deberes (1)

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

Recopilación de deberes

Física Moderna

Elaborado por:

Hidalgo Moreta Geovanna Stephanye

1

FISICA MODERNAPh.D. OSWALDO ALDAS

Stephanye Hidalgo

CONTENIDO: Ondas

1. Distinguir entre: a. Las palabras homogéneo y heterogéneo; b. Las palabras: isótropo y anisótropo; c. ¿Puede ser un medio homogéneo y anisótropo,

heterogéneo e isótropo?

2. Un movimiento ondulatorio se propaga en sentido positivo con velocidad v=30 ms-1, siendo su amplitud 0,1 m y la frecuencia, f = 50 Hz. Determinar la ecuación de este movimiento, la longitud de onda y la constante k.

3. Un bote en movimiento produce ondas superficiales en un lago tranquilo. El bote ejecuta 12 oscilaciones en 20 segundos; cada oscilación produce una cresta de onda. La cresta de la onda tarda 6s para alcanzar la orilla distante 12m. Calcular la longitud de onda de las ondas de superficie.

4. Una onda periódica se propaga por una cuerda tensa de ecuación: y (x, t) = 0,4•sen2π (50t - 0,20x) en unidades SI. Calcular: a. El período de la vibración y su longitud de onda; la

velocidad de propagación b. La tensión de la cuerda si posee una masa por

unidad de longitud m = 80 g/m

5. Un resorte que tiene una longitud normal de 1m y una masa de 0,2 kg se estira 4 cm cuando se le aplica una fuerza de 10N. Hallar la velocidad de propagación de las ondas longitudinales a lo largo del resorte.

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6. Graficar tres ondas estacionarias cuya ecuación es h(x, t) = H sin [kx+p] cos [wt+] entre O y L, cuando n = 1, 3, 4. (En el mismo gráfico)

7. La ecuación de una cierta onda es ξ- = 10 sin 2 (2x - 100t), donde x se mide en metros y t en segundos. Hallar:a. La amplitudb. La longitud de ondac. La frecuenciad. La velocidad de propagación de la onda.e. Dibujar la onda, mostrando amplitud y longitud de

onda.

8. En una cuerda elástica se mueve una onda progresiva transversal sinusoidal de ecuación y(x, t)= A•sen (w t + kx). Determinar su ecuación conociendo las elongaciones en el instante t =0 y la elongación del origen que ocupa la posición x = 0, en función del tiempo.

9. Dada la ecuación de ξ = 2 sin 2 (0,1x - 5t), donde x esta en metros y t en segundos, determinar: a. La longitud de onda,b. La frecuencia,c. El período,d. La velocidad de propagación, e. La amplitud,f. La dirección de propagación.

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g. Escribir la expresión para la onda que sea idéntica pero que se propague en sentido opuesto.

10. La ecuación de una onda que se propaga en una dirección es: y (x, t) = 2•cos 2π (t/0,01-x/30) en unidades SI. Se pide: a. La frecuencia y longitud de onda de este

movimiento. b. La ecuación de otra onda que se propaga con

velocidad doble que la anterior pero en sentido contrario;

c. El instante en que por primera vez el punto P que dista 30 cm del origen –en la onda primera- se encuentra en las mismas condiciones que en el instante t = 0 s.

11. Por una cuerda de 15 m de longitud y 0,2 kg de masa se desplaza una onda transversal con velocidad v = 75 ms-1. Se alarga 5 cm la cuerda si se le aplica una tensión doble que la inicial. Determinar: a. La velocidad de la onda en el segundo caso; b. La frecuencia mínima para que se produzcan

ondas estacionarias.

12. La ecuación de una onda transversal sinusoidal unidimensional es:y (x, t) = 10•sen2p (2,00 t - 0,01 x) medidos x e y en cm y t en segundos. Determinar: a. La amplitud y frecuencia de la onda; la longitud de

onda; su velocidad de propagación. b. La velocidad de vibración máxima de una partícula

del medio elástico distante x = l m del origen. ¿Hacia dónde se propaga la onda?

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13. Dada la onda ξ = 2 sin 2 (0,5x - 10t), donde t está en segundos y x en metros, hacer el gráfico de la ξ, extendiendo a varias longitudes de onda para

t=0 y t= 140

s

14. Una onda armónica ξ=A sin 2( xλ—

tp) se

propaga hacia la derecha. Seleccionar 13 puntos equidistantes sobre una distancia de longitud de onda y hacer los gráficos correspondientes después de que la onda ha alcanzado el primer punto.a. t = 0,

b. x=0 y 14

= P, ½ = P, 34

= P

15. Una onda se propaga en sentido positivo y suponemos que es sinusoidal, de período T =10 s y amplitud 1,2 m. Determinar: a. La elongación en el origen en el instante t=1 s.b. La longitud de onda 𝝀, si para t = 1 s la elongación

es nula en el punto que dista x =6 cm del origen.

16. Una onda sinodal que viaja en la dirección positiva x tiene una amplitud de 15 cm, una longitud de onda de 40 cm y una frecuencia de 8 Hz. El desplazamiento de la onda es t = 0 y x = 0 también es de 15 cm. a. Determinar el período, la frecuencia angular y la

rapidez de onda.b. Determinar la constante de fase, y escriba una

expresión general para la función de onda.

17. Un movimiento ondulatorio unidimensional

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armónico tiene por ecuación y(x, t) = 0,002sen (60x+300t) en unidades SI. Determinar: a. La velocidad de la onda y en qué sentido se

propaga; b. La longitud de la onda y la frecuencia del

movimiento.

