FACULTAD DE INGENIERA Y TECNOLOGA.

Jean Paul Dirac Ecuaciones Diferenciales

11 de junio de 2013

Docente:

Juan Luis Dietert

Integrantes:

Ricardo Osorio Duarte

lvaro Polanco Godoy

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ndice

Resumen ............................................................................................................................................ 3

Vida y obra ........................................................................................................................................ 4

Inicios ............................................................................................................................................. 4

Carrera ........................................................................................................................................... 5

Legado............................................................................................................................................ 6

Funcin delta de Dirac ..................................................................................................................... 7

Definicin ...................................................................................................................................... 7

Comprobacin .......................................................................................................................... 8

Transformada de Laplace de la funcin Delta de Dirac ....................................................... 10

Demostracin .............................................................................................................................. 10

Observacin: ............................................................................................................................ 11

Bibliografa ...................................................................................................................................... 12

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Resumen

Se presenta el siguiente informe realizado para el ramo de Ecuaciones

Diferenciales que tiene como tema al fsico Jean Paul Dirac.

Daremos a conocer parte de la vida y obra del gran fsico britnico Paul Dirac,

daremos nfasis en la definicin de la Funcin delta de Dirac.

Procederemos a demostrar tambin su transformada de Laplace y algn ejemplo

demostrativo.

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Vida y obra

Inicios

Paul Dirac es considerado como uno de

los fsicos ms importantes de todos los

tiempos, nacido en Bristol, Reino unido,

l dice haber tenido una infeliz infancia

por distintos sucesos, como el suicidio de

su hermano y autoritarismo de su padre

por ejemplo. Es por aquello que a Paul se

le conoce con un carcter difcil y

apenado. Estudi en el Merchant

Ventirers Technical College de joven,

donde tuvo sus primeros acercamientos

con la ciencia moderna. Luego logra

graduarse en ingeniera elctrica en la

universidad de Bristol en 1921.

Tras trabajar poco tiempo como

ingeniero, Dirac decidi que su verdadera vocacin eran las matemticas.

Complet otra carrera en matemticas en Bristol en 1923 y fue entonces admitido

en la Universidad de Cambridge, donde desarrollara la mayor parte de su carrera.

Empez a interesarse por la Teora de la relatividad y el naciente campo de la fsica

cuntica, y trabaj bajo la supervisin de Ralph Fowler (fsico y astrnomo

britnico).

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Carrera

En 1926 desarroll una versin de la Mecnica Cuntica en la que una el trabajo previo de Werner Heisenberg y el de Erwin Schrdinger en un nico modelo matemtico que asocia cantidades medibles con operadores que actan en el espacio vectorial de Hilbert y describe el estado fsico del sistema. Por este trabajo recibi un doctorado en fsica por Cambridge.

En 1928, trabajando en los spines no relativistas de Pauli, hall la ecuacin de Dirac, una ecuacin relativista que describe al electrn. Este trabajo permiti a Dirac predecir la existencia del positrn, la antipartcula del electrn, que interpret para formular el mar de Dirac.

El libro Principios de la Mecnica Cuntica de Dirac, publicada en 1930, se convirti en uno de los libros de texto ms comunes en la materia y aun hoy es utilizado. Introdujo la notacin de Bra-ket y la funcin delta de Dirac, y esta ltima la podemos definir como la funcin que puede representar la distribucin de densidad de una masa unidad concentrada en un punto A. Esta funcin constituye una aproximacin muy til, constituye el mismo tipo de abstraccin matemtica que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina tambin funcin de impulso. Adems, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas, ms adelante en este informe se dar una completa definicin de lo que es Delta de Dirac, tanto conceptualmente como de

la forma matemtica.

Paul Dirac comparti en 1933 el Premio Nobel de Fsica con Erwin Schrdinger "por el descubrimiento de nuevas teoras atmicas productivas."

Dirac pas los ltimos aos de su vida en la Florida State University ("Universidad Estatal de Florida") en Tallahassee, Florida. All muri en 1984, y en 1995 se coloc una placa en su honor en la Abada de Westminster en Londres.

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Legado

Tal como se ha descrito recientemente a este personaje, es considerado como uno de los

fsicos ms importantes de todos los tiempos y el ms relevante en el siglo XX. Pues fue

uno de los fundadores y participes ms importante de la mecnica cuntica y

la electrodinmica cuntica adems aport con clculos modernos de operadores para

la mecnica cuntica, que l llam Teora de Transformaciones. Tambin cre un

formalismo de muchos cuerpos para la mecnica cuntica que permita que cada partcula

tuviera su propio tiempo.

