Curva de Capacidad
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7/25/2019 Curva de Capacidad
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COMPORTAMIENTO INELSTICO DE ESTRUCTURAS SOMETIDAS ADESPLAZAMIENTO LATERAL
Ensayo de desplazamiento incremental y Curva de Capacidad
El ensayo de desplazamiento incremental consiste en incrementarpaulatinamente el desplazamiento de algn punto de una estructura (x)mediante una fuerza lateral (F) hasta que se produzca su deterioro severo ocolapso. Mientras se realiza el ensayo se van registrando los valores dedesplazamiento y fuerza. El grfico x vs F se conoce como Curva deCapacidad de la estructura.
Comportamiento de Elementos con carga Axial
Una barra de longitud L, seccin transversal constante (rea A) tiene unextremo fijo y otro libre. El extremo libre tiene un desplazamiento en elinstante en que se aplica una fuerza F.
El desplazamiento es el resultado de la deformacin en la barra y por tanto:
dx
L
=0
Si la deformacin unitaria a lo largo de la barra es constante, entonces
===LL
Ldxdx
00
/ Pontificia Universidad Catlica del Per. / Ing. Civil. /Anlisis Estructural 2/ A. Muoz/2010/Pg. 1
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La figura muestra el diagrama del material del que est hecha la barra.
Usando la relacin es posible establecer la curva Fpara la barra, comose muestra a continuacin.
Para cada valor de i es posible determinar en el diagrama el esfuerzo i
correspondiente y determinar as la fuerza F como Fi= iA
Finalmente, con los valores iy Fise puede construir la curva F, que para elcaso de una barra de seccin constante, sera Fi= iA y i= iL
/ Pontificia Universidad Catlica del Per. / Ing. Civil. /Anlisis Estructural 2/ A. Muoz/2010/Pg. 2
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Comportamiento de Elementos en Flexin
La figura muestra una viga sometida a flexin de la cual se toma una elementopequeo (diferencial) entre dos secciones transversales separadas unadistancia dx.
En cada una de las fibras paralelas al eje del elemento diferencial aparecendeformaciones lineales, como se muestran en la figura, las fibras por debajode la fibra neutra se alargan, mientras que las que se ubican por encima de
este eje se acortan. Como resultado de esta distribucin de deformaciones,las secciones transversales se inclinan formando un ngulo d, al que lecorresponde un radio medido a la fibra neutra. El cociente d/dx sedenomina curvatura y se representa como = d/ dx
Se puede demostrar que las deformaciones unitarias en cada una de las fibrasvaran linealmente con la distancia y al eje neutro de la seccin transversalcomo = - y/. La figura muestra esta distribucin.
/ Pontificia Universidad Catlica del Per. / Ing. Civil. /Anlisis Estructural 2/ A. Muoz/2010/Pg. 3
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A cada valor de deformacin i corresponde un esfuerzo i segn la curva
del material.
Por tanto, la distribucin de esfuerzos en la seccin se puede obtener
asociando a cada valor de el valor del esfuerzo correspondiente. La figuramuestra un caso en el cual en algunas zonas de la seccin los esfuerzosexceden el rango elstico.
Con este diagrama de esfuerzos se puede obtener por integracin el MomentoFlector como:
=M y)dA(Luego, para cada valor del ngulo dse puede encontrar el momento M que lo
acompaa, y por tanto, siempre es posible construir el diagrama M-d, como elmostrado en al figura.
/ Pontificia Universidad Catlica del Per. / Ing. Civil. /Anlisis Estructural 2/ A. Muoz/2010/Pg. 4
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Rtulas Inelsticas.
En algunos elementos y bajo ciertas solicitaciones, el comportamientoinelstico se localiza en una zona pequea mientras el resto de la estructura semantiene elstica. La figura muestra el caso de una columna de concreto en
voladizo (de longitud H), sometida a una carga transversal F en su extremolibre, donde la zona en comportamiento inelstico tiene una pequea longituds.
