolicas. Identidades trigonometricas

hiperbolicas.2.15 Funciones periodicas.

2.16 Definicion de los ceros de una funcion.

2.17 Clasificacion de funciones segun su expresion.

Unidad III: Lımites y Continuidad

1



3.1 Introduccion

3.2 Defincion formal de lımite. Propiedades3.3 teoremas sobre lımites.

3.4 Defincion y calculo de lımites infinitos y al infinito de una funcion.

3.5 Definicion y determinacion de la continuidad de una funcion en un puntoy en un intervalo.

3.6 Teorema sobre continuidad.

Unidad IV: Derivacion

4.1 Introduccion

4.2 Defincion e interpretacion de la derivada en un punto.

4.3 Derivacion de la suma, producto,el cociente y la potencia de funciones.4.4 Regla de la cadena. Teorema de la funcion inversa.

4.5 Derivacion de las principales funciones: polinomiales, racionales, exponenciales, logarıtmicas, trigonometricas circulares y sus inversas, trigonometricas hiperbolicas y sus inversas.

4.6 Derivacion implıcita.

Unidad V: Aplicaciones de la derivada

5.1 Teorema del valor medio. Teorema de Rolle.

5.2 Defincion e interpretacion de las derivadas de orden superior.

5.3 Criterios de la primera y segunda derivadas para determinar los puntoscrıticos, maximos, mınimos y puntos de inflexion.

5.4 Solucion de problemas.

5.5 Regla de L Hospital.

5.6 Diferencial y sus aplicaciones.

Unidad VI: Sucesiones y Series

6.1 Concepto de sucesion y de serie de numeros reales.

6.2 Criterios de convergencia de una sucesion y de una serie.

6.3 Aproximacion de funciones por series de potencias.Series de Taylor y de Maclaurin

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Unidad VII: Integrales

7.1 Concepto de: Sumas de Riemann e integral definida. Condiciones ypropiedades de integrabilidad

7.2 Teorema del valor medio del calculo integral.

7.3 Integrales impropias

7.4 Concepto y propiedades de la integral indefinidad.

7.5 Calculo de integrales indefinidas inmediatas.

7.6 Teoremas fundamentales del calculo.

Unidad VIII: Metodos de integracion

8.1 Cambio de variable.

8.2 Por partes.

8.3 Funciones trigonometricas

8.4 Sustitucion trigonometrica.

8.5 Fracciones parciales.

8.6 Sustituciones diversas.

Unidad IX: Aplicaciones de la integral

9.1 Calculo de areas

9.2 Calculo de volumenes de revolucion.

9.3 Centros de masa9.4 Trabajo.

9.5 Longitud de arco.

9.6 Teoremas fundamentales del calculo.

Notas de CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Algunos tipos de numeros

El conjunto de los numeros naturales o enteros positivos N es:

N =

{1, 2, 3,

· · · , n , n + 1,

· · · }estos son una parte de los numeros enteros Z :

Z = {· · · , −(n + 1),−n, · · · − 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · , n , n + 1, · · · }

3



A los numeros Z − = {· · · , −(n + 1),−n,−3,−2,−1} se les conoce como

enteros negativos por lo que vemos que los numeros enteros estan constituidospor los numeros naturales, el cero y los numeros enteros negativos, esto es, ensımb olos:

Z = Z − ∪ {0} ∪ N

Expresion que se lee: el conjunto de los numeros enteros Z es igual al conjunto de los numeros enteros negativos Z −union con el cero, union con el conjunto de los numeros naturales.

A su vez, los numeros enteros son una parte de los nmeros racionales Q:

Q = { p

q | p ∈ Z, q ∈ N }

.

Esta ultima expresion se lee: Q es igual al conjunto de los numeros de laforma p

q tales que p es un entero y q un natural. Notese que al ser q natural no

puede ser 0.

Observemos que todo numero entero a se puede escribir como a1

o bien 2a2

;o bien 3a

3 ,· · · o bien na

n ,para cualquier numero natural n de donde se sigue

claramente que los numeros enteros son una parte de los numeros racionales.Es decir tenemos que Z

⊂Q.

