UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

DECANA DE AMERICA, Universidad del Per

Correlacin y Demostracin de las Propiedades de Convolucion

Curso: Introduccin a las Telecomunicaciones

PROFESOR: VILLANUEVA NAPRI, JESS OTTO

Estudiantes: Chafloque Mejia, Joseph Daniel

Cdigo: 11190182

Ciclo: 2013-II

E.A.P: Ing. De Telecomunicaciones

Pgina 1

DEMOSTACION DE LAS PROPIEDADES DE CONVOLUCION

Se presentara la demostracin de las cuatro propiedades pedidas en clase:

1. () () = () () = ()

Demostracin:

Aplicando la propiedad de la transformada de Fourier de una convolucion:

() () = ()

[() ()] = ()() = () = [()]

Se tiene que:

() () = ()

Demostrando de izquierda a derecha:

[() ()] = [()]. [()]

Ahora aplicando la propiedad de la transformada de Fourier de una derivada:

[()] = ()

Por lo tanto:

[()]. [()] = ()() = ()() ()

Sabiendo que:

[() ()] = ()() = () . ()

Y que, por la propiedad de la transformada de Fourier de una derivada:

() =[()]

De ():

() =[()]

= ()()

[()] = ()()

Por lo tanto en ():

[() ()] = ()() = () = [()]

[() ()] = [()]

() () = ()

Pgina 2

Aplicando el mismo procedimiento a la segunda igualdad se llegara a lo mismo, ya que al

pasar a transformada de Fourier queda en producto, y el factor aparecer quedando la misma

ecuacin de (), por lo tanto tambin se llega a la conclusin que:

() () = ()

2. () () = ()

Demostracin:

Aplicando la propiedad de la transformada de Fourier de una convolucion:

() () = ()

[() ()] = ()() = () = [()]

Se tiene que:

() () = ()

Demostrando de izquierda a derecha:

[() ()] = [()]. [()]

Ahora aplicando la propiedad de la transformada de Fourier de una derivada:

[()] = ()

[()] = ()

Por lo tanto:

[()]. [()] = ()() = ()2()() ()

Sabiendo que:

[() ()] = ()() = () . ()

Y que, por la propiedad de la transformada de Fourier de una derivada:

() =[()]

()2

De ():

() =[()]

()2= ()()

[()] = ()2()()

Por lo tanto en ():

[() ()] = ()2()() = [()]

Pgina 3

[() ()] = [()]

() () = ()

3. () () = +()

Demostracin:

Aplicando la propiedad de la transformada de Fourier de una convolucion:

() () = ()

[() ()] = ()() = () = [()]

Se tiene que:

() () = +()

Demostrando de izquierda a derecha:

[() ()] = [()]. [()]

Ahora aplicando la propiedad de la transformada de Fourier de una derivada:

[()] = ()()

[()] = ()()

Por lo tanto:

[()]. [()] = ()(). ()() = ()+()() ()

Sabiendo que:

[() ()] = ()() = () . ()

Y que, por la propiedad de la transformada de Fourier de una derivada:

() =[+()]

()+

De ():

() =[+()]

()+= ()()

[()] = ()+()()

Por lo tanto en ():

[() ()] = ()+()() = [+()]

[() ()] = [+()]

Pgina 4

() () = +()

4. () () = |

| ()

Demostracin:

Aplicando la propiedad de la transformada de Fourier de una convolucion:

() () = ()

[() ()] = ()() = () = [()]

Se tiene que:

() () = |1

| ()

Demostrando de izquierda a derecha:

[() ()] = [()]. [()]

Ahora aplicando la propiedad de la transformada de Fourier de cambio de escala:

[()] =1

|| (

)

[()] =1

|| (

)

Por lo tanto:

[()]. [()] = [1

|| (

)] . [

1

|| (

)] = (

1

||)

2

(

) (

) ()

Sabiendo que:

[() ()] = ()() = ()

Si a la igualdad se divide por un escalar a la variable w no se altera la igualdad, por estar en

producto, por eso dividimos entre :

(

) (

) = (

) . ()

Y que, por la propiedad de la transformada de Fourier de cambio de escala:

(

) =

[()]

1||

Pgina 5

De ():

(

) =

[()]

1||

= (

) (

)

[()] =1

||(

)(

)

Por lo tanto en ():

[() ()] = [1

|| (

)] . [

1

|| (

)] =

1

||[

1

|| (

) (

)]

[() ()] =1

||[()]

Siendo 1

|| una constante, sale de la transformada de Fourier y podemos aplicar revertir la

transformada, quedando:

() () =1

||()

() () = |1

| ()

CORRELACION Y AUTOCORRELACION

CORRELACIN CRUZADA:

Es una operacin similar a la convolucin, con la diferencia de que en la correlacin no hay

que reflejar una de las seales:

[] = []

+

=

[ + ]

Esta expresin nos indica que la relacin que existe entre la convolucin y la correlacin.

