TEMA 8: LOS NMEROS DECIMALES

Para comenzar el tema, lo primero que es necesario decir es que estos nmeros aparecen cuando tengo que medir cosas ms pequeas. Se trata de una extensin del sistema posicional con la creacin de nuevos rdenes, es decir, posiciones. Estos rdenes se parten y los vamos a denominar unidades de orden negativo. Por ejemplo: unidades de orden -1 (1 unidad dividida en 10 partes iguales), unidades de orden -2 (esta dcima o unidad anterior dividida en 10 partes iguales)...

Vamos a tener una parte entera, con unidades de orden 0 y superiores, y nmeros decimales, con unidades de orden -1 y ms pequeas.

Ejemplo: 345, 678

O 2 O 1 O 0 , O -1 (dcimas)

O -2(centsimas)

O -3(milsimas)

3 4 5 , 6 7 8

Llegamos a los nmeros decimales en situaciones como, por ejemplo: Tenemos que repartir 7 metros de cuerda entre 5 personas y que todos tengamos un trozo de igual tamao.

5:7= 0,7142857142...

Llegamos a los nmeros decimales porque necesitamos fraccionar o dividir nmeros enteros.La fracciones pueden ser exactas (desarrollo decimal limitado) o inexactas repitindose el resto (desarrollo decimal ilimitado o peridico).

DESARROLLO DECIMAL DE LA FRACCIN

Toda fraccin tiene asociado un desarrollo o expresin decimal que se obtiene mediante una divisin. Hay dos tipos:- D. decimal ilimitado: Sujeto a regla de periodicidad (secuencia de cifras que se repiten). Por ejemplo: 5:7; 31/99; etc.- D. decimal limitado: hay un momento en el que los decimales se acaban porque encontramos 0 de resto. Por ejemplo: =0,5; = 0,25; 1/8 = 0,125; 1/16 = 0,0625; etc.

Las fracciones que tengan como denominador potencias de 2, de 5 de 2 y de 5 van atener un desarrollo decimal limitado o exacto. Por ejemplo: ; ; 1/5; 1/25; 1/10; etc.

SITUACIONES ARITMTICAS

1. Situaciones aditivasEn este tipo de operaciones sumo respetando las posiciones (es decir, colocamos las comas una debajo de otra , y colocamos las unidades de orden 0 debajo de las de orden 0, las de orden -1 debajo de las de orden -1, as sumamos). Si consigo unidadesde rdenes superiores las aado. Por ejemplo: 3,7 4,5 -------- 7,2 (7+5=12; ponemos el 2 del 12 y el 1 se lo aadimos a las unidades de orden 0)2. Situaciones multiplicativas

Este tipo de operaciones se hacen tal y como se hacen las multiplicaciones sin decimales, con la nica condicin de que tenemos que averiguar cuntos decimales va a tener. Es decir, si uno de los nmeros tiene dcimas y el otro centsimas vamos aconseguir milsimas en la multiplicacin (1 decimal + 2 decimales = 3 decimales). Por ejemplo:

1,32 x 6,7 ------------------ 924 792 ------------------ 8,844

Otra manera de multiplicar puede ser:

132/100 x 67/10 = 8844/1000 = 8,844

Otro punto importante del tema es dividir dos nmeros decimales. Por ejemplo:1,67:3,7

El primer paso debe ser homogeneizar: 167/100 : 370:100.Una vez que hemos homogeneizado, solamente operamos con los numeradores: 167: 370 = 0,4...

Las fracciones que tienen un desarrollo ilimitado siempre va a ser peridico (siempre habr una secuencia de nmeros que se repite; por ejemplo: como mximo al dividir entre 17 habr 16 restos, al llegar al 17 se tiene que volver a repetir un nmero).

Ejemplo: 0,3 = 3/10 + 3/100 + 3/1000 +

Queremos averiguar la fraccin de este nmero peridico:

a 0,3333333...4a x 4 ------------------- 1,3333333...

4 a -a= 3 a (0,9 = 1)3 a = 1 a = 1/3

1

LOS NMEROS DECIMALES:

Utilizamos nmeros decimales cuando tengo que medir cosas ms

pequeas que la unidad.

Los nmeros decimales aparecen por una extensin del sistema posicional,

con la creacin de nuevos rdenes o posiciones.

Se trata de una serie de rdenes que hacen la funcin contraria a la anterior.

As, ahora lo que hago es transformar los rdenes positivos que conocimos

en temas anteriores en rdenes negativos. As, cogemos una unidad y la

partimos, dando lugar a unidades de orden negativo (llamadas as para

diferenciarlas de las otras)

Sucesivamente, voy a encontrar que las unidades de distinto orden van a

representar una unidad en el sistema decimal. As, las unidades de orden 0

representan a las unidades; las unidades de orden 1 representan a las

dcimas; las unidades de orden 2 representan a las centsimas, y as

sucesivamente con el resto de rdenes.

As, si tengo la siguiente tabla:

O1 O2 O3 O4 O5 O6

3 4 5 6 7 8

Se lee de la siguiente manera:

34 decenas

345 unidades

3456 dcimas

34.567 centsimas

345.678 milsimas

As, se forma una extensin del sistema posicional con la creacin de

rdenes negativos.

ORDEN POSITIVO ORDEN NEGATIVO

2

A la hora de efectuar las divisiones, hagamos un ejemplo para ver la

resolucin de la misma al tener decimales:

Si dividimos 5/7 podemos ver que al ser 5 menor que 7 no puedo efectuar

la divisin, por lo que no me va a dar un nmero exacto, ya que el divisor

es mayor que el dividendo. As, lo que hacemos es poner un 0 en el

cociente y una coma, y bajamos un 0 del dividendo, de esta manera

podemos decir que se trata de un nmero decimal.

Al realizar la divisin podemos observar una cosa curiosa-> encontramos

una secuencia de cifras que se repite continuamente.

As, puede una divisin darme indefinida?

Si es indefinida significa que nunca acaba, por lo que en algn momento se

repite alguno, dando lugar a una secuencia de cifras que se repite.

En cuanto a las fracciones, nos encontramos ante un nuevo sistema de

numeracin.

Los nmeros irracionales se caracterizan porque no hay una secuencia que

se repita. Ejemplos: las races cuadradas de 2, 3 y 7.

En cuanto al desarrollo decimal de fracciones, encontramos que toda

fraccin tiene asignado un desarrollo decimal.

Podemos encontrar dos tipos principales:

-Desarrollo decimal ilimitado: es aquel que se encuentra sujeto a

periodicidad. Es decir, aquel en el que hay una secuencia de cifras que se

van a repetir ilimitadamente.

Sera el caso del ejemplo anterior, al dividir 5/7, vemos que se repite una

frecuencia de cifras que establece que la divisin no va a tener fin.

Entonces, se repite el resto, una vez que se repite el resto se va a repetir la

frecuencia y no tendr fin.

-Desarrollo potencial limitado: toda fraccin que tenga en su familia una

fraccin con denominador potencia de 10 tiene un desarrollo potencial

limitado.

As, encontramos que todas las fracciones que contengan un denominador

potencia de 2 y de 5 van a tener un desarrollo decimal limitado.

3

Ejemplos:

Potencias de 2:

= 0,5

= 0,25

1/8= 0,125

1/16= 0,0625

1/32= 0,03125

Potencias de 5:

1/5= 0,2

1/25= 0,4

1/125= 0,8

1/625= 0,00016

A las fracciones con desarrollo decimal limitado se les denomina:

FRACCIONES DECIMALES

A las fracciones con desarrollo decimal ilimitado se les denomina:

FRACCIONES PERIDICAS

En cuanto a las fracciones decimales, la fraccin decimal es la que su

desarrollo decimal era exacto (limitado)

Toda fraccin cuyo denominador sea una potencia de 10 (2x5) ser

limitado, por lo que tambin sern las que tengan en su denominador una

potencia de 2 o una potencia de 5.

Encontramos que si en el resultado de

la anterior fraccin multiplicamos por

5 obtenemos el resultado de la

siguiente fraccin.

Ejemplo: 0,5 x 5= 0,25

Encontramos que si

multiplicamos el resultado de la

fraccin anterior por 2

obtenemos el resultado de la

siguiente fraccin.

Ejemplo: 0,2 x 2= 0,4

4

SITUACIONES ADITIVAS DE NMEROS DECIMALES:

Cmo se suman los nmeros decimales?

Sumo posiciones y si obtengo unidades de orden superior los coloco en su

posicin.

Cmo se restan los nmeros decimales?

Lo hacemos exactamente igual.

SITUACIONES MULTIPLICATIVAS DE NMEROS DECIMALES:

Cmo se multiplican nmeros decimales?

Una forma: al multiplicar dcimas por centsimas se obtienen milsimas (la

dcima parte de una centsima es una milsima)

Esto da lugar a 3 cifras tras la coma.

