D de Microondas
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Laboratorio de Física Contemporánea Difracción de Bragg con Microondas 1 Facultad de Ciencias, UNAM Difracción de Bragg con Microondas Angulo Cervera José Elías Departamento de Física, Facultad de Ciencias, UNAM. Circuito Exterior S/N, Ciudad Universitaria, C.P. 04510, México D.F., México. 23 de Noviembre de 2012 Resumen Se realizo el experimento de Difracción de Bragg con Microondas obteniendo en primera instancia una longitud de onda de entre 2.82 y 3.03 cm. Posteriormente se analizó la difracción en un modelo de cristal cúbico obteniendo una distancia interplanar de 4.86 +/- 0.324cm para el plano (100), 5.79 +/-0.435 cm para el plano (110) y 4.20 +/- 0.362 cm para el plano (210). Objetivo Medir la longitud de onda de la radiación de microondas usada y determinar la distancia interplanar del modelo mecánico simple de un cristal con estructura cubica simple. 1. Introducción 1.1 Ley de Bragg Las microondas son ondas de radio de alta frecuencia entre 1GHz y 300GHzy por consiguiente de longitud de onda corta entre 1mm y 30cm. La longitud de onda λ es la distancia a la que se repite la forma de la onda (Figura 1). Si la velocidad de propagación v es constante, la longitud de onda es inversamente proporcional a la frecuencia f: Fig. 1: Longitud de onda La difracción de Bragg, que usualmente se realiza utilizando Rayos X (λ ˜ algunos Angstroms), es un método experimental sumamente útil para estudiar la estructura atómica (cómo están colocados diferentes planos de átomos) de un sólido cristalino. Es ley permite estudiar las direcciones en las que la difracción sobre la superficie de un cristal produce interferencias constructivas o destructivas. Si tenemos un sólido y consideramos un cierto conjunto de planos de átomos paralelos (Fig. 2)y una radiación incidente sobre ellos en forma de onda plana, con un ángulo θ respecto del plano atómico en cuestión, si la longitud de onda es del orden de la separación entre los átomos, cada plano se comportará como una superficie parcialmente reflectora. Aunque en cada plano la reflexión es especular (θi = θr ), sólo en ciertos
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Laboratorio de Física Contemporánea Difracción de Bragg con Microondas
1 Facultad de Ciencias, UNAM
Difracción de Bragg con Microondas
Angulo Cervera José Elías
Departamento de Física, Facultad de Ciencias, UNAM. Circuito Exterior S/N, Ciudad Universitaria, C.P. 04510, México D.F., México.
23 de Noviembre de 2012
Resumen
Se realizo el experimento de Difracción de Bragg con Microondas obteniendo en primera instancia una longitud de onda de entre 2.82 y 3.03 cm. Posteriormente se analizó la difracción en un modelo de cristal cúbico obteniendo una distancia interplanar de 4.86 +/- 0.324cm para el plano (100), 5.79 +/-0.435 cm para el plano (110) y 4.20 +/- 0.362 cm para el plano (210).
Objetivo
Medir la longitud de onda de la radiación de
microondas usada y determinar la distancia
interplanar del modelo mecánico simple de un
cristal con estructura cubica simple.
1. Introducción
1.1 Ley de Bragg
Las microondas son ondas de radio de alta
frecuencia entre 1GHz y 300GHzy por
consiguiente de longitud de onda corta entre 1mm
y 30cm.
La longitud de onda λ es la distancia a la que se
repite la forma de la onda (Figura 1). Si la
velocidad de propagación v es constante, la
longitud de onda es inversamente proporcional a
la frecuencia f:
Fig. 1: Longitud de onda
La difracción de Bragg, que usualmente se realiza
utilizando Rayos X (λ ˜ algunos Angstroms), es un
método experimental sumamente útil para estudiar
la estructura atómica (cómo están colocados
diferentes planos de átomos) de un sólido
cristalino. Es ley permite estudiar las direcciones
en las que la difracción sobre la superficie de un
cristal produce interferencias constructivas o
destructivas.
Si tenemos un sólido y consideramos un cierto
conjunto de planos de átomos paralelos (Fig. 2)y
una radiación incidente sobre ellos en forma de
onda plana, con un ángulo θ respecto del plano
atómico en cuestión, si la longitud de onda es del
orden de la separación entre los átomos, cada
plano se comportará como una superficie
parcialmente reflectora. Aunque en cada plano la
reflexión es especular (θi = θr ), sólo en ciertos
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ángulos habrá interferencia constructiva de todos
los haces reflejados en todos los planos de
átomos paralelos.
