Alumno: Frank Uzziel Rodriguez GonzalezProfesor: Roberto R. Gonzalez Castillo

1.1 Definición, Desarrollo y tipos de modelos de

Investigación de Operaciones.

INTRODUCCIÓN

Las raíces de la investigación de operaciones se remonta a cuando se hicieron los

primeros intentos para emplear el método científico en la administración de una

empresa. Sin embargo, el inicio de esta disciplina se atribuye a los servicios

militares prestados a principios de la segunda guerra mundial.

La investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la

conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una

organización.

La investigación de operaciones intenta encontrar una mejor solución,

(llamada solución óptima) para el problema bajo consideración.

Una de las principales razones de la existencia de grupos de investigación de

operaciones es que la mayor parte de los problemas de negocios tienen múltiples

aspectos es perfectamente razonable que las fases individuales de un problema

se comprendan y analicen mejor por los que tienen el adiestramiento necesario en

los campos apropiados.

La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del

método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o

sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de

la organización.

El objetivo del curso es que el estudiante aprenda a reconocer los problemas tipo

de la Investigación de Operaciones de modo que sepa a qué técnico recurrir en

cada caso, para un adecuado estudio y solución del mismo. Como su nombre lo

indica, la Investigación de Operaciones (IO), o Investigación Operativa, es la

investigación de las operaciones a realizar para el logro óptimo de los objetivos de

un sistema o la mejora del mismo. Esta disciplina brinda y utiliza la metodología

científica en la búsqueda de soluciones óptimas, como apoyo en los procesos de

decisión, en cuanto a lo que se refiere a la toma de decisiones óptimas y en

sistemas que se originan en la vida real. Antecedentes históricos El término IO se

utiliza por primera vez en el año 1939 durante la 2da Guerra Mundial,

específicamente cuando surge la necesidad de investigar las operaciones tácticas

y estratégicas de la defensa aérea, ante la incorporación de un nuevo radar, en

oportunidad de los ataques alemanes a Gran Bretaña. El avance acelerado de la

tecnología militar hace que los ejecutivos y administradores militares británicos

deban recurrir a los científicos, en pos de apoyo y orientación en la planificación

de su defensa.

El éxito de un pequeño grupo de científicos que trabajaron en conjunto con el

ejecutivo militar a cargo de las operaciones en la “línea”, derivó en una mayor

demanda de sus servicios y la extensión del uso de la metodología a USA,

Canadá y Francia entre otros. Sin embargo, el origen de la Investigación Operativa

puede considerarse como anterior a la Revolución Industrial, aunque fue durante

este período que comienzan a originarse los problemas tipo que la Investigación

Operativa trata de resolver.

Definición

La Investigación de Operaciones se ocupa de la toma de decisiones óptima a

partir del modelado y solución de sistemas determinísticos y probabilísticos que se

originan en la vida real.

Estas aplicaciones que ocurren en el gobierno, en los negocios, en las industrias,

en la ingeniería económica y en las ciencias naturales y sociales se caracterizan

en gran parte por la necesidad de asignar escasos recursos. En estas situaciones

se puede obtener un conocimiento profundo del problema a partir del análisis

científico que proporciona la Investigación de Operaciones. El enfoque de la

Investigación de Operaciones proviene principalmente de:

La estructuración de una situación de la vida real como un modelo matemático,

logrando una abstracción de  los elementos esenciales para que pueda buscarse

una solución que concuerde con los objetivos del tomador de decisiones.

El análisis de la estructura de tales situaciones y el desarrollo de procedimientos

sistemáticos para obtenerlas.

El desarrollo de una solución, incluyendo la teoría matemática, si es necesario,

que lleva al valor óptimo de la medida que se espera del sistema.

Desarrollo de I.O.

Avance de la Investigación de Operaciones:

Después de la guerra, el éxito de los equipos militares atrajo la atención de

las empresas industriales, quienes buscaban soluciones a sus problemas

complejos.

Aunque Gran Bretaña fue quien inició el estudio de la Investigación de

Operaciones, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo.

La primera técnica matemática aceptada fue el método simplex de

programación lineal, desarrollado en 1947 por el matemático

norteamericano George B. Dantzing.

La Investigación de Operaciones actualmente

En la actualidad el impacto de la investigación de operaciones se nota en

muchas áreas.

Muchas universidades la enseñan en todos los niveles.

Muchas organizaciones que se dedican a dar consultoría están

comprometidas con ella.

