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Curso 2011/12

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UNIDAD DIDÁCTICA VIII Geometría 3D (IV) UNIVERSIDAD MIGUEL HERNÁNDEZ Autores: Manuel Gabriel Serrano Cardona

1 Francisco Irles Mas. .

UNIDAD DIDÁCTICA VIII: Geometría 3D (IV)

ÍNDICE

Página:

1. SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN……………...……………………. 2

2. SUPERFICIE CILÍNDRICA……………………………………………. 2

2.1 CILINDROS…………………………………………………………. 2

2.2 PROYECCIONES DE UN CILINDRO……………………………. 3

2.3 SECCIONES PLANAS…………………….………………………. 4

3. SUPERFICIES CÓNICAS. ……………………………………………. 5

3.1 CONOS……………………………………………………………… 5

3.2 PROYECCIONES DEL CONO…………………………………… 5

3.3 SECCIONES PLANAS: CURVAS CÓNICAS…………………… 6

3.3.1 ELEMENTOS DE LAS SECCIONES CONICAS……… 8

3.3.2 TEOREMA DE DANDELIN………………………………10

4. LA ESFERA……………………………………………………... ……... 10

4.1 SECCIONES PLANAS…………………………………...………… 11

5. DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS, TEOREMA DE OLIVER..11

6. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 6…………... 13

7. PROPUESTA DE EJERCICIOS……………………………………….. 14

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Figura 1: Geometrías elementales de revolución: cilindro, cono, esfera y toroide.

1 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN.

Son aquellas que se generan al girar un elemento lineal (rectas, segmentos, círculos, arcos poligonales, etc.) alrededor de un eje rectilíneo.

Las formas regulares que

podemos obtener por revolución son: los cilindros girando un segmento paralelo al eje de revolución; los conos a partir de un segmento con un extremo sobre el eje; la esfera mediante revolución de una circunferencia alrededor de uno de sus diámetros y el toroide si giramos una circunferencia alrededor de un eje cualquiera. 2 SUPERFICIE CILÍNDRICA Es la superficie que recorre una recta al deslizarla sobre una curva cerrada o no (no coplanaria con la recta), manteniendo siempre un punto sobre ella y una dirección constante. Las infinitas rectas se llaman generatrices y la curva directriz. Una superficie cilíndrica es de revolución cuando se genera por revolución de una recta; o lo que es lo mismo: como lugar geométrico al deslizar una recta sobre una circunferencia, manteniendo un punto sobre ella y como dirección la perpendicular a la circunferencia. 2.1 CILINDROS Un cilindro es el volumen que se obtiene al limitar una superficie cilíndrica cerrada mediante dos planos secantes a todas sus generatrices. Tiene siempre tres caras: la lateral formada sobre la superficie cilíndrica y dos bases sobre los planos secantes.

Figura 2: Superficies cilíndricas

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Figura 3: Cilindros de revolución, recto, oblicuo y de revolución truncado.

Llamamos cilindro de revolución a aquel que se forma al revolucionar un segmento paralelo al eje de revolución, y como consecuencia tiene dos bases circulares de igual radio. Llamamos cilindro recto a aquel cuyas bases son ortogonales a la superficie lateral. Se denomina cilindro oblicuo a aquel que no es ortogonal pero tiene las bases paralelas entre si. El cilindro truncado es aquel que sus bases no son paralelas.

2.2 PROYECCIONES DE UN CILINDRO

En sistema diédrico un cilindro se va a representar mediante las proyecciones de sus dos bases y las generatrices de contorno aparente. En los casos de cilindros convexos solo hay dos generatrices de contorno aparente. Pero si son cóncavos pueden haber más, e incluso pueden quedar ocultas, en ocasiones queda la superficie justo tangente a un plano proyectante, con lo que representaremos una línea por la generatriz de tangencia. Si el cilindro es de revolución también debe representarse las proyecciones del eje en trazo y punto fina.

Figura 4: Proyecciones de un cilindro cóncavo, de revolución, oblicuo frontal apoyados en PH y de revolución sobre plano genérico.

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2.3 SECCIONES PLANAS La obtención de la sección plana de un cilindro en general se realiza mediante intersecciones de generatrices con el plano, para luego unir los puntos a mano alzada, con la excepción de las partes de la sección que están sobre las bases que han de ser segmentos rectos. Deben obtenerse siempre los puntos intersección de todas las generatrices de contorno aparente, pues serán tangencias entre la sección plana y dichas generatrices además de delimitar la parte vista de la oculta del contorno de la sección. Son casos especiales cuando los planos de corte son paralelos a las generatrices, en estos casos las secciones planas son paralelogramos (excepto en los truncados que son trapecios o en los rectos de revolución que son rectángulos). También son casos especiales cuando la directriz del cilindro es una circunferencia o una elipse. En estos casos la sección plana es otra elipse de la que además debemos obtener los ejes principales. El determinar los ejes puede ser sencillo o muy complicado. En el presente curso sólo abordaremos el caso en que el cilindro es de revolución, de forma que el eje menor de la sección elíptica es el propio diámetro del cilindro y el eje mayor el perpendicular a él (en el espacio 3D). Las proyecciones de esta elipse sección plana son dos elipses (para planos secantes genéricos), de forma que las proyecciones de los ejes principales en 3D son ejes conjugados en las elipses proyectadas. Para determinar el eje mayor de la elipse 3D debemos buscar la intersección de las generatrices situadas según un plano β,

Figura 6: Sección plana de un cilindro de revolución por plano genérico.