Fig 2: interferencia constructiva y destructiva.
La hipótesis de Bragg consiste en imaginar la
difracción como una reflexión de los rayos X
originada por unos “espejos” imaginarios formados
por los okanos de atomos de la red cristakena y
qye debido a la baruraleza repetitiva del cristal
estarían separadas por distancias constantes d fig
3.
Fig. 3: Esquema de la Ley de Bragg
De la figuara 3 tenemos que si un par de rayos X
inciden sobre un conjunto de espejos con un
angulo , se reflejaran sobre dichos “espejos” solo
si la diferencia de caminos recorridos por los
frentes de onda OF y OH es un numero entero de
longitudes de onda :
FG + GH = n
pero
FG = GH
y
sen = FG/d = GH/d
Por lo que vamos a tener que nuestra ecuación
queda de la siguiente manera:
2dsen = n (1)
Que es la ley de Bragg. Nótese que si cada plano
fuera un reflector perfecto, entonces solo el primer
plano sería alcanzado por la onda y cualquier
longitud de onda seria reflejada. Entonces la ley
de Bragg es una consecuencia de la periodicidad
de la red de átomos que forman el cristal.
Es fácil ver que existirá la difracción de Bragg
solamente si ≤ 2d. Por eso si se quiere estudiar
la estructura atómica de un solido cristalino deben
utilizarse rayos X.
Las microondas (utilizadas en nuestro
experimento) tienen una longitud de onda de
algunos centímetros y pueden ser utilizadas para
estudiar un modelo ampliado de un sólido
cristalino.
1.2 Índices de Miller
Los átomos en un sólido están empaquetados,
con lo que existe un cierto grado de orden:
de corto alcance (sólidos moleculares,
con enlaces fuertes- covalentes- entre
átomos y más débiles– van der Waals-
entre moléculas).
de largo alcance (sólidos cristalinos)
En el interior de un sólido cristalino existe una
estructura cristalina formada por una red espacial,
en cada punto de la cual se sitúan grupos de
átomos idénticos en composición y orientación
(base).La geometría de la red espacial debe
permitir que se llene todo el espacio de átomos sin
dejar huecos, característica que hace que sólo
existan 14 tipos de redes posibles (redes de
Bravais), caracterizadas por una celda unitaria
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cada una, que, a su vez viene definida por una
serie de parámetros (a,b,c y α , β , γ).
Para identificar los diferentes planos y direcciones
en un cristal se usan los índices de Miller (para
planos (hkl), para direcciones [hkl]).
La orientación de una superficie de un cristal
plano se puede definir considerando como el
plano corta a los ejes cristalográficos principales
del sólido. La aplicación de un conjunto de reglas
conduce a la asignación de los índices de Miller
(hkl); un conjunto de números que cuantifican los
cortes y que sólo puede usarse para identificar un
plano o una superficie.
El siguiente procedimiento que permite asignar
índices de Miller está simplificado y sólo sirve para
el sistema cúbico (con celda unitaria de
dimensiones a x a x a )
En el sistema cúbico el plano (hkl) y el vector [hkl],
definido con respecto al origen, son
perpendiculares. Esta característica es única del
sistema cúbico y no se puede aplicar a sistemas
de simetría inferior.
La distancia entre planos en el sistema cúbico
viene dada por:
2. Desarrollo experimental
Para realizar la práctica se utilizaron los siguientes
materiales:
Receptor y emisor de microondas
Multímetro
Modelo de un cristal cubico (unicel)
2.1 Medición de la longitud de onda.
En primera instancia se procedió a determinar la
longitud de onda de nuestro emisor mediante dos
métodos experimentales.
El primero fue con el método de ondas
estacionarias, este consiste en poner el receptor y
el emisor apuntando en la misma dirección y
colocar frente de ellos una pantalla (fig. 4) para así
generar las ondas estacionarias, para poder medir
los antinodos o máximos de intensidad de nuestra
onda se alejó la pantalla del emisor y transmisor
cada 0.2 cm y se tomó una lectura de la
intensidad (mA) que registraba el receptor con
respecto de la distancia.
Fig. 4: Método de ondas estacionarias para la medición
de la longitud de onda.
