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TEMAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO ECUACI0NES DIFERENCIALES

INDICE Definición…………………………………………………. Clasificación de E. D……………………………………. Orden y grado…………………………………………….. E. D. Tipo Variables Separables……………………….. o Función Homogénea E. D. de 1er Orden Tipo Homogéneas………………….. Ecuaciones que pueden ser llevadas a homogéneas…………...

Caso rectas coincidentes Caso rectas incidentes Caso rectas para1e1as

E. D. Tipo Lineal…………………………………………… E. D. Tipo Bernoulli………………………………………… E. D. Tipo Clairaut…………………………………………. E. D. Tipo Ricatti…………………………………………. E. D. Exactas………………………………………………

Factor integrante: Familia De Trayectorias Ortogonales……………………

Cálculo de la F. T. O. Circunferencia Osculatriz………………………………… Envolvente…………………………………………………. Evoluta – Evolvente………………………………………. E. D. de Segundo Orden, con coeficientes constantes….

Raíces Reales distintas Raíces Reales coincidentes Raíces Complejas conjugadas

E. D. de Segundo Orden, Lineales, no Homogéneas (Completas) ……………………………………………….. Integración de Funciones Racionales

o Alfabeto Griego o Bibliografía

Profesor Juan Carlos Serruya Matemática y Astronomía 2009

2 3 3 4 5 5 6 6 7 9 10 11 11 12 13 15 18 19 22 23 28 32 33 33 34 35 39 41 41

1

Profesor Juan Carlos Serruya. Página 2 / 41 Matemática y Astronomía.

. MATEMÁTICA: Tenemos lo siguiente: una cuenta (operación)

1 + 1 = 2 esto es adición igualdad (como relación) operación 3 + x = 7 esto es adición

igualdad (con un número desconocido)

⇓ Ecuación Algebraica

Ecuación Algebraica: igualdad en la cual figuran números o cantidades desconocidas. Este año veremos otro tipo de ecuaciones. Sean xf x y xg 2 x :

xf x xg 2 x ↑

1xf ← derivando → 2xg Reemplazando → xgg xx Hemos obtenido en cada caso una Ecuación Diferencial x → número (Ecuaciones algebraicas) En las ecuaciones las incógnitas son xg

xf Definición:

Se llaman Ecuaciones Diferenciales a las ecuaciones que contienen variables, derivadas o diferenciales de una función incógnita, y ninguna constante arbitraria.

Una Ecuación Diferencial es una propiedad física escrita en términos matemáticos. También puede escribirse o interpretarse: 0...,, nyyyxF ED

nxxxx ..., 21 Variable independiente

xfy Solución Definición:

Primitiva de xf es una función y tal que xfy

xfdxdy

dxfdy x

CdxfKdy x

Agrupando las constantes: Cdxfdy x

Cdxfy x

Cy x Solución General Para cada valor asignado a la constante arbitraria C se obtiene una solución particular

de la ecuación dada.

Funciones (Ecuaciones diferenciales)

→

→

Temas de Análisis Matemático Página 3 / 41

Clasificación de E. D.

1) E. D. ordinarias, cuando la función incógnita es de una sola variable (puede ser o no derivadas sucesivas)

xfy

2) E. D. derivadas parciales, cuando la función incógnita es de varias variables.

lyxfz ..., Orden y grado Orden: se llama orden de una ED al orden de la derivada de mayor orden que en ella figura. ↓

0...,,, nyyyyxf Ejemplos: Orden yyy 1 3

5ln23 xyy 3 2yyyv 5

xxy cos2 ED: No es ED. No tiene derivada NO se dice “orden cero” no tiene sentido.

Grado: se llama grado de una ED al exponente de la derivada de mayor orden que en ella figura, luego de haber expresado la ED en forma polinómica respecto de la variable dependiente y su respectiva derivada.

yy 3 1 → 31 yy Orden 2 Grado 3

yyy

1

→ yyy 1 → yyyy 1 Orden 2

Grado 1 Solución:

Resolver o integrar una E. D. es encontrar la o las funciones que la verifican. Generalmente las soluciones son infinitas. Hay tres tipos de Solución:

a) Solución o integral general SG b) Solución o integral Particular SP c) Solución o integral Singular SS

Las ED pueden clasificarse en: → polinomiales → no polinomiales Y según sus coeficientes: → coeficientes constantes a y`+ 2 y = 3 (en este caso a es una constante desconocida) → coeficientes variables 3 x2 y + 3 y = 0

Dada la ED de 1er orden en forma implícita 0,, yyx

Si es posible despejar y , se lleva la expresión dada anteriormente a la forma normal o explícita: yxy ,

yx, es una función uniforme definida en un dominio ℝ de las variables x e y. La ecuación diferencial yxy , asocia a cada punto del plano de coordenadas 00 , yxP con la

pendiente de coeficiente angular 000 , yxm es decir la curva integral que pasa por el punto 00 , yxP tiene tangente cuya pendiente angular es el valor que toma la función en el punto P.

a con

en


E. D. Tipo: variables separables Sea: 0

)(2)(2)(1)(1 dydxyxyx NMNM ①

Haciendo Álgebra: dydx

yxyx NMNM 2211

dydxY

Y

X

X

NN

MM

1

2

2

1

Integrando: CdyyKdxxNN

MM )(

1

2

2

1 ② (una constante absorbe la

otra)

Llamando: )(1

2

1x

xMM ③ ∧

yy

NN 2

1

2 )( ④

Reemplazando ③ ∧ ④ en ②, integrando y haciendo cuadratura:

CCdydx yxyx

)()(2)(1 Solución General.

