UNIVERSIDAD POLITECNICA DE CHIMBORAZOMAESTRIA EN SISTEMAS DE CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL

NOMBRE: David Chicaisa

1) El estudio de un circuito eléctrico consistente en una resistencia, un condensador, un inductor y una fuerza electromotriz (véase la figura), llegamos a un problema con valores iniciales de la forma:

Donde L es la inductancia en henrios, R es la resistencia en ohms, C es la capacidad en faradios, E (t) es la fuerza electromotriz en voltios, q(t) es la carga en coulombs sobre el condensador en el instante t e I = dq/dt es la corriente en amperios. Determine la corriente en el instante t si la carga inicial sobre el condensador es nula, la corriente inicial es nula, L = 10H, R = 20, C = (6260)-1 F y E(t) = 100V .

Ld2qdt

+R dqdt

+1Cq=E( t )

d2qdt

+2dqdt

+626q=10

P(r ):r 2+2 r+626=0

r=−2±√22−4 (1)(626 )2

r=−1±25 iqg=C1e

−tCos(25 t )+C2e−t Sen(25 t )

q p=A

q p' =0pp''=0A626=10A=5313

q ( t )=qg+q p

q ( t )=C1e−tCos(25 t )+C2e

−t Sen(25 t )+5313

q (0)=C1+5313

=0∴C1=−5313

I ( t )=q ' ( t )=−C1e−tCos(25 t )+25C1e

−t Sen (25 t )−C2e−tSen (25 t )+25C2e

−tCos (25 t )I (0)=−C1+25C2=0

C2=C125

=11565

q ( t )=−5313

e−tCos(25 t )+11565

e−tSen (25 t )+5313

I ( t )=q ' ( t )=5313

e−tCos (25 t )+125313

e−t Sen (25 t )−11565

e−t Sen(25 t )+5313

e−tCos (25 t )

3) En un capacitor, la carga eléctrica sale a una tasa que es proporcional a la carga instantánea del capacitor. Inicialmente la carga es de 5 Coulomb, y en 20 minutos sale

un tercio de la carga inicial. >En cuanto tiempo quedara solo un Coulomb en el capacitor?

DATOS:

t= 0q= 5 CoulombV(0)=0

t = 20 minut0sq = 5/3 Coulomb

t=?q = 1 Coulomb

R.I + qc = V

R.dqdt

+ qc = V ECUACION LINEAL 1er ORDEN, 1er GRADO

V(0)= 0

R.dqdt

= qc

R.C ∫ dqdt = ∫ dt

R.C.ln(q) + K = - t

t = 0 q = 5 Coulomb

R.C.ln(5) = - K K = - R.C.ln(5)R.C.ln(q) - R.C.ln(5) = - t para todo t

t = 20 minutos q = 53 Coulomb

R.C.ln(53) - R.C.ln(5) = - 20

R.C [ ln(535)] = - 20

R.C [ ln(13)] = - 20

R.C = 20ln 1/3

t = ? minutos q = 1 Coulomb

R.C.ln(1) - R.C.ln(5) = - t

R.C (ln(1) - R.C.ln(5)) = - t

t = - R.C (ln(15))

t = 20ln 1/3* ln(1

5)

t = 29.29 minutos

5) Un circuito consta de un inductor de 2 H en serie con una resistencia de 40. En t = 0 (cuando la corriente vale cero) se aplica al circuito una fem dada por 100sen(10t). Encontrar el valor de la corriente para cualquier instante.Datos:Fem=100*Sen*(10t)R=40L=2HEncontrar la corriente en Cualquier instante.

Ldidt

+Ri=E ( t )Ecu .diferencial .

