UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA DE SEGURIDAD INDUSTRIAL Y MINERA

TEMA: CURVAS DE NIVEL APLICADO A LA TOPOGRAFIA

LICENCIADA: LUISA URURE TEJADACURSO: ANALISIS MATEMATICO IICICLO: II

AUTORES:

BELTRAN CCAMA, LUCERO

MAMANI CALLA, JOEL OSCAR

MAMANI RAMOS, ALEXANDER RUMALDO PAREDES HUIOCANA, KAREN NELLY SILVA PEA, HUBER

AREQUIPA - PERU2014REMUNEN

El presente trabajo monogrfico se titula Curvas de Nivel Aplicados a la Topografa.Paralelo conoceremos conceptos que se complementan las curvas de nivel aplicados a la topografa, trazadas en el terreno, utilizando para ello distintos procedimientos y herramientas respectivamente. Pudindose encontrar diversas formas y maneras de realizar las mediciones ya sea por mtodos milenarios o modernos; con el objeto de realizar curvas de nivel, a fin de mejorar las condiciones fsicas y qumicas del terreno; para obtener de esta manera un mejor aprovechamiento y rendimiento del suelo. As podremos apuntar a una mejor produccin ya sea agrcola o forestal.

La topografa se muestra grficamente por curvas de nivel. Cada curva de nivel es una lnea continua, la cual forma una figura cerrada, ya sea dentro o ms all de los lmites del mapa o del dibujo (cuando estas lneas cruzan una caracterstica vertical hecha por el hombre, tal como una pared o gradas, esa curva de nivel se superpondr con esa caracterstica en la el plano). Todos los puntos de la curva de nivel estn a la misma elevacin y todas las curvas de nivel estn separadas en un mapa por el intervalo de la curva, el cual es la diferencia en elevacin entre las curvas.

Se requiere de dos o ms curvas de nivel para indicar una forma tridimensional y la direccin de una pendiente. La direccin de la pendiente es siempre perpendicular a las curvas de nivel y por lo tanto, cambia de acuerdo al cambio de direccin de las curvas. El agua fluye de manera perpendicular a las curvas de nivel en direccin de bajada.

INTRODUCCIN

Una curva de nivel es aquella lnea que en un mapa une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura. Las curvas de nivel suelen imprimirse en los mapas en color siena para el terreno y en azul para los glaciares y las profundidades marinas. La impresin del relieve suele acentuarse dando un sombreado que simule las sombras que producira el relieve con una iluminacin procedente del Norte o del Noroeste. En los mapas murales, las superficies comprendidas entre dos curvas de nivel convenidas se imprimen con determinadas tintas convencionales (tintas hipsomtricas). Por ejemplo: verde oscuro para las depresiones situadas por debajo del nivel del mar, verdes cada vez ms claros para las altitudes medias, y sienas cada vez ms intensos para las grandes altitudes, reservando el rojo o violeta para las mayores cumbres de la tierra.La topografa se refiere a la forma tridimensional de un terreno. Describe los cerros, valles, pendientes, y la elevacin de la tierra. El determinar la topografa es uno de los pasos iniciales en el diseo de terrenos ya que indica como puede ser usada la tierra. Cada curva de nivel es una lnea continua, la cual forma una figura cerrada, ya sea dentro o ms all de los lmites del mapa o del dibujo (cuando estas lneas cruzan una caracterstica vertical hecha por el hombre, tal como una pared o gradas, esa curva de nivel se superpondr con esa caracterstica en la el plano). Todos los puntos de la curva de nivel estn a la misma elevacin y todas las curvas de nivel estn separadas en un mapa por el intervalo de la curva, el cual es la diferencia en elevacin entre las curvas.