18. Graficar las ondas viajeras según la ecuación h(x, t) = H sin [k(x — vt)] = H sin [kx — wt] para ciertos valores de k y v (al menos tres).

19. Un movimiento ondulatorio se propaga por un medio elástico según y = 4•sen (2π / t+ φ) en unidades SI. Calcular: a. La velocidad de propagación de la onda si la

longitud de onda mide 𝝀 = 2,40 m. b. La diferencia de fase entre las elongaciones de un

punto P en el intervalo de tiempo de 1 s.

20. La ecuación de una onda que se propaga en una dirección es: y (x, t) = 2•cos 2π (t/0,01-x/30) en unidades SI. Se pide: a. La frecuencia y longitud de onda de este

movimiento. b. La ecuación de otra onda que se propaga con

velocidad doble que la anterior pero en sentido contrario;

c. El instante en que por primera vez el punto P que dista 30 cm del origen –en la onda primera- se encuentra en las mismas condiciones que en el instante t = 0 s.

21. Dada la ecuación de onda en una

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cuerda ξ = 0,03 sin 2 (3x - 2t), donde ξ y x están en metros y t en segundos, contestar lo siguiente: a. Para t = 0, ¿Cual es el desplazamiento cuando

x=0, 1 m, 0,2m y 0.3m?b. Para x=0,1 m ¿Cuál es el desplazamiento cuando

t=0, 0.1s y 0,2 s.c. ¿Cuál es la ecuación de la velocidad de oscilación

de las partículas de la cuerda? ¿Cuál es la velocidad máxima de oscilación?

d. ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda?

22. Graficar tres ondas estacionarias cuya ecuación es h(x t) = Sin [kx +p] cos [wt +] entre O y L, cuando n = 2, 4, 6. (En el mismo gráfico)

23. Una onda sonora plana que se supone sinusoidal se propaga sin amortiguamiento en la dirección OX con velocidad v = 350 m/s. La amplitud de la oscilación es A = 3•10-5 m su frecuencia, f = 12 kHz. Si la elongación en el instante inicial en el punto (0, 0, 0) es 1,5 •10-5 m hallar la longitud de la onda; la ecuación del movimiento.

24. Una onda se propaga por un medio isotrópico con la velocidad de 90 m/s y frecuencia 60 Hz. Se pide: a. La distancia que hay entre dos puntos A y B si sus

elongaciones en un instante dado tienen un desfase de 30º;

b. El desfasamiento que se origina en el punto A entre dos desplazamientos separados en el tiempo t = 0,02s.

25. Dos ondas transversales polarizadas con el mismo plano de polarización, se propagan en una cuerda en la misma dirección, tienen la misma

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frecuencia (100 Hz), longitud de onda (82 m) y amplitud (0.02 m), pero están desfasadas en 60º. Calcular: a. La velocidad de propagación de las ondas en esa

cuerda. b. La amplitud de la onda resultante y su ecuación de

onda. c. La velocidad máxima de un punto cualquiera de la

cuerda

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CONTENIDO: Teoría de la relatividad

1. Un flujo de muones que tienen un tiempo de vida de 2,2x10-6 [s], es medido que se mueve con una velocidad: v= 0,99c.a. ¿Qué distancia viajaran los muones antes de su

decaimiento (planteamiento no relativista)b. Según el planteamiento relativista, ¿cuál será la

distancia que viajan antes de su decaimiento?

2. Dos relojes idénticos están sincronizados. Uno se pone en órbita dirigido hacia el este alrededor de la Tierra mientras que el otro permanece en la misma. a. ¿Cuál reloj funciona más lentamente? b. Cuando el reloj en movimiento regresa a la Tierra,

¿los dos siguen sincronizados?

3. Una nave espacial de la raza de los Protoss con longitud propia de 300m tarda 0.75µs para pasar a un soldado terran. Determine su velocidad de acuerdo a como la mide el soldado terran. (Atención: El soldado terran no la ve de 300m)

4. En 1905 Einstein realizó un planteamiento sobre la relatividad del tiempo. Se imaginó colocar dos relojes idénticos y coloco uno en Ecuador y uno en el polo norte. Concluyo que el reloj en el Ecuador debe viajar más lentamente que aquel ubicado en los polos. Estime ¿Cuál sería la magnitud de la diferencia?

5. ¿Qué tan rápido debe moverse un objeto para que su masa aparente sea 1% mayor que su masa en reposo?

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6. Un triángulo equilátero de lado 1m es observado por un extraterrestre que pasa rasante a una velocidad de 0.89c en una dirección paralela a su base. ¿Cuál es el área observada por el extraterrestre?

7. La rapidez de una pelota en el momento que la atrapas cuando es lanzada desde un camión en movimiento depende de la rapidez y la dirección del camión. ¿Depende de manera similar la rapidez de la luz que llega de una fuente en movimiento de la rapidez y la dirección de la fuente?

8. Un astronauta se aleja de la Tierra a una velocidad cercana a la de la luz. Si un observador sobre la Tierra mide el tamaño y el pulso del astronauta, a. ¿qué cambios (si los hay) mediría el observador?b. ¿El astronauta mediría algunos cambios?

9. Una nave espacial con una longitud de 100[m] y se mueve a lo largo del eje positivo de las x con una velocidad de 0,9 c con respecto a tierra. Si consideramos un sistema de referencia S1 fijado a la tierra y S2 un sistema que está unido a la nave espacial y hacemos coincidir el tiempo de tal manera que ti = t2 = 0, cuando el frente de la nave está ubicado en la posición x1=x2=0.a. ¿A qué distancia se encuentra la parte final de la

nave a t=0 según un observador en la tierra?b. ¿Cuál es el tiempo t2 que mide un reloj ubicado al

final de la nave, según un observador en la tierra? (Realice el cálculo sin considerar los efectos relativistas y considerándolos).

