Demostraciones finanzas 1

Demostraciones del valor presente de flujosperpetuos y flujos de anualidades

Jorge [email protected]*

30 de abril de 2015

1. Introduccin

En el siguiente artculo pretendo demostrar matemticamente como ob-tener las 4 frmulas que se utilizan para el clculo del valor presente de flujosde efectivo. Espero que el lector ya comprenda por qu solo se necesitan 4frmulas para calcular el valor de los flujos, no es necesario saber todas lasfrmulas que ensean los profesores en clases. Toda el rea conceptual deeste artculo la pueden encontrar en [1], las bases para este artculo estnah.Las frmulas a demostrar son:

1. Flujos perpetuos en el tiempo.

a) No crecientes en el tiempo.

b) Crecientes en el tiempo.

2. Flujos de anualidades.



*Cualquier comentario y/o sugerencia enviar a [email protected]

1

2 PERPETUIDADES

Recordemos la frmula que denominaremos como: El origen del todoes la siguiente:

V P =c1

(1 + r)+

c2(1 + r)2

+cn

(1 + r)n

Adems debemos recordar que para nuestro caso de flujos perpetuos y deanualidades los pagos son iguales por lo que:

c1 = c2 = cn

V P =c

(1 + r)+

c

(1 + r)2+

c

(1 + r)n

2. Perpetuidades

2.1. Flujos perpetuos en el tiempo, no crecientes.

Los flujos perpetuos en el tiempo, son corrientes de efectivo que no tie-nen un fin, osea llegan hasta el infinito. Comenzamos nuestra demostracintomando la frmula que denominamos como: El origen del todo.

V P =c

(1 + r)+

c

(1 + r)2+

c

(1 + r)n(1)

Multiplicamos por:1

(1 + r)(2)

Y obtendremos:

V P

(1 + r)=

c

(1 + r)2+

c

(1 + r)3+

c

(1 + r)n+1(3)

Luego restando la ecuacin 3 de la ecuacin 2, obtenemos:

V P V P(1 + r)

=c

(1 + r)(4)

A continuacin, lo nico que hay que hacer es despejar V P y por medio delgebra llegaremos al resultado:

V P V P(1 + r)

=c

(1 + r)

V P (1 1(1 + r)

) =c

(1 + r)

V P =

c(1+r)

(1 1(1+r))

Jorge Contreras 2 [email protected]

2.2 Flujos perpetuos en el tiempo, crecientes. 2 PERPETUIDADES

V P =

c(1+r)

( (1+r)(1+r) 1(1+r))

V P =

c(1+r)

r(1+r)

V P =c

(1 + r)

(1 + r)

r

V P =c

r(5)

Podemos ver como hemos llegado a la ecuacin (5), la cual corresponde a lafrmula que permite calcular el valor presente de una perpetuidad con pagosiguales en el tiempo.

2.2. Flujos perpetuos en el tiempo, crecientes.

Los flujos perpetuos en el tiempo que crecen a una tasa g%, son corrientesde efectivo que no tienen un fin y que adems crecen a medida que pasa eltiempo. Nuevamente comenzaremos nuestra demostracin con la frmula quedenominamos: El origen del todo.

V P =c

(1 + r)+

c

(1 + r)2+

c

(1 + r)n

Ahora debemos suponer que nuestros pagos c crece a una tasa constante del(1+g%), por lo tanto tenemos:

V P =c

(1 + r)+c(1 + g)

(1 + r)2+c(1 + g)n1

(1 + r)n(6)

Utilizando el mismo procedimiento que realizamos anteriormente, pero estavez multiplicamos por:

(1 + g)

(1 + r)(7)

Tenemos que:

V P (1 + g)

(1 + r)=

c(1 + g)

(1 + r)2+c(1 + g)2

(1 + r)3+

c(1 + g)n

(1 + r)n+1(8)

Restamos la ecuacin (8) de la (6):

V P V P (1 + g)(1 + r)

=c

(1 + r)(9)

Solo falta despejar V P :

V P (1 (1 + g)(1 + r)

) =c

(1 + r)


3 ANUALIDADES

V P =

c(1+r)

(1 (1+g)(1+r) )

V P =

c(1+r)

( (1+r)(1+r) (1+g)(1+r) )

V P =

c(1+r)

(rg)(1+r)

V P =

(c

(1 + r)

)((1 + r)

(r g))

V P =c

(r g) (10)

3. Anualidades

Definimos a las anualidades como flujos constantes que duran un nme-ro fijo de periodos. Para demostrar este tipo de flujos podra comenzar lasdemostraciones desde la frmula que denominamos: El origen del todo,pero sera una demostracin demasiado larga. Dado esto realizar un pro-cedimiento que se fundamenta con lgica ms que matemtica. Nosotros yademostramos las frmulas para el valor presente de los dos tipos de perpe-tuidades existentes, por lo tanto utilizar estas mismas demostraciones parallegar a las frmulas de anualidades.