Generalmente, para la misma escala e intervalo de nivel, el ngulo de la inclinacin se incrementa a medida que la distancia entre las curvas de nivel disminuye. Las curvas de nivel igualmente espaciadas indican una inclinacin que se mantiene constante. Las curvas de nivel nunca se cruzan excepto cuando existe un precipicio saliente, un puente natural o alguna forma de tierra similar. Finalmente, en el paisaje natural, las curvas de nivel nunca se dividen o se parten (este no es siempre el caso donde el paisaje natural y el hecho por el hombre se encuentran).LISTA DE CONTENIDOSRESUMEN

INTRODUCCINCAPITULO I: PLANTEAMIENTO DEL ESTUDIO1.1. Descripcin del problemapg. 051.2. Formulacin de objetivos

1.2.1. Objetivo general..pg. 051.2.2. Objetivos especficos....pg. 062. CAPITULO II: MARCO TEORICO 2.1. Curvas de nivel aplicados en las matemticas.pg. 062.2. Curvas de nivel......pg. 092.3. Tipos de curva de nivel. ..pg. 102.4. Marcacin de una curva de nivel ..pg. 102.5. Trazado de una curva.......pg. 112.6. Pasos a seguir para la marcacin de una curva de nivel....pg. 122.7. Topografa....pg. 132.8. Levantamientos...pg. 132.9. Clases de levantamientos...............pg. 132.9.1. Topogrficos...pg. 132.9.2. Geodsicos.....pg. 142.10. Aplicaciones de las curvas de nivel...pg. 152.10.1. Clculo de pendientes..pg. 152.10.2. Trazado de lneas de pendiente constante.pg. 192.10.3. Clculo de la cota de un punto..pg. 232.10.4. Clculo de volumen de almacenamiento de agua en represas o embalses a partir de las curvas de nivel problemas propuesto..pg. 24CONCLUSIONES

SUGERENCIAS

BILBLIOGRAFIA

CAPITULO I: PLANTEAMIENTO DEL ESTUDIO1.1. Descripcin del problema

Una curva de nivel es aquella lnea que en un mapa une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura. Las curvas de nivel suelen imprimirse en los mapas en color siena para el terreno y en azul para los glaciares y las profundidades marinas.La topografa se refiere a la forma tridimensional de un terreno. Describe los cerros, valles, pendientes, y la elevacin de la tierra. El determinar la topografa es uno de los pasos iniciales en el diseo de terrenos ya que indica como puede ser usada la tierra. Cada curva de nivel es una lnea continua, la cual forma una figura cerrada, ya sea dentro o ms all de los lmites del mapa o del dibujo (cuando estas lneas cruzan una caracterstica vertical hecha por el hombre, tal como una pared o gradas, esa curva de nivel se superpondr con esa caracterstica en la el plano). Todos los puntos de la curva de nivel estn a la misma elevacin y todas las curvas de nivel estn separadas en un mapa por el intervalo de la curva, el cual es la diferencia en elevacin entre las curvas.1.2. Formulacin de objetivos

1.2.1. Objetivo general

Analizar y evaluar las curvas de nivel aplicados en la topografa.

1.2.2. Objetivos especficos

Exponer los conceptos bsicos para entender las curvas de nivel aplicados en las matemticas y en la topografa.

Realizar ejemplos sobre las aplicaciones de las curvas de nivel.

CAPITULO II: MARCO TEORICO2.1. Curvas de nivel aplicadas en las matemticas

Cuando tenemos una funcin z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la grfica de dicha funcin corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y), Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.

Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la interseccin de dicha superficie con el plano z = k, donde k Recorrido (f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k): f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha interseccin en el plano x,y, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.

Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaa, el estudio de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera anloga cuando dicha montaa es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaa indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.

Dado un campo escalar de dos variables por la expresin z = F(x, y), se llama curva de nivel k al conjunto de puntos x, y del dominio de F para los cuales F(x, y) = k.Ejemplo 1. Consideremos la funcin z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde nicamente al punto (0, 0))

Sea g(x, y) = vxy la media geomtrica de los nmeros x e y. La curva de nivel 4 est formada por todos los pares de ordenados (x, y), la media geomtrica de los cuales es 4.

Por ejemplo, (4, 4), (2, 8) y (8, 2) estn todos sobre esta curva de nivel. A continuacin mostramos la grfica de v xy y sus curvas de nivel en el plano xy.