10. Una nave espacial está moviéndose a 0,92 c

http://tierra.si/

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cuando la ve un observador sobre la Tierra. Esta persona y los ocupantes de la nave ponen a funcionar la alarma de sus relojes idénticos para que suenen después de que hayan pasado 6 horas. De acuerdo con los observadores de la Tierra, ¿cuánto marcará el reloj de la Tierra cuando suene la alarma del reloj de la nave?

11. Si observamos el paso de una nave espacial y vemos que el tiempo de sus habitantes transcurre con lentitud, ¿cómo ven ellos que transcurre nuestro tiempo?

12. La distancia de una estrella dada a la tierra es alrededor de 105 años luz. Suponiendo que el tiempo de vida de una persona es de 70 años, ¿a qué velocidad debe viajar para llegar a la estrella en su tiempo de vida?

13. Un electrón choca con un blanco en reposo. Una vez hechos los cálculos estos arrojan que el electrón tenía 10 veces más masa de lo normal. ¿A qué velocidad iba el electrón?

14. Considere que la luz se propaga una distancia L de un punto A, a un espejo M y que regresa nuevamente al punto A.a. ¿Cuál sería el tiempo de viaje redondo si hubiera

un "viento etéreo" que tiene una velocidad V que forma un ángulo θ con la línea AM?

b. Demuestre que sus resultados son los mismos de Michelson y Morley cuando θ = 0° y θ = 90.

15. Una nave espacial de 300 m de longitud propia tarda 0,75 µ s para pasar a un observador terrestre.

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Determine su velocidad de acuerdo a como la mide el observador terrestre.

16. Unos muones se mueven en órbitas circulares a una velocidad de 0,9994 c en un anillo de almacenamiento de 500 m de radio. Si un muón en reposo decae en otras partículas después de 2,2 µ s, ¿cuántos recorridos alrededor del anillo de almacenamiento se espera que realicen los muones antes de decaer?

17. Determine la velocidad de una partícula cuya energía total es el doble de su energía en reposo. (0,864c)

18. Una barra de 1[m] se mueve en forma paralela a su eje y con una V= 0,96c con relación a usted.a. ¿Cuánto mediría usted para la longitud de la

barra?b. ¿Qué tiempo le tomaría a la barra para que paseen

frente suyo?

19. Una súper nova que está a una distancia de 175000 años luz de la tierra emite partículas que viajan hacia la tierra en línea recta. Si estas

partículas viajan con una velocidad V tal que vc

=1x10-6. ¿Cuánto demoraría el viaje según un observador que viaja con la partícula?

20. Si usted se mueve hacia un emisor de luz amarilla (λ =580 nm) a la mitad de la velocidad de la luz,a. ¿qué longitud de onda que se observa?

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b. ¿Cuál sería la respuesta si el emisor se trasladó hacia usted?

21. ¿Es posible que una persona tenga una edad biológica mayor que la de sus padres?

22. La longitud propia de una nave especial es tres veces la de otra. Las dos naves viajan en la misma dirección y. mientras pasan arriba, un observador en la tierra las mide y obtiene la misma longitud. Si la nave más lenta se desplaza a 0.35c, determine la velocidad de la más rápida.

23. Un flujo de muones inyectado en un "anillo de almacenamiento" (una construcción que utiliza campos electromagnéticos para mantener a los muones en movimiento circular uniforme) el radio del anillo es 60[m]. Determinar la velocidad v de los muones como múltiplo de c que es necesario de tal manera que los mismos puedan rotar 106

revoluciones antes de su decaimiento.

24. Dos gemelos tienen 25 años de edad; entonces uno de ellos sale en un viaje por el espacio a una velocidad aproximadamente constante. El gemelo que va en el cohete espacial mide el tiempo con un reloj exacto. Cuando regresa a la Tierra, su reloj le indica que tiene 31 años, mientras que su gemelo, que se quedó en la Tierra tiene 43 años. ¿Cuál fue la velocidad del cohete?

25. Dos cohetes relativistas se dirigen uno hacia el otro. Vistos por un observador desde la Tierra, un cohete A, de longitud propia de 500 m, viaja con una velocidad de 0.8c, mientras que el cohete B, de una

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longitud propia de 1000 m, viaja a una velocidad de 0,6c. a. ¿Cuál es la velocidad de los cohetes uno respecto

al otro? b. El observador que está en la tierra pone su reloj en

t = 0 cuando las narices de los cohetes pasan uno junto al otro ¿Cuanto marcará su reloj cuando las colas de los cohetes pasen uno alado de otro?

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CONTENIDO: Fundamentos de la Física Cuántica

1. La radiación solar cae sobre la superficie de la Tierra

a razón de 1400 w

m2. Suponiendo que la radiación

tiene una longitud de onda promedio de 550 nm, ¿cuántos fotones por metro cuadrado por segundo caen en la superficie?

2. Al duplicar la intensidad de su fuente de luz monocromática, un experimentador espera aumentar la velocidad de los fotoelectrones emitidos por una muestra determinada de metal.a. ¿El experimentador logrará tener éxito?b. ¿Cuál es, en todo caso, el resultado si se

adaptarán a la de emisiones resultantes de los fotoelectrones?

3. Un metal tiene la función de trabajo 4,7 eV. ¿Cuál es la energía cinética de un fotoelectrón si la radiación de longitud de onda de 200 nm cae sobre la superficie del metal?