Ejemplo 1: 0212 dyxyydxy ① Efectuando pasaje de términos: dyxyydxy 212 Sacando factor común y en el segundo miembro: dyxydxy 212

Agrupando convenientemente: dyy

yx

dx12 2

②

Integrando ②:

dy

yyC

xdx

12 2 ③

Sea: 12 yu ④ ⇒ dyydu 2 ⇒ dyy

du

2 ⑤

Reemplazando ④ ‸ ⑤ en el segundo miembro de ③:

1ln21

ln21

21

22212

2

y

uudu

udu

uyydu

ydu

uydy

yy

Haciendo cuadratura en el primer miembro de ③: xx

dx

2ln2

Haciendo: KC ln

La ecuación ③ queda: 1ln21ln2ln 2 yKx

Entonces Kxy ln2ln1ln21 2 ⇒ Kxy ln2ln1ln 2 ⇒

⇒ K

xy

ln2

1ln

2

⇒ K

xy

212

⇦

Elevando al cuadrado:

22

2

21 K

xy

⇒

Cx

y

2

2

21

⇒ 12 2 xCy

↑

Esta expresión es solución de la ecuación diferencial planteada

Forma explícita en y


o Función Homogénea

Dada una función z=f (x, y,l ) se dice que la misma es una función homogénea de grado k / k ℝ cuando al sustituir cada variable por la misma variable multiplicada por λ se obtiene como respuesta el

producto de dos factores donde uno de ellos es λk y el otro la f inicial.

z=f (x, y,l ) es una función homogénea de grado k / k ℝ f (xλ,yλ,lλ) = λk f (x,y,l ) ( k grado de homogeneidad)

Ecuaciones Diferenciales de 1er orden Tipo HOMOGÉNEAS

Sea la E D: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 ① / P ∧ Q funciones homogéneas de igual grado

① es E D homogénea se cumple: y mx ② dy dm.x + m.dx ③

Reemplazando ② ∧ ③ en ①:

P(x, mx) dx + Q(x, mx) (dm.x + m.dx) = 0

Al ser P ∧ Q funciones homogéneas: xk P( 1, m ) dx + xk Q( 1, m ) (x . dm + m.dx) = 0 Cancelando y ordenando: (P( 1, m ) + m Q( 1, m ) ) dx + x . Q( 1, m ) dm = 0 Luego:

mm

m

mQPdmQ

xdx

,1,1

,1

mm

m

QmPdmQ

x,1,1

,1

.ln E. D. de Variables Separables

Acomodando un poco más:

Ñ

QmPdmQ

mm

m

exln

. ,1,1

,1

mm

m

QmPdmQ

Ñ eex ,1,1

,1

.

mm

m

QmPdmQ

eCx ,1,1

,1

. E. D. de Variables Separables


Ecuaciones que pueden ser llevadas a homogéneas:

Dada la ecuación diferencial del tipo:

222

111

cybxacybxa

dxdy ①

se considera en éste caso el sistema de ecuaciones siguiente:

a1 x + b1 y +c1 = 0

a2 x + b2 y + c2 = 0 ② el cual representa en el plano un par de rectas.

Estas rectas pueden: a) ser coincidentes b) cortarse en un punto c) ser para1e1as

Caso a) Rectas coincidentes: Si 1as rectas son coincidentes significa que los coeficientes de las variables y los términos independientes son proporcionales, por tanto:

2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa (constante de proporcionalidad)

Este sistema ② es indeterminado, y el determinante del mismo es igual a cero. Podemos expresar la ecuación original

222

222

cybxacybxa

dxdy

Sacando factor común λ, tenemos que:

222

222

cybxacybxa

dxdy ⇒ K

dxdy

1

O sea Kdxdy

Luego la solución será: dy = K dx

Integrando: dy = K dx

Por cuadratura: y = K x + C


X

Y

0 x

r1

r2

O'

x0

y

y0

Caso b) Rectas incidentes: Si las rectas dadas por el sistema ② se cortan en un punto éste sistema es determinado. Por tanto, el determinante del sistema es distinto de cero

022

11 baba

Las rectas se cortan en un punto qué llamamos O'

22

110

1bcbc

x

22

110

1caca

y

La transformación de coordenadas por traslación de los ejes al punto de intersección de las rectas está dada por:

Utilizando las fórmulas de traslación de ejes

X = x – x0

Y = y – y0

Entonces las ecuaciones dadas en el sistema:

a1 x + b1 y +c1 = 0

a2 x + b2 y + c2 = 0 ②

0 x

r1

r2

O'

x0

y

y0

O'(x0 ; y0)


…tendrán en el sistema trasladado la siguiente expresión:

a1 (X + x0)+ b1 (Y + y0) +c1 = 0

a2 (X + x0)+ b2 (Y + y0) + c2 = 0 o sea que:

a1X + b1Y + a1 x0 + b1 y0 +c1 = a1 X + b1Y

a1 x0 + b1 y0 +c1 = 0 por ②

también a2X + b2Y + a2 x0 + b2 y0 +c2 = a2 X + b2Y

a2 x0 + b2 y0 +c2 = 0 por ②

Por otra parte: dx = d(X + x0) = dX

dy = d(Y + y0) = dY

Por lo tanto, y en función de lo expuesto podemos replantear el sistema ① de la siguiente forma:

YbXaYbXa

dXdY

22

11 ③

y en la expresión ③ se tiene una ecuación homogénea en las nuevas variables X e Y; y mediante la sustitución

MXY se separan las variables y se tiene que: MXY ④

derivando ④: dXdMXM

dXdY

⑤

Reemplazando ④ y ⑤ en ③ se tiene:

XMbXaXMbXa

dXdMXM

22

11

Entonces: MMbaMba

dXdMX

22

11

Llamando MMbaMbaH M

22

11 , se tiene: MHdXdMX

separando variables X

dXHdM

M

que al integrar nos queda:

CX

dXHdM

M

La cual es la solución de la E. D. dada.