Consideramos ahora la funcin f(x, y) = x2 + y2. La curva de nivel 4 est formada por

Todos los pares (x, y) que cumplen: f (x, y) = x2 + y2 = 4.

Puede que algunos de vosotros hayamos visto antes que la ecuacin describe la circunferencia de radio 2(2 =v4) centrada en el origen de coordenadas.

A continuacin mostramos la grfica de x2 + y2, as como diferentes curvas de nivel de la funcin. As pues, podemos resumir: Dada una funcin f con dominio en R2 y un nmero cualquiera c, la curva de nivel c de la funcin f est formada por el conjunto de puntos que satisfacen f(x1, x2) = c.2.2. CURVAS DE NIVEL

Se denominan curvas de nivel a las lneas que marcadas sobre el terreno desarrollan una trayectoria que es horizontal. Por lo tanto podemos definir que una lnea de nivel representa la interseccin de una superficie de nivel con el terreno. En un plano las curvas de nivel se dibujan para representar intervalos de altura que son equidistantes sobre un plano de referencia.

Esta diferencia de altura entre curvas recibe la denominacin de equidistancia

De la definicin de las curvas podemos citar las siguientes caractersticas:

Las curvas de nivel no se cruzan entre si.

Deben ser lneas cerradas, aunque esto no suceda dentro de las lneas del dibujo.

Cuando se acercan entre si indican un declive ms pronunciado y viceversa.

La direccin de mxima pendiente del terreno queda en el ngulo recto con la curva de nivel.2. 3. TIPOS DE CURVA DE NIVEL.1. Curva clinogrfica: Diagrama de curvas que representa el valor medio de las pendientes en los diferentes puntos de un terreno en funcin de las alturas correspondientes.2. Curva de configuracin: Cada una de las lneas utilizadas para dar una idea aproximada de las formas del relieve sin indicacin numrica de altitud ya que no tienen el soporte de las medidas precisas.3. Curva de depresin: Curva de nivel que mediante lneas discontinuas o pequeas normales es utilizada para sealar las reas de depresin topogrfica.4. Curva de nivel: Lnea que, en un mapa o plano, une todos los puntos de igual distancia vertical, altitud o cota. Sinnimo: isohipsa.5. Curva de pendiente general: Diagrama de curvas que representa la inclinacin de un terreno a partir de las distancias entre las curvas de nivel.6. Curva hipsomtrica: Diagrama de curvas utilizado para indicar la proporcin de superficie con relacin a la altitud. Sinnimo complementario: curva tipogrfica. Nota: El eje vertical representa las altitudes y el eje horizontal las superficies o sus porcentajes de superficie.7. Curva intercalada: Curva de nivel que se aade entre dos curvas de niveles normales cuando la separacin entre stas es muy grande para una representacin cartogrfica clara. Nota: Se suele representar con una lnea ms fina o discontinua.8. Curva maestra: Curva de nivel en la que las cotas de la misma son mltiples de la equidistancia.

2.4. MARCACIN DE UNA CURVA DE NIVEL El relieve de la superficie terrestre se suele representar mtricamente sobre un plano a travs de las curvas de nivel, unas isolneas que unen puntos situados a la misma altitud y que se trazan generalmente con un intervalo determinado y equidistante para todo el terreno a cartografiar. Una de cada cuatro o cinco curvas se dibuja con un mayor grosor y se rotula su altitud correspondiente; son las llamadas curvas maestras y, entre ellas, se describen las curvas de nivel intermedias. Actualmente, las curvas se trazan a partir de las fotografas areas, consiguiendo una precisin mucho mayor que cuando tenan que delinearse en el campo con la ayuda de una red de cotas. A pesar de que las curvas de nivel no proporcionan una imagen visual del relieve tan clara como la tcnica del sombreado, su anlisis facilita tal cantidad de informacin que hace que sea el mtodo ms til de representacin del relieve en los mapas topogrficos.

