Curvas en el plano y ecuaciones paramétricas

Curvas en el plano y ecuaciones paramétricas

Luis Ángel Zaldívar CruzDepartamento de Ciencias BásicasInstituto Tecnológico de Tehuacán

5 de enero de 2015

1. IntroducciónHasta ahora hemos visto que las funciones reales de variable real del tipo

y = f(x) especifican puntos en el plano R2. Estos conjuntos de puntos, lasgráficas de estas funciones, tienen la propiedad de que cualquier recta verticalque las intersecte lo hará a lo más en un punto. En este tema estudiaremos cómopueden especificarse analíticamente, mediante funciones, curvas más generalesen el plano R2.

Existen curvas en el plano que no pueden especificarse como la gráfica de unafunción y = f(x) porque simplemente no pasan la prueba de la recta vertical. Eneste caso, se podrían describir algunas de estas curvas mediante sus ecuacionesparamétricas; como un ejemplo de esta clase de curvas, se tiene la cicloide dondelas variables x y y son funciones de una tercera variable t denominada parámetro,esto es, x = f(t) y y = g(t).

Otras curvas, como la cardioide, se describen mejor cuando se utiliza unnuevo sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.

2. Ecuaciones paramétricasSuponga que una partícula se mueve a lo largo de la curva C que se muestra en

la Figura 1. Esta curva no puede describirse mediante una ecuación de la formay = f(x) porque no pasa la prueba de la recta vertical. Sin embargo, comolas coordenadas x y y que denotan la posición de la partícula sobre la curva Cson funciones del tiempo t, éstas se pueden describir mediante las ecuacionesx = f(t) y y = g(t). Estas ecuaciones denominadas ecuaciones paramétricasde la curva C, proporcionan una forma apropiada para describir esta clase decurvas.

Definición 1. Si x y y son funciones de una tercera variable t, denominadaparámetro, tal que

x = f(t), y = g(t),

decimos que estas ecuaciones forman un conjunto de ecuaciones paramétricas.

1

Figura 1: Trayectoria de una partícula.

Cada valor del parámetro t determina un punto (x, y) en R2. Cuando t cam-bia, el punto (x, y) = (f(t), g(t)) se mueve y traza una curva C, que se denominacurva paramétrica. El parámetro t no siempre representa el tiempo, por lo quese podría utilizar una letra distinta para representar el parámetro. Sin embargo,hay muchas aplicaciones de las curvas paramétricas, donde t representa el tiem-po, por lo que se puede interpretar a (x, y) como la posición de una partículaen el tiempo t. Por ejemplo, en la física, cuando se estudia el movimiento deuna partícula en el plano el parámetro t representa el tiempo por lo que, en estecaso, la curva paramétrica C representa la trayectoria del movimiento.

Ejemplo 1. Dibuje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramé-tricas

x = t2 − t, y = t+ 2.

Solución. Cada valor de t determina un punto sobre la curva, como se mues-tra en el Cuadro 1. Por ejemplo, si t = 0, entonces x = 0 y y = 2 obteniéndoseel punto (0, 2).

t x y

−3 12 −1−2 6 0−1 2 10 0 21 0 32 2 43 6 54 12 6

Cuadro 1: Algunos puntos determinados por t.

2

Figura 2: Gráfica de la curva paramétrica x = t2 − t y y = t+ 2.

En la Figura 2 se grafican los puntos (x, y) determinados por los valoresasignados al parámetro t de acuerdo al Cuadro 1 y la curva que une dichospuntos.

Si el movimiento de una partícula está dada por las ecuaciones paramétricasx = t2− t y y = t+2, la partícula se mueve a lo largo de la curva en la direcciónindicada por el aumento del parámetro t; en este caso la curva paramétricarepresenta la trayectoria de esta partícula.

Como se observa en la Figura 2, la curva paramétrica es una parábola, loque se puede confirmar analíticamente eliminando el parámetro t. Esto se logradespejando t de la ecuación y = t + 2 , obteniéndose t = y − 2 y entoncessustituyendo en la ecuación x = t2 − t:

x = t2 − t = (y − 2)2 − (y − 2) = y2 − 5y + 6.

Por tanto, la curva determinada por las ecuaciones paramétricas es la parábolax = y2 − 5y + 6. 2

En el Ejemplo 1 el parámetro t puede tomar cualquier número real, pero enalgunas situaciones se puede restringir el parámetro t para que tome valores enun intervalo acotado. Por ejemplo, la curva paramétrica

x = t2 − t, y = t+ 2, 0 ≤ t ≤ 3

que se muestra en la Figura 3 es la parte de la parábola del Ejemplo 1 cuyopunto inicial es (0, 2) y su punto terminal es el punto con coordenadas (12, 6).

Generalizando, la curva con ecuaciones paramétricas

x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b

tiene un punto inicial (f(a), g(a)) y un punto terminal (f(b), g(b)).

3

Figura 3: Gráfica de la curva paramétrica x = t2 − t, y = t+ 2, 0 ≤ t ≤ 3.


x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π.

Solución. Graficando los puntos correspondientes a algunos valores de t enel intervalo 0 ≤ t ≤ 2π, se observará que la gráfica corresponde a una circun-ferencia, lo que se puede confirmar analíticamente eliminando el parámetro tcomo sigue:

x2 + y2 = cos2 t+ sen2 t = 1.

Así, el punto con coordenadas (x, y) está en la circunferencia x2+y2 = 1. En esteejemplo, el parámetro t representa el ángulo en radianes que se muestra en laFigura 4. Cuando el parámetro t toma valores en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π, el punto(x, y) = (cos t, sen t) se mueve a lo largo de la circunferencia comenzando desdeel punto (1, 0) correspondiente al valor del parámetro t = 0. El movimiento serealiza en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj y la circunferenciatermina de dibujarse cuando t = 2π. 2


x = sen 2t, y = cos 2t, 0 ≤ t ≤ 2π.

Solución. Graficando los puntos correspondientes a algunos valores de t enel intervalo 0 ≤ t ≤ 2π, se observará que la gráfica corresponde a una circun-ferencia, lo que se puede confirmar analíticamente eliminando el parámetro tcomo sigue:

x2 + y2 = sen2 2t+ cos2 2t = 1.

Sin embargo, cuando el parámetro t toma valores en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π, elpunto (x, y) = (sen 2t, cos 2t) se mueve a lo largo de la circunferencia trazándola

4

Figura 4: Curva paramétrica de x = cos t, y = sen t, 0 ≤ t ≤ 2π.

t x y

−4 7 10−3 2 4−2 −1 0−1 −2 −20 −1 −21 2 02 7 43 14 10

Cuadro 2: Algunos puntos determinados por t.

dos veces, en el sentido de giro de las manecillas del reloj, como se indica en laFigura 5. 2


x = t2 + 2t− 1, y = t2 + t− 2.

Si es posible, elimine el parámetro.

Solución. Construimos la tabla que se muestra en el Cuadro 2.Graficando estos puntos, obtenemos la curva mostrada en la Figura 6, que es

una parábola. Para eliminar el parámetro, restamos las ecuaciones, obteniendo

x− y = t+ 1 =⇒ t = x− y − 1.

Sustituyendo en t en la segunda ecuación, encontramos que

y = (x− y − 1)2

+ (x− y − 1)− 2,

5

Figura 5: Curva paramétrica de x = sen 2t, y = cos 2t, 0 ≤ t ≤ 2π.

y, simplificando,x2 − 2xy + y2 − x− 2 = 0.