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perpendicular al secante por el eje de revolución. En eje menor se sitúa perpendicular por el punto medio del eje mayor. 3 SUPERFICIES CÓNICAS.

Son las superficies que se generan al deslizar una recta sobre una curva directriz (cada una de sus infinitas posiciones es una generatriz) manteniendo la posición de un punto de ella fijo en el espacio, de forma que ese punto es el vértice de la superficie cónica. Las superficies cónicas son simétricas respecto de su vértice.

Sólo tenemos que una superficie

cónica es de revolución cuando la directriz es una circunferencia y todas las generatrices forman el mismo ángulo con el plano de la directriz. También podemos decir que la superficie cónica de revolución se genera al girar una recta alrededor de un eje, de forma que el ángulo de esta recta con el eje siempre se mantiene constante. 3.1 CONOS El cono es el volumen que se define al delimitar una superficie cónica con un plano secante a todas sus generatrices, entre ese plano y el vértice de la superficie cónica. Tiene por tanto una sola base y la superficie lateral. Llamamos cono de revolución a aquel que se obtiene a partir de una superficie cónica de revolución, pudiendo ser recto u oblicuo según sea el plano secante ortogonal o no al eje de revolución.

3.2 PROYECCIONES DEL CONO

Para representar un cono en diédrico dibujamos sus proyecciones, que en general están formadas por las proyecciones de las bases y las generatrices de contorno aparente, que son tangentes a las proyecciones de las bases

Figura 7: Superficies cónicas.

Figura 8: Cono recto de revolución, elíptico, oblicuo de base circular y genérico.

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desde las proyecciones del vértice. Sin embargo cuando el vértice queda proyectado dentro de la proyección de la base no hay generatrices de contorno aparente, representándose solo la de la base y la del vértice. Si el cono es de revolución también debe representarse las proyecciones del eje en trazo y punto fina.

3.3 SECCIONES PLANAS: CURVAS CÓNICAS.

Las secciones de un cono se obtienen mediante la intersección de sus

generatrices con el plano y en su caso la base. Especial interés y estudio merecen las secciones planas de los conos de

revolución o mejor dicho de las superficies cónicas de revolución. En estos casos se obtienen las denominadas curvas cónicas, excepto en casos particulares.

Según la posición del plano de corte obtendremos las distintas curvas: Elipse es la curva cerrada obtenida al seccionar la superficie cónica por un plano ß oblicuo con el eje y que corta a todas las generatrices del cono.

Figura 9: Proyecciones de un cono genérico, de revolución recto, oblicuo de base circular sobre el plano horizontal y recto de revolución sobre plano genérico.

Figura 10: Sección plana: elipse.

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Parábola Curva abierta de una rama obtenida al seccionar el cono por un plano α que es paralelo a una sola generatriz.

Hipérbola se obtiene cuando la superficie cónica de dos hojas es cortada por un plano γ paralelo a dos generatrices. La sección cónica obtenida es una curva abierta de dos ramas. La hipérbola equilátera se obtiene cuando el plano es paralelo al eje de revolución. Existen otras secciones cónicas que no vamos a considerar, y que se obtienen cuando el plano que produce el corte contiene al eje del cono, pasa por el vértice o es tangente a la superficie

Figura 11: Sección plana: parábola.

Figura 12: Sección plana: hipérbola.

Figura 13: Cónicas degeneradas.

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cónica. Son las llamadas cónicas degeneradas y se corresponden con dos rectas concurrentes, con un punto y con una recta respectivamente 3.3.1 ELEMENTOS DE LAS SECCIONES CÓNICAS En el estudio de las secciones cónicas denominaremos plano secante al plano que produce la sección.

Al trazar las esferas que sean tangentes a la superficie cónica y al plano secante podemos observar que en dichas esferas se puede localizar las circunferencias que son tangentes a la superficie cónica; a los planos que contienen a dichas circunferencias se le denominan planos de contacto. Habrá dos planos de contacto para la elipse e hipérbola y uno solo para la parábola. Focos de una curva cónica son los puntos de tangencia de las esferas incritas en el cono y los planos secantes.

La intersección entre el/los plano/s de contacto y el plano secante se

denomina directriz. En las figuras vemos representadas, en proyección frontal, las superficies cónicas con los elementos antes descritos.

Figura 14: Elementos de la elipse.

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Figura 15: Elementos de la parábola.

Figura 16: Elementos de la hipérbola.

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3.3.2 TEOREMA DE DANDELIN El teorema de Dandelín define a " la elipse como el lugar geométrico de

los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante de valor igual al eje mayor de la cónica".