Curvas de nivel, lneas que, en un mapa, unen puntos de la misma altitud, por encima o por debajo de una superficie de referencia, que generalmente coincide con la lnea del nivel del mar, y tiene el fin de mostrar el relieve de un terreno. Las curvas de nivel son uno de los variados mtodos que se utilizan para reflejar la forma tridimensional de la superficie terrestre en un mapa bidimensional. En los modernos mapas topogrficos es muy frecuente su utilizacin, ya que proporcionan informacin cuantitativa sobre el relieve.2.5. TRAZADO DE UNA CURVAEl trazado de una curva de nivel en el terreno, se puede realizar con un nivel ptico, un teodolito, con una manguera, etc. Para emplear el nivel necesitamos una mira parlante, sobre la cual realizaremos la lectura. El nivel se afirmar sobre el terreno, sobre un trpode el cual tiene en la parte superior un tipo de rosca para que el nivel sea ajustado. El nivel tiene dos burbujas, una en la parte superior y otra en el costado, las cuales sirven para que el nivel est nivelado con respecto al suelo.

Tambin tiene una lente a travs de la cual realizaremos la lectura de mira. Tiene una perilla al costado que aclara la imagen que tendremos de la mira parlante. Una perilla permite acercar o alejar la imagen que tengamos. En la parte inferior del nivel, hay una especie de rosca para girar el nivel hacia una direccin determinada, la cul nos permite medir ngulos, para encuadrar una plantacin. El operador tendr que tener en cuenta que los nmeros de la mira parlante estn al revs, ya que al mirar por la lente del nivel se invertirn los mismos. Los niveles pticos sirven para distintos fines como por ejemplo: La marcacin para una plantacin determinada, para encuadrarla y determinar as sus ngulos etc. 2.6. PASOS A SEGUIR PARA LA MARCACIN DE UNA CURVA DE NIVEL Para hacer la marcacin de una curva de nivel, se procede:

Se debe determinar la zona de desage.

Se elige la zona de mayor pendiente, debido a que este lugar es el de mayor deterioro, por la accin directa de las lluvias y se saca la pendiente promedio, para ello se recurre a una tabla de intervalos verticales y horizontales. El intervalo vertical es la diferencia de nivel que existe entre una curva y otra. El intervalo horizontal es la distancia que existe entre una curva y otra.

Se realiza la tabla de intervalos verticales y horizontales.

Se hace la marcacin de arranque, que es el lugar donde nace la curva de nivel, cuya marcacin se realiza por el lado opuesto de la zona de desage.

Se realiza la primer lectura para saber en que lugar estamos, operando a este valor se le suma 3cm la que comnmente se denomina pendiente del 3x mil y se desplaza 10m cortando la pendiente y as sucesivamente.

Suavizacin de las curvas y se hace para que la curva sea mas o menos proporcional. La curva de nivel evita que los suelos se deterioren y de esta forma se pueden aprovechar los terrenos con mucha pendiente.

2.7. TOPOGRAFIAEstudia el conjunto de procedimientos para determinar la posicin de u punto sobre la superficie terrestre, por medio de medidas segn los tres elementos del espacio: dos distancias y una elevacin o una distancia, una elevacin y una direccin. Para distancias y elevaciones se emplean unidades de longitud (en sistema mtrico decimal), y para direcciones se emplean unidades de arco (grados sexagesimales).2.8. LEVANTAMIENTOSEl levantamiento es un conjunto de operaciones que determinan las posiciones de puntos, la mayora calculan superficies y volmenes y la representacin de medidas tomadas en el campo mediante perfiles y planos entonces son topogrficos.2.9. CLASES DE LEVANTAMIENTOS2.9.1. TopogrficosPor abarcar superficies reducidas se realizan despreciando la curvatura de la tierra sin error apreciable.Tipos de levantamientos topogrficos: De terrenos en general - Marcan linderos o los localizan, miden y dividen superficies, ubican terrenos en planos generales ligando con levantamientos anteriores, o proyectos obras y construcciones.

De vas de comunicacin -Estudia y construye caminos, ferrocarriles, canales, lneas de transmisin, etc.

