Método A: Resolución de la ecuación diferencial

La segunda ley de Newton postula que la fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración que este adquiere. Matemáticamente:

F = ma

Y como la aceleración es la segunda derivada de la posición respecto del tiempo, queda:

F = md2 xd t 2

De este modo, esta expresión permite obtener la ecuación de movimiento si conocemos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo estudiado.

En la versión más simplificada del movimiento vibratorio armónico simple, la única fuerza que causa la oscilación del sistema es de la forma:

F = −kx

Se denomina fuerza recuperadora ya que, al oponerse al sentido de la elongación, hará que el cuerpo regrese a la posición de equilibrio. Se trata, asimismo, de una fuerza central.

Sustituyendo en la ecuación de la segunda ley de Newton resulta:

−kx = md2 xd t 2

⟶ d2 xd t 2

=−kmx

Con el fin de simplificar la ecuación diferencial obtenida, introduciremos una constante ω cuyo valor es:

ω=√ kmPor lo tanto:

d2 xd t 2

=−ω x

Un método que nos brinda la solución a esta ecuación es presuponer que esta es del tipo:

x=e βt

Martín de la Rosa díaz – 2º bachillerato DICIEMBRE 2013

Calculamos su segunda derivada.

d2 xd t 2

=β2e βt

Y sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene que:

β2 eβt=−ωeβt

Despejamos β:

β2=−ω⟶ β=±√−ω=± iω

Siendo i=√−1

Así pues, x es ya conocida:

x1=eiω t x2=e

−iωt

La solución general a la ecuación diferencial vendrá dada por la suma de x1 y x2, multiplicadas por sendas constantes arbitrarias:

x=C1eiω t+C2 e

−iω t

Ahora bien, si recurrimos a la llamada fórmula de Euler:

e i θ=cosθ+ isin θ

Podemos reescribir la solución del siguiente modo:

C1eiω t+C2e

−iω t=C1 (cosωt+i sinωt )+C2 ( cosωt−isinωt )

Y finalmente, haciendo C1+C2=M y i (C1−C2 )=N , obtenemos la siguiente expresión:

x=M cosωt+N sinωt

No obstante, la versión más empleada de la ecuación de movimiento del M.A.S. es x=A cos (ωt+φ0 ). Para llegar a ella habremos de realizar una segunda transformación.

M=A cos φ0 N=−A sin φ0

De este modo:

x=M cosωt+N sinωt=A cosφ0 cosωt−A sinφ0sinωt

A la hora de trabajar con el producto de cosenos o senos, aplicaremos las relaciones que siguen:

Martín de la Rosa díaz – 2º bachillerato DICIEMBRE 2013

cos α cos β=12

[cos (α+β )+cos (α−β ) ]

sinα sinβ=12

[cos (α−β )−cos (α+β ) ]

Por consiguiente:

x= A2 [ cos (φ0+ωt )+cos (φ0−ωt ) ]− A2 [cos (φ0−ωt )−cos (φ0+ωt ) ]

Desarrollando los productos, resulta:

x=A cos (ωt+φ0 )

Método B: Relación M.C.U. y M.A.S.

Una de las formas de definir el movimiento armónico simple es a través de su conexión con el movimiento circular uniforme. Si imaginamos una partícula que describe un M.C.U. sobre una circunferencia de radio A, el movimiento de la proyección de dicha partícula sobre el diámetro de la misma circunferencia es armónico simple.

Es posible relacionar la elongación (la distancia entre el punto proyectado y el centro de la circunferencia) con el radio del siguiente modo:

x=A cos φ

Martín de la Rosa díaz – 2º bachillerato DICIEMBRE 2013

Donde φ es el ángulo formado entre el diámetro y un vector dirigido desde el centro hasta la partícula que describe el M.C.U. (vector de posición).

Y, partiendo de la fórmula que define al movimiento circular uniforme:

ω=φ−φ0

t

Despejando φ y sustituyendo en la ecuación de movimiento se concluye que:

x=A cos (ωt+φ0 )

Martín de la Rosa díaz – 2º bachillerato DICIEMBRE 2013