[] = [] []

La correlacin nos da una medida de la similitud entre dos seales. No existe la propiedad

conmutativa por lo que dadas dos seales x(t) e y(t) se definen dos correlaciones, pero se puede

encontrar la siguiente igualdad:

[] = []

Pgina 6

AUTOCORRELACION

En el procesamiento de seales, dada una seal temporal , la autocorrelacin continua

es la correlacin continua cruzada de consigo mismo tras un desfase , y se define como:

Donde representa el conjugado complejo y el crculo representa una convolucin. Para una funcin

real, .

Formalmente, la autocorrelacin discreta con un desfase para una seal es

Donde m es el valor esperado de .

Frecuentemente las autocorrelaciones se calculan para seales centradas alrededor del

cero, es decir con un valor principal de cero. En ese caso la definicin de la autocorrelacin viene

dada por:

Uso y utilidad de la auto correlacin en seales

La autocorrelacin es el proceso de correlacin de una seal, o de una onda electrnica, con

su propia forma modificada. Se trata de adaptar la seal con una copia de la misma, que se extiende

o se retrasa con respecto a su tiempo de viaje en el medio. Se trata de una operacin matemtica

que se aplica por lo general en el dominio de las estadsticas para encontrar elementos comunes

entre dos cantidades variables. La auto correlacin es ampliamente utilizada en aplicaciones de

procesamiento de seales de dispositivos electrnicos diversos, pero algunas de sus principales

aplicaciones incluyen la eliminacin del ruido y de la redundancia en seales electrnicas, el anlisis

de onda de luz u ptica y la deteccin del tono de la seal.

La eliminacin del ruido

La eliminacin del ruido es la aplicacin ms comn de la autocorrelacin de la seal, y puede

ser realizado a travs de mtodos de hardware (circuito) y de software (algoritmo). El ruido es

cualquier energa no deseada que se origina dentro de las seales electrnicas como fluctuaciones

bruscas que crean efectos de distorsin. Es una de las principales fuentes de prdida de datos dentro

de las redes de comunicacin inalmbricas y por cable. Por esta razn, los dispositivos de

comunicacin esenciales tales como interruptores y enrutadores avanzados estn diseados para

autocorrelacionar seales electrnicas recibidas con el fin de reducir el nivel de ruido dentro de sus

estructuras.

Medicin del pulso ptico

La medicin del pulso ptico es una aplicacin importante de la autocorrelacin de la seal. Se

trata de la correlacin de las seales pticas por su coherencia y armona. En trminos ms

especficos, la aplicacin de medicin de impulsos de dicha seal mide la longitud de onda de las

seales pticas, o la longitud, relacionando unas con otras en un solo medio o superficie. La

medicin del pulso ptico se utiliza sobre todo para identificar porciones de onda de luz que son

Pgina 7

visibles o invisibles a los ojos humanos. La visibilidad de las ondas de luz depende totalmente de la

longitud de onda.

Deteccin del tono

El tono electrnico de una seal es su conjunto de frecuencias fundamentales. Es una fuente

principal de preocupacin en los sistemas de procesamiento de seales de audio, que se basan en la

identificacin de una seal de acuerdo con su tono distinto. Los sistemas de audio contienen equipos

autocorrelacionados de seal integrada para diferenciar entre seales de voz mixtas. Sus

capacidades de autocorrelacin tambin se pueden usar para mezclar las seales de voz con seales

de msica electrnica, una caracterstica que se encuentra en el corazn de la industria mundial de

la msica.

Deteccin de periodicidad

La autocorrelacin es ampliamente utilizada en la determinacin de la redundancia, o

periodicidad, en seales electrnicas. Este aspecto es similar a la funcin de autocorrelacin de la

seal original, debido a que su funcionamiento bsico es para determinar el patrn original dentro

de seales electrnicas, que estn sujetas a la repeticin y la fluctuacin debido al mal

funcionamiento de los dispositivos. En este sentido, esta detecta los patrones de seales originales y

separa las seales redundantes y los bits de error de la seal original.