8/20/2019 Curso de Electrónica Digital (1)

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Curso de electrónica digital (I)

Autor: Miguel Angel Montejo Ráez

Indice 

• Introducción al álgebra de Boole. 

• Operaciones lógicas básicas. 

• Propiedades del álgebra de Boole. 

• Otras operaciones lógicas. 

• Puertas lógicas. 

• Funciones lógicas. 

• Sipli!icación de !unciones. 

• "abla de #erdad. 

$oo %erraienta de práctica puede eplear el siulador de circuitos digitales& el cual está disponiblegratuitaente en esta isa 'eb.

Introducción al álgebra de Boole 

Muc%os coponentes utilizados en sisteas de control& coo contactores ( rel)s& presentan dos estadosclaraente di!erenciados *abierto o cerrado& conduce o no conduce+. A este tipo de coponentes se lesdenoina coponentes todo o nada o tabi)n coponentes lógicos.

Para estudiar de !ora sisteática el coportaiento de estos eleentos& se representan los dos estados los s,bolos - ( * abierto& - cerrado+. /e esta !ora podeos utilizar una serie de le(es ( propiedadescounes con independencia del coponente en s,0 da igual 1ue sea una puerta lógica& un rel)& un transistoetc...

Atendiendo a este criterio& todos los eleentos del tipo todo o nada son representables por una #ariable lógentendiendo coo tal a1uella 1ue sólo puede toar los #alores ( -. 2l conjunto de le(es ( reglas deoperación de #ariables lógicas se denoina álgebra de Boole& (a 1ue !u) 3eorge Boole el 1ue desarrolló lasbases de la lógica ateática.

Operaciones lógicas básicas 

Sea un conjunto !orado por sólo dos eleentos 1ue designareos por ( -. 4laareos #ariables lógicalas 1ue toan sólo los #alores del conjunto& es decir o -.2n dic%o conjunto se de!inen tres operaciones básicas:

S5MA 4O3I$A:

/enoinada tabi)n operación 6O6 *OR+. 2sta operación responde a la siguiente tabla:

a b a+b

0 0 0

0 1 1

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1 0 1

1 1 1

PRO/5$"O 4O3I$O:

/enoinada tabi)n operación 676 *A8/+. 2sta operación responde a la siguiente tabla:

a b a*b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

823A$IO8 4O3I$A:

/enoinada tabi)n operación 686 *8O"+. 2sta operación responde a la siguiente tabla:

a a'

0 1

1 0

Propiedades del álgebra de Boole 

4as propiedades del conjunto en el 1ue se %an de!inido las operaciones *9& & ;+ son las siguientes:

PROPI2/A/ $O8M5"A"I<A:

/e la sua: a9b = b9a/el producto: ab = ba

PROPI2/A/ ASO$IA"I<A:

/e la sua: *a9b+9c = a9*b9c+ = a9b9c/el producto: *ab+c = a*bc+ = abc

4272S /2 I/2MPO"28$IA:

/e la sua: a9a = a 0 a9a; = -/el producto: aa = a 0 aa; =

PROPI2/A/ /IS"RIB5"I<A:

/e la sua respecto al producto: a*b9c+ = *ab+ 9 *ac+/el producto respecto a la sua: a 9 *bc+ = *a9b+ *a9c+

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4272S /2 /2 MOR3A8:

*a9b9c+; = a;b;c;*abc+; = a;9b;9c;

Otras operaciones lógicas 

A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otras operaciones booleanas& las cuales son:

8A8/& cu(a tabla correspondiente es:

a b (a*b)'

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

8OR& cu(a tabla correspondiente es:

a b (a+b)'

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

>OR& tabi)n llaada !unción OR?2>$45SI<A. Responde a la tabla:

a b a(+)b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Puertas lógicas 

"odas las !unciones lógicas #istas %asta el oento poseen una representación noralizada& la cual seuestra en la !igura siguiente:

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"oda puerta lógica consta de - o ás entradas ( - o @ salidas *puede darse el caso de proporcionarse la sa( su negada+. 2n todos los s,bolos las entradas se encuentran a la iz1uierda ( las salidas a la derec%a.