Esto, analíticamente muestra que la curva es una parábola. 2


x = 4 cos θ, y = 3 sen θ.

Si es posible, elimine el parámetro.

Solución. En este problema el parámetro es θ. Aunque el dominio θ consistede todos los números reales, sólo se necesitan los valores entre 0 y 2π ya queambas funciones son periódicas con periodo 2π. En lugar de construir una tablade valores para θ, x y y, encontramos más simple primero escribir

cos θ =x

4, sen θ =

y

3.

Entonces, elevando al cuadrado y sumando, obtenemos

1 = cos2 θ + sen2 θ =x2

16+y2

9,

curva que reconocemos como una elipse con su eje mayor sobre el eje x, comose muestra en la Figura 7.

2.1. EjerciciosEn los problemas siguientes, grafique la curva y elimine el parámetro para

obtener una relación entre x y y.

6

Figura 6: Curva paramétrica de x = t2 + 2t− 1, y = t2 + t− 2.

Figura 7: Curva paramétrica de x = 4 cos θ, y = 3 sen θ.

7

1. x = 2t, y = −5t

2. x = t, y = 1/t

3. x = −1 + 2 cos θ, y = 2 + 2 sen θ

4. x = 2 cos3 θ, y = 2 sen3 θ

5. x = t2 + 2t+ 3, y = t2 + t− 1

6. x =20t

4 + t2, y =

5(4− t2

)4 + t2

7. x = et, y = e−t

8. x = t− 1, y = t2

9. x = 3 cos θ, y = 2 sen θ

10. x = 3 sec t, y = 2 tan t

2.2. Sistemas algebraicos de cómputoExisten ecuaciones paramétricas que requieren los recursos de un sistema

algebraico de cómputo—como Mathematica, Maple o Sage—para la graficaciónde las curvas dadas por dichas ecuaciones paramétricas. En esta sección estu-diaremos como utilizar estos sistemas algebraicos de cómputo para esta tarea.

Ejemplo 6. Utilice Sage y Mathematica para graficar la curva x = y4 − 3y2.

Solución. Sea t = y el parámetro. Entonces definimos las ecuaciones

x = t4 − 3t2, y = t.

Las instrucciones en Sage para graficar la curva paramétrica correspondienteson:

t = var(’t’)P = parametric_plot((t^4-3*t^2, t),(t,-2,2),rgbcolor=hue(0.9))show(P)

Usando estas intrucciones en Sage, obtenemos la curva paramétrica que se mues-tra en la Figura 8.

Las instrucciones en Mathematica para graficar las mismas ecuaciones pa-ramétricas, son

ParametricPlot[{t^4 - 3 t^2, t}, {t, -2, 2}]. 2

8

Figura 8: Gráfica en Sage de x = t4 − 3t2, y = t.

En este ejemplo, se observa que podríamos haber resuelto la ecuación dadax = y4 − 3y2 para y como cuatro funciones de x y entonces graficarlas, pero lasecuaciones paramétricas proporcionan un método mucho más sencillo.

En general, cuando se quiera graficar una ecuación de la forma x = g(y), seutilizan las ecuaciones paramétricas

x = g(t), y = t.

También, si se quiere graficar una ecuación de la foma y = f(x), utilice lasecuaciones paramétricas

x = t, y = f(t).

La utilidad de los sistemas algebraicos de cómputo se hace evidente cuan-do se desea dibujar curvas complicadas que son difíciles de hacer a mano. Acontinuación, mostramos tres ejemplos.

Ejemplo 7. Utilizando Sage y Mathematica grafique las ecuaciones paramétri-cas

x = sen t+1

2cos 5t+

1

4sen 13t, y = cos t+

1

2sen 5t+

1

4cos 13t.

Solución. Las instrucciones en Sage para graficar la curva paramétrica co-rrespondiente son:

t = var(’t’)P = parametric_plot((sin(t)+(1/2)*cos(5*t)+(1/4)*sin(13*t),cos(t)+(1/2)*sin(5*t)+(1/4)*cos(13*t),(t,0,2*pi),rgbcolor=hue(0.9))show(P)



9

Figura 9: Gráfica en Sage de x = sen t + 12 cos 5t + 1

4 sen 13t, y = cos t +12 sen 5t+ 1

4 cos 13t.

ParametricPlot[{Sin[t] + 1/2 Cos[5 t] + 1/4 Sin[13 t],Cos[t] + 1/2 Sin[5 t] + 1/4 Cos[13 t]}, {t, 0, 2 Pi}]. 2


x = sen t− sen 2.3 t, y = cos t.

Solución. Las instrucciones en Sage para graficar la curva paramétrica corres-pondiente son:

t = var(’t’)P = parametric_plot((sin(t)-sin(2.3*t),cos(t)),(t,0,20*pi),

rgbcolor=hue(0.9))show(P)



ParametricPlot[{Sin[t] - Sin[2.3 t], Cos[t]}, {t, 0, 20 Pi}]. 2


x = sen t+1

2sen 5t+

1

4cos 2.3t, y = cos t+

1

2cos 5t+

1

4sen 2.3t.

10

Figura 10: Gráfica en Sage de x = sen t− sen 2.3t, y = cos t.

Figura 11: Gráfica en Mathematica de x = sen t + 12 sen 5t + 1

4 cos 2.3t, y =cos t+ 1

2 cos 5t+ 14 sen 2.3t.

Solución. Las instrucciones en Mathematica para graficar la curva paramétricacorrespondiente son:

ParametricPlot[{Sin[t] + 1/2 Sin[5 t] + 1/4 Cos[2.3 t],Cos[t] + 1/2 Cos[5 t] + 1/4 Sin[2.3 t]}, {t, 0, 20 Pi}].

Usando estas intrucciones en Mathematica, obtenemos la curva paramétrica quese muestra en la Figura 11.

Las instrucciones en Sage para graficar las mismas ecuaciones paramétricas,son

t = var(’t’)P = parametric_plot((sin(t)+(1/2)*sin(5*t)+(1/4)*cos(2.3*t),

cos(t)+(1/2)*cos(5*t)+(1/4)*sin(2.3*t)),(t,0,20*pi),rgbcolor=hue(0.9))

show(P). 2

11

Figura 12: Trayectoria trazada por un punto marcado sobre la llanta de unaaro.

2.2.1. Ejercicios

En los ejercicios siguientes, utilice Sage para dibujar las gráficas de las ecua-ciones paramétricas.

1. x = t4 − t+ 1, y = t2

2. x = t2 − 2t, y =√t

3. x = sen 2t, y = sen (t+ sen 2t)

4. x = cos 5t, y = sen 2t

5. x = t+ sen 4t, y = t2 + cos 3t

2.3. La cicloideUn aro circular comienza a rodar sobre el suelo a lo largo de una línea

recta. El aro tiene un punto P marcado sobre la llanta. Deseamos encontrar latrayectoria trazada por el punto P . La Figura 12 muestra el aro en diferentesposiciones a medida en que éste rueda sobre el piso.

La curva trazada por el punto P puede expresarse en términos de ecuacionesparamétricas. Sea r el radio del aro, y suponga que cuando el aro comienzaa rodar el punto P se localiza en el suelo en el punto etiquetado O como semuestra en la Figura 13. La Figura 13 también muestra la posición del puntoP después de que el aro ha girado un ángulo θ en radianes.