Caso c) Rectas paralelas: Cuando las rectas son paralelas. El sistema es incompatible y es cuando los coeficientes de las variables son proporcionales, pero no lo son los elementos de los términos independientes

2

1

2

1

bb

aa

2

1

cc

Dada la ecuación: MHcybxa

cybxadxdy

222

122 ⑥

Significa esto que e1 2º miembro de la ecuación diferencial

222

111

cybxacybxa

dxdy

…es función de la expresión ybxa 22 Llamando: ybxaM 22

Se tiene entonces: xaMyb 22

Luego: xaMb

y 22

1 ⑦

Diferenciando la expresión ⑦

2

2

1 adx

dMbdx

dy ⑧

Sustituyendo ⑧ en ⑥ tenemos:

MHadx

dMb

2

2

1

Operando: MHbadx

dM22

22 aHbdx

dMM ⑨

Llamando 22 aHb MM ⑩

Reemplazando ⑩ en ⑨: MdxdM

Separando variables:

dxdM

M

⑪

Integrando ⑪:

dxKdMM

Y mediante cuadraturas se halla la solución de la ecuación diferencial dada

Kx M


Ecuaciones Diferenciales Tipo Lineal

Son de la forma: xx QyPy ➀

Si 0xQ 0 yPy x dxPy

dyx se pueden separar las variables

Si 0xQ

Hago y = u . v ➁ (sustitución de Lagrange) y derivo vuvuy ➂

Reemplazando ➁ y ➂ en ➀ xx QvPvuvu ➃

Ecuación característica (la igualamos a cero)

Si CdxPvdvvP

dxdvvPv xxx 0

KdxPv xln

KdxP xev ➄

Reemplazando ➄ en ➃

xKdxP Qeuu x0

x

KdxP Qeu x

xKdxPKdxP

x QedxdueQu xx

uCdxQedu xKdxP x

➅ (en u puedo ignorar la constante K)

➄ y ➅ en ➁ y = u . v

KdxP

xdxP xx eCdxQey Solución General

En la práctica: Foto: xx QyPy cambio variable y = u . v No hay Solución singular


Ecuación Diferencial tipo Bernoulli

Se llama ecuación de Bernoulli a la que resulta de multiplicar el segundo miembro de una ecuación lineal completa por la función incógnita elevada a una potencia n. Sea la ecuación diferencial: y´+ P(x) y = Q(x) yn ① (n)

Si n = 0 y´+ P(x)y = Q(x) E.D. Lineal ( página 10)

Si n = 1 y´+ P(x)y = Q(x)y E.D. Variables separables ( página 4)

Si n 1 E.D. típica de Bernoulli: y´+ P(x)y = Q(x)yn

Divido m. a m. por yn y cambio de variable

y´y – n + P(x) y1 - n = Q(x) ➁

cambio de variable y1 – n = (1 – n) z ➂

derivo m. a m.: (1 – n) y1 – n – 1 y´= (1 – n) z´ y – n y´= z´ ④

Reemplazando ➂ y ➃ en ➁: → E.D. TIPO Lineal

Hallado z se reemplaza en ➂; obteniendo la solución de la ecuación dada.

xz xn ny 11 SG de ①

Ecuación diferencial tipo Clairaut

FOTO 0 yfyyx ➀

Sustituyo p = y´ ➁ y despejo y pfxpy ➂

Derivo m. a m. respecto a x dxdpf

dxdpxp

dxdy

p ➃

Luego dxdyp ➄

dxdpf

dxdpx

dxdy

dxdy

p ⇒ dxdpf

dxdpx p0 ➅ ⇒

dxdpfx p0 ➆

Solución 1: 0dxdp ➇ ⇒ Cp ➈

Reemplazando ➈ en ➂: Cfcxy ➉ Solución General, Familia de rectas.

Solución 2: pfx ⑪ Reemplazo ⑪ en ➂: pp fpfy pffy pp Envolvente; Solución Singular

z´+ P(x) (1– n) z= Q(x)


E. D. tipo Ricatti

Responden a la expresión: y' + A(x) y2 +B(x) y + C(x) = 0 ① / A(x) B(x) C(x) son funciones continuas Sólo se resuelve si se conoce a priori: yp Solución Particular. No tiene Solución Singular. Método: Sea yp ➁ una SP (satisface la ED)

0 C y B y A y xpx2pxp

Para resolver la ED: y' + A(x) y2 +B(x) y + C(x) = 0 ① Hago un cambio de variable: zyy p ➂

zyy p ➃ Reemplazando ➂ ‸ ➃ en ➀: 02 xpxpxp CzyBzyAzy

02 22 xxpxxpxpxp CzByBzAzyAyAzy

02 22 zAzByAzCyByAy xxpxxpxpxp ➄ = 0 pues yp es solución de ➀ La expresión ➄ nos queda:

22 zAzByAz xxpx ➅ ED tipo Bernoulli, incógnita z (ver página 11)

Una vez resuelta la ED de Bernoulli, se sustituye en ➂ el valor de z obtenido en ➅. Obteniendo así la Solución General de la ED de Ricatti.


Ecuaciones Diferenciales Exactas

Sea: 0;; dyQdxP yxyx ①

Para que sea una ecuación diferencial exacta se debe cumplir que exista una función Cyx ;; ② donde C es una constante arbitraria.

Tal que la diferencial de ψ sea: 0;; dyQdxPd yxyx ③

En general, la diferencial de una función ψ es: 0

dyy

dxx

d ④

Comparando ③ y ④: x

P

⑤

yQ

Si se calcula la segunda

derivada parcial pero en forma cruzada:

x

P

⇒

yP

yx

2 ⑥

y

Q

⇒

xQ

xy

2 ⑥

Comparando las expresiones ⑥, podemos ver que: xyyx

22

⑦

y también: xQ

yP

⑧ Condición de simetría

Siendo éstas últimas condiciones (⑦ y ⑧) necesarias y suficientes para que una ecuación diferencial dada sea una diferencial exacta.