4. Una superficie de sodio emite 6,25 X 107

fotoelectrones por centímetro cuadrado por segundo. Suponga que los átomos de sodio son regularmente espaciados (sodio, con un peso atómico 23, tiene una

densidad de 0,97g

cm3masa) y que los fotoelectrones

son uniformemente suministrados por la parte superior de 10 capas de átomos. Encontrar cuántos átomos se necesitan para producir un fotoelectrón por segundo.

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5. Cuando un electrón es sometido a una diferencia de potencial de 1 voltio adquiere una energía de 1 eV. ¿Qué diferencia de potencial es necesaria para que el electrón tenga una longitud de onda asociada de 1 Å?

6. En radiación del cuerpo negro, sólo las cantidades que ingresan son h, la radiación w frecuencia angular, y la temperatura en el kT combinación. Utilice el hecho de que hw tiene dimensiones de energía para estimar la temperatura de la radiación de cuerpo negro que es predominantemente en el rango de f: 10E16 Hz.

7. Incluso una toronja tiene una longitud de onda de De Broglie. Estimar su valor si la toronja se ha lanzado

con una velocidad de 10 ms

. la masa de la toronja es

500 g. Si la toronja se lanza hacia una pared con dos orificios separados por 50 cm, encuentre la separación angular entre los máximos sucesivos de la interferencia de patrones resultantes. Trate la toronja como un punto.

8. Determinar la diferencia de voltaje requerida para que un electrón tenga una λas de 0.5 A.

9. .Determine el momento y la energía para a. Un fotón de rayos X, yb. Un electrón, cada uno con una longitud de onda

1.00Å.

10. Calcular la onda asociada a un electrón que se

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propaga con una velocidad de 6000 km/s, sabiendo que la masa del electrón es m=9x10-31Kg.; h=6,62x10-34joules.s.

11. Determinar la longitud de onda asociada al movimiento de una partícula m=1,67x10-24 g cuya

velocidad es de 1,5x107ms

.

12. En la forma resumida y concreta indique el aporte de De Broglie a la formulación de la ecuación de Schrodinger.

13. Determine la diferencia de voltaje requerida para que un protón (masa en reposo 1.673x10-27kg) tenga una longitud de onda de 0,6 Å

14. Cuando una superficie metálica se ilumina con luz de 180 nm (zona ultravioleta), ésta emite electrones. Observamos también que la frecuencia umbral corresponde a la luz de 230 nm.a. Calcula la velocidad máxima con la que salen los

electrones al principio del experimento.b. ¿Con qué potencial inverso tienen que ser

frenados estos electrones para impedir que lleguen al ánodo de la célula fotoeléctrica?

15. Para un cierto metal la longitud de onda umbral es de 270 nm.a. Determina la energía mínima necesaria para

arrancar un electrón del metal.b. ¿Cuál será la velocidad que, como máximo, podrán

tener los electrones emitidos en tal caso?c. Si la luz con el que iluminamos fuese de 200 nm,

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¿Cuál sería la velocidad máxima con qué saldrían los electrones?

16. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x tiene una incertidumbre en su posición igual a la longitud de onda de De Broglie. Encuentre el porcentaje de incertidumbre en su velocidad.

17. Determina la longitud de onda, la frecuencia y el cantidad de movimiento de un fotón de 200 MeV de energía e indica en qué zona del espectro se encuentra.

18. Un microscopio electrónico utiliza electrones acelerados a través de una diferencia de potencial de 40.000 V.a. Calcula la energía suministrada a cada electrón.b. ¿Cuál será la velocidad de choque de los

electrones?c. Determina el poder de resolución suponiendo que

es igual a la longitud de onda de De Broglie asociada a los electrones.

19. Una luz de frecuencia 6.1014 Hz incide sobre una superficie metálica y salen electrones con una energía cinética de 2*10-19 J. Calcula el trabajo de extracción de los electrones.

20. A partir de la ecuación de De Broglie demuestre uno de los postulados de la teoría de Bhor

21. Un electrón está limitado en una región lineal que tiene una longitud del orden del diámetro de un átomo (=0,1x10-9m) cual es la incertidumbre en los valores de su momento lineal y de su velocidad.

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22. Dado un protón en movimiento cuya masa en reposo es 1,673x10-27kg. Si la incertidumbre en el

valor de su velocidad es de 5x102kmh

; determinar:

a. la incertidumbre en el valor de su posición.b. la incertidumbre en el valor de su cantidad de

movimiento lineal.

23. Si la incertidumbre en la determinación de la posición de un electrón es 1 Å, determinar si su velocidad puede ser establecida con una

aproximación n menor a 500 kms

.

24. Determina la longitud de la onda asociada a la nota "Sol", si la frecuencia de ésta es 196 Hz. (La velocidad del sonido es de 340 m/s).

25. Calcular la longitud de onda asociada al movimiento de una partícula de masa 1,67x10-24g.

Cuya velocidad es 1 x 107 ms

26. Un rayo de luz amarilla, emitido por una lámpara de sodio, tiene una longitud de onda en el vacío de 589•10-9 m. Determinar: a. Su frecuencia b. Su velocidad de propagación y su longitud de onda

en el interior de una fibra de cuarzo, cuyo índice de refracción n = 1.458

c. El ángulo de incidencia mínimo para el rayo de luz que, propagándose por el interior de la fibra de cuarzo, encuentre la superficie de discontinuidad

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entre el cuarzo y el aire y experimente reflexión total.

27. Los microondas que usamos en la cocina para calentar alimentos usan radiación de una longitud de onda menor de 30 cm. Suponiendo que un aparato trabaja con microondas de 12 cm de longitud, ¿podrá interferir con un aparato que esté conectado mediante Bluetooth? (La banda de conexión de este tipo de tecnología se sitúa entre los 2,45 y los 2,50 GHz).