2stas puertas las podeos encontrar epa1uetadas dentro de distintos circuitos integrados. Por ejeplo& pla !ailia lógica ""4 teneos las siguientes re!erencias:

CD *4S+ $uádruple puerta 8A8/ de dos entradasCD *4S+ @ $uádruple puerta 8OR de dos entradas

CD *4S+ S)Etuple puerta 8O"CD *4S+ $uádruple puerta A8/ de dos entradasCD *4S+ - "riple puerta 8A8/ de tres entradasCD *4S+ -- "riple puerta A8/ de tres entradasCD *4S+ @ /oble puerta 8A8/ de cuatro entradasCD *4S+ @- /oble puerta A8/ de cuatro entradasCD *4S+ @D "riple puerta 8OR de tres entradasCD *4S+ G Puerta 8A8/ de oc%o entradasCD *4S+ G@ $uádruple puerta OR de dos entradas4as puertas lógicas ás !recuentes& baratas& ( !áciles de encontrar son las 8A8/. /ebido a esto se suelenipleentar circuitos digitales con el a(or nHero de dic%as puertas.

a( 1ue encionar en este punto 1ue los ni#eles de tensión 1ue se corresponden con los ni#eles lógicos - dependen de la !ailia lógica epleada. /e oento basta saber 1ue la !ailia ""4 se alienta con 9<& lo 1ue los ni#eles de tensión se corresponderán con 9< para el - lógico ( < para el lógico *idealente%ablando& claro+.

Funciones lógicas 

4a aplicación ás directa de las puertas lógicas es la cobinación entre dos o ás de ellas para !orarcircuitos lógicos 1ue responden a !unciones lógicas. 5na !unción lógica %ace 1ue una o ás salidas tengan deterinado #alor para un #alor deterinado de las entradas.

Supongaos 1ue teneos dos entradas& A ( B& ( una salida F. <aos a %acer 1ue la salida sea - lógico cuaA ( B tengan el iso #alor& siendo la salida si A ( B son di!erentes.

2n prier lugar #eaos los #alores de A ( B 1ue %acen - la !unción:

A = - ( B = -A = ( B =

2s decir& podeos suponer dos !unciones de respuesta para cada caso:

F- = AB *A ( B a - %acen F- -+F@ = A;B; *A ( B a %acen F@ -+

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4a sua de estas !unciones será la !unción lógica !inal 1ue buscaos:

F = F- 9 F@ = *AB+9*A;B;+

A continuación #aos a #er coo en uc%os casos es posible sipli!icar la !unción lógica !inal en otra ás

siple sin alterar el !uncionaiento del circuito.

Simplificación de funciones 

Supongaos 1ue teneos un circuito donde 6F6 es la respuesta *salida+ del iso en !unción de las seJaleB& ( $ *entradas+:

F = AB$ 9 A;B$ 9 B$

2sta !unción puede ser sipli!icable aplicando las propiedades del álgebra de Boole. 2n prier lugar aplicala propiedad distributi#a:

F = B$*A9A;+ 9 B$

A%ora aplicaos las le(es de idepotencia:

F = B$ 9 B$ = B$

$oo %eos podido #er en este ejeplo en uc%as ocasiones se puede sipli!icar la !unción *( por tanto circuito+ sin 1ue ello a!ecte al resultado. Más adelante #ereos coo sipli!icar !unciones epleando otros)todos ás sencillos ( !iables.

Tabla de verdad 

/2FI8I$IO8:

2s una !ora de representación de una !unción en la 1ue se indica el #alor o - para cada #alor 1ue toa por cada una de las posibles cobinaciones 1ue las #ariables de entrada pueden toar.

Anteriorente %eos #isto las tablas de respuesta de cada una de las operaciones lógicas0 estas tablas sotablas de #erdad de sus correspondientes puertas lógicas.

4a tabla de #erdad es la %erraienta 1ue debeos eplear para obtener la !ora canónica de la !unción dcircuito& para as, poder sipli!icar ( conseguir la !unción ás óptia.

<eaos un ejeplo de un circuito ( la tabla de #erdad correspondiente:

A B C D F

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

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1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0

$oo podeos #er& si sipli!icaos la !unción obteneos:

F = *AB$/+;

es decir& un puerta 8A8/ de entradas.

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