La solución de las ecuaciones diferenciales viene dada por: ⑨

Θ(y) es una función arbitraria, dependiente de y (Esta función debe sumarse cuando se realiza la cuadratura de una integral; si la función a integrar fuera de variable única se sumaría una constante arbitraria)

yPdxd

Se llama ecuación diferencial exacta aquella cuyo primer miembro es la diferencial total de una función igualada a cero.


Cálculo de Θ(y): Derivando ⑨ en y :

⑨ y

Pdxy

y

La derivada de la suma es la suma de las derivadas:

yPdx

yyy

⑩

Recordando ⑤: y

Q

Reemplazando ⑤ en ⑩:

yPdx

yQ y

Haciendo pasajes de términos:

Pdx

yQ

yy

⑪

Multiplicando ⑪ miembro a miembro por ∂y se obtiene:

yPdxy

Qy

⑫

Integrando ⑫ dyPdxy

Qd y

(se escribe d en lugar de ∂ porque se está integrando en y, es decir, ∂y es derivada parcial en y, y justamente estamos integrando en y)

Luego dyPy

Q xy

⑬ Es la función buscada.

Por ⑨ tenemos yPdx

Entonces reemplazando ⑬ en ⑨ dyPy

QPdx x

yPdxd

Que es la forma general de la solución de las ecuaciones diferenciales exactas.


Factor integrante: Dada una ecuación diferencial

0;; dyQdxP yxyx ① 0QdyPdx Si no se cumple la condición de simetría:

xQ

yP

se dice que no es E. D. exacta.

Se la puede llevar a diferencial exacta mediante la aplicación del factor integrante. Si en ① suponemos por hipótesis que existe una función µ(x ; y); que es factor integrante de la E.D. dada,

este factor va a transformarla en diferencial exacta. µ 0QdyPdx Es decir: 0 dyQdxP

Deberá cumplir: xQ

yP

②

Efectuando derivadas cruzadas: x

QxQ

yP

yP

Agrupando términos:

y

Px

QxQ

yP

Sacando factor común µ

y

Px

QxQ

yP

O sea 0

xQ

yP

yP

xQ

③

Casos de factor integrante: Consideremos µ = µ(x ; y )

Pueden presentarse los siguientes casos:

l) µ = µ(x) 2) µ = µ(y) 3) µ = µ(m) m = x + y 4) µ = µ(n) n = x • y 5) µ = µ(h) h = x 2 + y2 6) µ = µ(k) k = x 2 - y2

Siendo ésta una ecuación diferencial en derivadas parciales


Caso µ = µ(x )

Como µ no depende de y 0

y ④

también: dxx ⑤

Reemplazando ④ y ⑤ en ③: 0

xQ

yP

dxQ

Reagrupando:

xQ

yP

dxQ

⇒ dxxQ

yP

Q

1 ⑥

Integrando en ambos miembros en ⑥:

dx

xQ

yP

Q1

⇒

Haciendo cuadratura:

dxxQ

yP

Q1ln

Por antilogaritmo:

dx

xQ

yP

Qe1

⑦ Factor integrante para µ = µ(x ) Para que la función ⑦ pueda integrarse debe ser función de x


Caso µ = µ(y)

Como µ no depende de x 0

x ⑧ ;

también: dyy ⑨

Reemplazando ⑧ y ⑨ en ③: 0

xQ

yP

dyP

Reagrupando:

xQ

yP

dyP

dyxQ

yP

P

1

Integrando en ambos miembros:

dy

xQ

yP

P1

Haciendo cuadratura:

dyxQ

yP

P1ln

Por antilogaritmo:

dy

xQ

yP

Pe1

⑩ Factor integrante para µ = µ(y) Para que la función ⑩ pueda integrarse debe ser función de y


Caso µ = µ(m) siendo m (variable) m = x + y

Derivando respecto de y ym 1

ym

Así: dmd

ym

dmd

y

⑪ también

dmd

x

⑫

Recordamos: 0

xQ

yP

yP

xQ ③

Reemplazando ⑪ y ⑫ en ③: 0

xQ

yP

dmdP

dmdQ

Reagrupando:

xQ

yPQP

dmd

xQ

yPQP

dmd

1

xQ

yP

QPdmd 11

⑬

Si el primer miembro de ⑬es sólo función de m, el segundo miembro también lo es.

Haciendo: mdmd

1 ⑭ ⋀

xQ

yP

QPm1

Integrando ⑭: dmdm

Haciendo cuadratura: Kdmm ln Por antilogaritmo:

Kdmme

dmmeK Factor integrante para µ = µ(m) / m = x + y


Curva x2 + y2 = 4

Familia y = mx

Familia de Trayectorias Ortogonales a) Curvas Ortogonales

Dos curvas son ortogonales cuando sus respectivas tangentes, trazadas en el punto de intersección de las mismas, son ortogonales.

b) Curva ortogonal respecto de una familia simplemente infinita de curvas Se dice que una curva es ortogonal respecto de una familia simplemente infinita de curvas cuando por cada uno de sus puntos pasa una curva de la familia dada y en dicho punto ambas curvas son ortogonales. Ejemplo 1:

90º

P

g

f


Ejemplo 2:

c) Familias de trayectorias ortogonales Dadas dos familias simplemente infinitas de curvas, se dice que una es ortogonal respecto de la otra y recíprocamente, cuando cualquier curva de la primera familia es ortogonal respecto de cualquier curva de la segunda familia. Ejemplo:

y = mx

x2 + y2 = r2

Curva y = -x

Familia x2 + y2 = r2


Cálculo de la F T O de una familia dada.

