Curso de Métodos Numéricos. Integración Numérica....
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Curso de M ´ etodos Num ´ ericos. Integraci ´ on Num ´ erica. Las reglas de Simpson. Curso: M´ etodos Num ´ ericos en Ingenier´ ıa Profesor: Dr. Jos´ e A. Otero Hern ´ andez Universidad: ITESM CEM Fecha: Lunes, 3 de noviembre de 2014
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Curso de M etodos Num ericos.Integraci on Num erica.
Las reglas de Simpson.
Curso : Metodos Numericos en Ingenierıa
Profesor : Dr. Jose A. Otero Hernandez
Universidad : ITESM CEM
Fecha : Lunes, 3 de noviembre de 2014
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Topicos
1 Introducci on
2 Regla de Simpson 1/3
3 Regla de Simpson 3/8
4 Programas MATLAB
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Topicos
1 Introducci on
2 Regla de Simpson 1/3
3 Regla de Simpson 3/8
4 Programas MATLAB
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Reglas de Simpson
Para mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,
Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),
Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Reglas de Simpson
Para mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,
Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),
Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Reglas de Simpson
Para mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,
Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),
Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Reglas de Simpson
Para mejorar la aproximacion con la regla del trapecio esnecesario hacer una segmentacion mas fina,
Otra forma para obtener una estimacion mas exacta de laintegral consiste en usar polinomios de grado superiorpara unir los puntos f(a) y f(b),Si hay otro punto a la mitad entre f(a) y f(b), los trespuntos se pueden unir con una parabola (polinomio desegundo grado),
Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) yf(b), los cuatro puntos se pueden unir mediante unpolinomio de tercer grado,
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Integral
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Reglas de Simpson
Las formulas que resultan de aproximar la funcion integrandopor polinomios de orden superior se conocen como reglas deSimpson.
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Topicos
1 Introducci on
2 Regla de Simpson 1/3
3 Regla de Simpson 3/8
4 Programas MATLAB
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 = b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 = b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
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Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 = b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
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Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 = b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 1/3
La regla de Simpson 1/3 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de segundo grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f2 (x) dx
donde f2 (x) es un polinomio de Lagrange de segundo orden:
f2 (x) =(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)f(x0) +
(x− x0)(x− x2)(x1 − x0)(x1 − x2)
f(x1)
+(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)f(x2)
donde x0 = a, x2 = b y x1 = b+a2 (punto a la mitad entre a y b)
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Regla de Simpson 1/3
I =13h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
donde h = b−a2 .
La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cortes,
La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.
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Regla de Simpson 1/3
I =13h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
donde h = b−a2 .
La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cortes,
La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 1/3
I =13h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
donde h = b−a2 .
La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cortes,
La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 1/3
I =13h [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
donde h = b−a2 .
La regla de Simpson 1/3, es la segunda formula deNewton-Cortes,
La especificacion 1/3 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 1/3.
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Regla de Simpson 1/3
I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 4f(x1) + f(x2)6︸ ︷︷ ︸
Ancho Altura promedio
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Regla de Simpson 1/3
I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 4f(x1) + f(x2)6︸ ︷︷ ︸
Ancho Altura promedio
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Regla de Simpson 1/3: Error de truncamiento
Et = − 190
h5f (4)(ξ)
Et = −(b− a)5
2880f (4)(ξ)
donde ξ esta en algun lugar del intervalo [a, b].
La regla de Simpson 1/3 es mas exacta que la regla deltrapecio.
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Regla de Simpson 1/3: Error de truncamiento
Et = − 190
h5f (4)(ξ)
Et = −(b− a)5
2880f (4)(ξ)
donde ξ esta en algun lugar del intervalo [a, b].
La regla de Simpson 1/3 es mas exacta que la regla deltrapecio.
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 1/3: Error de truncamiento
Et = − 190
h5f (4)(ξ)
Et = −(b− a)5
2880f (4)(ξ)
donde ξ esta en algun lugar del intervalo [a, b].
La regla de Simpson 1/3 es mas exacta que la regla deltrapecio.
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 1/3: Error de truncamiento
Et = − 190
h5f (4)(ξ)
Et = −(b− a)5
2880f (4)(ξ)
donde ξ esta en algun lugar del intervalo [a, b].
La regla de Simpson 1/3 es mas exacta que la regla deltrapecio.
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Regla de Simpson 1/3 multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x2∫x0
f (x) dx +
x4∫x2
f (x) dx + · · ·+xn∫
xn−2
f (x) dx
I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)
6+ 2h
f(x2) + 4f(x3) + f(x4)6
+
· · ·+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)
6
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Regla de Simpson 1/3 multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x2∫x0
f (x) dx +
x4∫x2
f (x) dx + · · ·+xn∫
xn−2
f (x) dx
I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)
6+ 2h
f(x2) + 4f(x3) + f(x4)6
+
· · ·+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)
6
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 1/3 multiple
I =
b∫a
f (x) dx =
x2∫x0
f (x) dx +
x4∫x2
f (x) dx + · · ·+xn∫
xn−2
f (x) dx
I ≈ 2hf(x0) + 4f(x1) + f(x2)
6+ 2h
f(x2) + 4f(x3) + f(x4)6
+
· · ·+ 2hf(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)
6
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Regla de Simpson 1/3 multiple
I ≈ (b− a)︸ ︷︷ ︸f (x0) + 4
n−1∑i=1,3,5,...