Puesto que se supone que el aro rueda sin deslizamiento, del diagrama de laFigura 13, tenemos

|OT | = arc PT = rθ.

El centro del círculo es C (rθ, r). Del triángulo 4CPQ leemos

|PQ| = r sen θ, 0 ≤ θ ≤ π/2,

|QC| = r cos θ, 0 ≤ θ ≤ π/2.

Denotando las coordenadas de P por (x, y) vemos que

x = |OT | − |PQ| = rθ − r sen θ = r (θ − sen θ) ,

y = |TC| − |QC| = r − r cos θ = r (1− cos θ) .

12

Figura 13: Diagrama del aro.

Aunque estas ecuaciones fueron obtenidas para valores de θ entre 0 y π/2, puededemostrarse que para todos los valores de θ las ecuaciones paramétricas

x = r (θ − sen θ) , y = r (1− cos θ)

representan la trayectoria del punto marcado sobre la llanta del aro. Esta curvase llama cicloide.

La cicloide fue estudiada por Galileo, quien propuso que los puentes se cons-truyeran en forma de una cicloide. También, esta curva está relacionada conel problema de la braquistócrona, que consiste en hallar la curva por la que sedesliza una partícula en el tiempo más corto desde un punto A a un puntoB situado abajo de A pero no directamente debajo de A. Este problema fueplanteado y resuelto en 1696 por el matemático suizo John Bernoulli. El físicoholandés Huygens demostró que la cicloide también es la solución del problemade la tautócrona, que consiste en hallar la curva en la que sin importar en quépunto se coloque una partícula P , le toma el mismo tiempo deslizarse hasta elfondo.

3. Cálculo con ecuaciones paramétricasEn esta sección utilizaremos los métodos del cálculo para derivar ecuaciones

paramétricas y resolver problemas concernientes a la determinación de tangen-tes, áreas, longitud de arco de una curva y áreas de superficies.

3.1. Derivadas y tangentesSupongamos que tenemos las ecuaciones paramétricas

x = f(t), y = g(t),

que representan una relación entre x y y. Solamente, en una circunstancia muyespecial, esta relación determina a y como una función de x. Por ejemplo, si f ′(t)

13

es positiva para t en un intervalo [a, b], entonces sabemos que los valores de x semueven continuamente a la derecha cuando t va de a hasta b. Por consiguiente,y será una función de x para x ∈ [f(a), f(b)]. Sin embargo, en general, x y yestarán relacionadas por una ecuación en la que ninguna de las variables es unafunción de la otra. Como en el caso de las funciones implícitas, todavía es posibleencontrar la derivada dy/dx e identificarla con la pendiente de la tangente a lacurva en un punto con coordenadas (x, y). Se puede encontrar la derivada dy/dxutilizando la regla de la cadena. Tenemos

dy

dx=dy

dt· dtdx

=dy/dt

dx/dt. (1)

Esta derivada estará dada en términos de t. Si t no puede expresarse en términosde x o de y—como frecuentemente es el caso—el proceso de obtener la segundaderivada requiere alguna explicación. La idea es utilizar la regla de la cadenaotra vez. Escribimos

d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)=

d

dt

(dy

dx

)dt

dx=

d

dt

(dy

dx

)÷ dx

dt. (2)

Puesto que dy/dx está dada en términos de t, encontrar la derivadad

dt

(dy

dx

)es una cuestión de rutina. Además, previamente se ha calculado dx/dt, cuandose obtuvo dy/dx.

Ejemplo 10. Determine dy/dx y d2y/dx2, dado que x = t2+3t−2, y = 2−t−t2.

Solución. Tenemos,

dx

dt= 2t+ 3,

dy

dt= −1− 2t.

Por consiguiente,dy

dx=dy/dt

dx/dt=− (2t+ 1)

2t+ 3.

La segunda derivada está dada por

d2y

dx2=

d

dt

(dy

dx

)dx

dt

,

y puesto que

d

dt

(dy

dx

)=

d

dt

(−2t+ 1

2t+ 3

)= − (2t+ 3) (2)− (2t+ 1) (2)

(2t+ 3)2 =

−4

(2t+ 3)2 ,

obtenemosd2y

dx2= −4/ (2t+ 3)

2

2t+ 3=

−4

(2t+ 3)3 .2

14

Ejemplo 11. Una curva C está definida por las ecuaciones paramétricas x = t2,y = t3 − 3t.

1. Demuestre que C tiene dos rectas tangentes en el punto (3, 0) y determinesus ecuaciones.

2. Determine el punto sobre C donde la recta tangente es horizontal o vertical.

3. Determine los intervalos para t donde la curva es cóncava hacia arriba ohacia abajo.

4. Trace la curva.

Solución.

1. Observe que y = t3 − 3t = t(t2 − 3

)= 0 cuando t = 0 o t = ±

√3. Por

tanto, el punto (3, 0) en la curva C se origina de dos valores del parámetro,t =

√3 y t = −

√3. Esto indica que C cruza el punto (3, 0) dos veces.

Puesto quedy

dx=dy/dt

dx/dt=

3t2 − 3

2t=

3

2

(t− 1

t

)la pendiente de la recta tangente cuando t = ±

√3 es dy/dx = ±6/

(2√

3)

=

±√

3, por lo que las ecuaciones de las rectas tangentes en (3, 0) son

y =√

3 (x− 3) y y = −√

3 (x− 3) .

2. De acuerdo a la Ecuación 1 la curva C tiene una tangente horizontal cuandody/dx = 0, esto es, cuando dy/dt = 0 y dx/dt 6= 0. Puesto que dy/dt =3t2 − 3, esto sucede cuando t2 = 1, es decir, cuando t = ±1. Los puntoscorrespondientes en C son (1,−2) y (1, 2). De acuerdo a la Ecuación 1, Ctiene una tangente vertical cuando dx/dt = 2t = 0 y dy/dt 6= 0, es decir,cuando t = 0. El punto correspondiente en C es (0, 0).

3. Para estudiar la concavidad calculamos la segunda derivada

d2y

dx2=

d

dt

(dy

dx

)dx

dt

=

3

2

(1 +

1

t2

)2t

=3(t2 + 1

)4t3

.

Así, la curva es cóncava hacia arriba cuando t > 0 y cóncava hacia abajocuando t < 0.

4. Utilizando la información de los incisos 2) y 3), dibujamos la curva C, lacual se muestra en la Figura 14.

15

Figura 14: Curva de x = t2, y = t3 − 3t.

3.1.1. Ejercicios

En los ejercicios siguientes, encuentre dy/dx y d2y/dx2 en términos de losparámetros.

1. x = 3t− 2, y = 4− 5t

2. x = t2 + 1, y = t3 + 2t

3. x = e2t, y = 2 + t2

4. x = 4 cos t, y = 2 sen2 t

5. x = a cos3 θ, y = a sen3 θ

En los problemas siguientes, encuentre en cada caso las ecuaciones de las líneastangente y normal a la curva especificada en el punto correspondiente al valordado del parámetro.

6. x = t2 + 1, y = t3 + 2t, t = −2

7. x = 4 cos t, y = 2 sen2 t, t = π/3

8. x = t2 − 1, y = 2et, t = −1

9. x = 2 cos3 θ, y = 2 sen3 θ, θ = π/4

En los problemas siguientes, encuentre en cada caso los intervalos de valoresdel parámetro cuando x y y son crecientes y decrecientes. Grafique la curva.Resuelva para y en términos de x.