De minas - Fija y controla la posicin de trabajos subterrneos y los relaciona con otros superficiales.

Levantamientos catastrales -Se hacen en ciudades, zonas urbanas y municipios, para fijare linderos o estudiar las obras urbanas.

Levantamientos areos -Se hacen por fotografa, generalmente desde aviones y se usan como auxiliares muy valiosos de todas las otras clases de levantamientos.

La teora de la topografa se basa esencialmente en la Geometra Plana y Del Espacio, Trigonometra y Matemticas en general.

Hay que tomar en cuenta las cualidades personales como la iniciativa, habilidad para manejar los aparatos, habilidad para tratar a las personas, confianza en s mismo y buen criterio general.

Precisin.- Hay imperfecciones en los aparatos y en el manejo de los mismos, por tanto ninguna medida es exacta en topografa y es por eso que la naturaleza y magnitud de los errores deben ser comprendidas para obtener buenos resultados. Las equivocaciones son producidas por falta de cuidado, distraccin o falta de conocimiento. En la precisin de las medidas deben hacerse tan aproximadas como sea necesario.

Comprobaciones.- Siempre se debe comprobar las medidas y los clculos ejecutados, estos descubren errores y equivocaciones y determinan el grado de precisin obtenida.

Notas de Campo.- Siempre deben tomarse en libretas especiales de registro, y con toda claridad para no tener que pasarlas posteriormente, es decir, se toman en limpio; deben incluirse la mayor cantidad de datos complementarios posibles para evitar malas interpretaciones ya que es muy comn que los dibujos los hagan diferentes personas encargadas del trabajo de campo.2.9.2. GeodsicosSon levantamientos en grandes extensiones y se considera la curvatura terrestre. Los levantamientos topogrficos son los ms comunes y los que ms interesan, los geodsicos son de motivo especial al Cual se dedica la Geodesia.2.10. APLICACIONES DE LAS CURVAS DE NIVEL

Una vez elaborado el mapa topogrfico con la representacin grfica del relieve del terreno por medio de las curvas de nivel, podemos utilizar el mismo de diferentes maneras en la planificacin y ejecucin de obras civiles, usos agrcolas y pecuarios, ordenamiento territorial, planificacin, etc.

Un mapa topogrfico bien elaborado constituye una base de informacin indispensable en la planificacin, ejecucin y control de todo proyecto.

De un mapa topogrfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevacin de cualquier punto sobre el plano, la pendiente entre dos puntos, estimar los volmenes de corte y relleno de material requerido en la ejecucin de una obra, proyectar trazado de vas, etc.

En el presente captulo estudiaremos algunas de las aplicaciones ms importantes de las curvas de nivel.2.10.1. Clculo de Pendientes La pendiente de un terreno entre dos puntos ubicados en dos curvas de nivel consecutivas es igual a la relacin entre el intervalo de las curvas de nivel o equidistancia y la distancia longitudinal que los separa.P = pendiente del terreno en %.

e = equidistancia entre curvas de nivel.

D = distancia horizontal entre los puntos considerado. Representa un plano de curvas de nivel con equidistancia e = 5 m.Como los mapas topogrficos representan la proyeccin del terreno sobre el plano horizontal, todas las distancias que midamos sobre el son distancias en proyeccin horizontal.

Para calcular la pendiente del terreno entre los puntos A y B de la figura, medimos directamente con el escalmetro, a la escala indicada, la distancia AB (20,0 m) y aplicamos la ecuacin:

En vez de calcular la pendiente entre A y B, calculamos la pendiente entre A y B, vemos que para salvar el mismo desnivel de 5 m la distancia horizontal es de 40 m por lo que la pendiente entre A y B ser,

Como la pendiente entre dos puntos es inversamente proporcional a la distancia horizontal, la recta de mxima pendiente entre dos curvas consecutivas se obtendr para la menor distancia entre las curvas, siendo determinada por una lnea tangente a las dos curvas consecutivas, como se muestra en la figura por la lnea AC.

