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(M-9) Deducir los Senos y los CosenosDeducir el seno o el coseno de un ángulo arbitrario, necesita algo más de matemáticas que lastratadas aquí. Sin embargo, deducirlos de algunos ángulos especiales es relativamente directo.

Ángulos Complementarios Primero observe que un triángulo rectángulo tiene dos ángulos. Como los tres ángulos (decualquier triángulo) suman 180º, los dos ángulos agudos suman 90º. Por lo que resulta que si unode los ángulos es de A grados, el otro (su "ángulo complementario") es de (90º-A).

El seno y el coseno se definen con las siguientes relaciones:

sen A = (lado opuesto a A)/(lado largo) cos A = (lado adyacente a A)/(lado largo)

Como el lado opuesto a A es el adyacente a (90°- A), resulta que el seno de un ángulo es elcoseno del otro y viceversa:

sen A = a/c = cos (90° - A) cos A = b/c = sen (90° - A)

Esto es de gran ayuda: deducir, por ejemplo, el seno y el coseno de 30º nos proporciona el senoy el coseno de 60°.

(1) A = 45°

Si A = 45°, entonces también (90° - A) = 45°, y por consiguiente

sen 45° = cos 45°Guarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix

Elevando al cuadrado

sen2 45° = cos2 45°

Sin embargo, anteriormente se halló que para cualquier ángulo A

sen2A + cos2A = 1

Por lo tanto

2 sen2 45° = 1

sen2 45° = 1/2

y si √ significa "raíz cuadrada de"

sen 45° = √(1/2)

Pulsando el botón de su calculadora obtiene

sen 45° = 0.707107... = cos 45°

Otra forma, algo más transparente, es escribir

sen2 45° = 1/2 = 2/4

sen 45° = √(2)/√(4) = √(2)/2

La raíz cuadrada de 2 es 1.4142135..., dividiéndola por dos se obtiene, como antes, 0.707107.

(2) A = 30°, (90° - A) = 60°Considere el triángulo PQR (dibujo) con los tres ángulos iguales a 60°. Porsimetría, los tres lados son también iguales (existe una comprobación másrigurosa, pero la obviamos). Dibuje una línea QS perpendicular a PR: divide altriángulo original en dos triángulos rectángulos con los ángulos agudos de(30°, 60°), que son del tipo que nos interesa. Por simetría, los triángulos sonde igual tamaño y forma ("congruentes") y por consiguiente, (obviando

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cualquier otra comprobación)

SR = (1/2) PR

En la notación del dibujo

a = (1/2) c

a/c = 1/2 = sen 30° = cos 60°

Continuando

sen2 30° = 1/4

Pero

sen2 30° + cos2 30° = 1

Así que

1/ 4 + cos2 30° = 1

Restando 1/4 de ambos lados

cos2 30° = 3/4

cos 30° = √(3)/ √(4) = √(3)/2 = 1.7320508/2

cos 30° = 0.8660254 = sen 60°

(3) A = 90° , (90° - A) = 0Será bastante más difícil dibujar un triángulo rectángulo con un segundo ángulo tambiénde 90º, debido a que el tercer ángulo deberá ser de 0º. Pero podemos visualizar esteextraño triángulo como un caso límite de triángulos finos con un ángulo A que es muypronunciado y su complementario (90° - A) muy pequeño (dibujo). En el caso límite

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cos A = b/c = 0

y como

1 = sen2A + cos2A = sen2A + 0

resulta que

sen2A = 1 sen A = 1

Por consiguiente

cos 90° = sen 0° = 0 sen 90° = cos 0° = 1

En la tabla completa se lee

A 0° 30° 45° 60° 90°sen A 0 0.5 0.707107 0.866025 1cos A 1 0.866025 0.707107 0.5 0

Podrá dibujar una buena gráfica de los senA y cosA usando los puntos anteriores

(4) Postgraduado: A = 15°, (90° - A) = 75°Las deducciones y tabla anteriores un procedimiento estándar en cualquiercurso o texto de trigonometría. Sin embargo observará los huecos entre 0° y30°, y entre 60° y 90°. Si queremos que el ángulo A se incremente en pasosiguales de 15o, necesitaremos los senos y cosenos de 15° y 75°.

¿Está interesado? Aquí está lo que deberemos hacer; ¡tome su calculadora!

Dibuje un triángulo ABC, con un ángulo A igual a 30° y los dos ángulos de labase igual a 75° ambos. Luego dibuje la línea BD perpendicular a AC (vea eldibujo de la derecha). Por simetría, los lados AB y AC tienen la misma longitud;denomine la longitud por la letra a.

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El triángulo ABD tiene ángulos de 90, 60 y 30 grados, y es del tipo examinadoanteriormente. Obtenemos

BD = a sen 30° = 0.5 a AD = a cos 30° = 0.866025 a

Luego

DC = AC - AD = a - 0.866025 a = 0.133975 a

Ahora mire el triángulo BDC: sus ángulos mayores son iguales a 90° y 75°, obligando al ángulo restante a ser igual a 15°. Usandoel teorema de Pitágoras, si denominamos c al lado más largo,obtenemos

BD2 + CD2 = c2 = (0.5 a)2 + (0.133975 a)2 = 0.25 a2 + 0.0179493 a2 = 0.2679493 a2

Extrayendo la raiz cuadrada

c = 0.517638 a

Por esto, a 5 decimales (e implicando igualmente al ángulo complementario de 75° )

sen 15° = 0.133975/0.517638 = 0.25882 = cos 75° cos 15° = 0.500000/0.517638 = 0.96593 = sen 75°

Ahora vaya y dibuje su gráfica.

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Próxima Etapa: #M-10 Pasar de 90 Grados

Author and Curator: Dr. David P. Stern Messages to Dr.Stern: stargaze("at" symbol)phy6.org (English, please) .

Spanish translation by J. Méndez

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Last updated 13 December 2001

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