10. x = 2 tanφ, y = secφ, −π/2 < φ < 3π/2

11. x = t2 + 2t, y = t2 + t, −∞ < t <∞

12. x = e2t + 1, y = 1− e−t, −∞ < t <∞

16

Figura 15: Un arco de la cicloide.

3.2. AreasSabemos que el área de la región que está debajo de una curva y = F (x)

en el intervalo [a, b], donde F (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], es A =

ˆ b

a

F (x) dx.

Ahora, si esta curva puede representarse mediante las ecuaciones paramétricasx = f(t) y y = g(t) donde α ≤ t ≤ β, entonces es posible definir una fórmulapara calcular el área utilizando la regla de cambio de variable como sigue:

A =

ˆ b

a

y dx =

ˆ β

α

g(t)f ′(t) dt

o

A =

ˆ b

a

y dx =

ˆ α

β

g(t)f ′(t) dt si (f(β), g(β)) es el extremo izquierdo.

Ejemplo 12. Determine el área de la región que está debajo de uno de los arcosde la cicloide

x = r (θ − sen θ) , y = r (1− cos θ) .

Solución. Como se muestra en la Figura 15, un arco de la cicloide estádeterminado por 0 ≤ θ ≤ 2π. Utilizando la regla del cambio de variable conx = r (θ − sen θ) , y = r (1− cos θ) , se tiene que cuando x = 0, sustituyendoen x = r (θ − sen θ), obtenemos sen θ = θ que se cumple sólo cuando θ = 0.También, si x = 2πr, sustituyendo en x = r (θ − sen θ), obtenemos 2πr =r (θ − sen θ) que simplificando da (θ − sen θ) = 2π y que se cumple sólo cuando

17

θ = 2π. Por tanto,

A =

ˆ 2πr

0

y dx =

ˆ 2π

0

r (1− cos θ) r (1− cos θ) dθ

= r2ˆ 2π

0

(1− cos θ)2dθ = r2

ˆ 2π

0

(1− 2 cos θ + cos2 θ

)dθ

= r2ˆ 2π

0

[1− 2 cos θ +

1

2(1 + cos 2θ)

]dθ

= r2[

3

2θ − 2 sen θ +

1

4sen 2θ

]2π0

= r2(32 · 2π

)= 3πr2. 2

3.2.1. Ejercicios

1. Determine el área de la región encerrada por la curva x = t2 − 2t, y =√t

y el eje y.

2. Determine el área de la región encerrada por la curva x = 1+et, y = t−t2.

3. Determine el área de la región encerrada por la curva x = t−1/t, y = t+1/ty la recta y = 2.5.

4. Determine el área de la región encerrada por la curva x = cos t, y = et,0 ≤ t ≤ π/2 y las rectas y = 1 y x = 0.

3.3. Longitud de arcoFrecuentemente dibujamos la gráfica de una función y = f(x) y nos referi-

mos a ella como el lugar geométrico o curva que representa la función. Cuandodibujamos tal gráfica, automáticamente asociamos una longitud con cualquierparte de ella (por ejemplo, la parte que va de P1 a P2 en la curva mostradaen la Figura 16). Formulamos ahora tres preguntas: (1) ¿Cuál es la clase decurvas (o lugares geométricos) con la que asociaremos una longitud? (2) ¿Cómodefiniremos dicha longitud? (3) Ya definida la longitud de una curva, ¿cómo lamedimos?

Estas preguntas se contestan fácilmente para líneas rectas. Todo segmentode línea recta tiene una longitud dada por la fórmula de la distancia

d =

√(x1 − x2)

2+ (y1 − y2)

2,

donde (x1, y1) y (x2, y2) son las coordenadas de los extremos del segmento.También estamos familiarizados con la fórmula para calcular la longitud de unarco circular, ya que la estudiamos en los cursos de geometría o trigonometríaen el bachillerato. Un primer paso en una discusión precisa de la longitud deuna curva, de la cual un arco circular es un caso especial, es la definición de loque llamaremos un arco.

18

Figura 16: Longitud de arco.

Definición 2. Si un lugar geométrico está dado en la forma de una función talque y = f(x), a ≤ x ≤ b, y si f es continua en este intervalo, entonces el lugargeométrico de f se denomina un arco. Cuando el lugar geométrico está dadopor las ecuaciones paramétricas

x = F (t), y = G(t), c ≤ t ≤ d,

se dice que es un arco si F y G son continuas en el intervalo [c, d] y si para dosvalores diferentes del parámetro t, t1 y t2, jamás puede suceder que F (t1) =F (t2) y G(t1) = G(t2).

Observación. Esta última condición, que garantiza que el lugar geométrico nose intersecta a sí mismo, puede ser escrita de manera más compacta como

[F (t1)− F (t2)]2

+ [G(t1)−G(t2)]2> 0 si t1 6= t2.

Así, la primera de las tres preguntas puede ser contestada estableciendoque solamente estudiaremos las longitudes de aquellas curvas que son arcos. Encuanto a la segunda pregunta, sabemos que la longitud de un arco de curva sólose define para curvas que son rectificables. Sabemos, por los estudios de cálculointegral, que si una curva es lisa o suave, entonces es rectificable y por tantotiene longitud. Esto implica, que cuando una curva está dada en términos desus ecuaciones paramétricas, si f ′(t) y g′(t) son continuas en el intervalo [c, d],entonces la curva es lisa y por tanto rectificable y su longitud está definida.

Ahora pasamos a la tercera pregunta. Si C es una curva dada en la formay = f(x), donde f tiene una derivada continua en [a, b], sabemos que su longitudestá dada por la fórmula

L =

ˆ b

a

√1 +

[dy

dx

]2dx. (3)

Suponiendo que C también se puede describir mediante las ecuaciones pa-ramétricas x = F (t) y y = G(t), c ≤ t ≤ d, donde dx/dt = F ′(t) > 0, lo quesignifica que la curva C es recorrida una sola vez, de izquierda a derecha cuando

19

t se incrementa de c hasta d y F (c) = a, F (d) = b. Al sustituir la Ecuación 1 enla Ecuación 3, se obtiene

L =

ˆ b

a

√1 +

[dy

dx

]2dx =

ˆ d

c

√1 +

[dy/dt

dx/dt

]2dx

dtdt.

Como dx/dt > 0, tenemos

L =

ˆ d

c

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

dt. (4)

Se puede demostrar que aunque C no pueda expresarse en la forma y = f(x),la Fómula 4 aún es válida.

Ejemplo 13. Suponga que x = t3 + 1, y = 2t9/2. Determine la longitud delarco desde el punto correspondiente a t = 1 hasta el punto correspondiente at = 3.

Solución. Tenemos que x′(t) = 3t2, y′(t) = 9t7/2. Por consiguiente,

L =

ˆ 3

1

√9t4 + 81t7dt = − 4

27

(5√

10− 244√

61). 2

Ejemplo 14. Encuentre la longitud de un arco de una cicloide,

x = r (θ − sen θ) , y = r (1− cos θ) , 0 ≤ θ ≤ 2π.

Solución. Tenemos que dx/dθ = r (1− cos θ), dy/dθ = r sen θ, y por consi-guiente

L =

ˆ 2π

0

√r2 (1− cos θ)

2+ r2 (1− cos θ)

2dθ = r

ˆ 2π

0

√2− 2 cos θdθ.