Las aplicaciones han ido más allá del ámbito empresarial y militar, para

incluir hospitales, restaurantes, aeropuertos, bancos, bibliotecas,

planeación urbana, sistemas de transporte y estudios de investigación

criminalógica.

El desarrollo de  decisión consiste en seleccionar una o varias alternativas o

cursos de acción para minimizar los riesgos de pérdidas financieras.

La toma de decisiones puede hacerse bajo:

Riesgo

Certeza

Conflicto

Incertidumbre

Una toma de decisión bajo completa certeza llamada también determinística, se

caracteriza porque el grupo decisor conoce perfectamente cuál va a ser el estado

de la naturaleza relativo a sus objetivos y por lo tanto selecciona aquella acción

que de acuerdo al criterio del líder logrará acercar más rápido a la meta

preestablecida.

En el caso de riesgo, también conocida como estocástico, no se conoce

perfectamente el estado que adoptará la naturaleza pero se asocia a este una

distribución de probabilidad (discreta, continua), en función de esta última el grupo

decisor selecciona aquella acción que maximiza la esperanza de acercarse a  la

meta propuesta.

En el caso conflictivo, los estados de la naturaleza obligan a que el logro de las

metas de un grupo de decisores reduzca simultáneamente las posibilidades de

que otro grupo alcance las suyas.

Cuando hay total incertidumbre se desconoce la verosimilitud asociada a la

ocurrencia de posibles estados de la naturaleza, es decir, no se tiene una idea

sobre la distribución de probabilidad o función de densidad asociada a los

diferentes entornos.

En el caso determinístico, los procesos de decisión, generalmente son dos:

1.       Maximizar, utilidades, beneficios

2.       Minimizar, costos, tiempo, distancia

Para el caso estocástico, se optimizan (maximizar o minimizar) los valores

esperados correspondientes.

En el conflicto se minimizan las máximas pérdidas, que equivale a maximizar las

mínimas ganancias del oponente, este criterio se utiliza con menor frecuencia.

Cuando existe incertidumbre los procesos de decisión que pueden presentarse

son:

Maximizar la mínima ganancia

Minimizar la máxima pérdida

Coeficiente optimista-pesimista

Minimizar el arrepentimiento máximo

Estrategias mixtas

Tipos de modelos de I.O.

Un modelo es una representación simplificada e idealizada de la realidad, o

también, un modelo es una abstracción selectiva de la realidad. Dentro de la

Investigación de Operaciones los tipos de modelos generalmente son numéricos.

Los tipos de modelos son:

Icónicos

Analógicos

Matemáticos

Un modelo icónico es una representación de la realidad pero a diferente escala, ya

sea aumentada o disminuida, por ejemplo:

Una maqueta

Un mapa

La representación de la célula

Los modelos analógicos generalmente requieren la sustitución de una propiedad

por otra con el fin de permitir la manipulación del modelo, después de resolver el

problema la solución se reinterpreta de acuerdo al sistema original, por ejemplo:

Un sistema de redes eléctricas se pude utilizar en forma análoga para un sistema

de transporte vial

El sistema lógico de la inteligencia humana se utiliza en forma análoga para la

operación de un programa de computadoras.

Los modelos simbólicos o matemáticos emplean un conjunto de símbolos

matemáticos y funciones para representar las variables de decisión y sus

relaciones para describir el comportamiento del sistema. La solución de problemas

se obtiene aplicando técnicas matemáticas, como programación lineal.

En investigación de operaciones los modelos casi siempre son matemáticos y por

consiguiente son aproximaciones a la realidad, por ejemplo:

La ecuación general de la línea recta: y=mx + b

La cantidad óptima en compra de inventarios

La ecuación básica en contabilidad: A= P + C

1.2 Fases de estudio de I.O.

¿En qué consiste un estudio de Investigación de Operaciones?

Un estudio de Investigación de Operaciones consiste en construir un modelo de un

sistema de la vida real, existente o no existente.

Si el sistema existe, el objetivo será analizar el comportamiento de éste a fin de

mejorar su funcionamiento.

Si el sistema no existe, el objetivo será encontrar la mejor estructura del sistema

futuro.

El arte de modelar en la Investigación de Operaciones

La estructura de los modelos matemáticos:

1.       Variables de decisión.

Son las incógnitas que deben determinarse con la solución del modelo.

Ejemplo:

X1= Número de unidades a producir en el primer turno

X2=Número de unidades a producir en el segundo turno

2.       Restricciones.

Para tomar en cuenta las limitaciones físicas del sistema, el modelo debe incluir

restricciones que limitan las variables de decisión a valores factibles (permisibles)

X1 + X2 ≤ 200

3.       Función objetivo

Define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de sus

variables de decisión.