28. Si la incertidumbre en la determinación de la velocidad de una partícula cuya, masa es 1,67x10-24

g. es 25x106 cms

, es posible determinar su posición

con un error menor a Å.

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CONTENIDO: Ecuación de Schodinger y Átomo de hidrogeno

1. Indique en pocas palabras cuál es el significado físico de |ψ| y |ψ2|

2. Dada la siguiente función de onda para un orbital del átomo de hidrógeno.ψ= kp2e-p/2 sin 2 θcos2Ø, siendo p =2zr ∕ (nao)a) Grafique la proyección del orbital en un plano

adecuado, justificando sus valores.b) Realice un gráfico a mano alzada de la función de

distribución radial.c) Determine la(s) distancia(s) a la(s) que con mayor

probabilidad puede hallarse el electrón.

3. Represente gráficamente las orientaciones espaciales permitidas para el momento angular del orbital 4ƒ indicando el valor de su módulo y los valores de sus proyecciones en el eje referencial z.

4. La función de onda para un orbital atómico de un hidrogenión (z=2) es:ψ= K (Z/a0)3/2 [2 — zr/ao] e-zr/2ao sin θ cosфa) ¿Cuál es la distancia a la que con mayor

probabilidad se encuentra el electrón?b) Determine el número de nodos radiales.c) Grafique aproximadamente la función de

distribución radial.d) Realice un gráfico aproximado de la proyección del

orbital en un plano.

5. La función de onda para un orbital atómico de un hidrogenión (z=3) es:

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ψ= K (Z/a0)3/2 [2— z r/ao] e-zr/2ao sin θ cosфa) Calcule la distancia a la que con mayor

probabilidad se encuentra el electrón.b) Determine el número de nodos radiales.c) Grafique aproximadamente la función de

distribución radial.d) Realice un gráfico aproximado de la proyección del

orbital en un plano.

6. En pocas palabras explique que es la función de onda, de que partes está formada, y de que números depende cada una de ellas.

7. Las funciones de onda radiales para 2 orbitales del átomo de hidrógeno en el segundo nivel de energía son:A --R(r) =K [2-p] pe-p/2

B -– R(r) =K’2pe-p/2; p= (2zr)/ (nao)a) Desarrolle un diagrama comparativo de la

distribución de probabilidad radial para ambos orbitales, indicando los valores de las distancias de mayor probabilidad, y a las que se hallen los modos.

b) Determine (justificando su respuesta) las energías relativas de dichos orbitales.

c) Determine (justificando su respuesta) las energías relativas de dichos orbitales para el caso de Boro.

8. Realice un esquema a mano alzada de la proyección en el plano X-Y de los orbitales 3px, 3dxy, 3dx

2y2.

Indique para cada orbital los valores de los números cuantiaos n, l y m

9. Para el orbital revisar 3dx2-y

2 (revisar su función de onda).a) Determinar ¿cuál es la distancia a la que con

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mayor probabilidad puede encontrarse el electrón?b) Realice un esquema aproximado de la función de

distribución radial.c) En caso de existir nodos, calcular la distancia del

núcleo a la que se encontrarían.

10. ¿Cuáles orbitales s, p y/o d cumplen la condición de que sus funciones de distribución radial no presentan nodos?

11. Dada la siguiente función de onda para el átomo de hidrógeno: ψ= (Z /ao)3/2 (2√2)[2- zr/ao] e-zr/2ao Determinar:a) La distancia a la que con mayor probabilidad

puede encontrarse el electrón.b) El número de nodos radiales.

12. La función radial de un orbital p del átomo de hidrógeno es: R(r) = K [4 - p] pe-p/2 Siendo p = 2z r/ (nao) Determinar:a) La distancia a la que con, mayor probabilidad

puede hallarse el electrón.b) En caso de existir nodos radiales, a ¿qué distancia

del núcleo se hallan?c) Identifique una de las funciones angulares

correspondientes y grafique a mano alzada la proyección del orbital en un plano adecuado.

d) Especialmente de que orbital se trata (justifique su respuesta).

13. Hallar la distancia entre las órbitas n:5 y n: 3 en el átomo de hidrógeno según Bohr

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14. ¿Cuál es la energía mínima de un protón que se mueve en una dimensión y se halla confinado a una región equivalente a la longitud de una molécula de propano C3H8 (4 Å)? ¿Cuál es la longitud de un fotón que es capaz de lograr dicha excitación?

15. En la resolución de la ecuación de Schrodinger se obtiene que la función angular Ф(ø) tiene la siguiente forma: Ф(ø) =Aevø/2 Para que se cumpla la condición de que ψ(r, θ, ø) tenga un valor único, Ф (ø)= Ф (ø+ 2), que valores debería tenerla constante de integración v?

16. Un electrón en el átomo de Bohr se encuentra en el estado fundamental. Si al ganar energía recorre una distancia de 12.696 A ¿A qué nivel ascenderá dicho electrón?

17. Justifique por qué el numero cuántico de espín electrónico tiene únicamente dos valores (incluya la representación de la proyección en el eje z del momento cinético o angular correspondiente).

18. La función de onda de un orbital del átomo de hidrógeno es:

R(r) = K [4 — p] pe –p/2 sin θ cos ø Siendo p = 2z r (nao)

a) ¿Cuál es la distancia a la que con mayor probabilidad puede hallarse el electrón?

b) En caso de existir nodos radiales, a qué distancia del núcleo se hallan.

c) Grafique a mano alzada la proyección del orbital en un plano adecuado.

d) Específicamente, de que orbital se trata.