Haciendo uso de la identidad sen (θ/2) =√

(1− cos θ) /2, obtenemos

L = 2r

ˆ 2π

0

senθ

2dθ =

[−4r cos

θ

2

]2π0

= 8r. 2

3.3.1. Ejercicios

Encuentre la longitud del arco:

1. x = e−t cos t, y = e−t sen t, 0 ≤ t ≤ π/2

2. x = 6 cos t, y = 6 sen t, π/3 ≤ t ≤ π/2

3. x = 1 + 3t2, y = 4 + 2t3, 0 ≤ t ≤ 1

4. x = et + e−t, y = 5− 2t, 0 ≤ t ≤ 3

5. x = t sen t, y = t cos t, 0 ≤ t ≤ 1

6. x = 3 cos t− cos 3t, y = 3 sen t− sen 3t, 0 ≤ t ≤ π

20

3.4. Area de una superficieEn la misma manera en la que se adaptó la fórmula para la longitud de una

arco, se pueden adaptar las fórmulas para calcular el área de una superficie derevolución. Si la curva dada por las ecuaciones paramétricas x = f(t) y y = g(t),α ≤ t ≤ β, se hace girar alrededor del eje x, donde f ′(t) y g′(t) son continuasy g(t) ≥ 0 para todo t ∈ [α, β] , entonces el área de la superficie generada estádada por

S =

ˆ β

α

2πy

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

dt. (5)

Esta fórmula se obtuvo al sustituir

ds =

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

dt

en la fórmula S =´

2πy ds, estudiada en el curso de cálculo integral paracalcular la superficie de revolución cuando la curva se gira alrededor del eje x.

Ejemplo 15. Encuentre el área de la superficie obtenida al girar la curva x = t3,y = t2, 0 ≤ t ≤ 1, alrededor del eje x.

Solución. Como dx/dt = 3t2 y dy/dt = 2t, sustituyendo en la Fórmula 5,obtenemos

S =

ˆ 1

0

2πt2√

(3t2)2

+ (2t)2dt = 2πr2

ˆ 1

0

√9t4 + 4t2dt

=2πr2

27

(−8 + 13

√13). 2

3.4.1. Ejercicios

Encuentre el área de la superficie obtenida al girar la curva dada alrededordel eje x.

1. x = 3t− t3, y = 3t2, 0 ≤ t ≤ 1

2. x = a cos3 θ, y = a sen3 θ, 0 ≤ θ ≤ π/2

Encuentre el área de la superficie obtenida al girar la curva dada alrededor deleje y.

3. x = 3t2, y = 2t3, 0 ≤ t ≤ 5

4. x = et − t, y = 4et/2, 0 ≤ t ≤ 1

21

Figura 17: Coordenadas polares del punto P .

4. Coordenadas polaresUn sistema de coordenadas en el plano nos permite asociar un par de núme-

ros con cada punto en el plano. Hasta ahora, exclusivamente hemos consideradosistemas de coordenadas rectangulares. Sin embargo, hay otras maneras posi-bles de identificar pares de números con puntos en el plano; describiremos acontinuación el sistema conocido como coordenadas polares.

Primero comenzamos seleccionando un punto en el plano que llamaremos elpolo u origen y etiquetémoslo O. Desde este punto dibujamos una semirrecta orayo comenzando en el polo y extendiéndose indefinidamente en una dirección.Esta línea usualmente se dibuja horizontalmente y a la derecha del polo, comose muestra en la Figura 17. Esta linea se denomina línea inicial o eje polar.

Sea P cualquier punto en el plano. Su posición estará determinada por su dis-tancia desde el polo y por el ángulo que la línea OP forma con el eje polar. Comoen trigonometría, medimos el ángulo θ desde la línea inicial—convencionalmenteeste ángulo θ será positivo si su dirección de giro es contrario al giro de las ma-necillas del reloj y será negativo si su dirección de giro es el mismo que el de lasmanecillas del reloj. Por lo regular θ se mide en radianes. La distancia r desdeel origen al punto P se considerará positiva. Las coordenadas de P (Figura 17)en el sistema de coordenadas polares son (r, θ). Si P = O, entonces r = 0 yestaremos de acuerdo en que (0, θ) representa el polo para cualquier valor de θ.Hay una diferencia aguda entre las coordenadas rectangulares y las coordenadaspolares, en el sentido de que un punto P puede ser representado en una solamanera por un par de coordenadas rectangulares, pero puede ser representadode muchas maneras en coordenadas polares.

Por ejemplo, el punto Q con coordenadas polares (2, π/6) también tiene lascoordenadas polares

(2, 2π + π

6

),(2, 4π + π

6

),(2, 6π + π

6

),(2,−2π + π

6

),(

2,−4π + π6

), etc. En otras palabras, hay infinitas maneras de representar el

mismo punto. Además, es conveniente permitir que r, la distancia desde el ori-gen, tome valores negativos. Establecemos la convención de que un par de coor-

22

Figura 18: Relación entre (r, θ) y (−r, θ).

denadas tal como (−r, θ) sea simplemente otra representación del punto concoordenadas (r, θ + π). La Figura 18 muestra la relación entre los puntos (r, θ)y (−r, θ).

Es importante conocer la conexión entre los sistemas de coordenadas rec-tangulares y coordenadas polares. Para encontrar esta relación, consideremosun plano con un sistema superpuesto en el otro de manera que el origen delsistema rectangular esté en el polo y la parte positiva del eje x coincida con eleje polar (Figura 19). La relación entre las coordenadas rectangulares (x, y) ylas coordenadas polares (r, θ) de un punto P está dada por las ecuaciones

x = r cos θ, y = r sen θ.

Figura 19: Relación entre los sistemas de coordenadas.

Cuando se conocen r y θ, estas ecuaciones nos dicen cómo encontrar x y y.También tenemos las fórmulas

r = ±√x2 + y2, tan θ =

y

x,

que nos darán r y θ cuando las coordenadas rectangulares sean conocidas.

23

Ejemplo 16. Grafique los puntos cuyas coordenadas polares están dadas por(a) (1, 5π/4), (b) (2, 3π), (c) (2,−2π/3), (d) (−3, 3π/4).

Solución. Los puntos están graficados en la Figura 20.

(a) (b) (c) (d)

Figura 20: Gráficas de los puntos.

Ejemplo 17. Las coordenadas rectangulares de un punto son(√

3,−1). En-

cuentre un conjunto de coordenadas polares para este punto.

Solución. Tenemos r =√

3 + 1 = 2 y tan θ = −1/√

3. Puesto que el pun-to está en el cuarto cuadrante, elegimos para θ el valor −π/6 (o 11π/6). Larespuesta es (2,−π/6). 2

Ejemplo 18. Convierta el punto (2, π/3) de coordenadas polares a cartesianas.

Solución. Como r = 2 y θ = π/3, obtenemos

x = r cos θ = 2 cosπ

3= 2

(1

2

)= 1

y = r sen θ = 2 senπ

3= 2

(√3

2

)=√

3.

Por tanto, el punto en coordenadas cartesianas es(1,√

3). 2

4.1. EjerciciosEn los ejercicios siguientes se proporcionan las coordenadas polares de los

puntos. Encuentre un par de coordenadas polares de dichos puntos y grafíquelos.