Usando la notacion decimal, todo numero racional se puede escribir comouna expresion decimal periodica, por ejemplo:

1

3 = 0.333, · · · = 0.3;

1

2 = 0.5000, · · · = 0.50 = 0.5;

1

7 = 0.142857142857, · · · = 0.142857.

La representacion decimal de un numero racional pq

se obtiene dividiendo el

numerador p entre el denominador q . Ejemplificamos con el racional 47

Como los diferentes residuos tienen que ser cero o un natural menor que el

divisor 7, a lo mas tendremos 7 residuos diferentes, entonces si continuamos elproceso de dividir mas de 7 veces, necesariamente nos tiene que aparecer unresiduo repetido y a partir de l tambien se produciran exactamente las mismascifras en el cociente, por lo que la representacion decimal sera efectivamenteperiodica.

4

7 = 0.571428

4



Otros numeros son los irracionales I , es decir, aquellos cuyas expresiones

decimales son no periodicas, como por ejemplo:√ 2 = 1.414213562 · · · ;

π = 3.141592653589 · · · ;

e = 2.718281828 . . .

Los numeros racionales Q y los irracionales I constituyen los numeros realesR. Esto es:

R = Q ∪ I

Representacion geometrica de los numeros reales

A los numeros reales se les suele representar (o ubicar) en un eje, es decir, enuna recta en la cual hay un punto fijo 0 llamado origen, una unidad de longitudconvencional y un sentido.

Si a partir del origen marcamos la unidad de longitud consecutivamente en elsentido del eje, obtendremos una sucesion de puntos cuya distancia al origen es,respectivamente, 1; 2; 3; · · · ; (estos puntos representan a los nmeros naturales).

Los simetricos de estos puntos con respecto al origen, es decir, los puntosque se obtienen al marcar repetidamente la unidad de longitud en el sentidocontrario al del eje, representan a los numeros negativos.

5



Adems hay puntos en el eje cuya distancia al origen es el racional pq

si

p ∈ N ∪ {0} o − p

q si p ∈ Z − (q ∈ N )

Es decir, si dividimos la unidad de longitud en q partes iguales y tomamos pde ellas en el sentido del eje, si p es natural y en el sentido opuesto si es enteronegativo, encontramos un punto cuya distancia al origen p

q o − p

q dependiendo

de si p es natural o entero negativo.

Ademas de los puntos cuya distancia al origen es un numero racional, tambiense encuentran puntos cuya distancia al origen es un irracional. Por ejemplo sirepresentamos un triangulo rectangulo isosceles cuyos catetos midan 1, por elteorema de Pitagoras, la hipotenusa mide

√ 12 + 12 =

√ 1 + 1 =

√ 2; entonces

podemos marcar un punto cuya distancia al origen sea precisamente√

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Los numeros reales comunmente se representan con letras minusculas. Deesta manera a cada numero real positivo r le hacemos corresponder el puntoP cuya distancia al origen es dicho numero r. Al real negativo −r le hacemoscorresponder el punto P que es el simetrico de P con respecto al origen.

A todo punto del eje le corresponde un numero real asociado a la distanciadel punto al origen y a dos nmeros reales diferentes les corresponden dos puntosdistintos. Por esta correspondencia biunıvoca entre los numeros reales y lospuntos de un eje, es usual referirse indistintamente a un n umero real o a unpunto.

Es costumbre dibujar horizontal al eje y considerar positivo el sentido deizquierda a derecha. Por eso se usan expresiones como a la derecha o a la

izquierda .

Ejercicios: Utilizando regla y compas localice en la recta real a srqt2, srqt3y srqt5

Propiedades algebraicas de los numeros reales

Estudiemos, como un ejemplo de conjunto a los umeros reales que se denotanası R

En el conjunto de los numeros reales estan definidas dos operaciones llamadas

Suma de n´ umeros reales y Multiplicaci´ on de n´ umeros reales, denotadas por los sımbolos +, · respectivamente

Estas operaciones cumplen los siguientes axiomas:

1) Si a y b ∈ R, entonces a + b ∈ R llamada ley de cerradura

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2) Si a y b ∈ R, entonces a + (b + c) = (a + b) + c llamada ley asociativa para

la suma

3) Si a y b ∈ R, entonces a + b = b + a llamada ley de conmutativa para lasuma

4) Existe 0 ∈ R, tal que 0 + a = a, para cualquier a ∈ R. Al numero real 0se le llama el cero real

5) Si a ∈ R, entonces existe −a ∈ R, tal que a + (−a) = 0 El numero real−a se le llama inverso aditivo de a.