f (xi) + 2n−2∑
j=2,4,6,...
f (xj) + f (xn)
3n︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio
Regla de Simpson 1/3 multiple: Error de truncamiento
Et = −(b− a)5
180n4f (4)
donde
f (4) =
n∑i=1
f (4)(ξi)
n
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Regla de Simpson 1/3 multiple
I ≈ (b− a)︸ ︷︷ ︸f (x0) + 4
n−1∑i=1,3,5,...
f (xi) + 2n−2∑
j=2,4,6,...
f (xj) + f (xn)
3n︸ ︷︷ ︸Ancho Altura promedio
Regla de Simpson 1/3 multiple: Error de truncamiento
Et = −(b− a)5
180n4f (4)
donde
f (4) =
n∑i=1
f (4)(ξi)
n
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Topicos
1 Introducci on
2 Regla de Simpson 1/3
3 Regla de Simpson 3/8
4 Programas MATLAB
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =38h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,
La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =38h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,
La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =38h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,
La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =38h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,
La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =38h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,
La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
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Regla de Simpson 3/8
La regla de Simpson 3/8 resulta de aproximar la funcionintegrando por un polinomio de tercer grado,
I =
b∫a
f (x) dx ≈b∫
a
f3 (x) dx
I =38h [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
donde h = b−a3 .
La regla de Simpson 3/8, es la tercera formula deNewton-Cortes,
La especificacion 3/8 se origina del hecho de que h estamultiplicada por 3/8.
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Regla de Simpson 3/8
I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)8︸ ︷︷ ︸
Ancho Altura promedio
Regla de Simpson 3/8: Error de truncamiento
Et = −(b− a)5
6480f (4)(ξ)
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Regla de Simpson 3/8
I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)8︸ ︷︷ ︸
Ancho Altura promedio
Regla de Simpson 3/8: Error de truncamiento
Et = −(b− a)5
6480f (4)(ξ)
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Regla de Simpson 3/8
I = (b− a)︸ ︷︷ ︸ f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)8︸ ︷︷ ︸
Ancho Altura promedio
Regla de Simpson 3/8: Error de truncamiento
Et = −(b− a)5
6480f (4)(ξ)
Introducci on Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8 Programas MATLAB
Topicos
1 Introducci on
2 Regla de Simpson 1/3
3 Regla de Simpson 3/8
4 Programas MATLAB
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Programa MATLAB: Regla de Simpson 1/3
funct ion in t s impson13 v1 ( f , x i , x f , np )% int s impson13 v1−−−−Nombre de l a func ion% f−−−−func ion de entrada% [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n% np−−−−Numero de p a r t i c i o n e sF= i n l i n e ( f , ’ x ’ ) ;h=( xf−x i ) / ( 2∗ np ) ;x =[ x i : h : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;I n t =0; j =0;fo r i =1 :2 : n−1
j = j +1;I ( j ) =1/3∗h∗ (F ( x ( i ) ) +4∗F( x ( i +1) ) +F( x ( i +2) ) ) ;I n t = I n t + I ( j ) ;sa l i da1 =[ ’ P a r t i c i o n ’ ,num2str ( j ) , ’ ’ , num2str ( I ( j ) ) ] ;disp ( sa l i da1 )
endSal ida2 =[ ’ I n t e g r a l To ta l ’ , ’ ’ ,num2str ( I n t ) ] ;disp ( Sal ida2 )end
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Programa MATLAB: Regla de Simpson 3/8
funct ion in t s impson38 v1 ( f , x i , x f , np )% int s impson38 v1−−−−Nombre de l a func ion% f−−−−func ion de entrada% [ x i x f]−−−− I n t e r v a l o de i n t e g r a c i o n% np−−−−Numero de p a r t i c i o n e sF= i n l i n e ( f , ’ x ’ ) ;h=( xf−x i ) / ( 3∗ np ) ;x =[ x i : h : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;I n t =0; j =0;fo r i =1 :3 : n−1
j = j +1;I ( j ) =3/8∗h∗ (F ( x ( i ) ) +3∗F( x ( i +1) ) +3∗F( x ( i +2) ) +F( x ( i +3) ) ) ;I n t = I n t + I ( j ) ;sa l i da1 =[ ’ P a r t i c i o n ’ ,num2str ( j ) , ’ ’ , num2str ( I ( j ) ) ] ;disp ( sa l i da1 )
endSal ida2 =[ ’ I n t e g r a l To ta l ’ , ’ ’ ,num2str ( I n t ) ] ;disp ( Sal ida2 )end
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ProblemaCalcular la integral de la funcion:
f (x) = 400x5 − 900x4 + 675x3 − 200x2 + 25x + 0.2
desde a = 0 hasta b = 0.8. Considere el valor exacto de laintegral igual a: 1.640533.