1. (4, π/6), (3, 3π/4), (2, π), (1, 0), (−2, π)

2. (−1, 0), (2,−π/6), (4,−π/3), (−3, 3π/4), (0, π/2)

3. (2,−π/2), (−1,−3π/2), (2, 4π/3), (−1,−π/4), (0,−π)

En los ejercicios siguientes se proporcionan las coordenadas rectangulares de lospuntos. Encuentre las coordenadas rectangulares de dichos puntos y grafíquelos.

4. (3, 3), (0, 4),(−1,√

3), (0,−1), (2, 0)

5. (−2,−2), (−4, 0),(√

3, 1),(−√

3,−1), (0,−2)

6. (−2, 2), (3,−3),(−√

3, 1),(2√

3, 2),(2, 2√

3)

24

r θ r θ

3 0 −3 π32

√3 π/6 − 3

2

√3 7π/6

32 π/3 − 3

2 4π/30 π/2 0 3π/2− 3

2 2π/3 32 5π/3

− 32

√3 5π/6 3

2

√3 11π/6

Cuadro 3: Tabla de r = 3 cos θ.

5. Gráficas en coordenadas polaresSupongamos que r y θ están relacionadas por alguna ecuación tal como

r = 3 cos 2θ o r2 = 4 sen 3θ. Definimos el lugar geométrico de una ecuación encoordenadas polares (r, θ) como el conjunto de todos los puntos P donde cadauno de los cuales tiene al menos un par de coordenadas polares (r, θ) que satis-face la ecuación dada. Para graficar el lugar geométrico de una ecuación polardebemos encontrar todos los pares ordenados (r, θ) que satisfacen la ecuacióndada y entonces graficar los puntos obtenidos. Podemos obtener una buena apro-ximación del lugar geométrico en coordenadas polares, como lo hacemos en elcaso de coordenadas cartesianas, haciendo una tabla suficientemente completade valores, graficando estos puntos, y conectándolos con una curva suave.

Ejemplo 19. ¿Qué curva se genera con la ecuación polar r = 3?

Solución. La curva consiste de todos los puntos (r, θ), con r = 2 y θ escualquier número real. Puesto que r representa la distancia del punto al polo,la curva r = 3 representa la circunferencia de radio 3 y centro en O. En general,la ecuación r = a representa una circunferencia de radio a y centro en O.

Ejemplo 20. Trace la curva con ecuación polar r = 3 cos θ y determine unaecuación cartesiana para esta curva.

Solución. Construimos la tabla que se muestra en el Cuadro 3.La gráfica se muestra en la Figura 21. Es un círculo con centro en

(32 , 0)y

radio r = 32 . Es valioso notar que aunque la tabla contiene 12 entradas, solamente

se grafican 6 puntos. La curva es simétrica con respecto al eje polar, y podríamoshaber ahorrado esfuerzos si hubiéramos aprovechado este hecho. Puesto quecos (−θ) = cos θ para todos los valores de θ, podríamos haber obtenido lospuntos en la gráfica para valores de θ entre 0 y −π sin esfuerzo de cálculo extra.

Para convertir la ecuación dada en una ecuación cartesiana usamos las ecua-ciones x = r cos θ y r2 = x2 + y2. De x = r cos θ tenemos cos θ = x/r, de modoque la ecuación r = 3 cos θ se convierte en r = 3x/r, lo cual da

3x = r2 = x2 + y2

o bienx2 − 3x+ y2 = 0.

25

Figura 21: Gráfica de r = 3 cos θ

Completando el cuadrado

x2 − 3x+9

4+ y2 =

9

4

o bien (x− 3

2

)2

+ y2 =9

4,

que es la ecuación de una circunferencia con centro en(32 , 0)y radio r = 3

2 . 2

5.1. Reglas de simetríaCuando se dibujan curvas polares son útiles las siguientes reglas de simetría.

Estas reglas se describen en términos de simetrías con respecto al eje x y al ejey en coordenadas rectangulares. Esto es, suponiendo que la parte positiva deleje x coincida con la línea inicial del sistema de coordenadas polares.

Regla 1 Si la sustitución de (r,−θ) por (r, θ) produce la misma ecuación, ellugar geométrico es simétrico con respecto al eje x.

Regla 2 Si la sustitución de (r, π − θ) por (r, θ) produce la misma ecuación, ellugar geométrico es simétrico con respecto al eje y.

Regla 3 Si la sustitución de (−r, θ) por (r, θ) produce la misma ecuación, ellugar geométrico es simétrico con respecto al eje polo.

Es fácil ver que si se cumplen dos reglas, cualesquiera que éstas sean,la restantetambién se cumplirá.

Ejemplo 21. Estudie la simetría y grafique el lugar geométrico de la ecuación

r = 3 + 2 cos θ.

26

r θ

5 0

3 +√

3 ±π/64 ±π/33 ±π/22 ±2π/3

3−√

3 ±5π/61 ±π

Cuadro 4: Tabla de valores de r = 3 + 2 cos θ.

Figura 22: Gráfica de r = 3 + 2 cos θ.

Solución. El lugar geométrico es simétrico con respecto al eje x puesto quecos (−θ) = cos θ por lo que se aplica la Regla 1. Construimos la tabla que semuestra en el Cuadro 4.

Usamos solamente los valores de −π a +π, ya que cos (θ + 2π) = cos θ yno se obtendrían nuevos puntos diferentes con valores más grandes para θ. Lagráfica, llamada limaçon de Pascal, se muestra en la Figura 22. 2


r2 = sen θ.

Solución. Cuando reemplazamos r por −r obtenemos la misma ecuación y,por consiguiente, por la Regla 3, el lugar geométrico es simétrico con respectoal polo. Si reemplazamos θ por π − θ vemos que sen (π − θ) = sen θ y por laRegla 2, el lugar geométrico es simétrico respecto al eje y. Puesto que las reglas2 y 3 se cumplen, también se cumple la Regla 1, por lo que la curva es simétricacon respecto al eje x. Si sen θ es negativo no se tiene un lugar geométrico, por

27

r θ

0 0

±√

2/2 π/6

±√√

3/2 π/3

±1 π/2

±√√

3/2 2π/3

±√

2/2 5π/60 π

Cuadro 5: Tabla de valores de r2 = sen θ.

Figura 23: Gráfica de r2 = sen θ.

lo que debemos restringir θ al intervalo 0 ≤ θ ≤ π. Construimos la tabla que semuestra en el Cuadro 5.

La gráfica, que se muestra en la Figura 23, se denomina lemniscata y tienela apariencia de un ocho. 2


r = 2 cos 2θ.

Solución. Cuando reemplazamos θ por −θ obtenemos la misma ecuación y,por consiguiente, por la Regla 1, tenemos que el lugar geométrico tiene simetríarespecto al eje x. Cuando reemplazamos θ por π − θ obtenemos

cos 2 (π − θ) = cos 2π cos 2θ + sen 2π sen 2θ = cos 2θ

y por la Regla 2, el lugar geométrico es simétrico respecto al eje y. Consecuen-temente, el lugar geométrico es simétrico respecto al polo. Construimos la tablaque se muestra en el Cuadro 6.

28

r θ

2 0√3 π/12

3 π/60 π/4−1 π/3

−√

3 5π/12−2 π/2

Cuadro 6: Tabla de valores de r = 2 cos 2θ.

Figura 24: Gráfica de una parte de r = 2 cos 2θ.

