DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx

7/23/2019 DEDUCCION DE LA LEY DE CONTINUIDAD Y BERNOULLI.docx

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ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

FORMA INTEGRAL.

LEY DE CONTINUIDAD

Sea v1 la velocidad de la partícula en el punto 1, y v

2 la velocidad de

la partícula en el punto 2, con A1 y A

2 las secciones trasversales de los

tubos, perpendiculares a las líneas de corriente. Si el tubo es estrechov

1

y v2 son uniformes en A

1 y A

2 respectivamente.

En un intervalo de tiempo dt , un elemento de uido recorrerá una

distancia v dt por lo que el tiempo dt pasará por A1 la masa del

uido

d m1= ρ

1∗ A

1∗v

1dt

Donde ρ1 es la densidad del uido al pasar por la secci!n 1. El u"o de la

masa o caudal másico se de#ne como la masa que atraviesa una secci!n enla unidad del tiempo, y viene dado por

Q=d m

1

dt = ρ

1 A

1v

1

Donde se considera implícitamente que un intervalo in#nitidecimal detiempo ni A ni v varian apreciablemente en el recorrido del uido



vdt . el caudal másico atraves de la secci!n A1 es ρ

1 A

1v

1 y atraves

de la secci!n 2 A2 es ρ

2 A

2v

2

$on las partículas del u"o no pueden atravesar las paredes del tubo delu"o debe cumplirse que, si el r%&imen es permanente o estacionario y nohay fuentes ni sumideros de partículas, ambos caudales másicos han de seri&uales.

Qm= ρ1 A

1v1=¿Qm= ρAv=cte

' análo&amente para cualquier otra secci!n ( perpendicular al tubo deu"o, por lo que esta ley de conservaci!n de la masa o ecuaci!n decontinuidad se puede escribir simplemente como

ρAv=cte

( trav%s de cualquier secci!n del tubo del u"o perpendicular al mismo enr%&imen estacionario.

)ara el caso particular el u"o incomprensible ρ no depende del punto y

esta ecuaci!n de continuidad puede escribirse como

A1

v1= A

2v

2=¿Q= Av=cte.

Donde * es el caudal o volumen que atraviesa la secci!n en la unidad detiempo.

)or e"emplo, en una canali+aci!n por la que circula el uido incompresible,

se tiene la sencilla relaci!n S1

v1=S

2v2 , que da para la relaci!n entre

velocidades.

v2=

S1

S2

v1

En todo el cálculo anterior hemos considerado implícitamente que la

velocidad v es uniforme en cada secci!n. Esto no es cierto en el caso

&eneral, pero la ecuaci!n de continuidad si&ue siendo válida en las mismascondiciones si la densidad es uniforme en la secci!n y en ve+ de lavelocidad se utili+a la velocidad promedio en la secci!n.

v=

1

A∫ A

❑

vdA



FORMA DIFERENCIAL.

Estudiaremos la conservaci!n de la masa en un prisma in#nitidesimal de

arista dx,dy,dz #"o en el espacio. El caudal másico que atraviesa la caraperpendicular al e"e y de la i+quierda es

d Qm y= ρ v y d A y= ρ v y dxdz

ientras que en el caudal másico que atraviesa la cara perpendicular al e"e

y de la derecha (ay+dy ) es

d Qm y+dy= ρ v y d A y+

∂

∂ y [ ρ v y d A y ] dy=[ ρ v y+

∂

∂ y [ ρ v y ] dy

]dxdz

De este modo, el caudal másico neto a trav%s de las caras perpendicularesal e"e y es

Qm y

neto=Qm y−Qmy+dy=−∂

∂ y

( ρ v y ) dxdydz



-na epresi!n similar se obtiene para los caudales másicos netos a trav%sde las caras perpendiculares al e"e ,

Qm x

neto=Qm x−Qm x+dx=−∂

∂ x

( ρ v x) dx dydz

' otra para los caudales másicos netos a trav%s de las caras perpendicularesal e"e +

Qm z

neto

=Qm z−Qmz +dz=−∂

∂ z ( ρ v z ) dx dydz

Si tenemos en cuenta que la masa total contenida en el prisma es

dm= ρdV = ρdxdydz , el caudal másico total tambi%n puede ser

d Qtotal

neto= ∂

∂t ( ρdV )

*ue presenta la velocidad con que varia la masa en el punto #"o del espacioen que estamos considerando el elemento de volumen. Este caudal másico



debe ser a su ve+ la suma de los caudales másicos a trav%s de las carasperpendiculares a cada una de las direcciones , y, +.