En la zona en comportamiento inelstico la curvatura es variable y por tanto, elgiro de la seccin en el extremo de la zona inelstica, , se calcula integrando
la curvatura en toda la longitud s:
==s s
ddx0 0
Se puede modelar la zona en rgimen inelstico usando una longitudequivalente, menor que s, denominada longitud de rtula plstica (lp). Enesta longitud lp, se supone que tanto el momento flector como la curvatura semantienen constantes.
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Usando este modelo, para cada valor de curvatura podemos establecer el
momento flector asociado y tambin el giro de la rtula, como
==== pldxdx Giro
Por tanto, para aplicaciones sencillas, se puede representar el comportamientode la zona inelstica de un elemento, mediante el diagrama momento-giro(M-) de la rtula.
Comportamiento inelstico de una Estructura
Una manera sencilla de modelar una estructura cuyos elementos incursionen
en el rgimen inelstico, consiste en representar el comportamiento inelsticomediante rtulas ubicadas en aquellas zonas en las que se prev la ocurrenciade dao. La figura muestra el modelo de un prtico plano con la ubicacin dealgunas rtulas potenciales.
/ Pontificia Universidad Catlica del Per. / Ing. Civil. /Anlisis Estructural 2/ A. Muoz/2010/Pg. 6
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Ejemplo 01
La figura muestra una columna de concreto armado (E= 2.2 x 106 Ton/m2)empotrada en su base (seccin de 30x30cm). El comportamiento de la base
de la columna se representa mediante una rtula cuyo diagrama Momento vs.Giro se muestra.Obtenga la curva de capacidad correspondiente a un desplazamiento en laparte superior.
Modelo de la estructura:
Resistencia, Sobrerresistencia y ductilidad dela Rtula
My = 7.2 Ton-m
= 1.0
= 8.07/2.16 = 3.74
Curva de Capacidad
Para la columna: ( ) 246 14853.012
1102.2 mTon== EI
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Etapa elstica:
3EI
Fh
3
=
Fin de la etapa elstica, punto 1:
M = My= 7.2 Ton-m Fy= 2.06 Ton
000
1 5.66350
1.98
h:Derivacm1.98
3EI=
hF
3y
==== y
y
Etapa Inelstica:
El momento en la base es constante
Se produce el giro inelstico de la rtula
yrotin
inin h
=
=
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Fin de la Etapa Inelstica: Rotura de la rtula, Punto 2
000
)(2
3
(max))(
6.11/
05.407.298.1
07.23501091.5
===+===
===
hDeriva
cm
cmh
TOTAL
ROTURAmxTOTAL
inmxin
Curva de Capacidad
Resistencia= Fy= 2.06 Ton
= 1.0
= 4.05/1.98 = 2.05
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Ejemplo 02
La figura muestra una columna de concreto armado (E= 2.2 x 106 Ton/m
2)
empotrada en su base (seccin de 30x30cm). El comportamiento de la basede la columna se representa mediante una rtula cuyo diagrama Momento vs.Giro se muestra. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a undesplazamiento en la parte superior.
Modelo de la estructura:
Resistencia, Sobrerresistencia y ductilidad dela Rtula
My = 7.2 Ton-m
= 8.34/7.2 = 1.16
= 8.07/2.16 = 3.74
Curva de Capacidad
Para la columna: ( ) 246 14853.012
1102.2 mTon== EI
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Etapa elstica:
3EIFh
3
=
Fin de la etapa elstica, punto 1:
M = My= 7.2 Ton-m Fy= 2.06 Ton
000
13E
== 5.66350
1.98
h:Derivacm1.98
I
hF 3y===
yy
Etapa Inelstica:
Se produce el giro inelstico
El momento an puede crecer La fuerza F an puede incrementarse Como F incrementa, se incrementan tambin los momentos
flectores en toda la altura y por tanto la parte elstica delmodelo se sigue deformando.
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Incremento de Fuerza:
Fmx= 2.38 Ton
F = 2.38 2.06 = 0.32 Ton
Incremento de Desplazamiento:
1= Parte elstica debido a F2= Parte inelstica por giro
inelstico
000
211
32
1
512
364
07235010915
3080
.
.
..
