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NOTAS SOBRE EL DEMONIO DE MAXWELL 1

Notas sobre el Demonio de Maxwell

Jaime Romero, 10 de Diciembre de 2004

Universidad de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento de Fsica, Termodinamica

Resumen El proposito de este trabajo es en-tregar una vision general sobre el Demonio deMaxwell. Primero se veran algunas consideracioneshistoricas, sus caractersticas, como trabaja, etc.Luego las implicancias de las leyes de la termo-dinamica en su funcionamiento. Tambien se expli-cara el modelo propuesto por Szilard y como salvaa la segunda ley, luego el exorcismo practicado porBrillouin quien asume que se usan senales de luzcomo vehculo para que el demonio reuna informa-cion y que esto pro duce un aumento en la entropa,por lo que no se viola la segunda ley. Despues serevisara la solucion propuesta por Bennett, basadaen el principio de Landauer, donde el hecho claveque salva a la segunda ley es borrar la memoriadel demonio. Finalmente se mencionara una situa-cion, en el campo de la mecanica cuantica, dondeel Principio de Landauer y la segunda ley son vio-ladas. Para un tratamiento mas completo de estetema se recomienda Maxwells Demon 2[1].

I. Introduccion

LA Segunda Ley de la Termodinamica estable-ce que para disminuir la entropa de un sis-

tema, un reservorio debe pagar por esa dis-

minucion y aumentar su propia entropa. Esto,por ejemplo, imposibilita la produccion infinita deenerga o trabajo. Sin embargo, uno de los funda-dores de la termodinamica, Maxwell, ideo un sim-ple e ingenioso gedankenexperiment: El llamadoDemonio de Maxwell. Su objetivo ? Ilustrar limi-taciones de la segunda ley. Desde su creacion va-rias teorias han tratado de explicar donde esta lafalla en el funcionamiento del demonio, saliendosedel ambito de la fsica y abarcando temas comoteora de informacion, computacion, cibernetica y

economa. Se ha dado solucion al problema del de-monio en 3 ocasiones, las primeras 2 fueron relati-vamente parecidas, mientras que la ultima (y masaceptada) introdujo conceptos totalmente distin-tos.

II. Sobre el Demonio de Maxwell

El demonio aparecio por primera vez en 1871, enel libro Theory of Heat, de J.C.Maxwell, bajola seccion Limitacion de la Segunda Ley de la

Termodinamica , como un experimento pensadopara ilustrar las limitaciones de la segunda ley,enfatizando que es un principio estadstico, que secumple casi siempre en un sistema compuesto demuchas particulas. El experimento concebido porMaxwell se puede resumir asi:

Supongamos que tenemos un recipiente con mu-chas moleculas, a distintas velocidades, moviendo-se en todas direcciones. Ahora supongamos que di-vidimos el recipiente mediante una pared delgadaque tiene un pequeno agujero en su interior y que

hay un ser, diminuto, que abre y cierra el agujero,dejando pasar las moleculas mas rapidas hacia unlado y las mas lentas hacia el otro. Haciendo soloesto, el lograra elevar la temperatura de un ladoy bajar la del otro, sin efectuar trabajo, violandoas la segunda ley de la termodinamica.

El nombre de Demonio de Maxwell fue puestopor William Thomson en 1874 [2] en su artculoKinetic Theory of the Dissipation of Energy.

Cuando Maxwell le dio vida a su demonio nofue muy especfico sobre como este deba operar

ni cuales debian ser sus objeticos especficos, deaqu que salieran 2 tipos de demonios y variosmetodos mediante los cuales poda detectar a lasmoleculas que deba dejar o no pasar.

El demonio original es un demonio de tempe-ratura, que actua en un sistema aislado termica-mente y que crea una diferencia de temperaturassin efectuar trabajo. Otro tipo de demonio es el depresion, que es mas simple y que solo deja pasarhacia un lado u otro a las partculas que van enuna u otra direccion, respectivamente; es decir, no

es nada mas que una valvula.Sobre los metodos de deteccion que tendra un

demonio, se han ideado varios, desde el uso desenales de luz, momentos magneticos, efecto Dop-pler y metodos mecanicos. Algo a tener en cuentaes que el uso de seales de luz es restrictivo, porrazones que se explicaran mas adelante.

Como el demonio no debe aumentar la entropadel sistema, lo que realmente importa es pregun-tarse si es que las mediciones deben ser necesaria-

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mente irreversibles.Un demonio de temperatura debe ser capaz

de detectar velocidades individuales dentro de ungas, y hasta el momento no se conoce ningun dis-positivo que sea capaz de lograr esto con un gastomnimo de trabajo y con un mnimo de disipacion.

Como ya se dijo, para que un demonio opereexitosamente, no debe aumentar la entropa delsistema (no se debe producir un proceso irreversi-ble). Debido a esto el demonio debe estar en equi-librio termico con el gas en el que esta inserto.