La coma se coloca donde se juntan las comas contino en diagonal

(donde se unen y me voy en diagonal)

Cmo se dividen nmeros decimales?

Lo hacemos exactamente igual.

ELABORACIN DEL TEMA: LOS NMERES DECIMALES

En primera estancia se nos plantea medir algo que no alcanza la unidad, como por ejemplo podemos verlo en un segmento, para ello utilizamos la Estrategia 1, que es hacer uso de la mitad de un segmento (Mitad O1).

0 1

A contnuacin aparecen segmentos coloreados que son mayores o menores que la mitad del segmento, de esta manera al haber obtenido la mitad, podemos definirlos dediferentes formas, es decir, sabemos cul es la mitad y he aqu cuando debemos haceruso reiterado de ella. Por lo tanto si un segmento es una parte ms pequea que la mitad, lo llamaremos como que es la mitad de la mitad (Mitad O2).

0 1

Si es an otra parte ms pequea lo llamaremos la mitad de la mitad de la mitad (Mitad de O3).

0 1

Puede ocurrir que haya segmentos ms grandes que la mitad, y utilizaramos el mismo mtodo, llamando a sus partes descritas anterioremente (Mitad O1), (Mitad O2), (Mitad O3), y as sucesivamente si se da el caso, para describir de esta manera elsegmento coloreado.

0 1

Una vez dado las rdenes a las mitades descritas del segmento, realizamos lo que se llamara posicionamiento de las rdenes, es decir, colocar con una cruz en una tabla de doble entrada, qu segmentos tiene o compuesto por mitad de O1, mitad de 02, mitad de 03, etc (Representacin grfica).

(a) X(b) X X

Mitad deorden 1

Mitad deorden 2

Mitad deorden 3

Seguidamente pasaramos a la transcripcin numrica, dar nmeros duales (0 y 1) si existe en ese segmento mitad de O1, O2, O3, etc.

Un ejemplo sera si nos encontramos dos segmentos:a) Formado con 1 mitad de O1, 0 de O2, 0 de O3.b) Formado con 1 mitad de O1, 0 de O2, 1 de O3.

1 0 01 0 1Orden 1 Orden 2 Orden 3

1 0 01 0 1

1 0 0 1

Sin darnos cuenta vamos a realizar la suma de las mitades de estos segmentos para saber por cuntas unidades est formado sin expresarlo de manera grfica. En este caso la solucin es la siguiente.

1 mitad de O3 + nada = 1 mitad de O30 mitad de O2 + nada = 0 mitad de O21 mitad de O1 + 1 mitad de O1 = 1 unidad de la siguiente orden.

Vemos que 1 unidad que nos ha dado al realizar la operacin es la parte entera del nmero, mientras que las dems mitades son la parte decimal. Nos damos cuenta que los nmeros decimales aparecen con la creacin de nuevas posiciones.

Aparecen por una extensin del sitema posicional, con la creacin de nuevas rdenes.Estas rdenes hacen la funcin contraria que las otras, en lugar de aumentar, disminuyen. Cojo una unidad y en lugar de agruparlas las divido, por lo que sern unidades de orden negativo (orden menos 1) dcimas. Si las parto en 10 unidades, orden menos 2, etc.

Orden 2 Orden 1 Orden 0 Orden -1 Orden -23 4 5 6 7

Por otra parte hablamos del inicio de esos nmeros decimales en relacin a la expresin fraccionaria, es decir, toda fraccin tiene asociada una expresin decimal. Se obtiene mediante una divisin, que tiene como dividendo el numerador, y como divisior el denominador.

Existen dos tipos:- Desarrollo decimal ilimitado: a ello se les llama fracciones peridicas, tienen periodicidad, es decir, secuencia de cifras que se van a repetir.- Desarrollo decimal limitado: se les llama fracciones decimales,es decir, su desarrollo decimal es exacto-

Toda fraccin cuyo denominador sea potencia de 2 y de 5 va a tener un desarrollo decimal limitado.Toda fraccin en cuya familia tenga un denominador con potencia de 10, tiene un desarrollo deciaml limitado.

La fraccin de desarrollo decimal ilimitado, nos indica que nunca va a tener una fraccin exacta, no va a tener una marca en la regla. Su extremo no me va a coincidir con una marca en la regla. La mitad siempre va a estar entre dos marcas.

Totalmente contrario es en el desarrollo limitado, aqu si hay una marca que me seala la fraccin.

En conclusin la aplicacin que le damos a esto como futuros docentes, es decir, la consecuencia metodolgica es ponerle a los nios a medir cosas que tengan a mano, tanto en el aula, como en casa: losas, puertas, la clase, la pizarra, etc y as hacer que ellos experimenten en primera persona los nmeros que salen si son o no mayores o menores que la unidad, y a continuacin hacerles que realizen situaciones aditivas, multiplicativas, etc.

,+ -

Extensin del sistema posicional con la creacin de rdenes negativos.

Esto es una buena introduccin para los nmeros decimales difrenciando as la parte entera de la decimal.

Describe los siguientes grficos nicamente utilizando la expresin mitad

La mitad

La mitad de la mitad

La mitad de la mitad de la mitad

La mitad, ms la mitad de la mitad

La mitad, menos la mitad, menos la mitad de la mitad / La mitad de la mitad, ms la

mitad de la mitad de la mitad

La mitad, ms la mitad de la mitad de la mitad

a

b

c

d

e

f

Es la unidad entera menos la mitad de la mitad de la mitad de la mitad del segmento,

o bien, es la mitad del segmento ms la otra mitad del segmento menos la mitad de la

mitad de la mitad del segmento.

Por lo que estamos haciendo un uso reiterado de la mitad, que puede llegar a ser

confuso. Esto lo podemos simplificar de moto que no hagamos uso del concepto

mitad, para ello nos servimos de las ordenes de mitades:

Mitad de orden 1 La mitad

Mitad de orden 2 La mitad de la mitad

Mitad de orden 3 La mitad de la mitad de la mitad

Mitad de orden 4 La mitad de la mitad de la mitad de la mitad

Y as seguiramos sucesivamente.

De esta manera simplificada, cmo describiramos el segmento (g): orden 1+ orden

2+ orden 3, evitando as hablar de la mitad de la mitad

As, estas mitades de orden se representaran de la siguiente forma en el grfico:

Aun podemos seguir simplificando la manera de describir los segmentos, de una

manera ms clara. Nos valemos de una tabla de doble entrada, para un nivel mayor

de organizacin. Tenemos claramente visible el posicionamiento de las rdenes, por

tanto podemos representar grficamente cada segmento:

Mitad

de

orden

1

Mitad

de

orden

2

Mitad

de

orden

3

Mitad

de

orden

4

a)

g

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Ahora podemos pasar a hacer una transcripcin numrica a partir de la tabla realizada

previamente. Pasamos de la descripcin literal (mitad de orden 1, 2) a una

descripcin en cifras. Simplificamos en cifras para poder operar, averiguando el

resultado de juntar por ejemplo e y d sin recurrir a la accin grfica para

averiguar cuanto da.

a) 1 0 0

b) 0 1 0

c) 0 0 1

d) 1 1 0

e) 0 1 1

f) 1 0 1

g) 1 1 1

Con esta ltima tabla puedo operar. Por ejemplo, si yo quiero sumar e + d

cogera las cifras que corresponden a cada uno y las pondra debajo de otras segn su

posicin y efectuara la suma:

Hemos puesto cruces para describir los

segmentos que tenamos en un

principio de una manera ms clara y

simplificada.

Ej: el segmento A est formado por

una mitad de orden 1.

El segmento B por una mitad de

orden 2

El segmento e por una mitad de

orden 2 y por una mitad de orden 3.

Por qu salen 0 y 1? Estamos

utilizando el sistema binario (o,1).

Tenemos tres posiciones solo porque

los segmentos descritos anteriormente

solo han necesitado el uso de tres

posiciones de ordenes (mitad de orden

uno, mitad de orden 2, y mitad de

orden 3). Por lo tanto, pondremos o

en los lugares donde no haba cruz y

pondremos 1 en los lugares donde si

haba cruz.

Utilizamos este recurso para crear las expresiones decimales, de modo que el nio se

encuentra con esta situacin y no que directamente le soltamos al nio que son los

nmeros decimales y como se operan, es una consecuencia metodolgica didctica,

innovaciones educativas.

e+d grficamente sin la representacin numrica. De manera el nio no se topa

con las expresiones decimales.

e

d

e+d

Estoy sumando. Lo que grficamente

puedo hacer tambin (como he

realizado de bajo) lo podemos hacer

numricamente.

Cuando yo sumo estos segmentos me

doy cuenta de que al sumarlos voy a

superar la unidad, por lo que me va

dar una unidad y algo ms. Ese algo

ms va a corresponder a la parte

decimal.