Para el segundo método se colocaron el receptor
y el emisor de frente apuntando uno al otro (fig. 5),
posteriormente se alejó el receptor cada 0.2 cm
para obtener de nuevo una lectura de la
intensidad que registraba el receptor con respecto
de la distancia y así obtener los antinodos y poder
determinar la longitud de onda.
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Fig. 5: Búsqueda de máximos de intensidad para la
medición de la longitud de onda.
2.2 Medición de la distancia Interplanar.
Para determinar la distancia interplanar se
colocaron el receptor y el emisor en los brazos del
goniómetro y el modelo del cristal en el centro (fig.
6), posteriormente se fueron girando los brazos de
grado en grado dejando el cristal inmóvil y se
registro la intensidad que detectaba el receptor
con respecto del ángulo para poder obtener un
patrón de intensidad con respecto del ángulo de
incidencia sobre el cristal.
Fig. 6: Montaje experimental para la determinación de
la distancia interplanar.
Este método se utilizo para determinar la distancia
interplanar de los planos (100) , (110) y (2,1,0).
Fig.
7: Esquema de los planos (100) y (110) de la red
cubica simple.
Este procedimiento se utilizo en ambos modelos
,el modelo del cristal cubico de unicel y el modelo
que se armó con los magnetix.
3. Análisis y Resultados
3.1 Longitud de onda.
Para la primera parte del experimento, que fue la
de obtener la longitud de onda se obtuvo lo
siguiente.
Para con el primer método en el que se utilizo una
pantalla se obtuvo una distancia promedio entre
máximos de 1.5±0.415cm como se muestra en la
tabla 1 en la cual se muestra solo las distancias
en la que se encontraban los máximos.
Posición Lectura del multímetro
(± 0.05 cm) (± 5% mV)
97.5 0.1
96 0.09
95.6 0.11
94.2 0.1
92.8 0.08
91.3 0.09
89.8 0.11
88.4 0.12 Tabla 1: Maximos de intensidad para el método de
ondas estacionarias.
.
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Para el segundo método, en el que se colocaron
el emisor y el receptor de frente se obtuvo una
distancia entre máximos promedio de
1.41±0.106cm como se muestra en la tabla 2 la
que contiene solo las distancias en las cuales se
detectaron los máximos de intensidad
Posición Lectura del multímetro
(± 0.05 cm) (± 5% mV)
84.5 0.08
85.9 0.1
87.4 0.12
88.9 0.1
90.3 0.09
91.7 0.09
93 0.1
94.4 0 Tabla 2: Máximos de intensidad para el método de
búsqueda de máximos.
3.2 Distancia Interplanar.
Para la distancia interplanar de nuestros modelos
cristalinos se despejó d de la ecuación (2) y se
tomó n=1 pues no se pudo obtener un múltiplo de
la longitud de onda, por lo que se tiene que
d=/2sen
Ahora se presenta la tabla de los resultados
generales sobre los picos donde la radiación era
un máximo para los tres planos:
Orden del Máximo
Plano 100 ±0.5°
Plano 110 ±0.5°
210 ±0.5°
1 - - 27
2 40 26 40
3 69 60 73
4 88 Tabla 3: Grados donde se encontró un máximo de
intensidad para los distintos planos del cristal.
Y las distancias obtenidas mediante bragg son:
Orden del máximo Plano 100
2 4.400475967
3 4.544715187
4 5.660591136
Promedio 4.868594097 ± 0.324
cm
Orden del máximo Plano 110
2 6.452458035
3 4.899229427
4 6.020205684
Promedio 5.790631049 ± 0.435
cm
Orden del máximo Plano 210
2 3.775389273
3 4.400475967
4 4.436720738
Promedio 4.204195326 ± 0.362
cm Tabla 3,4 y 5: Distancias obtenidas para los planos
100, 110 y 210 respectivamente
Cuando medimos directamente la distancia de los
planos con una reglde 30 cm se obtuvo que:
Medido ± 0.05 cm
plano 100 4.3
plano 110 5.8
plano 210 3.7 Tabla 6, distancia interplanar medida directamente
4. Conclusiones.
Se pudo determinar una longitud de onda de
manera precisa y con un error muy pequeño sin
ningún problema pese a que uno de los métodos
(pantalla) fue impreciso dado que la pantalla tenía
dos huecos de considerable tamaño en la parte
central, sin embargo lo resolvimos tapándolos con
dos capas de papel aluminio. Para la distancia
interplanar de los modelos cúbicos solo nos fue
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posible obtener los maximos de orden superior a
uno y son un poco imprecisos (ver apéndice),
pese a esto se obtuvieron para los planos 110 y
100 resultados que concordaban con la medición
directa con regla. Para el caso del plano 210 los
resultados están, incluso considerando la
incertidumbre, fuera del real, esto lo atribuyo a la
no cubicidad del arreglo y a errores achacables al
estado del arreglo cubico así como del receptor.