Graficamos los puntos como se muestra en la Figura 24.Ahora, haciendo uso de las simetrías, podemos fácilmente completar la grá-

fica (Figura 25). Esta curva se denomina rosa de cuatro pétalos.

Figura 25: Gráfica de r = 2 cos 2θ.

29

Ecuaciones de la forma

r = a senn θ, r = a cosn θ,

donde n es un entero positivo, tienen lugares geométricos llamados rosa. Elnúmero de pétalos es igual a n si n es un entero impar y es igual a 2n si n esun entero par. Si n = 1, hay un solo pétalo y es circular.

5.1.1. Ejercicios

En los ejercicios siguientes, discuta la simetría y grafique los lugares geomé-tricos de las ecuaciones.

1. r = 2 cos θ

2. r = −2 sen θ

3. r = 3 sen (θ − π/3)

4. r = 2 (1 + cos θ)

5. r = 4− 2 sen θ

6. r = 2 + 4 cos θ

7. r sen θ = 1

8. r2 = cos 2θ

9. r = 5 cos 2θ

10. r = 5 cos 3θ

11. r = 4 sen2 12θ

12. r = tan θ

13. r = 5 sen 4θ

14. r = 2 csc θ

5.2. Sistemas algebraicos de cómputoAunque es muy útil saber graficar con lápiz y papel curvas polares simples,

necesitamos saber cómo hacerlo con un sistema algebraico de cómputo, comoSage o Mathematica, cuando tengamos la necesidad de graficar curvas polarescomplejas.

Ejemplo 24. Utilizando Sage y Mathematica grafique la ecuación polar

r = sen2 2.4θ + cos2 2.4θ.

30

Figura 26: Gráfica de r = sen2 2.4θ + cos4 2.4θ.

Solución. Las instrucciones en Mathematica para graficar la curva polarcorrespondiente son:

PolarPlot[Sin[2.4 theta]^2 + Cos[2.4 theta]^4, {theta, 0, 10 Pi}]

Las instrucciones en Sage para graficar la misma ecuación polar, son

theta=var(’theta’)polar_plot(sin(2.4*theta)^2+cos(2.4*theta)^4, (theta, 0, 10*pi))

Usando estas intrucciones de Mathematica o Sage, obtenemos la curva polarque se muestra en la Figura 26. 2


r = sen2 1.2θ + cos3 6θ.


PolarPlot[Sin[1.2 theta]^2 + Cos[6 theta]^3, {theta, 0, 10 Pi}]


theta=var(’theta’)polar_plot(sin(1.2*theta)^2+cos(6*theta)^3, (theta, 0, 10*pi))


31

Figura 27: Gráfica de r = sen2 1.2θ + cos3 6θ.

Figura 28: Gráfica de r = sen θ + sen3 (5θ/2) .


r = sen θ + sen3 (5θ/2) .


PolarPlot[Sin[theta] + Sin[5 theta/2]^3, {theta, 0, 4 Pi}]


theta=var(’theta’)polar_plot(sin(theta)+sin(5*theta/2)^3, (theta, 0, 4*pi))


5.2.1. Ejercicios

Utilice Sage para graficar la curva polar. Elija el intervalo para el parámetropara asegurar que se trace la curva completa.

32

1. r = 1 + 2 sen(θ/2), (nefroide de Freeth)

2. r =√

1− 0.8 sen2 θ, (hipopede)

3. r = esen θ − 2 cos 4θ, (curva mariposa)

4. r = sen2 4θ + cos 4θ

6. Ecuaciones en coordenadas rectangulares y po-lares

Las curvas que estudiamos en la sección anterior se describen mejor en coor-denadas polares. Sin embargo, las ecuaciones de algunas curvas pueden ser mássimples en apariencia o sus propiedades más transparentes en un sistema decoordenadas que en otro. Por esta razón es útil saber como transformar unaecuación dada en un sistema de coordenadas en la correspondiente ecuación enel otro sistema.

Supongamos que la ecuación de una curva en el sistema de coordenadasrectangulares está dada por la ecuación y = f(x). Si, simplemente, hacemos lasubstitución

x = r cos θ, y = r sen θ,

tenemos la misma ecuación en un sistema de coordenadas polares. Tambiénpodemos tener la otra forma, así que si la ecuación de una curva está dada encoordenadas polares por la ecuación r = g(θ), la substitución

r2 = x2 + y2, θ = arctany

x,

transforma la relación en coordenadas rectangulares. En esta relación es, fre-cuentemente, más útil hacer las substituciones

sen θ =y√

x2 + y2, cos θ =

x√x2 + y2

, tan θ =x

y,

que utilizar la fórmula para θ.

Ejemplo 27. Encuentre la ecuación en coordenadas polares correspondiente allugar geométrico de la ecuación en coordenadas rectangulares

x2 + y2 − 3x = 0.

Solución. Substituyendo x = r cos θ, y = r sen θ, obtenemos

r2 − 3r cos θ = 0 o r (r − 3 cos θ) = 0.

Por consiguiente, el lugar geométrico es r = 0 o r = 3 cos θ. Debido a que el poloes parte del lugar geométrico de r = 3 cos θ (ya que r = 0 cuando θ = π/2), elresultado es

r = 3 cos θ.

Reconocemos este lugar geométrico como el círculo del Ejemplo 20.

33

Ejemplo 28. Dada la ecuación en coordenadas polares

r =1

1− cos θ,

encontrar la ecuación correspondiente en coordenadas rectangulares.

Solución. Escribimos

r − r cos θ = 1 o r = 1 + r cos θ.

Substituyendo r y cos θ, obtenemos

±√x2 + y2 = 1 + x.

Elevando ambos lados al cuadrado (una operación muy peligrosa, puesto quepuede introducir soluciones extrañas), obtenemos

x2 + y2 = 1 + 2x+ x2 o y2 = 2x+ 1.

Cuando elevamos al cuadrado en ambos lados introducimos el lugar geométricoextraño r = − (1 + r cos θ). Pero el lugar geométrico r = − (1 + r cos θ) es elmismo que r = (1 + r cos θ), lo cual se puede probar si se grafica ambos luga-res geométricos (se obtiene la misma parábola). Por consiguiente, el resultadocorrecto es y2 = 2x+ 1. 2

6.1. EjerciciosEn los ejercicios siguientes encuentre la ecuación en coordenadas polares.

1. x = 3

2. x+ y = 0

3. 3x+ y√

3 = 6

4. xy = 4

5. x2 + y2 + 2x− 4y = 0

En los ejercicios siguientes encuentre una ecuación polinomial en coordenadasrectangulares.

6. r = 7

7. r = 3 cos θ

8. r cos θ = 5

9. r2 cos 2θ = 4

10. r = 2 sec θ tan θ

11. r (1− 2 cos θ) = 2

34

7. Cálculo en coordenadas polaresEn esta sección utilizaremos los métodos del cálculo para derivar ecuaciones

polares y resolver problemas concernientes a la determinación de tangentes,áreas y longitud de arco de una curva.

7.1. Derivadas en coordenadas polaresSi r es una función de θ, r = f(θ), entonces las ecuaciones en coordenadas

rectangulares,x = r cos θ, y = r sen θ,

pueden considerarse como las ecuaciones paramétricas de una curva con θ comoel parámetro cuando sustituimos por r sus función de θ. Entonces tenemos

x = f(θ) cos θ, y = f(θ) sen θ.