EL NMERO DECIMAL

Cuando hay que medir cosas ms pequeas que la unidad, aparecen los nmeros

decimales mediante una extensin del sistema posicional, con la creacin de nuevas

rdenes, es decir, crear nuevas posiciones. Estas rdenes hacen la funcin contraria

de la que hacan antes, puesto que a estas unidades se les puede llamar unidades de

orden negativo. De esta forma:

- Unidad de orden -1 dcimas

- Unidad de orden -2 centsimas

- Unidad de orden -3 milsimas

- Y as sucesivamente

Ejemplo de las rdenes: en el que aparece unidades de orden positivo (parte entera)

como unidades de orden negativo (parte decimal)

3 4 5 6 7 8

De este nmero se pueden derivar las siguientes descripciones, que aunque se derivan

del mismo nmero, varan dependiendo del nmero al que nos refiramos:

- 3 unidades de orden 2 y 45678 unidades de orden -3

- 34 unidades de orden 1 y 5678 unidades de orden -3

- 345 unidades de orden 0 y 678 unidades de orden .3

- Y as

Podemos saber cul es el desarrollo polinmico de esta expresin:

3x102+4x10

1+5x10

0+6x10

.1+7x10

-2+8x10

-3

As mediante estos ejercicios se ha producido un primer contacto diferente con los

nmeros decimales (experimentando) de como tradicionalmente se aprenden en la

escuela (un n decimal surge como una divisin que no es exacta).

De modo que podemos montar una actividad parecida a esta para introducir a los

nios en los nmeros decimales.

O2 O1 O0 O-1 O-2 O-3

ELABORACIN DEL TEMA DE LOS NMEROS DECIMALES

Para iniciar el tema de los decimales en clase, le daremos un metro a nuestrosalumnos y les pediremos que empiezen a medir objetos que hayan clase, con esteejercico ellos mismos podrn comprobar que no todos los objetos miden unidadesenteras.

A continuacin, se les dar en un folio con una serie de segmentos que van de 0 a 1,es decir, abarcando una unidad.

A raz de estos segmentos, los nios debern hacer uso de la mitad, les pediremos quenos dibujen la mitad de ese segmento.

1

0 1

En el segundo segmento, dibujarn la mitad de la mitad.

2

0 1

En el tercero, debern dibujar la mitad de la mitad de la mitad.

3

0 1

Y por ltimo, en el cuarto segmento, la lnea que tendrn que dibujar corresponder a la mitad ms la mitad de la mitad.

4

0 1

As podramos hacer un montn de segmentos, para que los nios sepan que la unidad, se puede hacer ms pequea sin llegar a la unidad siguiente, por ejemplo, el 1puede ser ms pequeo sin llegar al cero.

Cuando explicamos los nmeros enteros, la unidad era la cifra que corresponda a lasunidades de orden 0, las decenas a las unidades de orden 1, las centenas a lasunidades de orden 2 y as sucesivamente, pues bien, a la mitad de la unidad lallamaremos mitad de orden 1, a la mitad de la mitad de la unidad se le llamar mitadde orden 2 y a la mitad de la mitad de la mitad de la unidad la denominaremos mitadde orden 3. Por lo que el cuarto segmento se puede decir que est formada por unamitad de orden 1 y otra mitad de orden 2.

Despus de realizar estos pasos, tendrn que posicionar las rdenes en una grfica,dnde en un lateral pondrn los nmeros que equivalen a cada segmento y debajo lasrdenes de mitades.

Segmento 1Segmento 2Segmento 3Segmento 4

Mitad de orden 1 Mitad de orden 2 Mitad de orden 3

Una vez colocados los datos en la tabla pasamos a la representacin de los segmentosque hemos coloreados grficamente.

El segmento uno tiene una mitad de orden 1, por lo que se colocar una cruz en elcasillero correspondiente.El segundo segmento tiene una mitad de orden 2, as que habr que poner una cruz enel casillero que corresponde al segmento dos y a la mitad de orden 2En el segmento nmero tres la cruz ocupar la casilla que corresponde a la mitad deorden 3.Y el segmento nmero 4, habr que colocar la cruz en la mitad de orden 1 y en lamitad de orden 2.

Segmento 1 XSegmento 2 XSegmento 3 XSegmento 4 X X

Mitad de orden 1 Mitad de orden 2 Mitad de orden 3

Una vez hecha la accin fsica (dibujar en el segmento las mitades) y grfica de estossegmentos, pasamos a la transcripcin nmerica. Esta transcripcin se realizar deesta forma, solo utilizaremos dos nmeros (1 y 0). El uno se colocar en el casillerodnde haba una x y el casillero vaco se complementar con un cero.

Segmento 1 1 0 0Segmento 2 0 1 0Segmento 3 0 0 1Segmento 4 1 1 0

Ya sabiendo como se hace una accin fsica, grfica y numrica de estos, podemosempezar a operar. Ahora, haremos un ejemplo donde sumaremos los segmentos 2 y 4.Mediante la accin fsica, sera:

1. Dibujar el segmento nmero dos.2. Dibujar el segmento nmero cuatro.3. En un mismo segmento poner los dos segmentos juntos.

2

0 1

4

0 1

2+4

0 1

Ya hecha la suma mediante accin fsica (dibujando los segmentos), dnde hemospodido comprobar que el segmento 2 ms el segmento 4, nos da como resultado 1,ahora lo haremos mediante nmeros.

En la representacin numrica, tendramos que hacer una tabla con las x de lossegmentos correspondientes, la misma que hemos hecho anteriormente para sabercual sera su transcripcin numrica, cuando sepamos la transcripcin numrica decada segmento, pasamos a realizar la suma con nmeros.

1Segmento 2 0 1 0Segmento 4 1 1 0

1 0 0 0

Parte enteraParte decimal

Esta suma se describe de esta forma: las rdenes de mitades de orden 3 de ambossegmentos estn representadas por un 0 por lo que 0+0=0. En las rdenes de mitadesde orden 2, nos encontramos con un 1 y otro 1, el orden 2 quiere decir que hay dosmitades de la mitad, lo que formaran una mitad, por lo que la ponemos arriba delcero de las mitades de orden 1, y una mitad ms una mitad hacen una unidad entera.

Elena Lebrn Ruiz

Didctica de la Aritmtica

2 Educacin Primaria B

NMEROS DECIMALES

Para medir cosas menores a la unidad, se necesitan los nmeros decimales.

Aparecen como una extensin del sistema posicional y se crean nuevos

rdenes, es decir, nuevas posiciones.

Estos rdenes hacen la funcin contraria de lo que hacan antes. Antes las

unidades formaban 1 decena, ahora se hace a la inversa, es decir, partimos

las unidades y se van formando las unidades de orden -1 (dcimas),

orden -2 (centsimas)

(+) (-)

o.2. o.1. o.0. o.-1. o.-2. o.-3.

3 4 5, 6 7 8

Extensin del sistema posicional

Creacin de orden de unidades si

negativas

Si descomponemos el nmero nos quedara:

(3 x 102) + (4 x 10

1) + (5 x 10

0) + (6 x 10

-1) + (7 x 10

-2) + (8 x 10

-3)

Cuando elevamos una cantidad a un nmero negativo ocurre lo siguiente:

a-2

1/a2

Por ejemplo, en nuestro ejemplo, nos quedara:

6 x 10-1

6 x 1/10

Elena Lebrn Ruiz

Didctica de la Aritmtica

2 Educacin Primaria B

Ahora vamos a ver cmo se realiza una divisin en la que el cociente est

compuesto por decimales. Por ejemplo vamos a dividir 5 : 7.

Como no podemos dividir 5 entre 7, ponemos un 0 al cociente y

convertimos las unidades en dcimas.

Los que sobra de las restas son dcimas. Como no cabe, las convertimos

en centsimas. Las centsimas las convertimos en milsimas aadindole

un 0.

5 7

5 0 0, 714 2857 714

4 9

0 1 0

7

0 3 0

2 8

2 0

1 4

6 0

En esta divisin, como podemos observar el cociente es 0,7142857714

Hemos puesto puntos suspensivos porque a partir de 714 el nmero se

repite continuamente. A esto lo llamamos desarrollo decimal ilimitado, es

una secuencia peridica.

Elena Lebrn Ruiz

Didctica de la Aritmtica

2 Educacin Primaria B

Si por ejemplo, hicisemos la divisin 1/2 ocurrira esto:

Como no podemos dividir 1 entre 2, aadimos un 0 al cociente y aadimos

un 0 al dividendo

1 0 2

1 0 0, 5

0

Obtendramos un resultado exacto. Esto se denomina desarrollo limitado.

Situaciones aritmticas:

Las situaciones aritmticas indican la suma, resta, multiplicacin y

divisin.

Suma: sumo posiciones y si obtengo unidades de orden mayor las

coloco en su lugar correspondiente.

Resta: igual que en la suma, hay que colocar las cifras

posicionalmente.