Por ejemplo, si el objetivo del sistema es maximizar el beneficio total, la función

objetivo debe especificar el beneficio en función de las variables de decisión.

Ejemplo: Maximizar Z=5X1 + 7X2

PASOS:

1.       Definición del problema

A.   Definir el objetivo del estudio

B.    Reconocimiento de las restricciones y variables del sistema.

2.       Construcción del modelo

A.   Modelo matemático

B.    Modelo de simulación. Se usa cuando las relaciones matemáticas son muy

complejas.

3.       Solución del modelo

A.   Si el modelo es matemático se usará alguna técnica de optimización bien

definida, produciendo el modelo una solución óptima.

B.    Si el modelo es de simulación se buscarán alternativas para mejorar el

desempeño del sistema.

Se deberá realizar un análisis de sensibilidad cambiando ciertos parámetros del

sistema.

4.       Validación del modelo

Un modelo es válido si puede dar una predicción confiable del funcionamiento del

sistema. Para probar la validez de un modelo se comparan los resultados del

modelo con datos históricos del sistema real.

5.       Implantación de resultados finales.

1.3 Principales aplicaciones de la I.O.

Los modelos para la solución de problemas se pueden agrupar en distintas

formas, las más importantes son:

1. Problemas estocásticos o probabilísticos: son útiles al tener que enfrentarse a

un ambiente incierto, la estadística de Bayes desarrolla un método poderoso para

tomar decisiones cuando se tiene información limitada.

2. Pronósticos: es una responsabilidad ineludible de la gerencia el pronosticar,

enfrentando a la incertidumbre respecto al futuro, la conducta pasada como un

indicador de lo que va a venir. Dentro de los temas que ven pronósticos se tienen:

Promedios simples

Promedios móviles

Promedios dobles

Suavización exponencial

Regresión

Correlación

Tendencia

3. Modelos de inventarios: ayudan al control de los costos totales de inventarios,

estos enfoque pueden reducir el costo total de compra, de almacenar, de llevar el

inventario y quedarse sin él, también analiza y evalúa los descuentos ofrecidos por

proveedores, así como la compra de artículos múltiples a un mismo proveedor.

4. Programación lineal: es de valor cuando se debe de escoger entre alternativas

numerosas para evaluarlas con los métodos convencionales. Al usar la

programación lineal, se pueden determinar combinaciones óptimas de los recursos

de una firma para alcanzar ciertos objetivos.

5. Problemas de asignación y transporte: son los enfoques útiles cuando la

gerencia se enfrenta a problemas que tienen que ver con la mejor alternativa de

distribución o el método óptimo de asignar operarios a las máquinas, etc.

6. Teoría de redes: permite a los gerentes hacer frente a las complejidades

involucradas en los grandes proyectos, el uso de esta técnica ha disminuido

notablemente el tiempo necesario para planear y producir productos complejos,

las técnicas más usuales son:

PERT  (Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos)

CPM  (Método de la Ruta Crítica)

PERT/COSTO (Técnica de programación con limitación de recursos tanto en costo

como en tiempo)

7. Teoría de colas o líneas de espera: estudia las llegadas aleatorias a una

estación de servicio o proceso de capacidad limitada, los modelos le permiten  a la

gerencia calcular a futuro las longitudes de las líneas de espera, el tiempo

promedio gastado en la línea por una persona que espera el servicio y la

necesidad de agregar estaciones de servicio. Esta técnica se estudia

primeramente mediante el uso de fórmulas y posteriormente por simulación con

computadora.

1.4 Metodología para modelación, investigación de

operaciones.

La modelación

Es el proceso completo de abstracción del sistema real al modelo cuantitativo y

tiene como resultado un modelo matemático del sistema real bajo estudio. Incluye

actividades como la definición del sistema y la determinación de sus fronteras, la

identificación de las actividades más importantes para el logro del objetivo, es

decir la conceptualización del sistema simplificado y finalmente la elaboración del

modelo.

Es quizás la parte más importante de la Investigación de Operaciones y se le

considera como una mezcla de arte y de ciencia. La modelación no puede

enseñarse, sino motivarse, se aprende con la práctica y con la experimentación.

Puede dividirse en dos fases: Subjetiva y la objetiva. La parte subjetiva consiste en

la definición del sistema supuesto o simplificado. Mientras que la objetiva es

la construcción del modelo a partir del sistema simplificado.

