CURVAS

Luis Alexandher

Septiembre 2017

1 Introduccion

En matematicas la curva (o lınea curva) es una lınea continua, que varıa dedireccion paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas simples son laelipse o la circunferencia o el ovalo, el cicloide; ejemplos de curvas abiertas, laparabola, la hiperbola y la catenaria y una infinidad de curvas estudiadas en lageometrıa analıtica plana. La recta asume el caso lımite de una circunferencia deradio de curvatura infinito y de curvatura 0. Todas las curvas tienen dimensiontopologica igual a 1. La nocion curva, conjuntamente con la de superficie, es unode los objetos primordiales de la geometrıa diferencial, ciertamente con profusaaplicacion de las herramientas del calculo diferencial. En el siguiente trabajose muestran algunos ejemplos de curvas que nos podemos encontrar en nuestravida cotidiana.

Figure 1: Algunos tipos de curvas

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2 Curvas en la vida cotidiana

2.1 La parabola

Definicion: Curva abierta formada por dos lıneas o ramas simetricas respectode un eje y en que todos sus puntos estan a la misma distancia del foco (unpunto) y de la directriz (recta perpendicular al eje).

La ecuacion de la parabola por lo general es una ecuacion de la forma ax2 +bx+ c = y

Figure 2: Representacion geometrica de una parabola

Figure 3: Fuente que al lanzar agua forma parabolas.

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2.2 La hiperbola

Definicion: Una hiperbola es el lugar geometrico de los puntos de un planotales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es igual a la distancia entre los vertices, la cual es una constantepositiva.

Si la hiperbola tiene centro en el origen (el caso mas general) entonces su

ecuacion viene dada porx2

a2− y2

b2= 1

Figure 4: Representacion geometrica de la hiperbola

Figure 5: El reloj de arena forma una hiperbola

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2.3 Circunferencia

Definicion: Una circunferencia es el lugar geometrico de los puntos de un planoque equidistan de otro punto fijo llamado centro.

La ecuacion de la circunferencia generalmente viene dada por (x−h)2 +(y−k)2 = r2

Figure 6: Representacion geometrica de la circunferencia

Figure 7: Claramente las llantas de las bicicletas son circunferencias

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2.4 La elipse

Definicion: La elipse es el lugar geometrico de todos los puntos de un plano,tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es

constante. La formula generalmente viene dada porx2

a2+y2

b2= 1

Figure 8: Representacion geometrica de la elipse

Figure 9: Mesa de billar elıptica

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2.5 Trifolium

Definicion: Es miembro de una familia de curvas de ecuacion r(θ) = cos(Kθ).Esta familia, tambien conocida como rhodoneas (del griego rhodon, rosa), fueestudiada por el matematico Luigi Guido Grandi, en torno al 1725, en su libroFlores Geometrici.

Figure 10: Representacion geometrica del trifolium

Figure 11: Existen muchas flores con forma de trifolium.

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2.6 Cuartica piriforme

Historia: Fue estudiada por Gohierre de Longchamps en 1886. A quien se ledebe el nombre de Cuartica Piriforme de Longchamps. Tambien es conocidacomo ”gota de agua” por el parecido que tiene con ella. Su ecuacion viene dadapor: b2y2 = x3(a− b)

Figure 12: Representacion geometrica de la cuartica piriforme

Figure 13: Generalmente se piensa que las gotas de agua tienen forma de Cuar-tica piriforme.

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2.7 Cardioide

Definicion: Se llama cardioide a la curva cuya ecuacion polar es: = a(1+cosθ),por su semejanza con el dibujo de un corazon. La cardioide es una curva ruletade tipo epicicloide, con k = 1. Tambien es un caracol de Pascal, cuando 2a = h.

Figure 14: Representacion geometrica de la cardioide

Figure 15: Paleta de caramelo macizo en forma de cardioide

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2.8 Ovoide

Definicion: El ovoide es una curva cerrada simetrica con respecto a su ejeconcava hacia el, y conformada por cuatro arcos de circunferencia: uno deellos es una semicircunferencia y otros dos son iguales y simetricos. Su nombrederiva de su parecido con la seccion longitudinal de un huevo. Posee dos ejesortogonales, denominados mayor y menor. Tiene cuatro centros de curvatura.A diferencia del ovalo, solo tiene un eje de simetrıa. Su ecuacion cartesiana es(x2 + y2)2 = ax3

Figure 16: Representacion geometrica del ovoide.

Figure 17: Los huevos tienen forma de ovoide.

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2.9 Helice

Definicion:Una helice, en geometrıa, es el nombre que recibe toda lınea curvacuyas tangentes forman un angulo constante (α), siguiendo una direccion fija en

el espacio. Si su ecuacion vectorial ~R = ~R(s), siendo s el arco, quiere decir que

existe un vector unitario ~a fijo tal que para todo s se verifica ~T (s) · ~a = cosα(constante).

Figure 18: Representacion geometrica de la helice.

Figure 19: Algunas plantas forman helices.

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2.10 Anguinea o serpentina de Newton

Historia: Esta curva constituye una de las setenta y dos especies de cubicasenumeradas por Newton en su celebre trabajo publicado en 1701, ”Enumeratiolinearum tertii ordinis”. Dicha curva tiene por ecuacion x2 + aby − a2x = 0

Figure 20: Representacion geometrica de la serpentina de Newton.

Figure 21: Pluma con curvatura en forma de serpentina de Newton..

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2.11 Espiral logarıtmica

Historia: Las primeras indicaciones de esta curva se deben a Descartes, encartas escritas a Mersenne. Aquel gran filosofo y matematico habla de la curvasecante a todas las rectas del plano que pasan por un punto, formando con ellasun angulo constante. Las propiedades mas importantes de esta curva fuerondescubiertas por Bernoulli. La ecuacion de la espiral de la figura 22 es ρ = α·ekw

Figure 22: Representacion geometrica de la espiral logarıtmica.

Figure 23: Los caracoles en su caparazon forman una espiral logarıtmica.

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2.12 Trisectriz de Maclaurin

Aplicacion: Es una de las curvas que puede emplearse para resolver el famosoproblema de la ”triseccion del angulo” su formula viene dada por: x(x2 + y2) =a(y2 − 3x3)

Figure 24: Representacion geometrica de la Trisectriz de Maclaurin.

Figure 25: El simbolo del cristianismo se asemeja a una Trisectriz de Macaurin

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