dQtotal

neto= ∂

∂ t ( ρ v y )=

∂ p

∂t dxdydz=[−∂

∂ x

( ρ v x)− ∂

∂ y

( ρ v y)− ∂

∂ z

( ρ v z )]dx dydz

/a parte entre los corchetes no es más que menos la diver&encia de ρ v

por la epresi!n anterior se puede escribir como

∂ p

∂t =−∇ ( ρ v )

∂ p

∂t

+∇ ( ρ v )=0

*ue es la epresi!n de la continuidad en forma diferencial. )ara el caso

particular de un uido incomprensible, la densidad ρ no depende de la

posici!n ni el tiempo y la ecuaci!n de continuidad queda como ∇ v=0

En r%&imen estacionario, la densidad en un punto no cambia con el tiempo,

por lo que∂ p

∂t =0 y la ecuaci!n de continuidad queda ∇ ( ρ v )=0

ECUACION DE BERNOULLI.



$onsideremos la ecuaci!n de euler 0 ∇ x v=0¿ para el caso particular de

u"o estaionario en el que∂v

∂ t

=0 y recordemos que el u"o estacionario,

las trayectorias reales de las partículas 0la senda tiene lu&ar a l lar&o de las

líneas de u"o. ultiplicando escalarmente la ecuaci!n ∇ x v=0 por v

por lo tanto queda

∇ x v { p

ρ+1

2v

2+Φ}=0

Si consideramos un sistema de e"es coordenados que tiene uno de ellos

0denomin%mosle

xv

diri&ido a lo lar&o de una línea de u"o y otros dos endirecciones perpendiculares, la nica componente del &radiente que no seanula en el producto escalar es precisamente la componente en la direcci!ndel u"o, quedando la ecuaci!n anterior en la forma

v ∂

∂ xv{ p

ρ+1

2v2+Φ}=0

∂

∂ xv

{ p

ρ+1

2v

2+Φ}=0

Esta ecuaci!n nos dice que a lo lar&o de una línea de corriente el t%rminoentre corchetes debe ser constante,

p

ρ+1

2v

2+Φ=cte enunalinea de flujo

$onoci%ndose e esta epresi!n como ecuaci!n de 3ernoulli. Esta ecuaci!nes válida a lo lar&o de una línea de u"o para un u"o estacionario e

incomprensible que conserva la ener&ía. /a constante será en &eneraldistinta para distintas líneas de u"o.

-n caso particular interesante se tiene cuando el u"o es ademásirrotacional. En este caso la vorticidad es nula en cualquier punto del u"o y

la ecuaci!n ∇ x v=0 queda como

∇{ p

ρ+1

2v

2+Φ}=0

De donde se deduce que en este caso particular el u"o irrotacional



p

ρ+1

2v

2+Φ=cteenel flujo

)ara puntos en cualquiera de las líneas de u"o. Si como es habitual la nicafuer+a de masa que acta sobre el uido es la atracci!n &ravitatoria,

Φ=gz y la ecuaci!n de bernoulli queda

p

ρ+1

2v2+gz=cte

4, escrito en forma habitual,

p+ ρgz+1

2 ρv

2=cte

4 tambi%n como

Esta ultima forma cada uno de los elementos de la ecuaci!n de 3ernoullitiene dimensiones de lon&itud. 5ísicamente eso representa ener&ías porunidad de peso del uido. (demás, cada uno de los sumandos de

p ρg

+ z+ v2

2g=cte recibe un nombre especial,

p

ρg Es la altura de presi!n. 6epresenta la ener&ía por unidad de peso

debida a las fuer+as de presi!n.

z Es la altura &eom%trica y representa la ener&ía potencial &ravitatoria

del uido por unidad de peso.

v2

2 g Es la altura de la velocidad o altura cin%tica y representa la ener&ía

cin%tica por unidad de peso del uido en un punto.

/a suma de las alturas de presi!n y &eom%trica p

ρg+ z recibe el nombre

de altura pie+om%trica y corresponde a la altura que alcan+aría el liquido enun tubo vertical abierto a la atmosfera 0pie+!metro colocado en ese lu&ar

del u"o. ( sí mismo de denomina altura total a la suma de los tres

p

ρg+ z+

v2

2g=cte



elementos de la ecuaci!n de bernoulli, correspondiendo a la ener&ía totalpor unidad de peso del uido.

OBTENCION ATRAVES DE LA CONSERVACIÓN DE ENERGÍA

7eamos como la ley de conservaci!n de ener&ía relaciona la altura del u"o,el m!dulo de la velocidad del u"o y la presi!n para puntos que seencuentran a lo lar&o de una línea de u"o. )ara ello consideraremos untubo de u"o estrecho alrededor de la línea de u"o considerada, como semuestra en la #&ura anterior. De este modo la velocidad en las seccionestrasversales del tubo del u"o puede ser considerada uniforme.