.3EI
hF
(max)
3
=
=
=++==
===
=
=
hDeriva
cmxxx
h
cm
TOTAL
yTOTAL
in
Curva de Capacidad
Resistencia= F = 2.06 Ton = 2.38/2.06 = 1.16
= 4.36/1.98 = 2.2
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Ejemplo 03
La figura muestra la planta de una estructura de concreto (E= 2.2 x 106Ton/m
2) de un piso con dos tipos de columnas. El comportamiento de la base
de las columnas se representa mediante rtulas cuyos diagramas Momento vs.Giro se muestran. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a undesplazamiento en la parte superior.
Modelo de la estructura:
Resistencia, Sobrerresistencia y ductilidad de la Rtula
Columna C-1 Columna C-2
My = 7.2 Ton-m My = 4.98 Ton-m
= 1.0 = 1.0
= 8.07/2.16 = 3.74 = 10.85/1.953 = 5.56
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Curva de Capacidad
Para la columna C-1 y C-2: ( ) 246 14853.012
1102.2 mTon== EI
Etapa elstica:
12
hF
2
h
6
F =
Fin de la etapa elstica, punto 1:
Columnas igualmente esforzadas Columnas C-2 alcanzan primero My
17.074TonF12
Fh4.98 ===yM
Una columna
cmxx y 68501 .==
cmcol
col
68501
1
.FEI
Ton2.846F
3
=
=
CC 1212
h==
Etapa Inelstica:
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Luego de la formacin de rtulas en C-2 , la estructura quedacomo:
Entonces al aplicar un F adicional puede suceder:
(a) Que las columnas C-1 se rotulen mientras las columnas C-2
siguen deformndose sin llegar a la rotura o que
(b) Las columnas C-1 sigan elsticas y que las C-2 lleguen a sugiro de rotura.
Supondremos que (a) es verdadero
2.537TonF4
hF2.22
m-Ton4.98-7.2My 1C
==
== 22.2
32
12
1
108720
350
3050
3050
==
==
=
..
2-CdeinelsticoGiro
.F12EI
h
Ton1.269F
)(
3
Cin
col
col
cm
C-1 tiene una capacidad disponible a flexin de
Veamos la evolucin de la rtula:
4
hF
2
h
2
FM
= =
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S sucedi (a) y hemos encontrado otro punto de la Curva deCapacidad.
A partir del inicio de la rtula en C-1 la estructura queda como:
Y cada elemento ya no puede incrementar sus fuerzas internasy por tanto ya no puede haber mas incrementos de la fuerzaexterior; sin embargo el desplazamiento lateral an puede crecer
ya que las rtulas an tienen los remanentes de giro inelsticosiguientes:
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Columna C-1: Giro inelstico intactoin= (8.07-2.16)x10
-3=5.91x10
-3
Columna C-2 Giro inelstico parcial disponible
in remanente= (10.85-2.825)x10-3
=8.03x10-3
Demos ahora un desplazamiento adicional sin fuerza adicional
Este desplazamiento adicional producir giros inelsticosadicionales:
h
3=inel en todas las columnas
Como el mnimo disponible es de C-1:
cm069.2350
33 =
= 105.91 -3
Es decir para este 3 las columnas C-1 llegan a la rotura,
mientras que las C-2 an conservan un remanente inelstico.
Xrotura= 0.99+2.069=3.06cm
Finalmente la Curva de capacidad de la estructura sera:
Curva de Capacidad
Resistencia= F = 17.07Ton = 19.61/17.07 = 1.15
= 3.05/0.69 = 4.43
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La figura muestra la planta de una estructura de concreto (E= 2.2 x 106Ton/m
2) de un piso con dos tipos de columnas El comportamiento de la base
de las columnas se representa mediante rtulas cuyos diagramas Momento vs.Giro se muestran. Obtenga la curva de capacidad correspondiente a undesplazamiento en la parte superior.
Ejemplo 04
Curva de Capacidad
Para la columna C-1 y C-2: ( ) 246 14853.012
1102.2 mTon== EI
Se obtiene la siguiente curva de capacidad
Resistencia = F = 17.07 Ton = 21.48/17.07 = 1.26
= 3.22/0.69 = 4.67
/ P tifi i U i id d C tli d l P / I Ci il /A li i E t t l 2/ A M /2010/P 18