Multiplicacin: por ejemplo, cuando multiplico dcimas x

centsimas = milsimas.

132

100

El resultado es 8,844 milsimas.

8844

1000

67

10

Elena Lebrn Ruiz

Didctica de la Aritmtica

2 Educacin Primaria B

Divisin:

167 : 37 Debemos homogeneizar.

Y realizamos la divisin

1 6 7 0 3 7 0

1 4 8 0 0, 4 5 1 3

1 9 0 0

1 8 5 0

5 0 0

3 7 0

1 3 0 0

1 1 1 0

1 9 0

Para saber qu fraccin corresponde a un nmero decimal:

Tenemos el nmero 0,7777 y queremos saber cul es la fraccin que le

corresponde

a = 7 /9

167

100

37

10

167

100

370

100

a 0,7777

10a 77777

9a = 7

Elena Lebrn Ruiz

Didctica de la Aritmtica

2 Educacin Primaria B

a = 61/90

0,6777 a

6,7777 10a

67,7777 100a

61 90a

Tema: Nmeros decimales

Existen necesidades en las que tengo que medir cosas ms pequeas y para

ello utilizamos los nmeros decimales.

Aparecen con una extensin del sistema posicional, con la creacin de

nuevos rdenes, es decir, con la creacin de nuevas posiciones, que hacen

la accin contraria a la que hemos estado haciendo hasta ahora. En lugar de

agrupar la unidad, la dividimos. Y cuando dividimos las unidades, las

llamamos unidades de orden negativo.

Para medir algo que no alcance la unidad vamos a utilizar la mitad para

hacer conscientes a los alumnos de la creacin de algo. Empezamos por la

mitad, luego la mitad de la mitad, la mitad de la mitad de la mitad, es decir,

hacemos un uso reiterado de la mitad. Y para ordenar este uso reiterado de

mitad, organizamos los rdenes de unidades en mitad de orden 1, mitad de

orden 2 y mitad de orden 3.

Por ejemplo: si tenemos la mitad ms la mitad de la mitad, pues lo

ordenaramos de la siguiente forma: mitad de orden 1 y mitad de orden 2.

A continuacin posicionamos los rdenes: mitad de orden 1, mitad de

orden 2 y mitad de orden 3 y construimos la representacin grfica

marcando con una cruz segn la mitad de orden que tengamos.

Lo que hemos representado grficamente lo pasamos a la transcripcin

numrica en la que convierto las cruces en cifras. Vamos a utilizar dos

cifras, el 0 cuando no hay marca y 1 cuando hay marca. Pues la

transcripcin me facilita simplificar con cifras para poder operar y en

consecuencia averiguar el resultado sin tener que recurrir a la accin

grfica.

En definitiva, a travs de una accin fsica puedo construir una

representacin numrica, y para ello no necesitamos los segmentos que

componen la accin fsica sino su representacin numrica, pues aqu

podemos ver la utilidad del metro.

Para los nios, debemos utilizar, un ejercicio similar a este para que ellos

mismo descubran a travs de la experiencia de donde surgen los nmeros

decimales. Para ello, los situamos en un contexto de medida en donde van

a medir realidades y para ello van a tener que utilizar el metro. Lo que los

discentes midan con el metro no sern medidas exactas, sino menos de un

metro, ms de un metro, etc.

Para ello cogemos un metro y la unidades las dividimos en 10 partes

aprovechndonos de que la decena tiene 10 partes y marcamos nueve

rayitas que van a describir hasta 9 centmetros ya que la rayita 10 completa

el metro.

Sin embargo, a veces ocurren determinadas variaciones o impropiedades

que a simple vista las podrn ver y para solventar esto se vuelve a reiterar

el proceso, pues cada decmetro se divide en centmetros y as

sucesivamente.

Ejemplo: cogemos la unidad y la dividimos en 10 partes y las vamos a

denominar unidades de orden menos 1. Si las unidades de orden menos 1 la

dividimos, obtenemos unidades de orden menos dos, etc.

3 4 5, 6 7 8: todo lo que desagrupamos menor que la unidad va a dar lugar a

la extensin del sistema posicional y por tanto a la creacin de rdenes

negativos.

6: unidades de orden menos 1: dcimas

7: unidades de orden menos 2: centsimas

8: unidades de orden menos 3: milsimas

Cmo llegamos a los decimales?

5 : 7 = las 5 unidades las convertimos en dcimas aadindole un 0. A

continuacin nos sobra una dcima y la convertimos en centsimas, etc.

asa hasta acabar el proceso.

Puede ocurrir que acabe el proceso o que no. Si se acaba la fraccin es

exacta. Si no se acaba la fraccin es de desarrollo decimal que el desarrollo

puede ser limitado cuando no se repiten secuencias de cifras e ilimitado si

se repiten secuencias de cifras.

Desarrollo decimal de la fraccin

Para que sea una fraccin tiene que repetirse una secuencia de nmeros que

se denominan nmeros irracionales.

Toda fraccin tiene asociado un desarrollo decimal o expresin. Se obtiene

a travs de una divisin que tiene dividendo el denominador y como divisor

el numerador.

Dentro de la fraccin de desarrollo decimal existen dos tipos:

- Desarrollo decimal limitado: fracciones decimales.

- Desarrollo decimal ilimitado: fracciones peridicas.

Todas las fracciones que tengan como denominador una potencia de 2 de 5

y de 10 van a tener un desarrollo decimal limitado.

Los nmeros decimales no salen de prolongar una divisin, sino que son

una unidad de medida.

Un desarrollo decimal significa que una fraccin no la puedo medir

exactamente con la regla, y esto quiere decir, pues que su extremo no me

va a coincidir con una marca de la regla.

Operaciones con decimales

1- Situaciones aditivas:

Sumas

Restas

Para realizar los algoritmos juntamos las posiciones del mismo orden,

observamos si obtenemos unidades inmediatamente de orden superior, etc.

2- Situaciones multiplicativas

137

13

Justificacin

137 = 137

100

13 = 13

10

El nmero resultante va a ser milsima porque al multiplicar 100 x 10 me

da 1000, luego esto me indica que tengo que poner la coma con tres

posiciones decimales.

Multiplicacin por enrejado

2 3 5

1 1-0 1-5 2-0 5

3 1-2 1-8 2-4 6

1 0 4

1 3 7

1 3 1-7 1

3 9 2-1 3

1 7 8 1

En este tipo de multiplicacin vemos que no lo hacemos como

habitualmente que multiplicamos y contamos el nmero de decimales y

ponemos la coma. Pues en el ejemplo anterior vemos que las comas

tambin se multiplican y que tienen su lugar correspondiente al

multiplicarse. Curiosidad que nunca nos haban enseado al ensearnos la

multiplicacin con decimales.

3- Divisin

1,37 : 12,6

El primer paso: lo pasamos a fracciones: 137 : 126

100 10

Hay que operar para que desaparezcan las comas.

Una vez que tengamos las fracciones las homogeneizamos y ponemos en el

denominador 100. Cuando tenemos en los dos denominadores 100, los dos

nmeros son centsimas y ya si se pueden dividir.

137 : 126 137 unidades no lo podemos dividir entre 126 por lo que las

pasamos a dcimas: 1370.

En conclusin: en primer lugar, tenemos que homogeneizar, es decir, que

aparezcan el mismo nmero de cifras decimales en el dividendo y en el

divisor y en segundo lugar, quitar la coma.

Los Nmeros DecimalesCuando un nmero es menor que la unidad, surgen los nmeros decimales. Ya que se representan con una coma intercalada.

Aparecen por una extensin del sistema posicional con la creacin de nuevos rdenes, es decir, de nuevas posiciones.

A las unidades contrarias a las vistas normalmente las llamamos unidades negativas, es decir, menores que la unidad.

A la unidad de orden -1 las llamamos dcimas, las de orden -2 centsimas, y la de orden -3 milsimas. Vamos a ver como llamaramos a la posicin de cada nmero y su desarrollo polinmico.

345,678: 3 centenas, 4 decenas, 5 unidades, 6 dcimas, 7 centsimas y 8 milsimas.

3.10^2+ 4.10^1+5.10^0+6.10^-1+7.10^-2+8.10^-3

Para llegar a los nmeros decimales queremos repartir una cantidad en ms trozos de los que se puede. Como vimos en un ejemplo en clase.

Quiero dividir 5 metros en 7 trozos. 5:7 = 0,7142857

En todas las fraciones siempre habr una secuencia repetida, a la que llamamos perido.

Podemos encontrar dos tipos de fracciones:

1. Fracciones decimales, limitada: aquella la divisin es exacta, es decir, que el cociente es 0, y son cifras que no se repiten

2. Fracciones peridicas, ilimitada: aquella divisin que es peridica, es decir no acaba y son secuencias de cifras que se repiten.

Marina Martn Godoy

Didctica de la Aritmtica, 2B

Marina Martn Godoy

Didctica de la Aritmtica, 2B

Operaciones con decimales

- La multiplicacin, tenemos dos formas de multiplicar:

1. Es hacer una multiplicacin normal y despus mover la coma en el nmero que de en el resultado tantas veces como nmeros haya entre los dos nmeros que se han multiplicado.

2. La segunda es hacer esta multiplicacin, la de la imagen, como ya hemos aprendido anteriormente y posteriormente seguir la linea hasta donde se crucen y continuar (como vemos subrayado en verde). De esta forma vemos claramente donde debemos situar la coma.

- La divisin:

Lo primero que tengo que realizar antes de dividir es homogeneizar las fracciones. En el ejemplo expuesto ea clase 1,37: 12,6. Para que sean homogneas, igualo los Como resultado obtenemos 1260/100. Ya estn homogneas, finalmente dividimos los numeradores, es decir, 137: 1260.

Marina Martn Godoy

Didctica de la Aritmtica, 2B

Marina Martn Godoy

Didctica de la Aritmtica, 2B

Qu significado tiene una fraccin que no sea decimal, que su

Marina Martn Godoy

Didctica de la Aritmtica, 2B

desarrollo decimal sea ilimitado y peridico?Para hacer de un nmero decimal ilimitado y peridico en fraccin, lo que tenemos que hacer es coger un nmero 0,3333.

a= 0,33333 Lo multiplicamos por 10. 10a= 3,33333. A continuacin restamos los resultados de a y 10a y restamos.

A= 0,3333333 menos 10A = 3,33333

Obtenemos 9A = 3 Siendo la fraccin 3/9

Marina Martn Godoy

Didctica de la Aritmtica, 2B

Mara Martnez Silva 2B Educacin Primaria

,

TEMA 8: LOS NMEROS DECIMALES

Cuando se producen situaciones que tengo que medir cosas ms

pequeas que la unidad aparecen los nmeros decimales.

Estos nmeros aparecen por una extensin del sistema posicional con

la creacin de nuevos rdenes, es decir, con la creacin de nuevas

posiciones.

Estos rdenes hacen la funcin contraria de la que hacan antes, es

decir, anteriormente coga una unidad y la agrupaba y ahora en vez de

agruparla, lo que hacemos es separar la unidad.

Estas partes que salen de la unidad se les llaman unidades de orden

negativo, es decir, unidades de orden -1 (coger la unidad y partirla en 10

veces), unidades de -2 (coger la unidad de orden -1 y partirla en 10 veces),

y as sucesivamente.

Por ejemplo:

O2 O1 O0

O-1 O-2 O-3

3 4 5 6 7 8

Posteriormente veremos los tipos de desarrollo decimales que

existen:

Una fraccin o es exacta o un desarrollo decimal limitado, es decir,

que no se repiten las cifras decimales, o ilimitado, es decir, que si se repiten

las cifras decimales.

Mara Martnez Silva 2B Educacin Primaria

Por lo consiguiente, se puede decir que: un nmero decimal es una

fraccin que no es una divisin.

Toda fraccin tiene asociada un desarrollo decimal o expresin

decimal:

Para que una fraccin sea una fraccin tiene que repetirse una

secuencia de nmeros que se denominan nmeros irracionales.

Por ejemplo:

0,01001000100001

No se trata de una fraccin de desarrollo decimal porque

no tiene una secuencia de nmeros que se repita.

Como hemos dicho anteriormente, toda fraccin tiene asociada una

expresin decimal que se obtiene a travs de una divisin que tiene como

dividendo el denominador y como divisor el numerador.

Por ejemplo:

2 Divisor

5 Dividendo

Dentro de la fraccin de desarrollo decimal existen dos tipos:

Desarrollo decimal limitado fracciones decimales

Desarrollo decimal ilimitado fracciones peridicas

Mara Martnez Silva 2B Educacin Primaria

Todas las fracciones que tengan como denominador potencia de dos y

de diez van a tener un desarrollo decimal limitado.

Por ejemplo:

1/8= 0,125

1/16= 0,0625

1/32 = 0,03125

Operaciones con decimales

1) Situaciones aditivas:

Tanto las sumas como las restas se realizan de la misma manera que

hemos visto anteriormente en otros temas.

2) Situaciones multiplicativas

Para realizar las multiplicaciones con decimales, hay que olvidarse por

encima de todo de que hay decimales y realizar la multiplicacin o la

operacin de igual manera que las hemos realizado anteriormente pero

Mara Martnez Silva 2B Educacin Primaria

sin olvidarnos de que al finalizar la operacin hay que poner la coma en

el lugar correspondiente.

Por ejemplo al realizar una multiplicacin por el sistema del enrejado

la coma se coloca donde se juntan la ltima columna con la ltima fila y

despus me desplazo en diagonal hacia abajo a la izquierda.

3) Divisin

Para realizar una divisin con decimales es necesario homogeneizar los

decimales, es decir, que aparezcan los mismos nmeros decimales tanto

en el numerador como en el denominador y se realiza la divisin como

hemos visto en temas anteriores.

NMEROS DECIMALES

EXTENSIN DEL SISTEMA POSICIONAL

Se pueden crear nuevos rdenes, es decir, nuevas posiciones. stos rdenes

o posiciones hacen la funcin contraria a la que hacan antes. Antes 10

unidades de orden 1 formaban una decena (1 unidad de orden 2), pero

ahora se hace a la inversa. Partimos de las unidades de orden -1 (dcimas),

-2 (centsimas), -3 (milsimas)

Por lo tanto, hay dos formas de actuar: agrupando (+) o desagrupando (-),

por ejemplo:

O. 2 O. 1 O. 0 O. -1 O. -2 O. -3

3 4 5 , 6 7 8

La expresin polinmica sera:

3x10^2 + 4x10^1 + 5x10 + 6x10^-1 + 7x10^-2 + 8x10^-3

A partir de la coma, se crean unidades de rdenes negativos/decimales:

3456 dcimas

34567 centsimas

345678 milsimas

DESARROLLO DE LAS FRACCIONES

Toda fraccin tiene asociada un desarrollo decimal: el numerados es el

dividendo y el denominador es el divisor.

Existen 2 tipos:

Limitado exacta: desarrollo decimal limitado (fracciones

decimales)

Ilimitado siempre existe una secuencia peridica (fracciones no

decimales)

Desarrollo ilimitado Fraccin NO decimal

Una fraccin ilimitada es aquella que tiene infinitas cifras decimales y se

van repitiendo en un periodo.

Ejemplo (1:7) Una unidad la tengo que repartir entre 7

1 unidad no la puedo repartir entre 7, por lo que la convierto en 10 dcimas,

10 dcimas entre 7 = 1 dcima y sobran 3 dcimas

Esas 3 dcimas no las puedo repartir entre 7, por lo que las convierto en 7

centsimas. 30 centsimas entre 7 = 4 centsimas y sobran 2 centsimas

Esas 2 centsimas no las puedo dividir entre 7, por lo que las convierto en

20 milsimas. 20 milsimas entre 7 = 2 milsimas y 6 sobran 14

diezmilsimas

Sigo hacindolo hasta que se repite algn nmero en el resto, que en este

caso es el 3, momento en el que sabemos que se va a seguir repitiendo

siempre el mismo cociente (parte peridica)

Desarrollo limitado Fraccin decimal

Ejemplo (1:8) Una unidad la tengo que repartir entre 8

Esta fraccin es diferente a la anterior, se llama fraccin decimal,

porque tiene un desarrollo limitado.

Cmo sabemos si una fraccin es decimal?

Sabemos que una fraccin es decimal si podemos convertir su denominador

en potencia de 3, de o 5 o de 2x5=10.

Ejemplo:

1000 = 2x500 = 5x200 = 10x100

100 = 2x50 = 5x10 = 10x10

OPERACIONES CON NMEROS DECIMALES

Las situaciones aditivas y multiplicativas son las mismas.

Situaciones aditivas:

- Composicin de medidas

- Comparacin de medidas

- Transformacin de medidas

- Composicin de transformaciones

Situaciones multiplicativas:

- Comparacin multiplicativa

- Isomorfismo de medida

- Producto de medidas

CMO SE DIVIDEN NMEROS DECIMALES?

Intento igualar el nmero de decimales del dividendo y del divisor:

3,1 : 6,23 =

31/10 : 623/100

310/100 : 623/100

14/100 = 0,49

1,37 : 12,6 =

137/100 : 126/10

137/100 : 1260/100

Carolina Martn Daz

NMEROS DECIMALES

Los nmeros decimales no son, como se acostumbra a ensear en la

escuela, solo los nmeros que aparecen detrs de la coma y nada ms.

Tenemos que saber que los nmeros decimales surgen de una necesidad, la

de medir cosas menores a la unidad que tenemos.

Aparecen como una extensin del sistema posicional, mediante la creacin

de nuevos rdenes. Estos rdenes cumplen la funcin contraria de los que

ya conocamos, que servan para agrupar un cierto nmero de unidades en

una unidad ms grande o de un orden mayor, sino que sirven para lo

contrario, descomponer una unidad en un nmero de partes ms pequeas.

Por tanto aparecern unidades negativas, la unidad de orden menos uno la

llamaremos dcimas y consistir en fragmentar la unidad de orden cero en

diez partes. La unidad de orden menos dos la llamaremos centsimas y

consistir en fragmentar la unidad de orden menos uno en diez partes

iguales. As continan consecutivamente.

O2 O1 O0 O-1 O-2 O-3 3 4 5, 6 7 8

Esto se puede expresar como: 3x102 + 4x101 + 5x100 + 6x10-1 + 7x10-2 +

8x10-3. Donde, por ejemplo, 6x10-1 es igual a 6 x 1/10.

Relacin con las fracciones

Hay que decir que toda fraccin est asociada a un nmero o desarrollo

decimal. Por tanto hay distintos tipos de fracciones:

Las de desarrollo decimal limitado: es igual a 0,5.

Hay que saber que toda fraccin que en su familia tenga una fraccin

con denominador potencia de diez tiene un desarrollo limitado y

suelen llamarse simplemente fracciones decimales.

Las de desarrollo decimal ilimitado, que estn sujetas a la regla de

periodicidad (por ejemplo 1/3).

Estas fracciones significan, desde un punto de vista fsico, que no se

puede medir exactamente con una regla ya que siempre habra que

estar descomponiendo en unidades ms pequeas para acercarnos

pero nunca llegaramos a ese punto.

Operaciones con decimales

Las situaciones de la suma y la resta, situaciones aditivas, son las mismas,

se opera igual.

Para la multiplicacin podemos hacer tres cosas:

Como se suele ensear en la escuela, que se multiplica normal y

luego se baja la coma. Aqu no sabemos el por qu se baja la coma ni

realmente el significado de la operacin.

Homogeneizar, es decir, para multiplicar 1,37 por 1,30 podemos

hacer: 1,37 = 1x100 + 3x10-1 + 7x10-2 = 1 + 3/10 + 7/100 = 137/100

y 1,30 sera 130/100 13/10.

La operacin sera 137/100 x 13/10, que es una operacin bastante

ms fcil.

Finalmente podemos hacer la multiplicacin mediante el sistema

aprendido en clase del cuadrado que sera el siguiente:

Para la divisin habra que homogeneizar los trminos. Por ejemplo

en 1,37 entre 12, 6 tendramos que hacer:

1,37 = 137/100 y 12,6 = 126/10, como hay que homogeneizar sera

137/100 y 1260/100, por tanto se dividira 137 entre 1260.

Macas_Marfil_Marta_B_NnDd

Tema: Decimales

Cuando un nmero es menor que la unidad, surgen los nmeros decimales.

Aparecen por una extensin del sistema posicional con la creacin de

nuevos rdenes, es decir, de nuevas posiciones.

A estas unidades las llamamos unidades negativas (menor que la unidad).

A la unidad de orden -1 las llamamos dcimas, las de orden -2 centsimas,

y la de orden -3 milsimas.

Ejemplo:

345,678: 3 centenas, 4 decenas, 5 unidades, 6 dcimas, 7 centsimas y 8

milsimas.

Desarrollo polinmico:

3.10^2+ 4.10^1+5.10^0+6.10^-1+7.10^-2+8.10^-3

Cmo llegamos a los nmeros decimales?

Quiero dividir 5 metros en 7 trozos.

5:7 = 0,7142857

5 es menor que 7 por lo que ponemos un 0 en el cociente. Convertimos el 5

en dcimas aadiendo un 0, por lo que tenemos que dividir ahora 50

dcimas entre 7, que cabe a 7 dcimas en el cociente, a 50 dcimas le

quitamos 49 y nos queda una dcima, que la transformamos en centsimas

aadiendo un 0, continuando as la divisin como hacemos normalmente.

Observaciones:

-en una fraccin siempre se va a dar el caso de una secuencia

repetida, es decir, un nmero peridico.

Tipos de fracciones:

-limitada: aquella en la cual la divisin es exacta, es decir, que el

cociente es 0, y son cifras que no se repiten

-ilimitada: aquella divisin que es peridica, es decir no acaba y son

secuencias de cifras que se repiten.

Desarrollo de las fracciones:

- Las potencias de 2,5 y 10 en el denominador, van a tener un

desarrollo decimal limitado.

=0,5

=0,25

1/16=0,0025

1/5=0,2

1/125=0,008

- A las fracciones con desarrollo decimal limitado se denominan

decimales y a las que tienen un desarrollo decimal ilimitado se

denominan peridicas.

Operaciones con decimales:

-Multiplicacin:

Para realizar la multiplicacin vamos a situar los nmeros como aparecen

en la siguiente fotografa, de forma que vamos multiplicando cada casilla

de arriba por cada casilla de la derecha y cuando hayamos realizado todos

los productos, sumamos en diagonal.

Para poner la coma, si juntamos ambas lneas, nos lleva hacia la posicin

de la coma en el resultado final.

-Divisin:

Ejemplo: 1,37: 12,6= 0,1008

Lo primero que tengo que realizar antes de dividir es homogeneizar las

fracciones:

1,37 =137/100

12,6=126/10

Para que sean homogneas, igualo los denominadores multiplicando por 10

arriba y abajo la fraccin 126/10. Como resultado obtenemos 1260/100. Ya

estn homogneas, finalmente dividimos los numeradores, es decir, 137:

1260.

Convertir un nmero decimal ilimitado y peridico en fraccin

Nos servimos del ejemplo a= 0,44444

Lo que tenemos que hacer es conseguir la misma parte decimal para poder

restar. Para ello, tenemos que multiplicar a por 10. 10a= 4,44444. Ya

tienen la misma parte decimal, por tanto ya podemos restar:

A= 0,4444444

-

10A = 4,4444444

9A = 4

A=4/9

Siendo la fraccin 4/9

La fraccin es un nmero que expresa una cantidad determinada de

porciones que se toman de un todo dividido en partes iguales y se

representa con una barra que separa la primera cantidad (el numerador) de

la segunda (el denominador). Pero en los nmeros decimales una misma

realidad se puede expresar de formas distintas. Por ejemplo:

1 2

3 6

Por qu? Pues porque una misma realidad se puede dividir en ms partes

y sigue siendo la misma realidad.

1 2

3 6

Como podemos comprobar, hemos cogido la misma porcin que antes de

esa realidad pero en cachitos ms pequeos. A esas fracciones que a pesar

de ser diferentes, representan la misma realidad, que conservan la

proporcin, las llamamos fracciones equivalentes.

Despus de haber hecho alusin a las fracciones por el hecho de que estn

ntimamente relacionadas con los nmeros decimales, vamos a pasar a la

explicacin de estos.

Toda fraccin tiene asociado un desarrollo decimal (nmero decimal),

aunque tambin pueden ser exactas si el numerador es mayor que el

denominador y mltiplo de este. Dentro de los desarrollos decimales hay 2

tipos:

Desarrollo decimal ilimitado sujeto a las reglas de periodicidad

(habr una secuencia de cifras que se va a repetir ilimitadamente).

Ejemplo:

- 1/3 = 03333333

- 31/99 = 0313131

- 117/999 = 0117117

- 2/999 = 0002002

Desarrollo decimal limitado toda fraccin que en su familia

tenga una fraccin con denominador potencia de 10 tiene un

desarrollo decimal limitado. Tambin aquellas fracciones en las que

el denominador sea potencia de 2 y de 5 acarrean un desarrollo

decimal limitado o exacto.

Tambin, utilizamos los nmeros decimales cuando tengo que medir cosas

ms pequeas de la unidad.

Aparecen como una extensin del sistema posicional con la creacin de

nuevas posiciones. Esta creacin de posiciones es la que implica la

creacin de nuevos rdenes que hacen la funcin contraria. Mientras que

antes las unidades estaban completas, ahora la partimos, llamndolas

unidades de orden negativo.

Unidades de oren -1 dcimas

Unidades de orden -2 centsimas

La unidad de orden negativo ser todo lo que desagrupa en el sentido de

que hace lo contrario a agrupar.

+ O2 O1 O0 O-1 O-2 O-3 -

3 4 5 6 7 8

5/7 = 50 7

-49 0714285714 Divisin indefinida (nunca acaba y en algn

10 momento se tiene que repetir algn nmero

-7 formando una secuencia repetitiva (periodo)

30

-28

020

-14

060

Si tiene desarrollo decimal ilimitado se genera una secuencia de

cifras que se repite (nmero peridico).

Si tiene desarrollo decimal limitado acabara con el resto.

Cmo se suman nmeros decimales?