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19. En la resolución de la ecuación de Schrodinger para el átomo de hidrógeno, indique:a) ¿qué parámetros cuánticos están involucrados?b) ¿Con cuál o cuáles de las funciones radial o

angulares están relacionados dichos parámetros

20. En la forma resumida y concreta indique el aporte de De Broglie a la formulación de la ecuación de Schrodinger.

21. Identifique los componentes de la función de onda cuando están expresadas en coordenadas polares y con qué números cuánticos se relaciona cada una de ellas.

22. La proyección en el plano de un orbital del átomo de hidrógeno en uno de los cuadrantes es figura dada.

Determinar:a) La ecuación correspondiente a su función angular

[Ф(ø)= Θ(θ)]b) La forma general de la ecuación de la función de

ondac) Si la función de distribución radial presenta un

nodo (a más de los valores 0 e ∞ ) represente a mano alzada la distribución radial

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23. Dada la siguiente función de onda par aun orbital del átomo de hidrógeno: R(r)= (z/ao)3/2/ [2(√6)] pe-p/2; p=z*r/ao

[Θ (θ)]= (√3/2) sinθ;Ф (ø)=-0.5 sinøa) Determine la distancia (en A) a la que con mayor

probabilidad puede encontrarse el electrón.b) Grafique la proyección del orbital en un plano

adecuado, determinando valores relativos.c) Específicamente de que orbital se trata (justificar

su respuesta).

24. La función de onda de un orbital del átomo de hidrógeno, para r expresado en A, es la siguiente:Ψ(r, θ, ø)=kr2e-ao0.63 sin2θa) Asignando valores determinar el gráfico de la

curva de distribución de probabilidad radial y la distancia de mayor probabilidad de encontrar un electrón.

b) Graficar la proyección del orbital sobre el plano adecuado y determinar el número de nodos totales.

25. La función de onda de un orbital del átomo de hidrogeno es la siguiente:

R(r) = Kr2e-r/3ao (cos 2ø – cos2θ)a) Asignando únicamente cinco valores determinar el

gráfico de la curva de distribución de probabilidad radial y la distancia de mayor probabilidad de encontrar el electrón.

b) Graficar asignando valores la proyección del orbital sobre el plano adecuado.

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c) Establece el número de nodos totales e indicar de que orbital se trata

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Respuestas

NOTA: no todos los ejercicios tienen respuesta

Contenido: Ondas

2. - 35m,

2π35

m−1

3. - 103m

4. - a)2×10−2 s,5m ,250ms

; b) 5000N

5. - 25√2

7. - a)10m; b)0.5m; c)100Hz; d) 50ms

8. - y=0.02sen (1000π t+0.2πx)

9. - a) 10m; b) 5Hz; c) 0.2 s; d) 50m /s; e) 2m; f) derecha

10. - a)100Hz, 30m;

11. - a) 122.47ms

; b) 2.5Hz

12. - a) 10cm ,100cm ,200ms

; b) 40π cm /s, derecha.

15. - a) 0m; b) 0.6m

16. - a) 18s ,16π

rads,320

cms

18. - a) 5ms

, izquierda; b) π30

m, 150π

Hz

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19. - a) 0.8ms

; b) 1.75 π

20. - a) 100Hz ,30m; c) 2×10−4 s21. - a) 3mm,60mm,88.6mm; b) 88.6mm,3mm,−3mm;

c) -0.06cos (3x-2t), ±0.06; d) 0.67ms

23. - a) 0.03m

24. - a) 18m; 2.4π

25. - a) 8200ms

Contenido: Teoría de la relatividad

1. –a) 653.4m b) 4631.83m2. – a) El que se mueve en torno a tierra b) no

3. – 0.8cms

5. – 0.14 cms

6. – 0.197m2

8. – b) no hay cambios

9. – a) −100m ,−43.59m b) 3.704×10−7 s ,3×10−7 s

10. – 15.31horas11. – tiempo transcurre más lento

12. – 0.9996cms

13. – 0.995cms

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15. – 0.8cms

16. – 604 vueltas

17. – 0.866cms

18. –a) 0.28m b) 1.14 µs19. – 5533333.33 s

20. –a) 580nm b) 5.02×10−7m

22. – 0.95cms

23. – 0.044 cms

24. – 0.943cms

25. – a) 0.945cms

b) 3.88×10−6 s

CONTENIDO: Fundamentos de la Física Cuántica

1. - 3.87×1021 fotones

s .m2

3. - 2.4×10−19 J4. - 1.4×1018átomos .5. – 2.43×105V6. - 5×105 Ko

7. - 1.3×10−34m;2.6×10−34rad .8. - 602.47V

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9. - a) 6.6×10−24 kg .ms

;12407 eV b); 6.6×10−24 kg .ms

,151eV

10. – 1.21 A11. - 2.65×10−14m13. – 0.228V

14. – a) 2.3×106 ms

b) 1.5V

15. – a) 7.36×10−19 Jb) 0ms

c) 756.8Kms

16. - 7.96 %

17. – 6.21×10−15m ,4.8×1022Hz ,1.06×10−19 kg .ms

18. – a) 6.4×10−15 J b) 1.186×108 ms

c) 0.06138 A

19. – 1.975×10−19J

21. - 5.27×20−25 Kg .ms

,578.84Kms

22. – a) 2.27 Ab)2.23×10−25 kg .ms

23. - 578.84Kms

24. – 1.73m25. - 3.97×10−14m26. – a) 5.1×1014 Hzb)4×10−7m c) 43 °27. – Si interfiere28. – 1.26×10−3 A

CONTENIDO: Ecuación de Schodinger y Átomo de hidrogeno

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2. – c) 6ao

3. - 3.46 ħ

4. – a) 2ao b) 1

5. – a) 43ao b) 1

7. - b) 3.4 ev c) 30.6 ev

9. – a) 6ao c) no hay nodos

11. – a) 4ao b) 1

12. -a) 4ao b) 2ao

15. – [-l, +l]

18. - a) 4ao b) 2ao d) 3px

23. –a) 2.21 A c) 2px

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BIBLIOGRAFIAS

Ejercicios propuestos para el semestre, PhD Oswaldo Aldás.

