Clculo de varias variables 1Actividad 2 Calculo Vectorial

Resuelve el siguiente problema: calcula la posicin de un objeto en un espacio tridimensional de acuerdo a dos observadores.

A la caza del submarino amarillo El submarino amarillo se encuentra bajo la superficie del mar y hay dos barcos caza submarinos en la superficie que intentan localizar la posicin del submarino amarillo para darle las coordenadas a un avin amigo que intercepte al submarino y le lance unas cargas explosivas para hundirlo. En un momento determinado, los dos caza submarinos, U y V se encuentran en las posiciones (10, 0, 0) y (0, 25, 0) respectivamente, tal y como se muestra en la figura.

Las coordenadas estn expresadas en millas nuticas. La nave U localiza al submarino en la direccin del vector 4 + 6 .- 2 . Y la nave V lo localiza en la direccin 10 6 . Hace cuatro minutos el submarino se localizaba en las coordenadas (10, 5, 10). El avin llegar a la zona en 20 minutos. El submarino se est moviendo en lnea recta a velocidad constante.

Qu posicin y direccin debern reportar las naves de la superficie al piloto del avin para que ste intercepte al submarino?

Desarrollaremos el problema:U=(10,0,0)U= 4i+6J-2k.V= (0,25,0)V=10i-6J-kS= (10,-5,-10)

Notificamos que al momento, ambos barcos se ponen a la posicin del submarino, lo que significa que debera encontrar la interseccin de las rectas:

El barco UX=10+4tuY=6tuZ=-2tuEl barco VX=10tvY=25-6tvZ=-tv

Interseccin de ambas rectas se igualan las ecuaciones:

1)10+4tu=10tv2)6tu=25-6tv3)-2tu=-tv quedando: tv=2tu

Sustituimos cada una de las ecuaciones:

1) 10+4tu-10tv=0 10+4tu-10(2tu)=0 10+4tu-20tu=0 10-16tu=0 tu=10/16=5/8

2)6tu-25+6tuv=0 6tu-25+6(2tu)=0 6tu-25+12(tu)=0 6tu-25+12tu=0 18tu-25=0 Tu=25/18 3) tv=2tu 2tu=2tu -2tu+2tu=0 0=0

Las ecuaciones se resolvieron por el mtodo de igualacin y son ecuaciones lineales:

Ahora damos solucin al problema por medio del clculo vectorial:

Vector direccin u = 4i-6j-2k posicin nave U (10, 0, 0)Vector direccin de v = 10i-6j-2k posicin nave V (0, 25, 0)Posicin inicial del submarino (10, -5, -10)

Interpretacin para encontrar la posicin de una recta que vaya en igual direccin al movimiento del submarino y que pase por (10, -5, -10), as mismo encontrar el punto de interseccin donde ser cazado el submarino en tiempo t = 4+20 minutos.

El planteamiento del problema queda de la siguiente manera:

U la recta en direccin al vector u y ecuacin paramtrica U:{ x=10+4u, y=6u, z=-2u }V la recta en direccin al vector v y ecuacin paramtrica V:{x=10v, y=25-6v, z=-v}L la recta en direccin al vector direccin del submarino y ecuacin paramtrica L:{x=10+at, y=-5+bt, z=-10+ct}

P1 el punto donde la nave U detecta al submarino.P2 el punto donde la nave V detecta al submarino.

Los componentes de la recta del submarino a, b y c son las incgnitas a encontrar: la ecuacin que describe el movimiento del submarino, as como tambin su vector direccin y sentido

Calcularemos los valores de a, b y c de tal forma que la recta L (direccin del submarino) sea intersecada en P1 y P2 por U y V .

Interseccin en P1En el punto P1 se intersecan las rectas L y U X1= 10+at=10+4u y1= -5+bt=6u z1= -10+ct=-2u

Multiplicando estas ecuaciones por (1/t) y desarrollando obtenemos una ecuacin en trminos de a, b y c.7a+4b-2c=0 (1)

El punto de interseccin P2 se intersecan las rectas L y V, entonces x2= 10+at=10v y2=-5+bt=25-6v z2= -10+ct=-v

Multiplicando estas ecuaciones por (1/t) y desarrollando obtenemos una ecuacin en trminos de a, b y c.a+3b-8c=0 (2)

Obtenemos un sistema de dos ecuaciones con tres incgnitas7a+4b-2c=0 (1)a+3b-8c=0 (2)

Suponiendo que el submarino vaya en recta ascendente, en algn momento llegara a la superficie donde z=0, o sea z=-10+ct=0 tiene que alcanzar la superficie en un tiempo t > 4+20 minutos, demos un valor de t = 25 minutos. z=-10+ct=0 -10+ct=0 ct=10 c=10/t c=10/25 c=2/5

Sustituyendo este valor en (1) y (2)7a+4b-2(2/5)=0 7a+4b=0.8 (1)a+3b-8(2/5)=0 a+3b=3.2 (2)

El sistema de ecuaciones lineales con dos incgnitas y se calcul por el mtodo Gauss- Jordn, se obtienen soluciones para a y ba=0.416b=0.928

Realizacin de clculos de c es c = 0.4La recta que describe la trayectoria del submarino es L:{x=10+at, y=-5+bt, z=-10+ct} sustituyendo los valores encontrados de a, b y c obtenemos la ecuacin de la recta siguiente:

L:{x=10+(0.416)t, y=-5+(0.928)t, z=-10+(0.4)t}

Que posicin y direccin deben reportar las naves de la superficie al piloto del avin para que este intercepte al submarino?

Se calcul aplicando la ecuacin anterior.

La direccin del submarino es el vector l = ai + bj + ck = 0.416i + 0.928j + 0.4k.

La posicin donde ser cazado el submarino es al transcurrir un tiempo t=4+20 minutos.x=10+0.416(24)=10+9.984=19.984y=-5+0.928(24)=-5+22.272=17.272z=-10+0.4(24)=-10+9.6=-0.4

La grafica muestra los puntos donde el submarino es detectado en P1 y en P2, el punto donde es interceptado por la carga explosiva y el punto en la superficie donde debe salir el submarino en la superficie, en caso de no ser destruido. Recordemos que la coordenadas estn expresadas en millas nuticas

En la grfica utilizbamos geogebra:

El punto E y el punto F son las intersecciones de las rectas, como se ve en la imagen: