Mtodos Numricos Segundo Parcial

Deber N

o

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Sistemas de ecuaciones lineales y ajuste de curvas

1. EJERCICIO: Calcular el nmero de operaciones bsicas (sumas, restas, multiplicaciones

y divisiones) en funcin de la dimencin n, necesarias para resolver un sistema Au = B;donde A es una matriz triangular superior.

2. EJERCICIO: En el sistema siguiente, pruebe que Ax = B es equivalente al sistema trian-gular superior Ux = y que se da y alle su solucin.

4x1 + 8x2 + 4x3 + 0x4 = 8x1 + 5x2 + 4x3 3x4 = 4x1 + 4x2 + 7x3 + 2x4 = 10x1 + 3x2 + 0x3 2x4 = 4

4x1 + 8x2 + 4x3 + 0x4 = 8

3x2 + 3x3 3x4 = 64x3 + 4x4 = 12

x4 = 2

3. EJERCICIO: Resolver con calculadora (a mano) el siguiente sistema de ecuaciones, apli-

cando la eliminacin gaussiana: x1 + 8x2 5x3 = 33x1 2x2 + 3x3 = 12x1 + 3x2 x3 = 44. EJERCICIO: Halle la solucin del siguiente sistema lineal, con calculadora y a mano.

x1 +x2 = 52x1 x2 +5x3 = 9

3x2 4x3 +2x4 = 192x3 +6x4 = 2

5. EJERCICIO: Demuestre que la inversa de una matriz triangular superior es una matriz

triangular superior.

6. EJERCICIO: Resolver el sistema lineal de ecuaciones Ax = B, calculando a mano solo lasmatrices correspondientes a la factorizacin PA = LU .

A =

2 3 8 14 0 1 1016 4 2 10 7 1 5

b =

1111

1 Ing. Patricio Pugarn D.

Mtodos Numricos Segundo Parcial

7. EJERCICIO: Considere la funcin f(x) = x2. ex2. Se pide calcular un valor aproximadopara la integral de f(x) en el intervalo [-2, 2] usando el polinomio de Lagrange, calculado amano, que interpola f(x) en los puntos x0 = 2, x1 = 1, x2 = 0, y x4 = 2.8. EJERCICIO: Con el siguiente conjunto de nodos:

xi 40 60 80 100 120 140 160yi 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93 6.22 8.59

Obtener el valor de la funcin para x = 90, con un polinomio de 2do. grado, utilizando lossiguientes mtodos:

a) Por interpolacin polinomial simple.

b) Por interpolacin de Lagrange. (Aplicando el programa)

c) Construya solo la matriz de diferencias divididas para aproximar todos los puntos de

la tabla.

d) Evaluar el polinomio interpolador de Newton, de tercer grado, para x=1.75.

9. EJERCICIO: El polinomio P (x) = 2 (x+ 1) + x(x+ 1) 2x(x+ 1)(x 1) interpola losprimeros cuatro nodos de la tabla:

x -1 0 1 2 3

y 2 1 2 -7 10

Aada un trmino a P de tal forma que el polinomio resultante interpole la tabla entera.

10. EJERCICIO: La ecuacin x 9x = 0 tiene una solucin en el intervalo [0, 1]. Utilice lateora de interpolacin polinomial en los nodos x0 = 0, x1 = 0,5, x2 = 1, para encontraruna solucin aproximada x de la ecuacin. (Aplicar los programas)

2 Ing. Patricio Pugarn D.