En primer lu&ar hallaremos el traba"o reali+ado en un intervalo de tiempo

dt sobre el uido que en la re&i!n limitada por las secciones A1 y A

2 y

el tubo de corriente. El uido que se encuentra a la i+quierda de la super#cie A

1 e"erce sobre esta una fuer+a p1 A

1, perpendicular a la super#cie. En

l intervalo de tiempo dt esta fuer+a reali+ará un traba"o

F 2

d x2=− p

2 A

2v2

dt

)or lo que el traba"o total reali+ado sobre el uido es

δW = p1 A1 v1 dt − p2 A2 v2 dt ,



Epresi!n válida para cualquier tipo de uido. )ara el caso concreto de unuido incompresible, se cumple

v1 A

1=v

2 A

2, po lo !uela expe"i#n anteio puede e"ci$i"e como

δW =( p1− p2 ) v

1 A

1dt =( p1− p

2) v2 A

2dt

4 simplemente como

δW =( p1− p

2 ) dV

Donde dV es el volumen de elemento in#nitidesimal.

Este traba"o reali+ado sobre el uido debe traducirse en un aumento de

ener&ía total. (sí, hay un cambio de ener&ía cin%tica en la re&io A1− A1

%

que se acaba de abandonar en la re&i!n A2− A2

%

que acaba de ocupar, y

tambi%n un cambio de ener&ía potencial. En el volumen dV , que al ser

incompresible, es el mismo en las dos re&iones la masa es ρdV , la

ener&ía potencial es gzdm 0con + la altura del punto y la ener&ía cin%tica

1

2v

2dm . El cambio en la ener&ía total queda entonces como

d& =[ g z2

dm+1

2v

2

2dm]−[g z

1dm+

1

2v

1

2dm]

' debe ser i&ual al traba"o reali+ado sobre el uido, d& =δW , ya que no

se produce ni disipaci!n ni otro tipo de intercambio de calor.

d& =[ g z2

dm+1

2v

2

2dm]−[g z

1dm+

1

2v

1

2dm]=δW =( p1

− p2 ) dV =( p

1− p

2)

dm

ρ

*ue al simpli#car queda

p1− p

2= ρg z

2+1

2 ρ v

2

2− ρg z1−

1

2 ρ v

1

2

4 escrito en forma habitual.



p1+ ρg z

1+1

2 ρ v

1

2= p2+ ρg z

2+

v2

2

2g=cte,

Epresi!n conocida como ecuaci!n de bernoulli, valida a lo lar&o de una

línea de u"o para u"o que conserva la ener&ía, estacionario en un u"oincomprensible.

'a se ha comentado en la secci!n anterior en el si&ni#cado físico de cadauno de los t%rminos que aparecen en la Ecuaci!n de 3ernoulli

$uando el u"o es irracional, esta epresi!n es válida entre dos puntos de unmismo tubo de u"o, y no solamente entre puntos de la misma línea de u"o.

EFECTO VENTURI. VENTURIMETRO.

El efecto 7enturi es una consecuencia inmediata de la ecuaci!n decontinuidad y de la ecuaci!n de 3ernoulli. $onsideremos dos puntos ( y 3 a

la misma ltura, pero con distintas secciones S A y S' . la ecuaci!n de

3ernoulli nos da

p A+1

2 ρ v A

2

= p'+1

2 ρ v'

2

*ue implica, al ser S A>S'

p'+ p( =1

2 ρ (v '

2−v( 2 )=1

2 ρ v '

2 (1− S'

2

S A

2 )❑

>0.

$omo se ve, la presi!n es más d%bil donde la velocidad es mayor, es decir,

donde la secci!n es menor.

-na aplicaci!n inmediata de este efecto es el denominado venturimetro.$onsiste en un calibrador colocado en una tubería para medir la velocidaddel u"o de un líquido. Despe"ando la velocidad de la ecuaci!n se tiene

v '

2=

2( p'− p( )

ρ ∗S A

2

S A

2−Sa

2

*ue da

p+ z+

v2

2=cte 8



v A

2=S'

2

S A

2 v'

2=

S '

2

S A

2∗2( p'− p( )

ρ ∗S A

2

S A

2−Sa

2

6esultando #nalmente, para la velocidad del u"o.

4tra aplicaci!n de este efecto es la denominada trompa de a&ua, que seutili+a para hacer ba"os de vacios de forma limpia.

Este mismo efecto se utili+a tambi%n en pulveri+adores.

v A= 2 S'

2 ( p A− p')

S2−S

2 =S'

ρ% g )2

S2−S

2

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