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/Usrn/fisica/ejeronda.htm

Hernán Verdugo Fabiani Profesor de Matemática y Física www.hverdugo.cl

Lista de ejercicios de relatividad, curso Física III Ing. Alejandro mora

http://www.xtec.cat/~ocasella/exercici/llum2.htm

Martínez Lorenzo a. y Manera Artigas, física cuestiones y problemas resueltos, Bruño

http://www.hverdugo.cl/

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INDICE:

1. Ondas..................................................................1

2. Teoría de la relatividad........................................7

3. Fundamentos de la Física Cuántica......................12

4. Ecuación de Schodinger yÁtomo de hidrogeno............................................17

5. Respuestas..........................................................23

6. Bibliografía...........................................................27

7. Índice...................................................................28

Solucionario

ONDAS

4.1.- Establecer cuál de las siguientes funciones tiene forma y = f(x - vt) o y = f(x + vt). ¿Podría usarse alguna de estas funciones para representar una onda viajera en una cuerda? Comprobar que dichas funciones cumplen la ecuación de onda.

Para que una función pueda representar una onda viajera en una cuerda, tiene que ser una función de dicha forma. La ecuación de

onda es:

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(a) .

Esta función ya está escrita en dicha forma, y por tanto podría representar una onda viajera en una cuerda, que se mueve hacia la izquierda.

Veamos si verifica la ecuación de ondas:

Vemos que efectivamente verifica la ecuación de ondas.

(b)

Se puede escribir de la forma y = f(x - vt), por tanto representa una onda que se mueve hacia la derecha en el eje x.

Se comprueba que verifica la ecuación de onda igual que en el ejemplo anterior.

(c)

Esta expresión no se puede escribir como y = f(x - vt) o y = f(x + vt). Por tanto, no podría representar una onda viajera en una cuerda. Además, se puede comprobar que no cumple la ecuación de ondas.

(d)

También se puede verificar que esta expresión no se puede escribir de la forma y = f(x - vt) o y = f(x + vt). Por tanto, no podría representar una onda viajera en una cuerda. Además, se puede comprobar que no cumple la ecuación de ondas.

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4.2.- Dada la ecuación , donde x está en metros y t en segundos, determinar la longitud de onda, la frecuencia, el período, la velocidad de propagación de la onda, la amplitud y el sentido de propagación. Escribir una onda idéntica que se propague en sentido opuesto.

Esta onda es una onda armónica, de la

forma

Igualando los términos correspondientes obtenemos:

Además, se propaga en el sentido positivo de las x. Una onda idéntica que se propague en sentido opuesto es de la forma:

4.3.- Un bote en movimiento produce ondas superficiales en un lago tranquilo. El bote realiza 12 oscilaciones de 10 cm de amplitud en 20 segundos, produciéndose en cada oscilación una cresta de onda. Esta creta tarda 6 segundos en alcanzar

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la orilla del lago distante 12 metros. Escribir la ecuación que describe el movimiento ondulatorio producido y determinar la velocidad a la que se propaga la onda.

Se producen 12 oscilaciones en 20 s. Por tanto, la frecuencia del movimiento es:

Por tanto, el período del movimiento es

La amplitud es de 10 cm

Además, la onda recorre 12 m en 6 s. Por tanto, su velocidad de propagación es:

La longitud de onda es

Con estas magnitudes ya podemos escribir la ecuación del movimiento producido:

4.4.- Una onda armónica en una cuerda viene dada por la

expresión

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, donde todas las unidades están en el SI. (a) Determinar todas las características de la onda (amplitud, número de onda, frecuencia angular, velocidad, longitud de onda, frecuencia, período y dirección de propagación). (b) Determinar y para el elemento situado en x = 0,22 m en el instante 0,75 s. (c) Determinar las expresiones de la componente y de la velocidad y la aceleración de la cuerda. (d) ¿Cuáles son la velocidad máxima y el valor máximo de la aceleración para cada elemento de la cuerda? (e) Determinar la componentey de la velocidad y la aceleración del elemento situado en x = 0,22 m en el instante t = 0,75 s. ¿Estará la cuerda curvada hacia arriba o hacia abajo en dicho elemento en ese instante?

(a) Comparando la ecuación de la onda con la ecuación de la onda armónica, obtenemos:

(b)

(c) La componente y de la velocidad de la cuerda es la primera derivada temporal de y, y la componente y de la aceleración es la segunda derivada temporal:

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(d) La velocidad y la aceleración máximas en cada punto se calculan igualando a cero su derivada temporal:

(e) Sólo hay que sustituir los valores de x y t en las ecuaciones obtenidas en el apartado (c):

ay > 0. Por lo tanto, la cuerda está curvada hacia arriba.

4.5.- El rango de frecuencias del sonido audible va desde alrededor de 20 Hz hasta 20 kHz. La velocidad del sonido en el aire es aproximadamente 340 m/s. ¿Cuál es el rango de longitudes de onda del sonido audible en el aire?

