Dados N puntos en el plano, averiguar el nº de rectas determinadas por ellos.

Observaciones:

2 Es necesario saber como están situados dicho ptos. en el plano. Información que complementaremos nosotros mediante supuestos. Empezaremos por el

supuesto que algunos ven implícito en el enunciado original. Supuesto 1:

3. Podemos resolver el problema de forma INDUCTIVA (lo que se acomoda al conocido heurístico: EMPIEZA POR LO FÁCIL y ve observando, anotando, analizando lo que pasa, conforme lo vas haciendo más difícil) o atacarlo directamente en su formulación general

1. Tendremos que hacer uso del intuitivo axioma de Euclides: “2 ptos. determinan una recta”

Entre los N ptos. dados, no existen 3 que estén en la misma recta. (Después, se pueden plantear supuestos: supuesto 2, supuesto 3, etc.)

INVESTIGACIÓNDiaposit. 1

En nuestro caso lo fácil o difícil depende del valor de N, así que, construyamos unatabla empezando por lo más sencillo: N = 2, 3, 4, 5, 6... N.

Recordemos enunciado completo en supuesto 1 : Dados N ptos. en el plano, averiguar el nº de rectas determinadas por ellos. Entre los N ptos. dados, no existen 3 que estén en la misma recta.

N(nº de ptos.) Representación (nº de rectas determinadas) R

21

3

4

5

3

6

4*5=20. 4 rectas desde el vértice elegido. ¿y

desde los otros vértices?: ¡otras 4!

.....

¡Pero cada recta está contada 2 veces!

Para “arreglarlo” tendré que contar sólo la mitad de ellas20/2 = 10

Diaposit. 2

2 1

3 3

4 6

5 4 rectas desde el vértice elegido. ¿y

desde los otros vértices?: Otras 4.

¡Pero cada recta está contada 2 veces!

Para “arreglarlo”, tendré que contar sólo la mitad de ellas:

4desde cada vértice*5vértices =20

20/2= 10

N(nº de ptos.) Representación (nº de rectas determinadas) R

65 rectas desde el pto elegido (las que

resultan al unir con el resto de ptos.) 5desde cada vértice*6vértices =30

Al igual que en el caso anterior,si cuento todas las rectas que pasan por cada pto., cada recta la habré contado en 2 ocasiones (en los 2 ptos. que la determinan), luego he de “arregrarlo”:

30/2= 15

Diaposit. 3

Y ahora, supongamos que tengo N ptos. (o vértices) numerados. 1

2

3

4

5

6

7

N-2

N-1

N Enlacemos uno de ellos (p. e. el “N”) con el resto.

¿Cuántas rectas salen?

¡Tantas como ptos. con los queunir N, es decir N-1 rectas!

Luego si de un pto cualquiera (todos son “iguales”), salen N-1 rectas, dado que tengo N ptos., está claro (“casi”) que en total tendré N*(N-1) rectas.

El “casi” es una pequeña “metedura de pata”, porque por ese procedimiento cada rectala he contado “exactamente” 2 veces y sólo debo contarla 1 vez... El asunto tiene fácilarreglo si “la descuento 1 vez de cada 2 contadas”, lo cual equivale contar sólo la

mitad de las que salían en el párrafo anterior, es decir, quedaría: N*(N-1)/2 rectas

Diaposit. 4

Enunciados alternativos en el supuesto 1

1. Contexto no geométrico: A una fiesta acuden N amigos, todos sesaludan entre sí. ¿Cuántos saludos se producen?

2. Contexto geométrico: ¿Cuánto suman los lados y las diagonales deun N-gono?

PROBLEMA RELACIONADO CON EL SUPUESTO 1Si sólo se preguntara por el nº de diagonales de un N-gono, se podría aprovechar lo ya hecho (restando N a la expresión obtenida al final de la diapositiva anterior), o bien contar directamente las diagonales por parecido procedimiento al utilizado para las rectas… lógicamente, ambas expresiones algebraicas deben ser equivalentes.

1

23

4

56

N-1

N OBSERVACIÓN METODOLÓGICA:Contar doble [ N*(N-1) ], para luego dividir por 2 [ N*(N-1)/2 ],resulta, sin duda, más artificioso que ir sumando ordenadamente[ (N-1) + (N-2) + … +5+4+3+2+1+0) ] en alusión a los desplazamien-tos que realizan, respectivamente, desde el gato N, hasta el gato 1 (que no necesita moverse, pues todos han venido a saludarle). Se podría pues adoptar esta opción desde el principio (3º columnade diapositivas 3) y deducir la fórmula del final de la diapositivaanterior en el nivel puramente matemático.

Diaposit. 5

Presentación realizada con la versión Xp del Office. Para versiones anteriores pueden alterarse algunos efectos.

Supongamos que los N ptos. están alienados. (Sería el caso

“opuesto” del supuesto 1). Es decir:

1

2

3

4

5

6

N-1

N

7

Supuesto 2

¡Es obvio que sólo hay una recta determinada por tales puntos. Justola recta que indica el alineamiento!

¿Cuántas rectas salen?

Diaposit. 6

Supongamos que de los N ptos. (N-1) están alineados y 1 pto. (el último de ellos) fuera de dicha línea recta, es decir :

1

2

3

4

5

6

N-1

N

7

Supuesto 3

+¿Cuántas rectas salen?

Serán N: 1 (del alineamiento) + N-1(de unir el “N” con el resto de ptos.)

Diaposit. 7

Etc.

¿Puedes representar algún supuesto más?

¿Se podrá hacer algún tipo de generalización en función del númerogrupos de ptos. alineados, el número ptos. que conforman cadagrupo alineado, el número de ptos. que pertenecen a varios alineamientos a la vez …?

Este etc. es para que tú sigas investigando.

Domingo Revilla Martínez.Dpto: Didáctica de las Cc. Experimentales y las Matemáticas.Fac: Formación del Profesorado. Univ. de Extremadura. Cáceres. EspañaE-mail: drevilla@unex.es

Diaposit. 8