Para muchos su ecuacin de ondas relativista para el electrn, fue el primer planteamiento

exitoso de una mecnica cuntica relativista. Dirac fund la teora cuntica de campos con

su interpretacin de la ecuacin de Dirac como una ecuacin de muchos cuerpos, con la

cual predijo la existencia de la antimateria as como los procesos de aniquilacin de

materia y antimateria. As mismo, fue el primero en formular la electrodinmica cuntica,

si bien no pudo calcular cantidades arbitrarias debido al lmite de distancias cortas que

requiere de la renormalizacin.

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Funcin delta de Dirac

La funcin delta de Dirac fue introducida en los aos 20 del siglo XX, y desde

entonces ha sido muy utilizada por distintos fsicos desde entonces. Cercano a los

aos 50 es formalizada matemticamente con la introduccin de la teora de

funciones generalizadas o distribuciones, por Laurent Shcwartz.

Definicin

La delta de Dirac es introducida con argumentos variables y para representar

ciertos infinitos, se define mediante:

( )

Se trata de una funcin que es nula en todo el espacio, exceptuando los valores

cercanos a , donde se hace infinita (su integral de - ). Podemos

definirla a partir de una abstraccin fsica como un choque o golpe en mecnica, ya

que se requiere aplicar una fuerza por un intervalo de tiempo tan pequeo ( )

que requiere ser infinita.

La delta de Dirac no es una funcin en s, ya que requiere tomar valores infinitos.

Informalmente se le puede definir como el lmite de una sucesin de funciones que

tienden a cero en cualquier punto del espacio excepto un punto para el cual

diverge hacia infinito.

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( ) {

( ) ( ) ( ) ( )

Comprobacin

Estas dos ltimas ecuaciones pueden ser comprobadas de la siguiente manera:

Consideramos una fuerza ( ) aplicada en un intervalo de tiempo que va

desde el instante a , como un impulso.

Tenemos entonces que el impulso est dado por ( )

Segn la segunda ley de Newton el impulso es igual al cambio en el

momento (momentum), por lo tanto, la fuerza es igual a la masa por la

aceleracin. Y adems de esto tenemos que la aceleracin es la derivada de

la velocidad con respecto al tiempo:

( )

( ) ( )

o m corresponde a la masa. o v corresponde a la velocidad. o t representa al instante en el tiempo denotado.

Ya que en el impulso ( )corresponde a la fuerza (que en este caso se caracteriza por ser aplicada durante un periodo de tiempo muy breve) el rea bajo su curva corresponde al momentum.

Para continuar con el anlisis tomamos el intervalo [ y lo vamos acortando en su periodo, con respecto a [ y a [ hasta [ , es decir:

Para mantener la misma magnitud de impulso necesitamos que la fuerza promedio sea cada vez mayor.

Al lograr que las fuerzas ( ) tengan el mismo impulso en el intervalo [ (cuando y a su vez ) obtendremos que tiende a una funcin que se anula para pero que tendr un valor infinito en . Es as que todas las reas bajo la curva tendrn un valor en comn. Es decir:

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( )

Concluyendo que ( ) , obtenemos la verificacin de las propiedades estableciendo que:

( )

Que es la base de la segunda propiedad de la Delta de Dirac, haciendo ( ) .

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Transformada de Laplace de la funcin Delta de Dirac

El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la funcin delta de Dirac.

Para

Demostracin:

Para iniciar la prueba debemos escribir la funcin impulso unitario en trminos de la funcin escaln unitario

De donde tenemos que

con lo cual

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Observacin:

A partir de:

Es razonable concluir que:

Esto reafirma el hecho de que

NO es una funcin ordinaria, puesto que se espera que cuando.

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Bibliografa

http://www.oocities.org/i_hm/dirac1.htm

Pagina que conceptualiza con simpleza y dinmicamente el concepto de Delta de

Dirac

http://www.youtube.com/watch?v=xEIYJDPPLos

video ayuda con explicacin de la Transformada de Laplace: funcin de Dirac

http://es.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac

Ayuda conceptual de Delta de Dirac

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/d/dirac.htm

Fuente biogrfica del fsico Paul Dirac