Ejercicios: sean a, b y c ∈ R,

1.- Si a + b = a + c, entonces b = c (Ley de cancelacion).

2.-a + (b + c) = (c + b) + a

1) Si a y b ∈ R, entonces a ·b ∈ R, llamada ley de cerradura para el producto.

2) Si a y b ∈ R, entonces a · b = b · a, llamada ley conmutativa para elproducto.

3) Si a, b y c ∈ R, entonces (a · b) · c = a · (b · c), llamada ley asociativa.

4) Existe 1 ∈ R, tal que 1 · a = a, a ∈ R.

5) Si a ∈ R, con a = 0 entonces existe a−1 ∈ R tal que a · a−1 = 1.

6) Si a, b y c ∈ R, entonces a(b + c) = ab + ac, llamada ley distributiva.

Ejercicios

Utilizando las propiedades anteriores. Haga la comprobacion de los sigu-ientes resultados:

1.- Sean a, b y c ∈ R si a = 0, entonces ax = a implica que x = 1

2.- Sean a, b y c ∈ R si a = 0, entonces a · 0 = 0

3.- Sean ab = 0 entonces a = 0 o b = 0

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Este ultimo resultado se usa para hallar x ∈ R en ejercicios como:

(x− a)(x− b) = 0, con a, b ∈ R, porque entonces

x − a = 0 o x − b = 0, por lo tanto x = a o x = b

Definicion

Sean a, b ∈ R, entonces: a− b = a + (−b)

y si b = 0, entonces ab

= ab−1

ejercicio de tarea

Si a, b

∈R, lo siguiente:

a) (−a)b = −(ab)

b) (−a)(−b) = ab

Este ejercicio justifica las reglas de los signos usadas en algebra elemental

Propiedades de orden en el conjunto de los reales

Exite un subconjunto que vamos a denotar por P no vacıo del conjunto R,tal que:

a) Si a ∈ R, entonces vale una y solo una de las siguientes afirmaciones:

a ∈ P , a = 0 o −a ∈ P .

b) Si a y b ∈ P , entonces:

a + b ∈ P y ab ∈ P .

A los alementos del conjunto P se les llama los elementos positivos del conjunto R

Definicion

Si a, b ∈ R, decimos que b es mayor que a, o bien que a es menor que b, sib − a ∈ P y escribimos

b > b o a 0, es exactamente lomismo.

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De lo anterior, podemos reescribir las propiedades dadas en a) y b) ası:

a)

Si a ∈ R, entonces vale una y solo una de las siguientes afirmaciones:

a > 0, a = 0 o a < 0

b)

Si a > 0 y b > 0, entonces:

a + b > 0 y ab > 0.

Con lo anterior, podemos comprobar los siguientes resultados,

para a, b, c y d ∈ R:

Ejercicios

1) Si a 0

4) Si a bc

Algunos otros resultados de orden en los reales

i) Si a 0, entonces: ac < bc

ii) Si a = 0, entonces: a2 > 0

iii) Si a = 1, entonces: 1 > 0

iv) Si a 0

vii) Si a > 0, entonces a−1 > 0 y si b < 0, entonces: b−1 < 0

Si a y b tienen el mismo signo y

a < b, entonces a−1 > b−1

Definicion

Si a, b ∈ R, decimos que a es menor o igual que b

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y escibimos a ≤ b, si a < b o bien a = b, analogamente se define a ≥ b

Usando esta definicion y las propiedades anteriores

se puede comprobar:

I ) a ≤ a

II ) Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.

III ) Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c.

IV ) Si a ≤ b y c ≥ 0, entonces ac ≤ bc.

V ) Si a ≤ b y c ≤ 0, entonces ac ≥ bc.

V I ) Si a ≤ b y c ≤ d, entonces a + c ≥ b + d.

V I I ) a2 ≥ 0

V III ) Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d, entonces ac < bd.

IX ) Si a ≤ 0 y b ≤ 0, entonces ab ≥ 0.