Sumamos posiciones y si obtengo unidades de orden superior las coloco en

su posicin correspondiente, tal y como lo hacemos con una suma de

nmeros enteros. La coma se queda en la misma posicin que en la que se

encuentra en los nmeros que sumamos.

37

+ 45

82

Cmo se restan los nmeros decimales?

Se restan siguiendo los mismos pasos que cuando ejecutamos la resta de

nmeros enteros. La coma, al igual que ocurre en la suma, se mantiene en

la misma posicin en la que est colocada en los nmeros decimales que

restamos.

45

- 37

8

0

08

Cmo se multiplican nmeros decimales?

132 (132 centsimas = 132/100)

X 67 (67 dcimas = 67/100)

8844

132 x 67 = 8844

= 8844 milsimas

100 x 10 = 1000

- Otra forma

Hacemos una tabla y multiplicamos cada nmero de la derecha

por cada nmero que aparece en la parte superior siguiendo un

orden, primero uno y despus otro y colocando la solucin en la

casilla que le corresponde colocando las unidades en la mitad

inferior del cuadrado y las decenas en la mitad del cuadrado

correspondiente. Posteriormente, vamos sumando por diagonales

y poniendo el resultado debajo de la diagonal sumada.

Finalmente, colocamos la coma en la diagonal del punto donde se

juntan las comas de los dos nmeros multiplicados. En la imagen

coincide con una lnea trazada en color rojo.

Cmo se dividen los nmeros decimales?

Considero las fracciones del dividendo y divisor. 1.

Homogeneizo 2.

Dividimos los numeradores 3.

167 367

167 : 370

100 100

167 367

Tambin puedo hacerlo quitando un decimal en el dividendo y otro

en el divisor.

167 37

Nmeros decimales

Previamente hemos aprendido a trabajar los nmeros enteros o relativos, tantopositivos como negativos. Tambin sabemos asignar a cada cifra que compone unnmero, mediante el sistema posicional, un rden.Ahora vamos a observar la cantidad de nmeros desconocidos que existen entre doscifras conocidas y que por lo tanto, estos nmeros son inferiores.

Al medir cosas ms pequeas que la unidad, aparecen los decimales: 0,25; 0,5; 0,43...Por lo que es necesaria la creacin de nuevos rdenes, es decir, nuevas posiciones ennuestro ya creado sistema posicional. Por lo tanto se produce una extensin de este,donde anteriormente situbamos unicamente rdenes con nmeros relativos o enterosy ahora tambin colocamos nmeros decimales.Las rdenes nuevas que se crean son negativas, ya que dividen los espacios deseparacin entre las anteriores rdenes, que parecan compactos, los desagrupa y losdivide en numerosas partes, numerosos decimales. Por lo que observamos que entrelas rdenes ya conocidas en realidad existen otras rdenes ms pequeas y permiteque la medida sea cada vez ms precisa.La denominacin de estas nuevas rdenes sera lo que llambamos: 0. -1: dcimas,0. -2: centsimas, 0. -3: milsimas... Estas rdenes cuando estn plasmadasnumricamente junto a las dems formando una cifra compacta, se sitan al ladoderecho de las cifras relativas, separadas por una coma. Ejemplo: 123, 321.

*El desarrollo polinmico de un nmero grande es mostrar los nmeros multiplicadospor las potencias decimales, es decir, un nmero desglosado en base 10. Ej: 6 X 10^2.Cabe destacar que cuando la potencia es negativa, es decir, las rdenes de losnmeros decimales, los nmeros de la fraccin se invierten, se crean fracciones connumerador uno para que la potencia sea positiva.

-Desarrollo decimal de las fracciones: Al dividir los espacios entre los nmeros enteros aparecen nmeros decimales ofracciones. Toda fraccin tiene asociada una expresin decimal que se obtiene aldividir numerador entre denominador. Por lo tanto, las fracciones y los nmerosdecimales tienen el mismo valor pero se expresan de diferente forma. Existen dostipos de fracciones segn el resultado de la divisin:*Resultado limitado: el resultado de la divisin son decimales exactos. Para predecirel resultado, los resultados exactos se obtienen de todas las fracciones cuyodenominador sea una potencia que englobe la familia del 10 (fracciones decimales),es decir, las potencias del 2 y del 5 tambin se incluyen en la regla.

*Resultado ilimitado: sujeto a la periodicidad donde una serie de cifras se repiten (enel resto) pero no siempre con la misma secuencia (por ejemplo, los nmerosirracionales no tienen la misma secuencia pero si tienen cifras ilimitadas). El resultado puede ser peridico de dos tipos: puros (la secuencia depus de la comasiempre es la misma y se repite) o mixtos (al principio tiene nmeros que no serepiten en la periodicidad y despus comienza la periodicidad exacta).Como curiosidad, al dividir por nueves se obtiene un decimal peridico cuyo nmerode cifras lo marca el denominador.

-Convertir los decimales en fracciones: Es lo inverso al apartado anterior, convertir nmeros decimales en fracciones. Existennmeros decimales de transformacin directa en fracciones (estos seran losdecimales exactos) pero los que no se ven a simple vista pueden obtenerse dediferentes formas dependiendo de su periodicidad:*Si son peridicos puros: es necesario buscar un nmero cuyo resultado almultiplicarlo con el nmero que tiene los decimales originales ("a") tenga el mismodesarrollo decimal que el anterior nmero, "a". Posteriormente a esto se restan y estopermite que por ltimo se pueda despejar la incgnita "a" y obtener la fraccin delnmero decimal. La forma ms rpida es la multiplicacin por las potencias de 10 (dependiendo elnmero de cifras que sean peridicas) y posteriormente si se puede, se simplifica.

*Si son peridicos mixtos: se busca seguir la misma regla anterior por lo que semultiplica por alguna potencia de 10 (dependiendo de los nmeros no peridicos quehayan) para deshacernos de ellos y obtener un resultado donde en el lado decimalsolo quede la periodicidad. Una vez realizado esto, tenemos un peridico puro por loque se realiza lo anteriormente explicado.

-Operaciones con nmeros decimales:*Suma y resta: posicionando ordenadamente las comas, se opera como anteriormentehemos aprendido a realizar estas operaciones.*Multiplicacin: existen diversas formas para emplear la multiplicacin:

Se puede multiplicar de la forma tradicional (respetando las comas). Comocuriosidad se puede saber de antemano los decimales que va a tener elresultado (ej: dcimas X centsimas = milsimas -> 3...);

Otro mtodo es convirtiendo los nmeros en fracciones de base decimal,multiplicarlas en paralelo y cuando tengo el resultado vuelvo a transformar lafraccin en en nmero decimal;

Por ltimo, se podra realizar la multiplicacin en cuadrcula donde la coma seestablecera en el punto medio de los factores y se multiplicara como yahemos aprendido. Es decir, el multiplicado se coloca en horizontal y elmultiplicando en vertical. El producto se va colocando uno a uno en las casillascorrespondientes (estas se parten en diagonal ya que pueden existir dos cifras).Por ltimo se ajustan los productos en diagonal empezando por la izquierda.

*Dividir: tambin puede realizarse de diversas maneras: De la forma tradicional, desenglosando los nmeros y operando; Homogeneizando los decimales de ambos factores para deshacernos de los

decimales (aadiendo 0 si son necesarios); Transformndolos en fracciones, homogeneizar los denominadores y

multiplicarlos en paralelo.

LOS NMEROS DECIMALES

A la hora de abordar el tema de los nmeros decimales podemos emplear

como base introductoria el uso de la mitad, as haremos uso de la mitad, de

la mitad de esa mitad y de la mitad de esa ltima mitad y operaremos con

segmentos que combinen las anteriores de forma que hacemos un uso

reiterado de la mitad.

Una vez visto esto, podemos observar como existen rdenes de mitades, de

forma que la primera vez que dividimos el fragmento en dos partes sera

mitad de orden 1, la mitad de esa mitad sera mitad de orden 2 ,ya que

repito el proceso de dividir por la mitad dos veces, y as reiteradamente

hasta que calculemos todos los rdenes en cuestin y pasemos a su

representacin grfica, de modo que marcaremos con una cruz en una tabla

de doble entrada las mitades de orden que tenga cada uno de los segmentos,

lo que nos llevara a simplificar la accin fsica anterior y poder resumirlo

an ms con una representacin numrica en la que pondremos 1 o 0 segn

si dicho segmento presenta unidades de ese orden o no. Los rdenes se

ordenaran de mayor a menor empezando por la izquierda, es decir sera

mitad de orden 1, mitad de orden 2, mitad de orden 3.

Una vez representadas podemos calcular, de modo, que podemos sumar en

sistema binario esas composiciones, como por ejemplo:

O1 O2 O3

0 1 1

+ 1 1 0 1 0 0 1

- Unidades de orden 3: 1+0=1

- Unidades de orden 2: 1+1=10, por lo que pongo 0 y traslado una unidad a la fila inmediatamente superior

- Unidades de orden 1: 1+0+ 1(que arrastro de la anterior) = 10, dejo

el 0 y aado una unida, por lo que obtendramos 1,001.