3.1. Anualidades no crecientes en el tiempo.

Supongamos que actualmente me encuentro en un periodo 0, y quierocalcular el valor presente de una perpetuidad que comienza a realizar pagosa fin del periodo 0 o al comienzo del periodo 1 (es lo mismo). La frmulaque utilizaramos para traer los infinitos pagos al valor presente del periodo0 sera nuestra ecuacin nmero (5):

V P =c

r

Ahora supongamos que me encuentro en un periodo n, el cual es mayor que elperiodo 0. En este periodo n yo comienzo a recibir lo que nosotros conocemoscomo una corriente de flujos de perpetuos, donde el primer pago ser en elperiodo n+1 (recuerda que ahora ests en el periodo n, no en el periodo 0).La diferencia, entre el valor presente de la perpetuidad al periodo 0 y el valorpresente de la perpetuidad al periodo n trada al valor presente del periodo 0,es lo mismo que el valor presente de una anualidad que paga flujos constantes


3.1 Anualidades no crecientes en el tiempo. 3 ANUALIDADES

desde el periodo1 1 hasta el periodo n. En figura 1 se explica un poco msclaro que es lo que trato de hacer. La idea es traer el valor de todos los flujosel periodo 0 y luego restar el flujo ms pequeo del flujo ms grande. Para

Figura 1: Diagrama del valor presente en el tiempo.

demostrar los anterior, solo debemos restar de nuestra ecuacin (5) el valorpresente de una perpetuidad que actualmente tiene su valor presente en elperiodo n. Esta ltima perpetuidad (la que esta en el periodo n) puede sertrada al periodo 0 y tendra un valor presente de la siguiente forma:

V P =cr

(1 + r)n(11)

Luego, restamos de la ecuacin (5) la ecuacin (11) y nos queda:

V P =c

r( c

r

(1 + r)n

)V P =

c

r c

(1 + r)n

V P =c

r

(1 1

(1 + r)n

)(12)

Podemos ver en nuestra ecuacin nmero (12), la frmula del valor presentede una anualidad.

1No olvidemos que esta anualidad pagar flujos constantes desde el periodo 1, pero suvalor presente es para el periodo 0.


3.2 Anualidades crecientes en el tiempo. 3 ANUALIDADES

3.2. Anualidades crecientes en el tiempo.

Para la siguiente demostracin tomaremos un flujo que crece desde elperiodo 0:

V P =c(1 + g)

(1 + r)+c(1 + g)2

(1 + r)2+c(1 + g)n

(1 + r)n(13)

Luego multiplicamos este flujo por:

(1 + g)

(1 + r)(14)

Dejando nuestra ecuacin de la siguiente forma:

V P (1 + g)

(1 + r)=

c(1 + g)2

(1 + r)2+c(1 + g)3

(1 + r)3+c(1 + g)n+1

(1 + r)n+1(15)

Luego restando de la ecuacin (13) la (14) tenemos:

V P V P (1 + g)(1 + r)

=c(1 + g)

(1 + r) c(1 + g)

n+1

(1 + r)n+1

V P

(1 (1 + g)

(1 + r)

)=

c(1 + g)

(1 + r) c(1 + g)

n+1

(1 + r)n+1

Multiplicamos toda la expresin por (1 + r):

V P (1 + r 1 g) = c(1 + g) c(1 + g)n+1

(1 + r)n

V P (r g) = c(1 + g)(1 (1 + g)

n

(1 + r)n

)V P =

c(1 + g)

(r g)(1 (1 + g)

n

(1 + r)n

)(16)

As nuestra ecuacin nmero (16) representa la frmula del valor presentede una anualidad creciente en el tiempo.


4 RESUMEN DE FRMULAS

4. Resumen de frmulas

Al comienzo de este artculo dije que mi intensin era demostrar mate-mticamente las 4 frmulas necesarias para poder traspasar a valor presenteflujos de efectivo. En definitiva las frmulas son:

1. Flujos de perpetuos en el tiempo.


V P =c

r


V P =c

(r g)

2. Flujo de anualidades.


V P =c

r

(1 1

(1 + r)n

)b) Crecientes en el tiempo.

V P =c(1 + g)

(r g)(1 (1 + g)

n

(1 + r)n

)No es necesario conocer las frmulas del valor futuro, dado que solo bastacon multiplicar cada una de estas ecuaciones por (1 + r)n para enviar cadauno de estos valores al periodo n.


REFERENCIAS REFERENCIAS

Referencias

[1] Stephen A. Ross, Randolph W. Westerfield y Jeffrey F. Jaf-fe, Finanzas Corporativas, octava edicin, pgs. 83-120.


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