X ) Si a ≤ 0 y b ≤ 0, entonces a2 ≤ b2 si y s”olo si a < b.

Nota: la frase si y s´ olo si en Matematicas significa que la proposicion vale

en los dos sentidos:

en este caso a2 ≤ b2 si y solo si a ≤ b significa que:

i) a2 ≤ b2 entonces a ≤ b y

ii) Si a ≤ b entonces a2 ≤ b2.

Por lo que para probar esta prioposicion hay que demostrar las proposicionesi) y ii)

Definicion sea a ∈ R, si:

i) a > 0, a se llama positivo

ii) a ≥ 0, a se llama no negativo

iii) a < 0, a se llama negativo

iv) a ≤ 0, a se llama no positivo

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El conjunto R, en el que estan definidas las operaciones de suma y multi-

plicacion y que satisfacen todas las propiedades antes mencionadas, se conocecomo el campo de los n´ umeros reales

Valor absoluto

Definicion.- Si x∈R, el valor absoluto de x es un numero real no negativo

y que denotamos por |x| y definido como:

|x| =

x si x > 00 si x = 0−x si x < 0

Ejemplos

|5| = 5,

| −3

|=

−(

−3) = 3,

|−7

5 | = −(−7

5) = 7

5,

Propiedades del valor absoluto

1) |ab| = |a||b|

2) |ab| = |a|

|b|

3) | − a| = |a|

4)

|a

−b

|=

|b

−a

|5) |a + b| = |a| + |b| si ≥ 0

6) |a−1| = 1

|a| si a = 0

7) |a| < b si y solo si −b < a < b

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8) |a| > b si y solo si a > b o bien a < −b

9) |an| = |a|n para n ∈ Z

10)√

a2 = |a| En general si n es par n

√ n = |a|

11) |a ± b| ≤ |a| + |b|

12) |a − b| ≤ |a − c| + |c − b|

13) |a| ≤ |a− c| + |c|

14) |a ∓ b| ≥ |a| − |b|

15) |a ∓ b| ≥ | |a| − |b||16) |b − a| < r |a| → |b| > (1 − r)|a|, 0 < r < 1

Distancia entre dos puntos

Definimos la distancia entre dos puntos a, b como:d(a, b) := |a− b|

Propiedades de la distancia

d(a, 0) = |a − 0| = |a|

d(0, 0) = 0

d(a, b) ≥ 0

d(a, b) = d(b, a)

d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c) llamada desigualdad del triangulo

Intervalos

Los subconjuntos del conjunto de los numeros reales que mas nos interesanson los intervalos que definimos ası:

Definicion de intervalos

Sean a, b ∈ R con a < b, entonces:

i) el intervalo abierto con extremo izquierdo a e extremo derecho b, denotadopor (a, b) se define:

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(a, b) = {x ∈ R)|a < x < b}

que en la recta real se ve ası:

ii) el intervalo cerrado con extremo izquierdo a e extremo derecho b, deno-tado por ([a, b] se define:

([a, b] = {x ∈ R)|a ≤ x ≤ b}

que en las recta real se ve ası:

iii) el intervalo abierto por la derecha y cerrado por la izquierda con extremoizquierdo a e extremo derecho b, denotado por [a, b) se define:

[a, b) = {x ∈ R)|a ≤ x < b}


iv) el intervalo cerrado por la derecha y abierto por la izquierda con extremoizquierdo a e extremo derecho b, denotado por (a, b] se define:

(a, ] = {x ∈ R)|a ≤ x ≤ b}


v) el intervalo cerrado por la derecha e infinito por la izquierda con extremo

derecho b, denotado por (−∞, b] se define:

(−∞, b] = {x ∈ R)|x ≤ b}


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vi) el intervalo abierto infinito por la izquierda con extremo derecho b, de-

notado por (−∞, b) se define:

(−∞, b) = {x ∈ R)|x < b}


vii) el intervalo cerrado por la derecha e infinito por la derecha con extremoizquierdo a, denotado por [a,+∞) se define:

[a, ∞) = {x ∈ R)|x ≥ a}que en la recta real se ve ası:

viii) el intervalo abierto por la izquierda e infinito por la derecha con extremoizquierdo a, denotado por (a,+∞) se define:

[a,∞) = {x ∈ R)|x < a}


ix) el intervalo (−∞, +∞) es el conjunto R) y se define:

{x ∈ R}

Ejemplos de intervalos

Operaciones con intervalos

Debido a que los intervalos son conjuntos (de numeros) podemos realizarcon ellos las operaciones que se efectuan con cualquier par de conjuntos.