El clculo nos permitira averiguar el resultado sin tener que recurrir a la

experiencia fsica o grfica.

El uso de las mitades se puede trabajar de forma introductoria al tema de

los nmeros decimales, a partir de aqu empezaremos a tratar ms

concretamente el tema de los nmeros decimales.

Los nmeros decimales aparecern en aquellos contextos en los que al

medir la unidad nos encontremos frente a mltiples necesidades, por

ejemplo, cuando midamos objetos de menor medida , que no alcanzan la

unidad y que ,por tanto, conlleva a la aparicin de nuevas posiciones por la

extensin del sistema posicional.

Esta creacin de nuevas posiciones implica crear nuevos rdenes que

tienen la funcin contraria a los anteriores que hemos visto, ya que ahora

en vez de agrupar, divido la unidad ya que consiste en partirla en unidades

ms pequeas. Con esta accin obtenemos unidades de orden negativo, que

diferenciaremos del sentido contrario.

Las unidades de orden -1 son las que denominaramos dcimas, que

significa que una unidad la hemos dividido en 10 partes.

- Unidades de orden -1: la unidad se ha divido en 10 partes

- Unidades de orden -2: cada una de las partes anteriores en 10 partes

- Unidades de orden -3: cada uno de esas partes en 10 partes

-

O2 O1 O0 O-1 O-2 O-3

3 4 5 ,

6 7 8

Centenas Decenas Unidades Dcimas Centsimas Milsimas

(pueden prologarse por ambos extremos)

LA CREACIN DE RDENES NEGATIVOS SUPONE UNA

EXTENSIN DEL SISTEMA POSICIONAL.

El desarrollo polinmico sera el siguiente:

3x10^2 + 4x10^1 + 5x10^0 + 6x10^-1 + 7x10^-2 + 8x10^-3

Estas situaciones se daran cundo, por ejemplo, nos encontrsemos

en una situacin en la que necesitsemos dividir 5/7 en la que vemos

que 5 no es divisible entre 7 por lo que hay que convertirlo en

dcimas aadiendo un 0 al dividendo, que quedara 50, y colocando

un 0 seguido de una coma en el cociente y seguiramos operando de

modo que ya necesitamos hacer uso de estos nuevos rdenes.

Uno de los apartados importantes del tema de los nmeros decimales

es el desarrollo decimal de las fracciones ya que toda fraccin tiene

asociado un desarrollo decimal, es decir, una expresin decimal que

se obtiene a travs de una divisin.

3/4 = 3 : 4

El numerador pasara a ser el dividendo y el denominador el divisor.

Ahora bien para que un nmero decimal pueda ser expresado en

forma de fraccin tiene que haber cifras o secuencias que se repitan,

0,0100128 no es una fraccin ya que no sigue una secuencia.

Al estudiar el desarrollo decimal tenemos que distinguir:

- Desarrollo decimal limitado: se acaba en un momento determinado

- Desarrollo decimal ilimitado: una serie de cifras que se repiten peridicamente.

Las limitadas o exactas seran aquellas como:

1/2 = 0,5

1/5 =0,2

1/10 = 0,1

Las peridicas seran aquellas como:

0,111111..

0,3434343434

0,987987987

Si repetimos la experiencia con varias fracciones veremos que los

denominadores potencias de 10 o aquella fraccin cuyo algn

miembro de su familia tenga potencia de 10 en el denominador

tendr un desarrollo decimal limitado.

EJEMPLOS:

-1/2 en su familia encontramos el 5/10

- 3/20 en su familia encontramos el 15/100

Como conclusin de esta parte inicial de los nmeros decimales es

importante aclarar que los nmeros decimales no se obtienen de

prolongar una divisin sino que es una unidad de medida, y por

tanto, se sitan en un contexto de medida.

Los pasos a seguir seran, primeramente ir al sistema decimal y

dividir en 10 partes que constituiran las dcimas, sin embargo, como

esto nosotros lo trabajamos de forma ms cotidiana y lo hemos visto

anteriormente, hemos comenzado el tema usando las mitades para

ser realmente conscientes de la creacin de algo.

- Operaciones con nmeros decimales Las situaciones aditivas y multiplicativas seran semejantes a las que

hemos visto en los temas anteriores, las aditivas seran: composicin

de medida, comparacin, transformacin de medida y composicin

de transformacin; y por otro lado las multiplicativas seran:

isomorfismo de medida, comparacin multiplicativa y producto de

medidas.

Algoritmo de la suma

Consiste en trabajar con los rdenes de agrupamientos y particiones

de forma que juntaramos la de mismo orden y si llegasen a

constituir unidades de orden inmediatamente superior se tendran en

cuenta al operar la columna inmediatamente a la izquierda,. Y

seguiramos el proceso al igual que hemos visto en otras ocasiones.

Algoritmo de la multiplicacin

Estamos acostumbrados a multiplicar dos nmeros y a poner la coma

en lugar que corresponda contando los decimales de ambos nmeros

que multiplicamos y corriendo esos lugares empezando por la

derecha en el nmero resultante, es decir en el producto, al igual que

siempre hemos multiplicado las fracciones numerador x numerador y

denominador x denominador, pero todo tiene su razn de ser y su

lgica.

A la hora de multiplicar podemos utilizar una tabla de doble entrada

para multiplicar de forma ms coherente y conocer verdaderamente

el lugar de la coma.

Por ejemplo:

1

,

3 7

1

3

7

1 ,

3

9

2

1

3

1 , 7 8 1

As vemos que la coma se coloca en la diagonal que coincide con el

punto en el que se unen la coma del multiplicando y del

multiplicador de la multiplicacin y no slo por contar los huecos

que necesitamos dejar.

Algoritmo de la divisin

La regla que siempre hemos seguido consiste en quitar la coma en

las divisiones de nmeros decimales para ajustar los dos lados pero

nunca nos hemos planteado el porqu.

- La justificacin sera:

1,37 12,6

1 PASO: expresamos el dividendo y el divisor en forma de fraccin

137 / 100 : 126/10

2 PASO: Homogenizar fracciones

137/100 : 1260/100

Ya las dos son centsimas y s puedo dividir, la divisin quedara

137 : 1260

Si procedemos a realizar dicha divisin partiramos viendo que 137

unidades no puedo dividirlas entre 1260 por lo que las convierto en

dcimas, 1370 aadindole un cero, lo que ya si puedo dividir. Esta

operacin se representa poniendo un 0 en el cociente seguido de una

coma y ya empezamos a operar y obtendremos la solucin que es un

nmero inferior a la unidad.

El procedimiento continuara buscando un mltiplo de 1260 que se

aproxime por defecto a 1370 y as hasta agotar existencias.

RESUMEN: se homogeneizan los decimales, es decir, lo que se

pretende es que aparezca el mismo nmero de cifras decimales tanto

en el dividendo como en el divisor y por ltimo, poder quitar las

comas y realizar la divisin sin ellas.

- Desarrollo decimal de las fracciones peridicas

Distincin entre dos tipos:

- Fraccin exacta o decimal : desarrollo decimal limitado

- Fraccin exacta o no decimal: desarrollo decimal ilimitado

3 / 7 = 0,428571428.

0,3636363636 = 36/99

0,3333333. = 3/9=1/3

Podemos calcular la fraccin correspondiente a un desarrollo

decimal peridico, por qu la fraccin correspondiente a 0,44444

es 4/9?

Pues bien comenzamos buscando un nmero que multiplicado por

0,444 tenga el mismo desarrollo decimal y encontramos 10.

A = 0,444.

10A = 4,44444.

Si restamos quedan 9A = 4 y por tanto A=4/ 9

NOTA: un desarrollo decimal peridico significa que no lo puedo

medir exactamente con la regla pues su extremo no me va a coincidir

con ningn trazo de la regla, puesto que siempre se va a encontrar

entre dos partes sin llegar a coincidir con un trazo, a diferencia del

desarrollo decimal exacto que s coincide con un trazo de la regla.

contioso_garca_alejandro_B_NnDdhurtado_gmez_anaisabel_B_NnDdLpez_Garca_Alberto_B_NnDdLpez_Garca_Ana_B_NnDdLpez_Robles_Alicia_B_NnDdLEBRON_RUIZ_MARIA_ELENA_B_NnDdLuque_Montiel_Mara Dolores_B_NnDdMartn_Godoy_Marina_B_NnDdMARTNEZ_SILVA_MARA_B_NnDdmartin_diaz_carolina__B_NnDdmoreno_romn_alejandro_B_NnDdNmeros decimalesPostigo_Martn_Carolina_B_NnDdsnchez_mariscal_elena_B_NnDdSeplveda_Castillo_Miryam_B_NnDd