Curso de Inducciónde Matemáticas

CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3Continuidad de Funciones

M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO

Definición de Continuidad

� El término continuo tiene el mismo sentido en matemáticas que en el lenguaje cotidiano. Decir que una función f es continua en x=a significa que su una función f es continua en x=a significa que su gráfica no tiene interrupciones (huecos rupturas o saltos).

Discontinua Discontinua Continuidad

Continuidad en un punto

� Una función f es continua en un número real a sí se satisfacen las 3 condiciones siguientes:siguientes:

1.

2.

3.

Ejemplos

� Ejemplo determinar siEs continua en x=2

1( )

2f x

x=

−

Solución: Hay que determinar si se cumplen las 3 condiciones de continuidad.

i. f(a) exista

ii. Que el límite exista cuando x 2

( ) 1 12

2 2 0f = = = ∞

−

no se cumple la primera condición

2

1 1lim

2 0x x→= = ∞

−no existe este límite

III. dado que la función evaluada en a no existe además de que el límite de cuando tampoco existe, se puede concluir

( ) ( )limx a

f a f x→

=

cuando tampoco existe, se puede concluir que la función no es continua en x=2.

Ejemplo

� Determinar si la función es continua en x=2.Determinando si cumplen las 3 condiciones

2 4( )

2

xf x

x

−=−

� Determinando si cumplen las 3 condiciones de continuidad

1. no cumple2. factorizando

( )22 4 0

22 2 0

f−= = = ∞−

2

2

4 0lim

2 0x

x

x→

− = = ∞−

2

2

24lim

2x

xx

x→

−− =−

( )( )( )

2

2

x

x

+

−2 2 2 4x= + = + =

III. dado que la función evaluada en a no existe y no puede compararse con el valor constante obtenido en el límite se

( ) ( )limx a

f a f x→

=

valor constante obtenido en el límite se puede afirmar que la función no es continua en x=2.

Otros ejemplos

� Determinar si la función es continua en x=3.

22 5 3( )

3

x xf x

x

− −−

� Determinar si la función es continua en x=4.

( ) 2 5 3f x x x= − +

Unidad 4 La Derivada

� El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada. Los introductores fueron noción de derivada. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente.

◦ La derivada nos permite conocer por ejemplo:� La variación del espació en función del tiempo.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

� El crecimiento de una bacteria en función deltiempo.

�El desgaste de un neumático en función deltiempoLos beneficios en función del tiempo.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

�Los beneficios en función del tiempo.

� En el ámbito de la Física.� La ecuación que describe el movimiento de un cuerpo .

200 2

1)( attvxtx ++=

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

� La velocidad: es la derivada del espacio en función del tiemp o

� La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tie mpo, o la2ª derivada del espacio respecto al tiempo

00 2)( attvxtx ++=

)(2

2

tadt

xd =

atvtvdt

dx +== 0)(

� En el ámbito de la ingeniería.

� Circuitos eléctricos

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

� Circuitos eléctricos

� Circuito RLC

LC

Vv

LCdt

dv

L

R

dt

vd

C

i

dt

idL

dt

diR

=++

=++

1

0

2

2

2

2

� Para conocer el consumo eléctrico del país en un determinado instante.

� En el ámbito de la ingeniería.� Si una catenaria entre dos torres está definida por la

función:función:)5,1(

10

1 222 −+= −− xx eey

Donde x e y se miden en hectómetros, halla la altura que tiene el cable en el punto más bajo entre las dos torres.?

� En el ámbito de la medicina� En una ciudad de 250000 habitantes hay una epidemia

de gripe, y la función que define el número de enfermos

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

de gripe, y la función que define el número de enfermos es:

� Donde x se mide en días. ¿Cuál es el día en el que hay mayor número de enfermos?

2( ) 1000 150 10f x x x= + −

� En el ámbito de la Economía� En una empresa se usa para es maximizar unos

beneficios y minimizar costos de producción.

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

beneficios y minimizar costos de producción.

Definición

� Geométricamente, la pendiente de una curva, en un punto dado, se mide por la pendiente de una línea trazada tangente a la pendiente de una línea trazada tangente a la función trazada en ese punto. Véase la figura siguiente.