Referido a la parábola expresa que “la distancia de cualquier punto de la

curva al foco es igual que la distancia de dicho punto a la directriz”. Y referido a la hipérbola enuncia “es el lugar geométrico de los puntos

cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante de valor igual al eje mayor de la cónica”.

Este teorema se demuestra estableciendo relaciones geométricas entre

segmentos de las construcciones geométricas tridimensionales expuestas en las figuras 14, 15 y 16; extremo que no exponemos aquí por considerar que se escapa de las pretensiones del curso.

4. LA ESFERA.

Es el volumen de revolución que

se genera al girar una circunferencia sobre uno de sus diámetros. Las proyecciones diédricas son siempre dos circunferencias; es más, cualquier proyección cilíndrica ortogonal lo es.

Se definen las circunferencias

máximas de los meridianos y el ecuador, así como los paralelos que son circunferencias más pequeñas paralelas al ecuador. Se denominan polos los

puntos de intersección del eje de revolución con la esfera, y son también de intersección de los meridianos.

Para representar puntos de su

superficie nos apoyamos en un paralelo o en una circunferencia frontal que pase

Figura 18: Elementos de la esfera.

Figura 17: Proyecciones diédricas de una esfera, criterio de pertenencia mediante paralelo.

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por el punto.

4.2 SECCIONES PLANAS. La sección plana de una esfera siempre es un círculo, con centro el pie

de la perpendicular al plano secante desde el centro de la esfera. Se resuelve en base a esto determinando dicha perpendicular, su intersección con el plano de corte será el centro del círculo sección plana, cuyo radio se determina mediante un paralelo por ese centro. La intersección del paralelo con la horizontal de plano de igual cota nos da el diámetro en VM de la sección plana, abatiéndose el plano, el centro y el radio se obtiene la VM a partir de la cual mediante desabatimiento se obtienen las dos elipses proyección.

5 DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS, TEOREMA DE OLIVER. Solo vamos a tratar aquí el desarrollo de los cilindros y conos de revolución rectos, dado que cuando no son de revolución la complejidad del problema aumenta considerablemente. También se verá la transformada que produce sobre ellos una sección plana por un plano genérico, con lo que esta resuelto el desarrollo de cilindros y conos de revolución oblicuos.

Los conos y cilindros son las únicas superficies de revolución que son desarrollables en el plano extendiendo toda su superficie sobre él. En los casos rectos bastará con calcular la longitud rectificada de la base circular mediante L=2πr para el cilindro y en resolver la ecuación 2πr=α/360 x 2πg, siendo r el radio de

la base, g la longitud de la generatriz del cono y α el ángulo en el vértice del cono sobre el desarrollo de la superficie lateral. Simplificando y despejando r=α/360 x g; 360 x r/g=α.

Para las transformadas se requiere resolver la sección plana y dividir una directriz ortogonal circular en n partes iguales de forma que las generatrices que pasen por esas divisiones quedan equirepartidas sobre el desarrollo lateral del cilindro o cono. Debemos obtener la VM de todas ellas y la posición de su punto de corte con el plano de corte para llevarlo sobre el desarrollo. Hay además unos puntos notables en la transformada que son máximos, mínimos y puntos de inflexión que se deben determinar. Los máximos y mínimos se sitúan sobre las generatrices contenidas en un plano que pase por el eje de revolución y sea perpendicular al de corte. La posición de los puntos de inflexión se determina mediante el denominado teorema de Oliver, que nos dice que están sobre las generatrices de tangencia del cilindro o cono con planos perpendiculares al de corte.

Figura 19: Desarrollo lateral de un cilindro y un cono de revolución rectos.

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D

V

D B

CC

A

(V)

1

2

H

H

30°

1O C

B

A

2O

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL DEL TRONCO DE CONO

1

2V

V

1

2

entre el plano y el P.H. Representar el desarrollo de la superficie del tronco de cono comprendido una sección recta. 3) El vértice es el punto V.datos: 1) El ángulo en el vértice es de 30°. 2) El plano produce sobre el mismo Figura 20: Proyecciones de un cono recto de revolución con los siguientes

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1/ Dibuja un prisma hexagonal regular apoyado por su base en el plano PPH. Su lado mide 30 mm., su altura 70 mm., tiene dos aristas básicas frontales, siendo el alejamiento de la más próxima a LT 10 mm. Obtén la sección plana que produce un plano que pase por el punto medio de esa arista más próxima a LT, por el vértice de la izquierda de la otra arista básica frontal y por el punto medio de la arista lateral de más a la derecha. Obtén el desarrollo lateral del prisma y transformada sobre una cartulina y construye el recortable del tronco inferior del prisma.

6 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 6.

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2/ Dibuja un hexaedro de forma que una de sus secciones planas hexágono regular quede frontal en VM. Obtén el desarrollo total del trozo de cubo que queda entre el plano secante y el PPV.

7 PROPUESTA DE EJERCICIOS. 1/ Obtén el desarrollo del cilindro de la figura 6 con la transformada, determinando todos sus puntos notables. 2/ Obtén la sección plana del cono de la figura 21 con el plano α, abatiendo para ver su VM y determinando sobre ella todos los elementos notables de la cónica.

Figura 21.

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