Ejemplo 9.1

Calcular las pendientes P1, P2, P3 y P4 indicadas en la figura E9-1 y la longitud total del tramo AB

Solucin:

Para calcular las pendientes P1 a P4 del alineamiento AB, se requiere medir con el escalmetro y a la escala indicada, la distancia de cada uno de los tramos del alineamiento. Luego, conociendo la equidistancia entre curvas y aplicando la ecuacin y calculamos la tabla TE 9.1.Tabla E9.1.

Tramo Longitud P %

A-118,0027,78

1-224,0020,83

2-333,0015,15

3-H8,0062,50

83.00

Longitud total del tramo, L = 83,00 m

Ejemplo 9.2.

A partir del punto A, ubicado en la cota 105 de la figura E9.2.a, trace la lnea mxima pendiente hasta la cota 125.

Calcule adems, la longitud total de la lnea de mxima pendiente y la pendiente de cada uno de los tramos.Solucin:Como por definicin, la recta de mxima pendiente entre dos curvas consecutivas es el segmento ms corto entre las mismas, trazamos con el comps, a partir del punto A, un arco de crculo tangente a la curva 110, localizando el punto de tangencia 1 mostrado en la figura E9.2.b. El segmento A1 representa la recta de mxima pendiente entre el punto A, ubicado en la curva 105, y la curva 110.

Luego, aplicando sucesivamente el mismo procedimiento, determinaramos los puntos restantes, definiendo la lnea de mxima pendiente.

Finalmente, midiendo la distancia de cada uno de los tramos determinados y conociendo la equidistancia entre curvas, calculamos la pendiente para cada tramo mediante la aplicacin de la ecuacin 9.1. Este clculo se resume en la tabla E9.2.

Tabla E9.2.

TramoLongitudP %

A-16,0083,33

1-27,0071,43

2-36,5076,92

3-45,00100,00

24,50Longitud total de la lnea de mxima pendiente L = 24,50 m. 2.10.2. Trazado de Lneas de Pendiente ConstanteUn procedimiento muy comn en el estudio de rutas para proyectos viales, ferroviarios, de riego, etc., es el del trazado de lneas de pendiente constante.

En la escogencia de la ruta de una carretera en terreno ondulado o de montaa, una de las mayores limitantes es el de mantenerse dentro de los lmites de pendiente y longitudes crticas establecidos por el comportamiento de vehculos pesados, por lo que se hace necesario establecer un procedimiento para trazar, a partir de un mapa de curvas de nivel, una lnea de pendiente constante que no sobrepase la pendiente mxima permitida segn el tipo de carretera.

El procedimiento para el trazado de la lnea de pendiente constante se explicar con la ayuda de la figura 9.2.

Supongamos que en la figura 9.2 deseamos trazar una lnea que una los puntos A y B, con una pendiente igual o menor al 5%

Como primer paso calculamos la distancia horizontal que hay que recorrer para vencer el desnivel entre curva y curva (equidistancia) sin sobrepasar la pendiente establecida del 5%.

Despejando D de la ecuacin 9.1. Tenemos:

Abrimos el comps hasta obtener un radio igual a 4 cm y haciendo centro en el punto A trazamos un arco de crculo hasta cortar la siguiente curva determinando los puntos1 y 1.

Haciendo centro en los puntos obtenidos y con la misma abertura del comps, avanzamos hacia la siguiente curva trazando arcos de crculo determinando los puntos 2 y 2.

Como por lo general, para pasar de una curva a la siguiente se obtienen dos alternativas, para pasar a un nuevo nivel (segunda curva) obtendremos cuatro alternativas y para pasar al siguiente nivel (tercera curva) obtendremos ocho alternativas y as sucesivamente, tericamente el nmero de soluciones estara en progresin geomtrica de acuerdo al nmero de curvas de nivel entre los puntos extremos.Siendo la ruta ptima la alternativa de menor longitud, debemos ir descartando aquellas alternativas que nos alejen del punto de llegada. Tambin se debe evitar aquellas soluciones que produzcan excesivos cambios de direccin (alineamientos en zig zag) ngulos muy agudos como se muestra en la ruta B de la figura 9.2

Ntese que en la figura 9.2, al pasar del nivel 475 al nivel 480 en la ruta A, el segmento resultante corta dos veces la curva 480 generando los puntos i y 4.

