Curso Resistencia de materiales [15153] · Equilibrio estático: ... La viga AB se encuentra...
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17 de junio de 2019
Curso – Resistencia de materiales [15153]
Santiago de Chile, Junio 2019
1
Clase 11 – Circulo de Mohr
Plan de estudios - Ingeniería Civil en Mecánica
Profesores: Matías Pacheco Alarcón ([email protected])
Aldo Abarca Ortega ([email protected])
Ayudante: Estéfano Muñoz ([email protected])
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E s f u e r z o s c o m b i n a d o s
റԦ𝜎 =
𝜎𝑥𝑥𝜏𝑦𝑥𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑥𝑦𝜎𝑦𝑦𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑥𝑧𝜏𝑦𝑧𝜎𝑧𝑧
Tensor de tensiones
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑧𝑧
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑦
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑥𝑦
Estado triaxial
റԦ𝜎 =𝜎𝑥𝑥𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑥𝑦𝜎𝑦𝑦
Tensor de tensiones
Estado Biaxial
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑦𝑥
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𝜃
𝜃 𝜃F
FT
FN
𝜎𝑁 =𝐹𝑁𝐴′
=𝐹 cos 𝜃
𝐴/ cos 𝜃=𝐹𝑐𝑜𝑠2 𝜃
A𝜏𝑇 =
𝐹𝑇
𝐴′=
𝐹 sin 𝜃
𝐴/ cos 𝜃=
𝐹 sin 2𝜃
2𝐴
E s f u e r z o s c o m b i n a d o s : Cargas en planos inclinados
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𝜃
𝜃 𝜃F
FT
FN
𝜎
𝜏
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑥𝑦𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜃
E s f u e r z o s c o m b i n a d o s : Cargas en planos inclinados
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E s f u e r z o s c o m b i n a d o s : Cargas en planos inclinados
𝐹𝑥,𝑦 = 0
Equilibrio estático:
𝜎
𝜏
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜃
𝐴′ sin 𝜃𝐴′cos𝜃
O G
H
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E s f u e r z o s c o m b i n a d o s : Cargas en planos inclinados
𝐹𝑁 = 0 :
𝐻𝐺𝐹𝑁 = 𝑂𝐻𝜎𝑥𝑥𝐴′ cos 𝜃 − 𝑂𝐻𝜏𝑥𝑦𝐴′ cos 𝜃 + 𝑂𝐺𝜎𝑦𝑦𝐴′ sin 𝜃 − 𝑂𝐺𝜏𝑥𝑦𝐴′ cos 𝜃
𝜎𝐴′ =𝑂𝐻
𝐻𝐺𝜎𝑥𝑥𝐴′ cos 𝜃 −
𝑂𝐻
𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 𝐴′ cos 𝜃 +
𝑂𝐺
𝐻𝐺𝜎𝑦𝑦𝐴′ sin 𝜃 −
𝑂𝐺
𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 𝐴′ cos 𝜃
𝜎 =𝐻𝐺 cos 𝜃
𝐻𝐺𝜎𝑥𝑥 cos 𝜃 −
𝐻𝐺 cos 𝜃
𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 cos 𝜃 +
𝐻𝐺 sin 𝜃
𝐻𝐺𝜎𝑦𝑦 sin 𝜃 −
𝐻𝐺 sin 𝜃
𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 cos 𝜃
𝜎 = 𝜎𝑥𝑥 cos2 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 cos
2 𝜃 + 𝜎𝑦𝑦 sin2 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃
𝐹𝑥,𝑦 = 0
Equilibrio estático:
𝜎
𝜏
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜃
𝐴′ sin 𝜃𝐴′cos𝜃
O G
H
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E s f u e r z o s c o m b i n a d o s : Cargas en planos inclinados
𝐹𝑇 = 0 :
𝐻𝐺𝐹𝑇 = 𝑂𝐻𝜎𝑥𝑥𝐴′ sin 𝜃 − 𝑂𝐻𝜏𝑥𝑦𝐴′ cos 𝜃 + 𝑂𝐺𝜎𝑦𝑦𝐴′ cos 𝜃 − 𝑂𝐺𝜏𝑥𝑦𝐴′ sin 𝜃
𝜏𝐴′ =𝑂𝐻
𝐻𝐺𝜎𝑥𝑥𝐴′ sin 𝜃 −
𝑂𝐻
𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 𝐴′ cos 𝜃 +
𝑂𝐺
𝐻𝐺𝜎𝑦𝑦𝐴′ cos 𝜃 −
𝑂𝐺
𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 𝐴′ sin 𝜃
𝜏 =𝐻𝐺 cos 𝜃
𝐻𝐺𝜎𝑥𝑥 sin 𝜃 −
𝐻𝐺 cos 𝜃
𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 cos 𝜃 +
𝐻𝐺 sin 𝜃
𝐻𝐺𝜎𝑦𝑦 cos 𝜃 −
𝐻𝐺 sin 𝜃
𝐻𝐺𝜏𝑥𝑦 sin 𝜃
𝜏 = 𝜎𝑥𝑥 sin 𝜃 cos 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 cos2 𝜃 + 𝜎𝑦𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin
2 𝜃
𝐹𝑥,𝑦 = 0
Equilibrio estático:
𝜎
𝜏
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜃
𝐴′ sin 𝜃𝐴′cos𝜃
O G
H