Si un demonio usa senales de luz como meto-do para recibir la informacion de las moleculas,empieza a recibir energa y eleva su temperatura,teniendo que transferir el calor a alguna otra parte(un reservorio, el exterior, etc.). De todas formasasumir que el demonio elimina el exceso de energa

a un reservorio va en contra de la hipotesis de unsistema aislado y en todo caso, esto no violara lasegunda ley.

Smoluchowski fue el primero en hacer notar estehecho, pero dejo la puerta abierta a la posibilidadde que tal vez ser inteligente fuera capaz de operaruna maquina de movimiento perpetuo evitandoestas fluctuaciones.

III. El demonio y la primera y segunda

ley

Veamos que pasa con las primeras 2 leyes dela Termodinamica cuando opera un demonio detemperatura.

La segunda ley exige que la entropa del de-monio se incremente en una cantidad mayor oigual a la disminucion en la entropa del gas.La primera ley implica que las energas deldemonio y del gas no deben cambiar (sistemaaislado)

Por lo tanto, el demonio debe aumentar su en-tropa manteniendo la energa fija. Pero si el demo-nio continua aumentando su entropa infinitamen-te, va a llegar un momento en que va a ser incapazde llevar a cabo sus tareas (sa va a volver muy de-sordenado). Una solucion a esto es resetearlo,volverlo a su estado inicial. Esto por 2 razones:la mencionada anteriormente, y para hacer masfacil el analisis, concentrandose en el gas y no enel demonio (obviamente, este reseteo del demoniodebe hacerse sin afectar al gas). Necesitamos en-tonces un reservorio de calor para que el demonio

bote su exceso de entropa y necesitamos tambienuna fuente de trabajo, que le entregue energa aldemonio a entropa constante. Resumiendo, las 2primeras leyes de la termodinamica aseguran que:

1. La entropa del demonio se incrementacuando disminuye la entropa del gas.

2. No puede ser reseteado sin intercambiarenerga con fuentes externas.3. El reseteo lleva a un intercambio de energa

entre una fuente de energa a un reservorio(fuente de energia demonio reservorio)

Veamos ahora a un demomio de presion, queopera en un proceso cclico, con un gas ideal en unrecipiente a temperatura constante (usando un re-servorio termico), dividido en 2 partes en el centropor una pared movible. Definimos el proceso:

1. Inicialmente el gas esta en equilibrio, luego

el demonio disminuye la entropa del gas atemperatura y energa fija, produciendo ungradiente de presion y densidad.

2. El gas vuelve al equilibrio, haciendo trabajo(isotermico y reversible) sobre una carga me-diante la pared movil. La pared se saca y sevuelve a dejar en el centro.

3. Se resetea al demonio.Durante el proceso la carga gana energa, la pri-

mera ley dice que esa energa tiene que venir de al-guna parte. Del reservorio no podra venir porque

si asi fuera, la entropa del universo disminuiracada vez que se hace el proceso, violando la segun-da ley. En (3) se requiere una fuente de trabajo,que es la que le proporciona energa a la carga.En (1), la entropa del demonio se incrementa de-bido a la disminucion en la entropa del gas. En(2) el gas hace trabajo sobre la carga, inducien-do un flujo de calor Q = Wdesde el reservorio algas; el trabajo hecho sobre la carga es compen-sado por la disminucion en la energa y entropadel reservorio. Aqu el incremento en la entropa

del demonio compensa la disminucion en la en-tropa del reservorio, manteniendo la segunda ley.Cuando el demonio se resetea en (3), intercambiaenerga con la fuente de trabajo (que hace trabajoE sobre el demonio) y con el reservorio (donde eldemonio bota calor).

IV. El clasico de Szilard

En 1929 Leo Szilard [3] publico un artculo lla-mado On the decrease of entropy in a thermo-

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dinamic system by the intervention of intelligent

beingsdonde desarrolla la tesis de un perpetuummobile (maquina de movimiento perpetuo) delsegundo tipo (que usa calor a la mas baja tempe-ratura). El modelo propuesto por Szilard consisteen un volumen V donde hay solo una partcula.

Luego, se divide el volumen V en 2 subvolume-nes iguales V1 y V2. En este momento intervie-ne el ser inteligente, ya que el determina dondeesta la partcula, si a la derecha (V1) o a la iz-quierda (V2) y graba ese resultado. Supongamosque la partcula esta en la particion de la dere-cha. Como se sabe donde esta la partcula, se usaesta informacion para cambiar la division por unpiston y dejar que el gas haga un trabajo W sobrela carga del piston, restaurando el volumen ini-cal V. El trabajo necesario para mover el piston

es entregado por un reservorio en forma de ca-lor a la molecula de gas, Q= W. Si nos damoscuenta, despues de que termina el proceso, apa-rentemente se ha violado la segunda ley, ya queel reservorio entrego calor, disminuyendo su en-tropa. Luego Szilard asume que a una medicionesta asociada una cierta produccion promedio deentropa, que restaura la entropa disminuida porel demonio, salvando la segunda ley. Luego iden-tifica y demuestra que esta cantidad fundamentalesk ln 2. La principal crtica a la hipotesis de Szi-

lard, es la que dice que la entropa es una cantidadmedible que no depende del conocimiento o des-conocimiento que tenga el observador del sistema.De todas formas, el trabajo de Szilard fue pioneroen temas como teoria de informacion, ciberneticay computacion.