Sea Φ(x,y,C) = 0 una familia simplemente infinita de curvas de la cual se desea calcular su FTO. Sabemos que cualquier curva de una familia dada con cualquier curva de la familia buscada, guarda una relación entre sus respectivas pendientes: estas deben ser números recíprocos y opuestos. Por otro lado sabemos que una ED enuncia una propiedad física común a todas las curvas de la familia dada.

Si la familia dada es una familia simplemente infinita de curvas, la ED que la misma origina va a enunciar una propiedad respecto de su derivada primera, es decir la de la pendiente

Φ(x,y,C) = 0 ①

0,,

dxd Cyx ②

g(x, y, y ,́ C) = 0 ②΄ ( y` debe estar)

De ① y ②=②΄ se trabaja algebraicamente para llegar a una expresión que no dependa de la

constante. Es la ED de la familia dada. 0,, yyxf ③ ED de ① ( no puede faltar en su solución)

En esta ED se sustituye y

y

1

obteniendo: 01,,

y

yxf ④

Obteniendo así la ED de la familia buscada. La Solución general de ④ es la FTO de ① Ejemplo: dato: y= mx ① y´= m ② De ① y ②: xyy ③ ED de ①

⇓

xy

y

1 ④ ED de FTO buscada

xyy ⇒ xdxdyy ⇒ Cxdxdyy

Cxy

22

22

O también 222 ryx SG de ④ FTO de ①


CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ

Es la circunferencia tangente a la curva en un punto dado.

Las ecuaciones del centro son:

yyyy

yyyxx

C

C

2

2

1

1

( xc ; yc ) centro de curvatura


Envolvente Definición:

Dada una familia simplemente infinita de curvas se llama ENVOLVENTE de la misma a la curva que en cada uno de los puntos es tangente a una curva de la familia dada. Ejemplo Nº 1: y = ( x + C )2

Envolvente y = 0 Ejemplo Nº 2: ( x – a )2 – y2 =1 La envolvente: Cónica degenerada Ejemplo Nº 3: 2yxyy Solución general 2CxCy envolvente.

Solución Singular: 4

2xy

y = 1 y = –1

y2 = 1


Ejemplo Nº 1: Dato: y = (x + C) 2 Incógnita: Envolvente

0)(20)( 2

CxCxy

00

);;(

;;

CyxC

Cyx

02021)(2

Cx

JyCxC

yx

x0; y0; C0

02 CC

Se cumplen las condiciones, el sistema es la envolvente.

0)(20)( 2

CxCxy Envolvente: 0y

Ejemplo Nº 2: Dato: (x-a) 2 + y2 = 1

Incógnita: Envolvente

01)( 22 yax

00

;;

;;

ayxa

ayx

0)1)((2

01)( 22

axyax

0402

2)(2

yyax

Jyaxa

yx

01aa

y = 1

(x-a) 2 + y2 – 1 = 0 -2 (x-a) = 0

Envolvente de una familia: 0;; Cyx

00

);;(

;;

CyxC

Cyx

ó

C

C

yx

y2 = 1


Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑭ 1) Dato: y = k.x + k2 – 2k + 1

Incógnita: Envolvente Dato (familia de rectas)

020122

kxkkkxy

00

);;(

;;

kyxk

kyx

010112

k

Jykxk

yx

02 kk

xk 2 2

xk

0142

22

xxxy 014

2

xxy

14

2

xxy 444 2 xxy Envolvente

Respuesta Curva Envolvente de la Familia


Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑭ 2) Dato: y = px +2p2 –p


Dato

(familia de rectas)

00

;;

;;

ayxa

ayx

014

02 2

pxpppxy

01011

p

Jypxp

yx

04 pp

14 px 22)14( pppy

14 px 02)14( 2 ppppy

024 22 ppppy 02 2 py

px

41 0

412

2

xy

0181 2 xy 0)1(8 2 xy Envolvente

Respuesta

Curva Envolvente de la Familia


Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑭ 3) Dato: y = (x+a) 2


00

;;

;;

ayxa

ayx

0)(20)(

;;

2;;

axaxy

ayxa

ayx

02021)(2

ax

Jyaxa

yx

02 aa ⇒ Envolvente Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑭ 4) Dato: ( x – C ) 2 + y 2 = 1


00

);;(

;;

CyxC

Cyx

02

0122

Cxycx

0402

2)(2

yyCx

JyCxC

yx

02 CC

12 y 1y Envolvente Trabajo Práctico Nº 2

Ejercicio ⑭ 5) Dato: )(2 axay Incógnita: Envolvente

00

;;

;;

ayxa

ayx

0

02

aaxaxay

0201

2

yya

Jyaxa

yx

02 aa

aaay

xa2

022 0

222

ayxa

2xa

22 ay ay

2xy Envolvente

y = 0


EVOLUTA – EVOLVENTE Dada una curva y=f(x) se llama evoluta de la misma a la envolvente de la familia

de rectas normales a la curva dada. La curva dada recibe el nombre de evolvente.