Mencionaremos tres: union, interseccion y diferencia:

Si I 1 e I 2 son dos intervalos cualesquiera, entonces:

1) Union de I 1 e I 2

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I 1 ∪ I 2 = {x ∈ R|x ∈ I 1 o bien x ∈ I 2}

2) Interseccion de I 1 e I 2

I 1 ∩ I 2 = {x ∈ R|x ∈ I 1 y x ∈ I 2}

3) Diferencia de I 1 e I 2

I 1 − I 2 = {x ∈ R|x ∈ I 1 y x /∈ I 2}

Ejemplos de operaciones de operaciones entre intervalos

Nota

En las operaciones con intervalos se debe tener presente lo siguiente: Si I esun intervalo cualquiera, entonces:

1) I ∪ ∅ = I

2) I ∩ ∅ = ∅

3) I ∪ R = R

4) I ∩ R = I

Si A y B son intervalos (conjuntos) cualesquiera, entonces:

1) A ∪ B = B si A ⊂ B (es decir, si A es un subconjunto de B).

2) A ∩ B = A si A ⊂ B.

Ejemplos y ejercicios

Desigualdades o inecuaciones

Una desigualdad expresa que entre dos expresiones algebraicas no son iguales.

A nosotros la expresin algebraica que mas nos interesa son los polinomios.

Un polinomio es una expresion algebraica que tiene la siguiente forma:

anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

donde an, an−1, · · · , a1, a0 ∈ R

A an, an−1, · · · , a1, a0 se le conoce como los coeficientes del polinomio.

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A la potencia mas grande (mayor) se le llama el grado del polinomio que en

este caso es n si an = 0

Ejemplos de polinomios

Polinomio lineal o de grado 1 a1x + a0 donde a1, a0 ∈ R

Polinomio cuadratico o de grado 2 a2x2 + a1x + a0 donde a2, a1, a0 ∈ R

Polinomio cubico o de grado 3 a3x3+a2x2+a1x+a0 donde a3 a2, a1, a0 ∈ R

Al polinomio anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0 llamemosle P (x)

Ası se tiene P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

y por lo que se tiene:

i) P (x) > 0,ii) P (x) < 0,iii) P (x) ≥ 0,iv) P (x) ≤ 0

que son las desigualdades.

Al conjunto de numeros reales x que satisfacen alguna de las desigualdadesanteriores (i), ii), iii), iv)), se le llama el conjunto soluci´ on de la desigualdadcorrespondiente.

Nosotros utilizaremos para representar el conjunto solucion de una desigual-dad con S

Para calcular el conjunto solucion de una desigualdad es conveniente el sigu-iente criterio de equivalencia.

Desigualdades equivalentes Dos desigualdades son equivalentes si tienenel mismo conjunto solucion.

Por ejemplo, si estas dos desigualdades P 1(x) < 0 y su conjunto solucion esS 1; P 2(x) < 0 y su conjunto solucion es S 2

P 1(x) < 0 y S 1; P 2(x) < 0 son desigualdades equivalentes si S 1 = S 2

Es importante la siguiente:

Proposicion Si a una desigualdad se le suma cualquier numero real a ∈ R enambos extremos de la desigualdad se obtiene una desigualdad que es equivalentea la original:

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por ejemplo: P (x) < 0 ; P (x)a < 0 + a son desigualdades equivalentes

Analogamente, si a una desigualdad se le multiplica en ambos extremos dela desigualdad por un numero real b, se obtiene una desigualdad equivalente ala original.