Derivando, encontramos

dx

dθ= f ′(θ) cos θ − f(θ) sen θ,

dy

dθ= f ′(θ) sen θ + f(θ) cos θ.

La pendiente esdy

dx=dy/dθ

dx/dθ.

Suponga que la curva r = f(θ) tiene la apariencia que se muestra en laFigura 29. En el punto P se observa la recta tangente, y reconocemos que lapendiente de esta recta es tanφ. En coordenadas polares la pendiente no esparticularmente conveniente, pero el ángulo ψ entre la tangente y la línea quepasa por P y el polo es más útil. Como se ve en la Figura 29, ψ y φ tienen larelación simple

ψ = φ− θ,

y así

tanψ = tan (φ− θ)

=tanφ− tan θ

1 + tanφ tan θ.

Sabemos que

tanφ =dy

dx=dy/dθ

dx/dθ=f ′(θ) sen θ + f(θ) cos θ

f ′(θ) cos θ − f(θ) sen θ.

Es un buen ejercicio algebraico sustituir la expresión de tanφ en la fórmulapara tanψ y obtener la relación simple

tanψ =f(θ)

f ′(θ).

35

Figura 29: Derivada de y = f(θ).

Figura 30: Gráfica de r = 3e2θ.

También podemos escribir

cotψ =f ′(θ)

f(θ)=

1

r

dr

dθ, r 6= 0.

La significancia de la derivada en coordenadas polares es ahora más clara. Laderivada en un punto P está relacionada con el ángulo que la línea tangenteforma con la línea que pasa por P y el polo, de acuerdo a la fórmula para cotψ.

Ejemplo 29. Dada la curva r = 3e2θ, encontrar cotψ en cualquier punto ydibuje la curva.

Solución. Tenemos

cotψ =1

r

dr

dθ=

1

3e2θ· 3 · 2e2θ = 2.

En otras palabras, el ángulo que la tangente forma con la línea que va delpolo al punto de tangencia es siempre la misma. La curva, denominada espirallogarítmica, se muestra en la Figura 30.

7.1.1. Ejercicios

En los ejercicios siguientes, encuentre cotψ.

1. r = 2a cos θ

36

2. r = 2 (1 + cos θ)

3. r = 4θ

4. r = 3 + 2 cos θ

5. r = e5θ

7.2. Longitud de arcoPara obtener una fórmula para la longitud de arco en coordenadas polares de

la curva r = f(θ), a ≤ θ ≤ b, consideramos θ como un parámetro y escribimoslas ecuaciones paramétricas

x = r cos θ = f(θ) cos θ, y = r sen θ = f(θ) sen θ.

Derivando con respecto a θ obtenemos

dx

dθ=dr

dθcos θ − r sen θ,

dy

dθ=dr

dθsen θ + r cos θ.

Utilizando la identidad sen2 θ + cos2 θ = 1, tenemos(dx

dθ

)2

+

(dy

dθ

)2

=

(dr

dθ

)2

cos2 θ − 2rdr

dθsen θ cos θ + r2 sen2 θ

+

(dr

dθ

)2

sen2 θ + 2rdr

dθsen θ cos θ + r2 cos2 θ

o (dx

dθ

)2

+

(dy

dθ

)2

=

(dr

dθ

)2

+ r2.

Suponiendo que f ′(θ) es continua, podemos utilizar la expresión

L =

ˆ b

a

√(dx

dθ

)2

+

(dy

dθ

)2

dθ

para definir la longitud de arco.Así, la longitud de una curva con ecuación polar r = f(θ), a ≤ θ ≤ b, es

L =

ˆ b

a

√r2 +

(dr

dθ

)2

dθ.

Ejemplo 30. Encuentre la longitud de la curva r = 3e2θ desde θ = 0 hastaθ = π/6.

Solución. Tenemos dr/dθ = 6e2θ, y así

L =

ˆ π/6

0

√9e4θ + 36e4θdθ = 3

√5

ˆ π/6

0

e2θdθ =[32

√5e2θ

]π/60

.

Por tanto,L = 3

2

√5[eπ/3 − 1

]≈ 6.2 2

37

Figura 31: Area de un sector circular.

7.2.1. Ejercicios

Encuentre la longitud de arco:

1. r = 3θ2 desde θ = 1 hasta θ = 2

2. r = 2 (1 + cos θ)

3. r = 2e3θ desde θ = 0 hasta θ = 3

4. r = 3 cos θ desde θ = 0 hasta θ = π/4

5. r = 3 (1 + cos θ) desde θ = 0 hasta θ = π/2

7.3. Areas en coordenadas polaresPara el desarrollar la definición de áreas encerradas por curvas dadas en

coordenadas polares se necesitan dos conceptos. El primero, la idea de límite deuna suma y el segundo, la fórmula del área de un sector circular. Recordamosque el área de un sector circular de radio r con ángulo θ (medido en radianes)es, (Figura 31)

A =1

2θr2.

Supóngase que r = f(θ) es una función continua y positiva definida paratodos los valores de θ entre θ = a y θ = b, con 0 ≤ a ≤ b ≤ 2π. Construimoslos rayos θ = a y θ = b, y formulamos el problema de determinar el área de laregión R acotada por estos rayos y la curva con ecuación r = f(θ) (Figura 32).

Dividimos el intervalo cerrado [a, b] en subintervalos con puntos extremosθ0, θ1, θ2, . . . , θn e igual ancho ∆θ. Entonces los rayos θ = θi dividen la regiónR en n pequeñas regiones con ángulo central ∆θ = θi − θi−1. Si elegimos θ∗i enel i-ésimo subintervalo [θi−1, θi], entonces el área ∆Ai de la i-ésima región sepuede aproximar con el área del sector circular con ángulo central ∆θ y radiof(θ∗i ) (Figura 33).

Utilizando la fórmula de un sector circular, tenemos

∆Ai ≈ 12 [f(θ∗i )]

2∆θ

38

Figura 32: Area de R.

Figura 33: Subdivisión de R.

y por tanto una aproximación al área A de R es

A ≈n∑i=1

12 [f(θ∗i )]

2∆θ.

Esta aproximación puede mejorarse cuando n→∞. Como la sumatoria es unasuma de Riemann, tenemos

lımn→∞

n∑i=1

12 [f(θ∗i )]

2∆θ =

ˆ b

a

12 [f(θ)]

2dθ.

Por tanto, parece plausible que el área de la región R es

A =

ˆ b

a

12 [f(θ)]

2dθ.

Usualmente, la fórmula para el área se escribe

A =

ˆ b

a

12r

2dθ

donde r = f(θ).

39

Referencias[1] Haaser, Norman B., J.P. LaSalle and J.A. Sullivan. Introduction to Analysis.

Blaisdell Publishing Company, 1959.

[2] Courant R., F. John. Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 2. Wiley,1965.

[3] Bartle, Robert G., and C. Ionescu Tulcea. Calculus. Scott, Foresman andCompany, 1968.

[4] Protter, Murray H., and C. B. Morrey. Calculus with Analytic Geometry.Addison-Wesley, 1963.

[5] Apostol, Tom M. Calculus, One-Variable Calculus with an Introduction toLinear Algebra. Blaisdell Publishing Co., 1967.

[6] Stewart, James. Calculus. Early trascendentals. Brooks Cole, 2012.

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Curvas en el plano y ecuaciones paramétricas

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