La formulación

Es la componente objetiva de la modelación y consiste en convertir el sistema

simplificado en un modelo cuantitativo que lo describa. En esta sección

ahondaremos un poco en la actividad de formulación, para lo cual supondremos

que ya se realizó la étapa previa que nos permitió definir el sistema simplificado.

Debe tenerse en cuenta que en la vida profesional el estudiante si se vera

afrontado a la necesidad de derivar sus propios sistemas supuestos, a partir de los

problemas reales que se le presenten. El éxito obtenido dependerá de factores

tales como su capacitación general, su habilidad y experiencia en la modelación y

la comprensión que tenga del área particular del problema a modelar.

Una buena metodología para construir modelos matemáticos de los problemas, a

partir del problema simplificado (problema supuesto), parece ser la siguiente:

Leer atentamente el enunciado de la situación con el fin de comprender sus

principales características. Como resultado de la lectura estaremos en capacidad

de realizar los dos pasos siguientes.

Organizar en cuadros o tablas toda la información cuantitativa que suministra el

enunciado del problema.

De esta manera será más fácil identificar, interpretar y utilizar la información.

Debe prestarse especial atención a las unidades de todos los datos utilizados.

Dibujar un esquema de la situación.

Este nos permitirá visualizar y comprender mejor las características del problema.

En especial el diagrama es útil para llevar a cabo los tres pasos siguientes.

Identificar los elementos del problema.

Los elementos son las entradas (recursos), las salidas (productos) y las

actividades (variables de decisión) del proceso al cual se reduce el problema. La

grafica o esquema del paso tres, es de gran ayuda en esta tarea.

Las actividades son las que convierten una o más entradas en una o más salidas.

La esencia del problema de P.L. es la determinación del sub conjunto de

actividades que deben llevarse a cabo para optimizar el logro del objetivo.

Expresar el objetivo relacionado con el problema, indicando las unidades en las

cuales se medirá.

Recordemos que en los problemas de programación lineal el objetivo será

maximizar o minimizar alguna medida de eficiencia, que puede ser un costo,

un tiempo, una probabilidad, un número de personas o de elementos, etc. En

todos los casos se deben dar explícitamente las unidades de medición.

Definir las variables de decisión.

A cada una de las actividades que pueden realizarse se le asocia una variable que

indicara el nivel o medida de su ejecución. Por ejemplo, si una actividad es fabricar

el producto P3, entonces al asociarle v. gr. la variable de decisión X3, definiremos

esta como el número de productos P3 que se deben fabricar.

En algunos problemas las variables de decisión se pueden tomar en más de una

forma posible. Una buena guía para determinar la más conveniente es buscar que

las variables correspondan a aquellas actividades que permiten medir el grado de

logro de la función objetivo.

Formular la función del objetivo y las funciones de las restricciones del modelo

matemático.

Teniendo una correcta comprensión del objetivo y definidas las variables que

cuantifican las actividades que conforman el proceso, podemos escribir una

función matemática que mida el logro del objetivo. Es la expresión que nos

permitirá conocer la eficiencia de la decisión que se tome.

1.5 Formulación de problemas lineales

La programación lineal son modelos destinados a la asignación eficiente de los

recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas

deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos).

La característica distintiva de los modelos es que las funciones que representan el

objetivo y las restricciones son lineales. (No se permite multiplicación de variables

ni variables elevadas a potencias). Algunas de las siguientes restricciones no se

pueden emplear en un modelo de programación lineal.

Un modelo de programación lineal se define usualmente como sigue:

Maximizar o minimizar

Sujeto a:

EJEMPLO 1.

Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de maderas y 28 horas disponibles,

durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han

vendido bien 2 modelos, de manera que se limitará a producir estos 2 tipos.

Estima que el modelo uno requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo

disponible, mientras que el modelo 2 requiere una unidad de madera y 8 horas.

Los precios de los modelos son 120 dls. y 80 dls., respectivamente. ¿Cuántos

biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta?

OBJETIVO : Maximizar el ingreso por ventas

RESTRICCIONES : Unidades de madera

Tiempo disponible

VARIABLE DE DECISION:

X1 = Cantidad de biombos tipo I a fabricar

X2 = Cantidad de biombos tipo II a fabricar

Maximizar

Sujeto a:

PROBLEMA 2

Una firma de contadores públicos especializados en preparar liquidaciones y pago

de impuestos y también auditorías en empresas pequeñas. El interés es saber

cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera

que obtengan los máximos ingresos. Se dispone de 800 horas para trabajo directo

y dirección y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40

horas de trabajo directo y dirección y 10 horas de revisión, además aporta un

ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuestos requiere de 8 horas de trabajo

directo y dirección y 5 horas de revisión y produce un ingreso de 100 dls. Se

pueden realizar tantas auditorías como se desee, pero el máximo de liquidaciones

mensuales disponibles es de 60.