V. Solucion por Brillouin

En 1940 se saba que se necesitaba una lampa-ra de alta temperatura para que el demonio pu-diera distinguir las senales de luz de las senalesproducidas por la radiacion de cuerpo negro. En1951 Leon Brillouin [4], asumiendo lo ultimo, yusando la naturaleza cuantica de la radiacion, de-mostro explicitamente que la entropa que ganael demonio era suficiente para salvar a la segun-da ley. En 1949 Shannon introdujo una funcionllamada Entropa de Informacion; Brillouin rela-ciono este concepto con la entropa termodinami-ca. Veamos en que consiste esto: Digamos que P0es el numero total de estados posibles de un siste-

ma y que no sabemos en que estado se encuentrael sistema actualmente. Entonces la informacionque tenemos es I0= 0. Si ahora efectuamos medi-ciones y reducimos el numero de estados posiblesa P1, la informacion que tenemos ahora se defi-ne como I1 K ln(P0/P1), con K una constan-

te positiva. Si P1> P0, I1< 0, estamos diciendoque se pierde informacion. Despues, en su librode 1956, Science and Information Theory [5], vamas alla en su teora, y distingue 2 tipos de in-formacion: informacion libre (free information) Ifque es la que no tiene importancia termodinami-ca, como por ejemplo, el conocimiento que puedetener una persona. Por otro lado, esta la boundinformation,Ibdefinida en funcion de los estadosposibles de un sistema. El conocimiento de la per-sona se puede convertir en bound information

cuando se transmite a traves de alguna senal fisi-ca. Luego, relaciono cambios en la informacion Ibcon cambios en la entropa de la siguiente manera:

Ib1 Ib0 k(ln P0 ln P1) =S0 S1> 0

Como podemos ver, esto dice que si ganamos in-formacion sobre un sistema termodinamico, hace-mos disminuir la entropa. Luego Brillouin definiola negentropa N -(entropa), por lo que

N= S. Luego relaciono estos resultados conun sistema aislado, con una entropa S1= S0Ib1,como arriba, por lo que tenemos

S1= S0 Ib1= N0 Ib1 0

o mas claramente

(N0+ Ib1) 0

es decir, la cantidad negentropa mas informa-cion no se incrementa y en un proceso reversiblees fija. Esto ultimo es una nueva interpretacionde la segunda ley de la termodinamica. Con estosreultados Brillouin exorciso al demonio. Al igualque con el trabajo de Szilard, hubo variadas reac-ciones: esta reinterpretacion de la segunda ley fueaceptada por algunos y rechazada por otros, laprincipal crtica fue que la entropa no es subjeti-va, no depende del observador.

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VI. Bennett, Landauer, y el Demonio

En 1961 Landauer dio a conocer un artculo [6]donde desarrolla lo que hoy se conoce como elPrincipio de Landauer, que dice basicamente quecuando se borra un bit de informacion, se aumen-ta la entropa del ambiente en por lo menos k ln2.

Si recordamos el modelo de Szilard, lo que sal-vaba a la segunda ley era que la disminuci on dela entropa del reservorio era compensada por elaumento de la entropa debido a las medicioneshechas por el demonio; en un artculo publicadoen 1973 Charles Bennett argumento que las medi-ciones no aumentan la entropa ya que pueden serhechas de tal forma que la dispacion de calor seaarbitrariamente pequena. Quiere decir esto quela segunda ley se rompe en el modelo de Szilard ?No, porque recordemos que era deseable borrar la

memoria del demonio y este acto es el que salvala segunda ley, ya que segun el Principio de Lan-dauer, cuando se borra la memoria del demoniose aumenta la entropa del reservorio. Bennett en1982 demostro que las 2 cantidades se compensa-ban, por lo que la segunda ley permanece incolu-me. Para terminar, el Principio de Landauer hasido demostrado por otros autores (Shizume [7] yPiechocinska [8]), clasica y cuanticamente y esasdemostraciones sugieren que su validez es univer-sal, cosa que no es cierta bajo ciertas condiciones

extremas en el dominio cuantico.

VII. Cuando la Segunda Ley se rompe

Como mencionamos arriba, el principio de Lan-dauer y la segunda ley pueden romperse en do-minios cuanticos debido a un quantum entan-glement entre el sistema y el reservorio. Expli-car detalladamente en que consiste este fenome-no escapa totalmente a los propositos de este en-sayo, pero se puede dar una idea general de loque significa. Quantum Entanglement se pue-de traducir como enredo cuantico y es lo queocurre cuando no se puede analizar por separa-do al sistema y al reservorio, es decir, pasan aformar un solo sistema. Aca ocurren cosas como:energa(sistema + reservorio) = energa(sistema)+ energa(reservorio). Allahverdyan y Nieuwen-huizen muestran que a temperaturas suficiente-mente bajas, el sistema tiene dQ >0 y dS