( )f x

( )f x x+ ∆( )f x

x x x+ ∆

Línea tangente

x∆

Línea secante

( )f x

( )f x x+ ∆( )f x

x x x+ ∆

Línea tangente

x∆

Línea secante

Definición Cont.

� Para medir la pendiente de una curva en diferentes puntos de una curva, se necesitan líneas tangentes separadas. líneas tangentes separadas.

∆yb

∆ya

∆xb

∆xa

f(x)

x

a

b∆yb

∆ya

∆xb

∆xa

f(x)

x

a

b2 1

2 1

y ym

x x

−=

−

Haciendo 2 1x x x= + ∆

( )2 1y f x x= + ∆

1 1( ) ( )f x x f xm

x

+ ∆ −=

∆

tenemos

2 1 2 1

2 1 2 1

( ) ( )y y f x f xy

x x x x x

− −∆ = =∆ − −

Razón promediode cambio

Aplicación del límite para calcular la derivada

� Dada una función f(x), la derivada de la f(x) en x, que se expresa como f´(x) o , se define como:

dy

dx

define como:

0

( ) ( )'( ) lim

→

+ ∆ −=∆x

f x x f xf x

x

Procedimiento

1) Valuar en y realizar las operaciones correspondientesRestar el valor de al paso anterior

( )f x x x+ ∆

( )f x2) Restar el valor de al paso anterior3) Dividir el resultado del paso anterior entre 4) Calcular el límite cuando tiende a cero del

paso anterior

( )f x

x∆x∆

Ejemplos

� Calcular la derivada de:1. Evaluando en se tiene que:

( ) 3 4f x x= −

( )f x x x+ ∆

( ) ( )3 4 3 3 4f x x x x x x+ ∆ = + ∆ − = + ∆ −

2. Realizar la operación

3. Dividiendo entre se tiene:

4. Calculando el límite de la expresión obtenida cuando se tiene:

( ) ( )f x x f x+ ∆ −

( ) ( )3 4 3 3 4f x x x x x x+ ∆ = + ∆ − = + ∆ −

( ) ( ) 3 3 4 3 4 3f x x f x x x x x+ ∆ − = + ∆ − − + = ∆

x∆3

3x

x

∆ =∆

0lim 3 3x∆ →

=

Ejemplos

� Calcular las derivadas de las siguientes funciones

( ) 2 3 8f x x x= − +1.

2.

3.

( ) 2 3 8f x x x= − +

( ) 2

1

xf x

x

+=−

( ) 3

5f x

x=

+

Tarea #4

� Descargar la tarea de Derivadas en la página webhttp://isidrolazaro.com/� http://isidrolazaro.com/

� Fecha de entrega: 31 de Junio en la hora de

Reglas prácticas para derivar

Ejemplos

� Calcular la derivada de la función4 3 23 6 5 2 8y x x x x= − + − +

� Solución ( )4 3 23 6 5 2 8dy d

x x x xdx dx

= − + − +

4 3 23 6 5 2 8dy d d d d d

x x x xdx dx dx dx dx dx

= − + − +

4 3 23 6 5 2 0dy d d d d

x x x xdx dx dx dx dx

= − + − +

( ) ( ) ( ) ( )4 1 3 1 2 13 4 6 3 5 2 2 1dy

x x xdx

− − −= − + −

3 212 18 10 2dy

x x xdx

= − + −

Ejemplos

� Calcular la derivada de las siguientes funciones:

1.

2.

3.

4.

5 3

6 1

xy

x

−=+

( )624 3y x x= −

3 5y x= −

( ) ( )2 22 3 3 2y x x x x= − −

Tarea #5

� Descargar la tarea de Derivadas Pte 2 en la página webhttp://isidrolazaro.com/� http://isidrolazaro.com/

� Fecha de entrega: 31 de Junio en la hora de

Bibliografía

� Notas de Matemáticas del Curso de Inducción.Dr. Antonio Ramos Paz

� Matemáticas IV y VMatemáticas IV y VJuan Antonio CuellarEd. McGraw-Hill

� Cálculo ILarsonEd. McGraw-Hill

� Cálculo IJames StewartEd. Thompson