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E s f u e r z o s c o m b i n a d o s : Cargas en planos inclinados
𝜎 𝜃 = 𝜎𝑥𝑥 cos2 𝜃 + 2𝜏𝑥𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 + 𝜎𝑦𝑦sin
2 𝜃
𝐹𝑥,𝑦 = 0
Equilibrio estático:
𝜎
𝜏
𝜏𝑦𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜃
𝐴′ sin 𝜃𝐴′cos𝜃
O G
H
𝜏 𝜃 = 𝜏𝑥𝑦(cos2 𝜃 − sin2 𝜃 ) − 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃
𝜎 𝜃 =𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
2+𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦
2cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃
𝜏 𝜃 =𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦
2sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃
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𝑑𝜎 𝜃
𝑑𝜃= − 𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦 sin 2𝜃 − 2𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 = 0
Los máximos esfuerzos se encuentran en ángulos en donde la derivada de los esfuerzos respecto al ángulo es nula:
𝑑𝜏 𝜃
𝑑𝜃= 𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦 cos 2𝜃 − 2𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃 = 0
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Combinando las ecuaciones de esfuerzo normal y cortante:
𝜎 𝜃 =𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
2+𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦
2cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sin 2𝜃 𝜏 𝜃 =
𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦
2sin 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃
𝜎 𝜃 −𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
2
2
+ 𝜏 𝜃 2 =𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦2
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𝜎 𝜃 −𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
2
2
+ 𝜏 𝜃 2 =𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦2
Centro: 𝐶 =𝜎𝑥𝑥+𝜎𝑦𝑦
2
Radio: R =𝜎𝑥𝑥−𝜎𝑦𝑦
2
2+ 𝜏𝑥𝑦
2
Ángulo de corte máximo: tan 2𝜃 =𝜎𝑥𝑥−𝜎𝑦𝑦
2𝜏𝑥𝑦
Ángulo de esfuerzo normal máximo: tan 2𝜃 = −2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥𝑥−𝜎𝑦𝑦
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E s f u e r z o s c o m b i n a d o s : Circulo de Mohr
𝜎 𝜃 −𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
2
2
+ 𝜏 𝜃 2 =𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑦𝑦
2
2
+ 𝜏𝑥𝑦2
𝜎
𝜏
𝐶𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦
2
𝐴( 𝜎𝑥𝑥, 𝜏𝑥𝑦 )
𝐵( 𝜎𝑦𝑦, 𝜏𝑥𝑦 )
2𝜃
Ejemplo:
Se tiene el sistema de vigas de la figura. Encontrar el estado principal de esfuerzos y el esfuerzo máximo de corte en el punto señalado de la sección A para la configuración dada, el cual se encuentra a 45° de la normal. Encontrar L máximo para que la estructura no falle:
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Ejemplo:
Se tiene el sistema de cañerías de acero (E=210 [GPa]) de la figura. La viga AB se encuentra empotrada en los puntos A y B mientras que la viga CD está unida sólidamente a la viga AB en el punto C. El sistema es cargado con una fuerza puntual F=2 [kN] y un momento torsor T=0,5 [kNm], ambas cargas aplicadas en el punto D:
• Determine las reacciones en los puntos A y B.• Obtenga los esfuerzos principales de la sección en A en el punto inferior
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C u r s o – Re s i s te n c i a d e M a te r i a l e s [ 1 5 1 5 3 ]
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