Deformacion plana
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CV00-842 – CV2009 Mecánica de Sólidos II Carlos Enrique Nungaray Pérez 1 LEY DE HOOKE PARA DEFORMACIÓN PLANA Introducción El estado de deformación plana es aquél en el que todas las componentes de deformación que son diferentes de cero se encuentran contenidas en un solo plano. Por conveniencia, dicho plano se toma como el plano x y − , por lo que las únicas deformaciones unitarias que son diferentes de cero son las siguientes: , xx yy ε ε y xy γ . Deformaciones Las deformaciones unitarias diferentes de cero para el estado de deformación plana están dadas por las ecuaciones siguientes: ( ) [ ] zz yy xx xx E σ σ ν σ ε + − = 1 (1a) ( ) [ ] zz xx yy yy E σ σ ν σ ε + − = 1 (1b) G xy yx xy τ γ γ = = (1c) Para determinar el valor del esfuerzo zz σ , usamos la ecuación para la deformación zz ε y la igualamos a cero. De esta forma, ( ) [ ] 0 1 = + − = yy xx zz zz E σ σ ν σ ε de donde obtenemos ( ) yy xx zz σ σ ν σ + = (2) El tensor de esfuerzo para el estado de deformación plana se reduce a la forma siguiente: [ ] ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = yy xx yy xy xy xx ij σ σ ν σ τ τ σ σ 0 0 0 0 (3)
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CV00-842 – CV2009 Mecánica de Sólidos II Carlos Enrique Nungaray Pérez
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LEY DE HOOKE PARA DEFORMACIÓN PLANA
Introducción El estado de deformación plana es aquél en el que todas las componentes de deformación que son diferentes de cero se encuentran contenidas en un solo plano. Por conveniencia, dicho plano se toma como el plano x y− , por lo que las únicas deformaciones unitarias que son diferentes de cero son las siguientes: ,xx yyε ε y xyγ .
Deformaciones Las deformaciones unitarias diferentes de cero para el estado de deformación plana están dadas por las ecuaciones siguientes:
( )[ ]zzyyxxxx Eσσνσε +−=
1 (1a)
( )[ ]zzxxyyyy Eσσνσε +−=
1 (1b)
Gxy
yxxy
τγγ == (1c)
Para determinar el valor del esfuerzo zzσ , usamos la ecuación para la deformación zzε y la igualamos a cero. De esta forma,
( )[ ] 01=+−= yyxxzzzz E
σσνσε
de donde obtenemos
( )yyxxzz σσνσ += (2)
El tensor de esfuerzo para el estado de deformación plana se reduce a la forma siguiente:
[ ]( )⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+=
yyxx
yyxy
xyxx
ij
σσνσττσ
σ00
00
(3)
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Energía de deformación por unidad de volumen
La energía de deformación, w por unidad de volumen se obtiene multiplicando cada esfuerzo por su deformación correspondiente, dividiendo el resultado entre dos, y sumando cada uno de los términos. Después de cancelar los términos que son cero,
2
xyxyyyyyxxxxwγτεσεσ ++
= (4)
Al substituir las ecuaciones (1) en (4), obtenemos la ecuación de la energía de deformación por unidad de volumen en términos de los componentes de esfuerzo.
( )
GEw xyxxzzzzyyyyxxzzyyxx
222 2222 τσσσσσσνσσσ
+++−++
= (5)
Deformación volumétrica
La deformación volumétrica, e , está definida por la ecuación siguiente:
0VVe ∆
= (6)
en donde
0VVV f −=∆
finalvolumen =fV
inicialvolumen 0 =V
Si las dimensiones original del elemento de volumen son ,a b y c , entonces
abcV =0
y
( )( )( )cbbaaVf ∆+∆+=
en donde
( )aaa xxε+=∆+ 1
( )bbb yyε+=∆+ 1
ccc =∆+
Al substituir las ecuaciones anteriores en la de fV , y después de despreciar los términos de orden superior por ser muy pequeños, obtenemos como volumen final
( )yyxxf abcV εε ++= 1
y como cambio de volumen
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( )yyxxf abcVVV εε +=−=∆ 0
de donde la deformación volumétrica resulta ser
yyxxVVe εε +=
∆=
0
(7)
Si queremos expresar a la deformación volumétrica en términos de los esfuerzos normales, substituimos en la ecuación (7) las ecuaciones (1). De esta forma, obtenemos
( )zzyyxxEe σσσν
++−
=21 (8)
Comentarios Las ecuaciones anteriores se obtuvieron directamente de las ecuaciones generales cancelando los términos que son cero.