OBJETIVO : Maximizar los ingresos totales

VARIABLE DE DECISION:

X1 = Cantidad de auditorías

X2 = Cantidad de liquidaciones

RESTRICCIONES : Tiempo disponible para trabajo directo

Tiempo disponible para trabajo de revisión

Número máximo de liquidaciones

Maximizar

Sujeto a:

PROBLEMA 3

Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una

combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res

contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por

libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60

centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda

por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener

el contenido de grasa no mayor de 25 %?

OBJETIVO : Minimizar el costo

VARIABLE DE DECISION: Cantidad de carne de res. (X1).

Cantidad de carne de cerdo (X2).

RESTRICCIONES : Contenido de grasa no mayor de 25 %

Contenido de carne molida a producir

Minimizar

Sujeto a:

PROBLEMA 4

Formule una dieta para pollos. Suponga que el lote diaria requerido de la mezcla

son 100 lbs. La dieta debe contener:

1.- Al menos 0.8 % pero no más de 1.2 % de calcio

2.- Al menos 22 % de proteínas

3.- a lo más 5 % de fibras crudas

Suponga, además, que los principales ingredientes utilizados incluyen maíz, soya

y caliza. El contenido nutritivo de estos ingredientes se resume a continuación.

LIBRAS POR LIBRA DE INGREDIENTE

Ingrediente Calcio Proteína Fibra Costo($) por

libra

Caliza .380 .00 .00 .0164

Maíz .001 .09 .02 .0463

Soya .002 .50 .08 .1250

Minimice el costo total para la dieta, determinando la cantidad de cada ingrediente

que debe utilizarse.

OBJETIVO : Minimizar el costo total de la dieta (100 lbs.)

VARIABLE DE DECISION: Contenido de caliza. (X1).

Contenido de maíz (X2).

Contenido de soya (X3).

RESTRICCIONES : Contenidos nutritivos (4 restricciones).

Contenido de la mezcla de 100 lbs. (1 restricción)

Minimizar

Sujeto a:

PROBLEMA 5

Una compañía distribuidora de agua tiene 3 depósitos con entrada diaria estimada

de 15, 20 y 25 millones de litros de agua respectivamente. Diariamente tiene que

abastecer 4 áreas A, B, C y D, las cuales tienen una demanda esperada de 8, 10,

12 y 15 millones de litros de agua, respectivamente. El costo de bombeo por millón

de litros de agua es como sigue:

DEPÓSITO ÁREA

A B C D

1 2 3 4 5

2 3 2 5 2

3 4 1 2 3

Minimice el costo total de suministro de agua de los depósitos a las áreas.

OBJETIVO : Minimizar el costo total de suministro de agua de los depósitos a las

áreas.

VARIABLES DE DECISION: Cantidad de agua que se envía de cada depósito a

cada área.

RESTRICCIONES : Entradas de agua disponible. (3 restricciones)

Necesidades de agua de las áreas. (4 restricciones)

Minimizar

Sujeto a: 

1.6 Conceptos del Método gráfico y su aplicación.

El método gráfico es una forma fácil y rápida para  la solución de problemas de

Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables.  Para

modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible.

Consiste en representar geométricamente  las restricciones, condiciones técnicas

y función objetivo objetivo.

Los pasos necesarios para realizar el método son:

hallar las restricciones del problema

Las restricciones de no negatividad  Xi ≥  0 confían todos los valores posibles.

sustituir  ≥ y ≤  por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de

una línea recta.

trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en

cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo

define el signo correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes

y después de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el

área correspondiente

el espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible

Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que

satisfacen todas las restricciones, representa un punto factible.

Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la

asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en

la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta

la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, si es un problema de

minimización la solución optima es el primer punto factible que toque la función Z, 

y si por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de

los puntos factibles que toque la función Z

Hay principalmente cuatro tipos de problemas, de única solución, multiples

soluciones, solución no acotada y no factible, a continuación hay un ejemplo de

cada caso, en el cual se puede observar la comparación de la solución obtenida

con el método grafico, y la solución obtenida con el método simplex.