propiedades previas teorema de las dimensiones

Teorema de las dimensiones

GAL 1

IMERL

13 de junio de 2013

propiedades previas teorema de las dimensiones

recordemos

núcleo

núcleoV ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.núcleo de T :

ker(T ) = {v ∈ V : T (v) = ~0} ⊂s.e.v.V

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recordemos

imagen

imagenV ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.imagen de T :

T (V ) = {T (v) ∈W : v ∈ V} ⊂s.e.v.W

propiedades previas teorema de las dimensiones

propiedad 1

propiedad 1

propiedad 1V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.{v1, . . . , vn} generador de V⇒ {T (v1), . . . ,T (vn)} generador de T (V )

propiedades previas teorema de las dimensiones

propiedad 1

demostración

demostración{v1, . . . , vn} generador de V⇒ todo vector v ∈ V se escribe como:

v = α1v1 + · · ·+ αnvn

aplico T y uso linealidad:

T (v) = α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn)

eso describe todos los vectores de T (V )

⇒ {T (v1), . . . ,T (vn)} generador de T (V )

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propiedad 1

propiedad 2

propiedad 2V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.{T (v1), . . . ,T (vn)} l.i. en T (V )

⇒ {v1, . . . , vn} l.i. en V

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propiedad 1

demostración

demostraciónsupongamos que {T (v1), . . . ,T (vn)} l.i. en T (V )

planteemos la ecuación de dependencia lineal dev1, . . . , vn:

α1v1 + · · ·+ αnvn = ~0

aplico T y linealidad:

αT (v1) + · · ·+ αnT (vn) = ~0

⇒ α1 = · · · = αn = 0 (xq T (vi) son l.i)⇒ v1, . . . , vn son l.i.

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propiedad 1

propiedad 3

propiedad 3V ,W e.v. sobre KT : V →W t.l.{e1, . . . ,ed} base de ker(T )

{e1, . . . ,ed ,ed+1, . . . ,en} base de V⇒

{T (ed+1), . . . ,T (en)} base de T (V )

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propiedad 1

demostración

demostraciónpara ver que {T (ed+1), . . . ,T (en)} es base de T (V )

veamos que es l.i.planteamos la ecuación de dependencia lineal:

αd+1T (ed+1) + · · ·+ αnT (en) = ~0

por linealidad:

T (αd+1ed+1 + · · ·+ αnen) = ~0

αd+1ed+1 + · · ·+ αnen ∈ ker(T )

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propiedad 1

demostración

demostraciónentonces se puede escribir como c.l. de la base de ker(T ):

αd+1ed+1 + · · ·+ αnen = α1e1 + . . . αded

⇒

α1e1 + · · ·+ αded − αd+1ed+1 − · · · − αnen = ~0

como e1, . . . ,en base de ker(T ) es l.i.⇒ α1 = · · · = αn = 0⇒ T (ed+1), . . . ,T (en) son l.i.

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propiedad 1

demostración

demostraciónveamos que T (ed+1), . . . ,T (en) generan T (V )

tomemos cualquier T (v) ∈ T (V )⇒ v ∈ V⇒ v = α1e1 + · · ·+ αnen

aplico T y linealidad:

T (v) = αT (e1)+· · ·+αdT (ed)+αd+1T (ed+1)+· · ·+αnT (en)

e1, . . . ,ed ∈ ker(T )⇒ T (e1) = · · · = T (ed) = ~0

T (v) = αd+1T (ed+1) + · · ·+ αnT (en)

son generador de T (V )

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teorema de las dimensiones

teorema de las dimensiones

teorema de las dimensionesV ,W e.v. sobre K, dim(V ) = nT : V →W t.l.⇒

dim(V ) = dim(ker(T )) + dim(T (V ))

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demostración

demostración - caso 1si dim(ker(T )) = nentonces ker(T ) = V (por clases anteriores)

⇒ T (v) = ~0 para todo v ∈ V⇒ dim T (V ) = 0⇒ dim(V ) = dim(ker(T )) + dim(T (V ))

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demostración

demostración -caso 2si dim(ker(T )) = 0

entonces ker(T ) = {~0}consideremos una base {v1, . . . , vn} de Vveremos que {T (v1), . . . ,T (vn)} base de Ves generador por la propiedad 1

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teorema de las dimensiones

demostración

demostración - caso 2veamos que T (v1), . . . ,T (vn) es l.i.planteamos ecuación de dependencia lineal:

α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn) = ~0

por linealidad:

T (α1v1 + · · ·+ αn) = ~0

⇒ α1v1 + · · ·+ αnvn ∈ ker(T )

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demostración

demostración - caso 2

como ker(T ) = {~0} en este caso:

α1v1 + · · ·+ αnvn = ~0⇒ α1 = · · · = αn = 0porque v1, . . . , vn son l.i.⇒ T (v1), . . . ,T (vn) son l.i.⇒ son base y

dim(V ) = dim(ker(T )) + dim(T (V ))

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demostración

demostración - caso 3si 0 < dim ker(T ) < n{e1, . . . ,ed} base de ker(T )

{e1, . . . ,ed ,ed+1, . . . ,en} base de Vpor proposición anterior{T (ed+1), . . . ,T (en)} base de T (V )

como n = d + (n − d)

dim(V ) = dim(ker(T )) + dim(T (V ))