El punto intermedio i se ubica a 38 m del punto 3 por lo que la pendiente del tramo 3-i ser P3i = (5/38) x 100 = 13,16%, mayor que la pendiente permitida, mientras que la pendiente del tramo i-4, por cortar la misma curva de nivel ser 0%.

Un procedimiento recomendado en estos casos, para cumplir con la pendiente permitida es dibujar una curva de nivel intermedia, en nuestro ejemplo la 477,50 y trazar los arcos 3-m y m-4 con radio igual a 50 m (1 cm a la escala del plano), ya que el desnivel entre 3 y m es 2,5 m e igual al desnivel entre m y 4.

En la ruta B, para pasar de 4 a B pasamos por el punto intermedio i ubicado a 105 m de 4 por lo que la pendiente del tramo 4-i es menor a la mxima permitida. El tramo i-B ser un tramo a nivel (P = 0%).

Diversos factores tales como geolgicos, geomorfolgicos, costo de la tierra, ambientales, etc., influyen en la seleccin de la ruta definitiva. En nuestro ejemplo, solamente consideramos la longitud de la va por lo que la ruta A resulta, por su menor longitud, la mejor opcin de trazado.

Otras soluciones diferentes pudieran obtenerse partiendo del punto B.

Ntese que una lnea trazada de esta manera es de pendiente constante y va a ras del terreno por lo que no genera cortes ni rellenos.2.10.3. Clculo de la Cota de un Punto

Para calcular la cota del punto P de la figura 9.4.a. se proceder de la siguiente:Trazamos por P un arco de crculo tangente a al curva superior (cota 110) determinando el punto A.

Unimos A con P y prolongamos la alineacin hasta cortar la curva inferior (cota 100) determinando el punto B. Medimos las distancias horizontales B-P y B-A representados en la figura 9.4.b. por xp y D respectivamente. Conociendo la equidistancia e entre curvas de nivel, por relacin de tringulos (figura 9.4.b) calculamos yp

2.10.4. Clculo del Volumen de Almacenamiento de Agua en Represas o Embalses a partir de las Curvas de Nivel

En el presente captulo estudiaremos un mtodo aproximado para el clculo del volumen de almacenamiento de represas o embalses a partir de las curvas de nivel.

Supongamos que tenemos un plano de curvas de nivel como el que se muestra en la figura 9.5.a.

Como se puede observar, cada curva de nivel abarca un rea determinada. La curva 10 encierra un rea A1, la curva 20 un rea A2 y as sucesivamente.

Si representamos la seccin transversal A-A obtenemos la figura 9.5.b.

Aplicando el mtodo de las reas medias para el clculo del volumen del embalse tenemos:

Sacando factor comn y agrupando trminos tenemos:

EN DONDE:

V = volumen del embalse en m3

Ai = rea encerrada por la curva de nivel i e = equidistancia entre curvas de nivel en m

Debido a la extensin y forma irregular que generalmente presentan las curvas de nivel, el clculo del rea de las mismas se puede realizar con planmetro.

Ejemplo 9.7.

El plano topogrfico de la figura E9.7 representa la topografa de un sitio donde se desea proyectar una represa para la construccin de un embalse de agua.

Por indicaciones de estudios previos se ha determinado el punto A para la ubicacin de la represa. Si el nivel del agua embalsada no debe superar la cota 120 calcule:

Mximo volumen de almacenamiento de la representa en m3.

Construya un grfico volumen - elevacin para determinar el volumen de almacenamiento de la represa a diferentes elevaciones del nivel de agua.