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Sólo tenemos que emplear la relación entre la velocidad de

desplazamiento, la longitud de onda y la frecuencia:

4.6.- Un trozo de cuerda de longitud 5.5 m tiene una masa de 0.34 kg. Si la tensión de la cuerda es de 77 N, ¿cuál es la velocidad de una onda en la cuerda?

Sabemos que la velocidad de una onda en una cuerda depende

de su densidad lineal de masa, , y de la tensión a que está sometida la cuerda:

4.7.- La velocidad de una onda en una cuerda de 5 m es 21 m/s cuando la tensión en la cuerda es 92 N. ¿Cuál es la masa de dicha cuerda?

Utilizando la misma expresión del problema anterior:

4.8.- Un hilo con una masa por unidad de longitud de 0.15 kg está bajo una tensión de 59 N. ¿Cuál es la potencia promedio de una onda de amplitud 42 mm y frecuencia angular de 130 rad/s que se propaga a lo largo del hilo?

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La potencia promedio de una onda que se propaga en una cuerda es:

donde

y . Por tanto, la potencia promedio es:

4.9.- En un alambre largo de densidad lineal 3·10-2 kg/m manteniendo una tensión de 30 N provocamos una onda armónica transversal de 0,5 cm de amplitud y 150 Hz de frecuencia. Suponiendo que la onda se mueve en el sentido positivo del eje x y en el origen, y(0, 0) = 0,25 cm y v(0, 0) < 0, calcular la ecuación de onda y las ecuaciones de la velocidad y la aceleración de una partícula del alambre que esté situada a 1 m del origen.

La ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje x es:

donde A es la amplitud, k es el número de onda, ð la frecuencia angular y ð una constante de fase. Además, el número de onda y la frecuencia angular se relacionan con la velocidad de

propagación de la onda mediante la expresión . Por tanto, en nuestro caso:

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Por tanto, la expresión de la onda es:

La constante de fase la calculamos teniendo en cuenta las condiciones iniciales que nos dan:

Teniendo en cuenta la segunda condición, tenemos que

escoger . Por tanto, la ecuación de la onda es:

Para calcular las ecuaciones de la velocidad y la aceleración de una partícula del alambre situada a 1 m del origen únicamente tenemos que derivar esta expresión con respecto al tiempo y sustituir x = 1 m:

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4.10.- En una cuerda están presentes dos ondas con la misma amplitud, número de onda, frecuencia angular y dirección de propagación. La diferencia de fase entre estas ondas es 0.65 rad, y la amplitud de cada una es de 51 mm. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante?

Sabemos que cuando interfieren dos ondas de la misma amplitud, número de onda, frecuencia angular y dirección de propagación, la onda resultante es una onda armónica con una amplitud

diferente, , donde δ es la diferencia de fase entre las ondas y A la amplitud de cada una de ellas por separado. Por tanto, en este caso, la amplitud de la onda resultante es:

4.11.- Dos ondas armónicas de igual frecuencia, ð = 150 Hz, y amplitud, A = 2 cm, viajan a la velocidad de 1 m/s y en sentido positivo del eje x, existiendo entre ellas una diferencia de fase de ð/3. Escribir la ecuación de onda de cada una de ellas, la ecuación de la onda resultante de la interferencia entre las dos y las ecuaciones del movimiento de una partícula que se encuentra a 20 cm del origen sobre el eje x.

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Las ecuaciones de las dos ondas son:

La ecuación de la onda resultante

es: , que queda:

Las ecuaciones de movimiento de una partícula que se encuentra a 20 cm del origen son:

4.12.- Dos ondas que se mueven en la misma dirección y

cuyas ecuaciones en el SI son

y al interferir producen ondas estacionarias. Determinar: (a) La

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ecuación de la onda resultante. (b) La amplitud en los vientres. (c) La distancia entre dos nodos consecutivos.

(a) La ecuación de onda resultante es:

(b) Los vientres son los puntos de amplitud máxima. Ésta se da

cuando . En este caso, la amplitud es:

(c) Los nodos son los puntos en los cuales la amplitud es cero. Se

dan cuando . La distancia entre dos nodos consecutivos, por tanto, será la mitad de la longitud de onda, ð/2.

Por tanto, la distancia entre dos nodos consecutivos es:

4.13.- Un tren se desplaza a la velocidad de 108 km/h. El silbato de la locomotora emite un sonido de 60 Hz de frecuencia. Calcular la longitud de onda y la frecuencia de las ondas sonoras percibidas por un observador fijo situado (a) delante de la locomotora y (b) detrás de la locomotora. Calcular la frecuencia que percibirá un viajero de otro tren que lleva una velocidad de 54 km/h cuando (c) se aproxima al primer tren y (d) se aleja.

(a) Tenemos un caso típico de efecto Doppler. En este caso, el observador permanece parado, mientras que la fuente se acerca a

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una velocidad de . Por tanto, la frecuencia que percibe el observador es más aguda

(mayor) que la que realmente emite el silbato, donde v es la velocidad de la onda, en este caso, la velocidad del sonido en el aire, que es de 340 m/s. Por tanto, la frecuencia que percibe el observador es:

(b) En este caso, el tren se aleja, y por tanto el sonido percibido por el observador será más grave (menor frecuencia) que el emitido realmente por el silbato:

(c) Ahora el observador también se mueve, y por tanto tenemos que tener en cuenta tanto el movimiento del observador como el de la fuente. En este caso el observador se acerca al primer tren

con una velocidad . La frecuencia percibida por el observador será:

(d) En este caso se alejan, y la frecuencia es menor que la original:

http://html.rincondelvago.com/ondas_2.html

http://html.rincondelvago.com/ondas_2.html

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http://es.wikipedia.org/wiki/Onda

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda

deberes (1)

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