6. Bibliografía.
[1] Manual de operación del receptor y transmisor
de microondas.
[2] H. F. Meiners Physics Demostration
Experiments VolII, The Ronald Press Company,
New York 1970
[3] A. J. Deker Solid State Physics, Prentice Hall,
New York ,1962
[4] H. F. Meiners, Laboratory Physics, 2ª Ed. John
Wiley &Sons Inc. United States of America, 1987
[5] http://es.wikipedia.org/wiki/Microondas
[6] http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_onda
Apendice
Distancias interplanares
Para el plano 100 los datos obtenidos fueron
Angulo (± 0.5 º) Voltaje (± 5% mV) Angulo (± 0.5 º) Voltaje (± 5% mV)
20 -40 55 -50
21 -52 56 -58
22 -58 57 -25
23 -59 58 52
24 -55 59 130
25 -47 60 100
26 -42 61 42
27 -31 62 78
28 -39 63 193
29 -47 64 400
30 -52 65 760
31 -51 66 854
32 -38 67 947
33 9 68 1183
34 94 69 2140
35 200 70 2260
36 390 71 840
37 600 72 733
38 820 73 642
39 943 74 400
40 1000 75 300
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41 1020 76 140
42 920 77 -44
43 750 78 159
44 540 79 661
45 302 80 1170
46 120 81 1120
47 18 82 1100
48 -36 83 1600
49 -52 84 2950
50 -30 85 4980
51 -5 86 5050
52 20 87 5050
53 20 88 5050
54 28 89 5110
90 5200
Cuya gráfica es
90, 5050
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 20 40 60 80 100
Vo
ltaj
e (
± 5
% m
V)
Angulo (± 0.5 º)
Series1
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Para el plano 110 los datos obtenidos fueron
Angulo (± 0.5 º) Voltaje (± 5% mV) Angulo (± 0.5 º) Voltaje (± 5% mV)
20 -37 56 156
21 -32 57 224
22 -20 58 227
23 -3 59 194
24 10 60 245
25 18 61 345
26 15 62 250
27 2 6 3 1 15
28 -9 64 105
29 -31 65 204
30 -43 66 200
31 -50 67 28
32 -52 68 -37
33 -51 69 14
34 -47 70 82
35 -43 71 40
36 -40 72 0
37 -37 73 -24
38 -39 74 -26
39 -41 75 14
40 -46 76 95
41 -52 77 180
42 -55 78 234
43 -57 79 318
44 -55 80 657
45 -50 81 1190
46 -45 82 1808
47 -36 83 2109
48 -24 84 2580
49 -25 85 3214
50 -28 86 4500
51 -22 87 5005
52 -17 88 5050
53 -15 89 5050
54 -5 90 5050
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Cuya gráfica es
Y finalmente para el plano 210
Angulo (± 0.5 º) Voltaje (± 5% mV) Angulo (± 0.5 º) Voltaje (± 5% mV)
20 -47 56 -57
21 -44 57 -48
22 -43 58 -32
23 -46 59 -34
24 -48 60 -48
25 -46 61 -38
26 -44 62 -18
27 -41 63 -24
28 -43 64 -54
29 -47 65 -53
30 -49 66 -16
31 -52 67 0
32 -49 68 -25
33 -35 69 -53
34 -6 70 -21
35 32 71 55
36 90 72 120
37 152 73 42
38 215 74 -43
39 260 75 -23
40 268 76 82
41 247 77 150
42 204 78 155
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 20 40 60 80 100
Vo
ltaj
e (
± 5
% m
V)
Angulo (± 0.5 º)
Series1
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10 Facultad de Ciencias, UNAM
43 139 79 239
44 69 80 570
45 22 81 1380
46 -16 82 2100
47 -37 83 2500
48 -51 84 3000
49 -56 85 4000
50 -53 86 5050
51 -54 87 5050
52 -50 88 5050
53 -45 89 5050
54 -52 90 5050
Datos graficados:
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
0 20 40 60 80 100
Vo
ltaj
e (
± 5
% m
V)
Angulo (± 0.5 º)
Series1