1) Dato: y=f(x) ➀ (una curva: evolvente) 2) Se calcula la familia de rectas normales

) x- x ( m y-y 00

00

0

1 xxf

yyx

→ Envolvente: familia simplemente infinita de curvas

00

0

1 xxf

yyx

00 xy

xfy 00 yx

00

0

1 xxf

fyx

x

➁ Familia simplemente infinita de curvas

(rectas normales y = f(x) )

3) Envolvente de ➁

4) Respuesta de 3) es la evoluta de ➀


Ejemplo 1: Dada y2 = 4 x calcular la evoluta

1) Dato y2 = 4 x ➀ (curva dada evolvente ) 2) Familia de rectas normales

y2 = 4 x 020 4xy ⓐ la necesito en un punto genérico

42 yy ↙

yy 2

00

2y

y ⓑ ← ↙

00

0

1 xxf

yyx

↓ⓑ ↓ⓐ

0

2y

4

20y

42

200

0yxyyy ➁ Familia de rectas normales de ➀

3) Envolvente

82

300

0yxyyy ⓒ Ecuaciones cartesianas paramétricas

208

32

1 yx ⓓ de la envolvente de ➁

Pasando a la forma cartesiana de ⓓ

208

312

yx ⓔ ⇒ 21

83 2

0

yx ⓕ

Reemplazando ⓕ en ⓒ

821

83

2

302

00

0yyyyy

⇒

81

83 3

02000

yyyyy

883 3

00

300

yyyyy ⇒ 88

3 303

0yyy ⇒

4

30yy ⓖ

De ⓖ elevada al cuadrado y de ⓔ elevada al cubo, tenemos: 23

02

4)(

yy ⇒ 16

602 yy ⇒ 6

0216 yy ⓗ

320

3

831

2

yx ⇒ 6

0

3

51227

22 yx

⇒ 6

0

3

27512

22 yx

ⓘ

Igualando ⓗ ‸ ⓘ :

32

22

2751216

xy ⇒

272

512162 323

xy ⇒

27

24

32

xy

Simplemente infinita de

curvas

Envolvente de ➁

Evoluta de ➀


Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑮ 1) Dato: y 2 = 4.x

Incógnita: Evoluta

xy 42 ➀ 020 4xy ➁ 0

20

4xy

➂

42 yy 2 yy y

y 2 ➃

00

2y

y ➄

00

0

1 xxf

yyx

➅ Familia simplemente infinita de rectas normales

42

200

0yxyyy ➆

82

300

0yxyyy ➇ Envolvente

0

20

83

21 yyx ➈ de la familia

10 y ➈ queda: 28

31 20

xy xy 204

32 ➉

➉ en ➇ 84

322

302

00

0yyyyy

883 3

03000

yyyyy

302

1 yy ⑪

302

1 yy

208

32

1 yx

Resuelvo el sistema De ⑪: 3

02 yy 230

22 yy 60

22 yy ⑫

De ➈: 8

32

120yx

3

20

3

83

21

yx

330

33

83

38

21

yx 6

0

33

38

21 yx

⑬

De ⑬ y ⑫: 33

2

38

214

xy 3

23 2

12784

xy

33

23 2

21

8427 xy

322 24

827 xy

27

216

32 xy Evoluta


Trabajo Práctico Nº 2

Ejercicio ⑮ 2) Dato: 212 xy

Incógnita: Evoluta

212

00 xy 21

00 yx

⇓ xy 2 00 2xy

00

01 xxy

yy

00

20 2

121 xx

xxy 0

0

20 2

121 xx

xxy

21

221

0

20

xxxy

0

20 2x

xxy

0

20 2x

xxy 0

20 2x

xxy Derivando: 200 1

22 xxx

200 2

2 xxx ⇐ 200 2

2 xxx ⇐ ⇐ ⇐ ⇐ ↵

22 2

00xxx xx 3

04 20

20

20

0

302

0 3224 xxxxxxy

203xy 6

03 27xy 6

0

3

27xy

304xx

60

2 16 xx 60

2

16xx

1627

23 xy Evoluta


E. D. de Segundo Orden, con coeficientes constantes.

En estas ecuaciones, la solución general tiene dos constantes de integración. Para obtener la solución particular única, es necesario fijar las condiciones iniciales.

Además de determinar un punto, como por cada punto pueden pasar infinitas curvas, es necesario fijar la pendiente de la tangente a la curva de acuerdo con la interpretación geométrica de la derivada.

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen la forma:

xfqydxdyp

xdyd 2

2

➲ Solución de las ecuaciones diferenciales de segundo orden incompletas. Cuando 0xf

Luego: 02

2

qydxdyp

dxyd ➀

La solución viene dada por una expresión de la forma:

rxey Y la derivada de esta expresión será:

rxerdxdy

➁

La derivada segunda: rxer

dxyd

22

2

➂

Sustituyendo ➁ y ➂ en ➀ tenemos: 02 rxrxrx eqerper

Sacando factor común rxe

02 qrprerx ⇒ 02 qrpr Que es la ecuación característica de la ecuación diferencial dada.

21 rr son las raíces de la ecuación característica. Por ser una ecuación de segundo grado, tendremos tres alternativas:

a) 21 rr 21 rr ℝ

b) 21 rr 21 rr ℝ c) 21 rr Imaginarias, complejas conjugadas


Caso a) 21 rr 21 rr ℝ La solución será de la forma

xrxr eBeAy 21 ➃ siendo 21 rr las raíces de la ecuación

característica.

Por ser solución de la ecuación diferencial, debe verificarse:

De ➀: 02

2

qydxdyp

dxyd

Derivando ➃: xrxr erBerAdxdy

2121 ➄

Volviendo a derivar ➄: xrxr erBerAdx

yd21 2

22

12

2

➅

Reemplazando ➃ ‸ ➄ ‸ ➅ en ➀ tenemos:

021212121

22

21 xrxrxrxrxrxr eBqeAqerBperAperBerA

Sacando factor común:

022

212

121 qrpreBqrpreA xrxr

0 0

Caso b) 21 rr 21 rr ℝ (reales y coincidentes) La solución es de la forma:

rxrxrx exBAexBeAy ➆

De la ecuación ➀: 02

2

qydxdyp

dxyd

Debemos probar si la solución se verifica. Derivando ➆:

rxrxrx eBexrBerAdxdy

➇

Y volviendo a derivar: rxrxrxrx erBerBexrBerA

dxyd

222

2

➈

Reemplazando ➆ ‸ ➇ ‸ ➈ en ➀:

022 rxrxrxrxrxrxrxrxrx exBeAqeBexrBerAperBerBexrBerA ➉

0222 preBqprrexBqprreA rxrxrx

Si 02 qprr

qprrr 2

prr 2 Luego: 02 pr


Caso c) 21 rr Imaginarias, complejas conjugadas biar

La solución es de la forma: xbiaxbia BeAey ⇒ bixbixax BeAeey Empleando la fórmula de Euler:

bxsenibxebix cos bxsenibxe bix cos

Reemplazando: senbxibxBsenbxibxAey ax coscos

BAsenbxiBAbxey ax cos

Considerando A ⌃ B como complejos conjugados, en forma polar:

seniBseniA

coscos

⑪

Sumando miembro a miembro ⑪:

coscos2 FBA ⑫

Restando miembro a miembro ⑪:

seniGseniBA 2 ⑬ De acuerdo a ⑫ ⌃ ⑬, la ecuación puede expresarse:

seniGbxseniFbxey ax coscos senbxsenGbxFey ax coscos

También: bxey ax cos

Siendo θ una constante.


Ecuaciones Diferenciales De Segundo Orden, Lineales, No Homogéneas

(Completas) .

xfyayaya 210 /

0:;;

0

210

0

xfxaaa

aℝ

La solución general de esta ED es la suma de dos soluciones ph yy ; donde hy representa la SG de la ecuación homogénea correspondiente a la dada:

0210 hhh yayaya Donde py representa una SP de la ecuación a resolver

xppp fyayaya 210 La solución es: ph yyy

Ⓗ xfyayaya 210 ➀

Ⓣ SG de ➀ ph yyy ➁

Ⓓ ph yyy ➁

Derivando ➁: ph yyy ➂

Derivando ➂: ph yyy ➃

Reemplazando ➁ ; ➂ y ➃ en ➀ phphph yyayyayya 210

ppphhh yayayayayaya 210210 = 0 xf

hy py SP de ➀

⇒ ph yyy → solución de ➀

hy SG de la ecuación homogénea arrastra dos constantes arbitrarias e independientes

py no tiene constantes

ph yyy Solución General

SG de la ecuación homogénea


Ejemplo:

xyyy 127 ➀

SG: ph yyy ➁ Cálculo de hy

0127 hhh yyy 01272 rr

43

2

1

rr

xxh eCeCy 4

23

1 Cálculo de hy

Métodos para el cálculo de hy

1) Método de los coeficientes indeterminados o método de partes variables 2) Método de variación de parámetros (Lagrange)

1) Método de los coeficientes indeterminados

a) ¿Qué es “parte variable”? b) Método en sí

a) Parte variable

Se llama parte variable de un término a la parte del mismo que multiplica a la constante

Ejemplo: 43 xsenx 22

-2 x3ln

Existen funciones que presentan términos que tienen la particularidad que luego de un número finito de derivadas no originan partes variables nuevas.

Ejemplos: xsenexf xx 253 32

xexf xx 2cos2156 3

xsenef xx 244516 3

xef xx 2cos813510 3

Se demuestra que estas funciones deben presentar términos de la forma:

xsenexC mxn 1 ó xexC mxn cos2 0Zn ; m ∈ ℝ ; α ∈ ℝ; β ∈ ℝ

p.v.

p.v.


También existen otras funciones que presentan términos tales que al calcular sus sucesivas derivadas dan siempre lugar a partes variables nuevas:

Ejemplos: xarctgxxf x ln

21111

21

xxxf x

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

≠ ≠ ≠

b) Método de los coeficientes indeterminados o método de partes variables Para el cálculo de hy mediante este método debe mirarse el 2º miembro de la ED a resolver:

xppp fyayaya 210 ➀ Este método es sólo válido cuando xf es una función que presenta términos de la forma:

xsenexC mxn 1

xexC mxn cos2 / 0Zn ; m ∈ ℝ ; α ∈ ℝ; β ∈ ℝ Este método es sólo válido para aquellas funciones cuyos términos, luego de un número

finito de derivadas, no presentan partes variables nuevas. Ejemplos:

yy 3 puedo xex puedo

x no puedo Sea xf una función que cumple con tales requisitos. Para el cálculo de hy se procede de

la siguiente manera:

xppp fyayaya 210 ➀

SG ph yyy ➁

hy 0210 hhh yayaya

0212

0 arara xxh yCyCy 2211

p.v. .21; xxyy

↑mirar

Función complementaria


py → “receta” Se deriva la función tantas veces como sea necesario tal que sus términos no originen

partes variables nuevas. Cada término origina un grupito de partes variables. A estos grupitos se los somete al siguiente análisis:

Se observa si algún grupito está incluido en otro, en caso afirmativo se lo desprecia. Se observa si alguna parte de algún grupito es a su vez parte variable de la función

complementaria. En caso afirmativo se lo multiplica por x solamente el grupo donde la parte se repite y se vuelve a controlar si alguna parte de este nuevo grupo se repite en la función complementaria; en caso afirmativo se vuelve a multiplicar por x a cada parte del grupo que se repite y así sucesivamente hasta que ninguna parte de ningún grupito se repita en la función complementaria.

Por último se forma un único grupo con todas las partes variables así obtenidas. La py que se busca es una combinación lineal de las partes variables calculadas. Para determinar los coeficientes de la combinación lineal deberá tenerse en cuenta dos

cosas: 1) El concepto de SP 2) Principio de identidad de polinomios o yuxtaposición de términos

Ejemplos:

xyyy 127 ➀ SG ph yyy ➁

hy 0127 hhh yyy

01272 rr 31 r 42 r

xxh eCeCy 4

23

1 Función complementaria

Parte variable xx ee 43 ;

py xf x 1xf 0xf

(x ; 1) 1 BxAy p Ay p 0py

xBxAA 11270

1120127

ABA

1447

121

B

A

1447

21

xy p 144

71214

23

1 xeCeCy xx SG


INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.