2didt

+40 i=100∗Sen (10 t )

didt

=40i+100∗Sen (10 t)

2

didt

+20 i=50∗Sen (10 t )

Factor Integrante:

FI=e∫p (x)dx=e∫20dt=e20 t

e20 t [di+20idt=50∗Sen (10 t )dt ]

2020

∗i e20 tdt=50∗Sen (10 t )∗e20 tdt

∫ [ i∗e20 t ]dt=∫50∗Sen (10 t )∗e20 t

i∗e20 t=50∫ e20 t∗Sen (10 t )dt

INTEGRAR POR PARTES:

∫ e20 t∗Sen (10 t )dt

LA FORMULA ES:

∫udv=u . v−∫ vdu

u=Sen(10t) du=10*Cos(10t)dt

dv=e20 tdt v=∫e20t dt= e20 t

20

e20 t

20∗Sen (10 t )−∫ e20 t

20∗10∗cos (10 t )dt

e20 t

20∗Sen (10 t )−10

20∫e20t∗cos (10 t )dt

Nuevamente integrar por partes:

∫ e20 t∗cos (10 t )dt

u=Cos(10t) du=10(-Sen(10t))=-10Sen(10t)dt

dv=e20 tdt v=∫e20t dt=¿ e20 t

20¿

e20 t

20∗cos (10 t )−∫ e20 t

20(−10Sen (10 t ) )dt

e20 t

20∗cos (10 t )+0.5∫ e20 t∗Sen (10 t )dt

e20 t

20∗Sen (10 t )−0.5 e

20 t

20cos (10 t )−∫ e20t∗Sen(10 t)dt

Remplazo:

∫ e20t

20Sen (10t )=¿ e

20t

20sen (10 t )−0.5 e

20 t

20cos (10t )−∫ e20 t Sen (10 t )dt ¿

2∫ e20t Sen (10 t )= e20 t

20Sen (10 t )−0.5

20e20t cos (10t )

∫ e20 tSen (10 t )dt= e20 t

40Sen (10 t )− 1

80e20t cos (10 t )+c

i∗e20 t=50[ e20 t40 Sen (10 t )− 180e20t cos (10 t )]

i∗e20 t=5040 [e20 tSen (10 t )− 1

40e20t cos (10t )]

i(t)=1.25*Sen(10t)-0.03125*Cos(10t)+C*e−20 t

Para i(0)=0

0= - 0.03125+C

C=0.03125

Remplazo:

i(t)=1.25*Sen(10t)- 0.03125*Cos(10t)+0.03125e−20 t

6) Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LRcon 0.1henrysde inductancia y 50ohmsde resistencia. Determine la corriente i (t ); si i (0 )=0 : Determine la corriente conforme t→0.

E ( t )+ L didt

+R( i)=0

Ldidt

+R (i)=E(t)

0.1didt

+50 i=30

didt

+500 i=300

dydt

+P ( x )=Q ( x )

didt

+500 i=300

P ( x )=500Q ( x )=300

F.I. : e∫ P ( x )dx=e∫500dt=e500t

e500t [di+500 idt=300dt ]

e500t di+500 i e500 tdt=300e500tdt

[500500 ie500t dt ]'

=300 e500 tdt

[ i e500 tdt ]'=300e500 tdt

∫ [ i e500tdt ]'=∫300e500tdt

i e500 t=300500

e500 t+C

i (t )=35e500t

e500t+ Ce500t

i (t )=35+Ce−500 t

i (t )=0 La corriente del circuito es 0

i (t )=35+Ce−500 t

0=35+C

C=−35

t→0

i (t )=35−35e−500 t

t→∞

i (t )=35

8) Se aplica una fuerza electromotriz de 100 V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 hms y la capacitancia de 104 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) = 0. Encuentre la corriente i (t).