Figura E.9.7Solucin:Mediante el uso del planmetro calculamos el rea encerrada por cada una de las curvas de nivel. Si las curvas de nivel han sido digitalizadas mediante algn programa de edicin grfica como el AUTOCAD, en forma de polilneas, es posible conocer el rea de cada una de las curvas mediante la ejecucin de los comandos respectivos.Algunos programas de aplicacin especializados en el rea, que trabajan en base a modelos digitales, facilitan aun ms el trabajo calculando directamente el volumen para el nivel deseado con la ejecucin de un simple comando.

En la figura E.9.7 se detalla el rea demarcada por la curva 100 Para facilitar los clculos, tabulamos los datos en la forma como se indica en la tabla TE.9.7.Tabla E.9.7

No.Nivelrea m2VolumenVol. Acumulado.

11002.425

12.538,75

2102,57.60612.538,75

23.327,50

310511.05635.866,25

32.335,00

4107,514.81268.201,25

42.123,75

511018.887110.325,00

53.577,50

6112,523.975163.902,50

66.343,75

711529.100230.246,25

80.335,00

8117,535.168310.581,25

96.366,25

912041.925406.947,50

La capacidad total del embalse se puede calcular aplicando la ecuacin 9.3

V= 406 974, 50 m3 Igual resultado se debe obtener calculando los volmenes parciales entre los diferentes niveles por el mtodo de las reas medias (columna 4). La capacidad del embalse vendr dada por la suma de los volmenes parciales.

El volumen almacenado para cada nivel se calcula acumulando los volmenes parciales (columna 5).

Con los valores de las columnas 2 y 5 elaboramos el grfico de volumen de almacenamiento nivel de agua, figura E.9.7.1 CONCLUSIONES1. Se analiz y se evalu los temas que enmarcan las curvas de nivel aplicadas en las matemticas y topografa.

2. Se realiz ejercicios prcticos demostrando la aplicacin de las curvas de nivel aplicados en las matemticas y topografa.

3. El presente trabajo nos ha ayudado a conocer algunas formas de determinar curvas de nivel sobre un terreno. Cualquiera sea su aspecto fsico, tambin aprendimos una nueva forma de conservar a nuestros suelos Misioneros ya que estn en constante deterioro.4. Una buena prctica para reducir los impactos de un sitio en construccin es la de apegarse en lo posible a la topografa y tendencia de drenaje existentes, con tal de que los sistemas ecolgicos e hidrolgicos existentes estn funcionando adecuadamente. RECOMENDACIONES

1. Se recomienda realizar una prctica con todos los equipos, materiales e instrumentos y as poder entender ms a fondo sobre las aplicaciones de curvas de nivel aplicado a la topografa.2. Realizar con los levantamientos topogrficos los mapas y aplicar todo lo estudiado en este trabajo de investigacin.BIBLIOGRAFIA1. Estruch Serra, Miquel: Topografa para minera subterrnea / Miquel Estruch Serra.-- Barcelona : Edicions UPC, 2002.-- 229 p. 2. Domnguez Garca-Tejero, Francisco: Topografa general y aplicada / Francisco Domnguez Garcia-Tejero.-- 12 ed., corregida y actualizada.-- Madrid : Mundi-prensa, 1993.-- XIII, 823 p. : il. , fig. ; 24 cm 3. Fernndez Fernndez, Luis: Topografa minera/Lluis Fernndez Fernndez.-2 ed..-- Leon : Universidad de Leon. Secretariado de Publicaciones, 1990--432 p. ; 24 cm 4. Martn Asn, Fernando: Geodesia y cartografa matemtica / Fernando Martn Asn.-- 3 ed.-- Madrid : l'autor, 1990.-- 422 p. : il. , taules, grf. ; 24 cm 5. Nez Garca del Pozo, Alfonso: G.P.S. : la nueva era de la topografa Y sus aplicaciones ; Alfonso Nez-Garca del Pozo, Jos Luis Valbuena Durn, Jess Velasco Gmez.-- Madrid : Ediciones de las ciencias sociales, 1992.-- 236 p. : il. , grf. ; 24 cm 6. Taton, Robert: Topografa subterrnea y sus aplicaciones a curvas de nivel / Robert Taton.-- Madrid : Paraninfo, 1972.-- 186 p. ; 21 cm

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