por ejemplo: P (x) < 0 ; b · P (x) 0, con m, n ∈ Rii) mx + n < 0, con m, n ∈ R

iii) mx + n ≥ 0, con m, n ∈ R

iv) mx + n ≤ 0, con m, n ∈ R


Desigualdades tipo m1x + n1 ≥ m2x + n2


Desigualdades tipo m1x + n1 ≥ m2x + n2 ≥ m3x + n3

Esto quiere decir hallar los numeros reales x que cumplen simultaneamentelas dos desigualdades:

m1x + n1 ≥ m2x + n2 y m2x + n2 ≥ m3x + n3


Desigualdades cuadraticas o de grado 2

En este caso tendremos: P (x) = a2x2 + a1x + a0 y las desigualdades seran:

i) ax2 + bx + c > 0 con a, b, c

∈R

ii) ax2 + bx + c < 0 con a, b, c ∈ R

iii) ax2 + bx + c ≥ 0 con a, b, c ∈ R

iv) ax2 + bx + c ≤ 0 con a, b, c ∈ R

Para calcular el conjunto solucion de estas desigualdades utilizaremos elsiguiente:

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Teorema Si x1 y x2 son las raices del polinomio P (x) = ax2 + bx + c,

eontonces P (x) = a(x − x1)(x − x2)

donde x1 = −b+√ b2−4ac2a

y x2 = −b−√ b2−4ac2a

Notemos que el polinomio P (x) = ax2+bx+c tiene raıces reales, unicamentecuando b2 − 4ac ≥ 0


Desigualdades tipo m1x+n1m2x+n2

> 0 donde m1, m2,n1, n2 ∈ R


Desigualdades tipo m1x+n1m2x+n2 > k donde m1, m2,n1,k, n2 ∈ R


Desigualdades tipo |mx + n| ≤ a donde m,n,a ∈ R


Desigualdades tipo |m1x+n1m2x+n2

| < k donde m1, m2, n1, n2, k ∈ R


Unidad II: Funciones reales de variable real

Introduccion

Vamos a definir el concepto de funci´ on de un conjunto A en un conjunto B ,este concepto es bastante delicado y por lo que observaremos con cuidados lossiguientes ejemplos:

Ejemplos

a) Al encender una vela, su longitud depende del tiempo transcurrido desdeel momento en que se ha sido encendida.

Si A representa el conjunto de los tiempos t y B el conjunto de las longitudesposibles de la vela al consumirse, podemos definir una regla que asocie a cadatiempo t la longitud de la vela en ese momento. En este caso observamos que acada tiempo t corresponde una unica longitud de la vela.

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b) Consideremos el juego que consiste en lanzar canicas en una tabla con

agujeros de tal forma que lanzada una canica, esta finalmente alcanza un estadode reposo en un agujero, y varias canicas pueden alcanzarlo en el mismo. El juego se termina cuando se agotan las canicas que el jugador tiene en una bolsa.

Si consideramos A el conjunto de canicas, B el conjunto de orificios de latabla y efectuamos el juego una unica vez, a cada canica podemos asociar el agujero en el cual ella se detiene, es decir, que a cada elemento de A le correspondaun unico elemnto de B .

Las situaciones presentadas en los ejemplos anteriores son situaciones muycomunes en la vida real, en ellas aparecen un conjunto A, un conjunto B y unaregla que asocia a cada elemnto de A un unico elemento de B .

De manera que nos hace pensar en la posibilidad de definir funciones de unconjunto A en un conjunto B de la manera siguiente:

Una funcion es una regla que asocia a cada elemento de un conjunto A ununico elemento del conjunto B .

Definicion Dados A y B conjuntos Una funcion de A en B es un subconjuntof de A × B, tal que

1) Para todo a ∈ A, existe b ∈ B tal que (a, b) ∈ f y

2) Si (a, b), (a, b

) ∈ f , entonces b = b.

Si a ∈ A, el unico elemento b tal que (a, b) ∈ f se llama la imagen de a bajof o el valor de f en a y escribimos b = f (a). Como para cada a ∈ A existe ununico b, tal que (a, b) ∈ f y este elemento b lo estamos representando por f (a),podemos entonces representar la funcion f ası:

f : A → B

f (a) = b

El conjunto A se le conoce como el dominio de la funcion de f

y el conjunto B el contradominio (tambien se le llama codominio o rango)

de f y el

{b ∈ B| existe a ∈ A para la que b = f (a)}se llama la imagen de A bajo f y es denotado por f (A). Dominio de f es

denotado por dom(f )

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