Datos:V= 100 VR= 200 hmsC=104 faradsq(t)= ?q(0)=0i(t)=?

q ' (t )=0+0−12e

120800

t

q (0 )=0

q=10400+C

v (t )=R ( t ) . i ( t )

v (t )=R ( t ) . q ' (t )+ q ( t )C

v (t )=Rq ' (t )+ R (q )c

100=200q' ( t )+ 1104

q (t )

200dqdt

+ 1104

q=100

dq= 120800

qdt=12dt

FI=e∫

120800

dt

¿¿

FI=e

120800

¿t¿

e1

20800tdq+ 1

20800e

120800

tqd ( t )=1

2e

120800

tdt

[u . v ] '=u . v '+u ' . v

∫ [e 120800

t. q ]'=∫ 1

2e

120800

tdt

e1

20800tq=20800

2e

120800

t+C

q (t )=10400+ C

e1

20800t

R ( t ) . i (t )=R (t ) . q ' ( t )+ q ( t )C

i (t )=q' (t )+ q ( t )R (t ) .C

i (t )=−12e

120800

t

+

10400+ C

e1

20800t

R (t ) .C

9) Una resistencia de 4Ω y un inductor de 1H se conectan en serie, suministrando un voltaje de 100e−4 t cos (50 t ) . Encontrar i(t) si i(0)=0

DATOS

R=4Ω

L=1H

E ( t )=100e−4 t cos (50 t)

i (t ) si i (0 )=0

Ldidt

+Ri=E (t)

didt

+4 i=100e−4 t cos (50 t)

factor integrante e∫p ( x )dx

→e∫4 dt→e4 t

r+4=0→r1=−4

y= yg+ yp i ( t )=itr (t )+ips(t)

yg=C1e−4 t=itr (t )=C1 e

−4 t

yp=ips ( t )= 1

e∫ p ( x )dx∫e∫ p ( x )dx∗Qx

ips (t )=e−∫4 t∫ e4 t∗100 e−4 t cos (50 t )dt

ips (t )=100e−4 t

50∫cos (50 t )(50)dt

ips (t )=2e−4 t sen (50 t)

i (t )=C1 e−4 t+2e−4 t sen (50 t)

→i ( t ) sii (0 )=0

0=C1 e−4 (0)+2e−4 (0 ) sen (50∗0 ) ∴0=C1

i (t )=2e−4 t sen (50 t)

10) Se conecta una resistencia de 20 con un capacitor de 0.01F y una fem 40 e3 t+20 e6 t. Si Q(0) = 0. Hallar el voltaje máximo en el capacitor.

Datos.

R= 20 Ω.C= 0,01 FFem= 40 e−3 t+20e−6 t

q(0)= 0

Desarrollo.

R∗q ' t+1C

∗qt=Et

20q '(t )+100q(t )=40e−3 t+20e−6 t

20(q' (t )+5q( t ))=40e−3 t+20e−6 t

q '( t )+5 q(t )=40 e−3 t+20e−6 t

20

q '( t )+5 q(t )=40 e−3 t

20+ 20e

−6 t

20

q '( t )+5 q(t )=2e−3 t+e−6 t

Igualamos la ecuación a 0

q '( t )+5 q(t )=0

dqdt

+5q( t )=0

Despejamos dq

dqdt

=−5q (t )

dq=−5q (t ) dt

Integramos para obtener el valor de “q”

∫ 1q (t )

dq=∫5dt

ln q (t )=−5 t+K

q(t )=e−5 t+K

q(t )=e−5 t∗ek ek=Z

q(t )=Z∗e−5 t

Obtenemos la primera derivada de la expresión

q '=Z ' e−5 t−5Z e−5t

Reemplazamos en la ecuación inicial

Z ' e−5 t−5Z e−5 t+5Z e−5 t=2e−3 t+e−6 t

Z'=2e−3 t+e−6 t

e−5 t

Z'=2e−2 t+e−t

∫Z '=∫2e2t+∫ e−t

Z=e2t−e−t

Reemplazamos

q(t )=(e2 t−e−t )∗e−5 t

q(t )=e−3 t−e−6 t

Caída de voltaje en el capacitor

V c=1C

∗q(t)

V c=10.01

∗(e¿¿−3t−e−6 t)¿

V c=100e−3 t−100e−6 t