Se denominan funciones racionales a las funciones del tipo

x

x

QP Siendo P(x) y Q(x), polinomios en x.

Vamos a estudiar la integración de funciones racionales distinguiendo dos casos, según que el grado de P(x) sea menor que el de Q(x), o que sea igual o mayor.

a) Caso en que el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).

Sea, por ejemplo, resolver la integral dx

x 11

2

Aquí el grado del numerador es menor que el del denominador, puesto que el numerador es un polinomio de grado cero (es decir, una constante) y el denominador tiene grado 2.

En este caso comenzaremos por operar con el integrando, descomponiendo el denominador en una diferencia de cuadrados. Si el denominador fuera en general una expresión cuadrática de la forma ax2 + bx + c siempre es posible descomponerlo en la forma a (x – x1).(x - x2), siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0.

Vamos a suponer ahora que la fracción 1

12 x

es la suma de dos fracciones. Como el denominador de la

fracción suma ha de ser igual al producto de los denominadores de las fracciones sumandos, podemos escribir:

1111

1

x

Bx

Axx

①

siendo A y B dos valores a determinar. Haciendo la suma de las fracciones que aparecen en el segundo miembro de

la igualdad anterior, se tiene: 1x1

11x

x

xBA ②

Pero el numerador de esta fracción debe ser igual a 1 que es el numerador de la fracción que aparece en el primer miembro de ①. Haciendo los productos y agrupando términos en el numerador de ② resulta:

1x1

x

BAxBA

Por lo tanto, deberá ser: BAxBA 1 En el segundo miembro aparece un polinomio de grado l y en el primer miembro un polinomio de grado cero.

Si son iguales, deben serlo término a término. Y como en el polinomio del primer miembro el coeficiente de x es cero (por eso no aparece término en x), también deberá ser cero el coeficiente de x en el polinomio del segundo miembro; es decir, deberá ser: A + B = 0 ③

Por un razonamiento semejante, deberá ser: A – B = l ④ Reuniendo las igualdades ③ y ④ resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

A + B = O A – B = 1

que se puede resolver inmediatamente sumando las ecuaciones, con lo cual resulta: 2 A = 1, de donde se deduce: A = ½

Y siendo A + B = 0, despejando B se tiene: B = – A = – ½. Determinados así los valores de A y B, sustituyendo en la igualdad (1) queda:

11

11

21

12

1

121

11

2 xxxxx ⑤

En consecuencia, la integral del primer miembro de ⑤, que es la que debemos resolver, será igual a la integral del segundo miembro. Respecto de ésta podemos hacer uso de las propiedades que ya conocemos, extrayendo la constante fuera del signo integral y sustituyendo luego la integral de la diferencia de funciones por la diferencia de las integrales de esas funciones. Nos queda entonces:


dxx

dxx

dxx 1

11

121

11

2 + K

Resolviendo las integrales, nos queda:

Cxxdxx

ln1ln1ln21

11

2

Aplicando propiedades del logaritmo:

11ln

11

2

x

xCdxx

b) Caso en que el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x). Este caso se puede reducir al primero, porque si en un cociente de polinomios el grado del numerador es mayor

que el grado del denominador, siempre es posible efectuar la división indicada, obteniéndose un cociente -que será un polinomio- más un resto -que será un polinomio de grado menor que el divisor.

Sea por ejemplo resolver la integral: dx

xxx1

1332

3

Como el grado del polinomio numerador es mayor que grado del polinomio denominador, efectuamos la división indicada:

3x3- 3x + 1 x2 – 1 3x3- 3x 3x 1 Por lo tanto, podemos escribir: 3x3- 3x + 1 = (x2 – 1). 3x +1 Y dividiendo ambos miembros por x2 – 1 : 3x3- 3x + 1 = 3x + 1 (x2 – 1) (x2 – 1) En consecuencia, la integral del primer miembro, que es 1a que deseamos calcular, será igual a la suma de las

integrales de las expresiones que aparecen en el segundo miembro, de las cuales la segunda ya ha sido calculada en el ejemplo anterior. Por lo tanto, tendremos:

13

113

1133

222

3

xdxdxxdx

xxdx

xxx

Cxxxdx

xxx

1

1ln23

1133 3

2

3

N. P. U. R.


ALFABETO GRIEGO: Mayúscula Minúscula Nombre Α α Alfa Β β Beta Γ γ Gamma Δ δ Delta Ε ε Épsilon Ζ ζ Zeta Η η Eta Θ θ Theta Ι ι Iota Κ κ Kappa Λ λ Lambda Μ μ Mu

Mayúscula Minúscula Nombre Ν ν Nu Ξ ξ Xi Ο ο Ómicron Π π Pi Ρ ρ Rho Σ σ ς Sigma Τ τ Tau Υ υ Ypsilon Φ φ Phi Χ χ Ji o Chi Ψ ψ Psi Ω ω Omega

BIBLIOGRAFÍA: 1) REY PASTOR, PICALLEJA Y TREJO: Análisis Matemático

2) SOKOLNIKOFF: Matemática Superior Para Ingenieros Y Físicos

3) PISCKUNOV: Cálculo Diferencial E Integral

4) MORRIS-BROWN: Ecuaciones Diferenciales

5) APOSTOL: Cálculus Volumen 1-2

6) RAGAY-KAVALIAUSKAS: Guía De Trabajos Prácticos Y Apuntes De Clase

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