Caso ContinuoFuncin de Densidad AcumuladaLa funcin de probabilidad acumulada o funcin de distribucin de una variable aleatoriasobre, denotada por, es definida por la relacin

Ejemplopara el ejemplo tratado anteriormente la funcin de distribucin es determinada como sigue:1. Divida el rango de la variable en subintervalos:,y. esta divisin es realizada de acuerdo a la particin de la recta real dada en la funcin de probabilidad. cambie la notacin deporpara evitar confuciones.2. Calcule la funcin de probabilidad acumulada para un un valorque se encuentre en el intervalo como la suma de las probabilidades de los valores de la variable menores a.

ya que segn la definicin de la funcin de probabilidadcuando

Luego la funcin distribucin acumuladade la variable aleatoria continuaes dada por

y el grficoes dado

Figura 2. Grfico de funcin de probabilidad acumuladaSea el evento A=entonces la probabilidad de A puede ser calculada como

TeoremaSeauna funcin de distribucin. Entoncespara todo

as F es no decreciente

lmpara todoF es continua a la derecha

lmy lm

EjemploSeauna variable aleatoria con funcin de distribucin acumulada dada por (Figura 3)

Figura 3. Grfico de funcin de probabilidadDiferenciandocon respecto ase tiene

La funcinno es continua en, o en

Funcin de densidad continua

La funcin que caracteriza las variables continuas es aquella funcinfpositiva e integrable en los reales, tal que acumulada desde hasta un puntox,nos proporciona el valor de la funcin de distribucin enx, F(x).Recibe el nombre defuncin de densidadde la variable aleatoria continua.

Las funciones de densidad discreta y continua tienen, por tanto, un significado anlogo, ambas son las funciones que acumuladas (en forma de sumatorio en el caso discreto o en forma de integral en el caso continuo) dan como resultado la funcin de distribucin.La diferencia entre ambas, sin embargo, es notable. La funcin de densidad discreta toma valores positivos nicamente en los puntos del recorrido y se interpreta como la probabilidad de la que la variable tome ese valorf(x) =P(X=x). La funcin de densidad continua toma valores enel conjunto de nmeros reales yno se interpreta como una probabilidad. No est acotada por 1, puede tomar cualquier valor positivo. Es ms, en una variable continua se cumple queprobabilidades definidas sobre puntos concretos siempre son nulas.P(X=x) = 0 para todoxreal.Cmo se interpreta, entonces, la funcin de densidad continua?Las probabilidades son las reas bajo la funcin de densidad.El rea bajo la funcin de densidad entre dos puntos a y b se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores comprendidos entreayb.Por tanto, siempre se cumple lo siguiente:

La funcin de densidad se expresa a travs de una funcin matemtica.La forma especfica de la funcin matemtica generalmente pasa por considerar a la variable aleatoria como miembro de una determinada familia de distribuciones, un determinado modelo de probabilidad. Estas familias generalmente dependen de uno o ms parmetros y sern objeto de un estudio especfico en un captulo posterior. La atribucin a una determinada familia depende de la naturaleza de la variable en cuestin.

Funcin de densidad de probabilidad

Diagrama de Cajay funcin de densidad de probabilidad de unadistribucin normalN(0,2).En lateora de la probabilidad, lafuncin de densidad de probabilidad,funcin de densidad, o, simplemente,densidadde unavariable aleatoriacontinuadescribe la probabilidad relativa segn la cual dichavariable aleatoriatomar determinado valor.La probabilidad de que lavariable aleatoriacaigaen una regin especfica del espacio de posibilidades estar dada por laintegralde la densidad de esta variable entre uno y otro lmite de dicha regin.La funcin de densidad de probabilidad (FDPo PDF en ingls) es no-negativa a lo largo de todo su dominio y suintegralsobre todo el espacio es de valor unitario.Definicin[editar]Una funcin de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una poblacin en tanto especifica la posibilidad relativa de que unavariable aleatoriacontinuaXtome un valor cercano a x.Unavariable aleatoriaXtiene densidadf, siendofuna funcin no-negativaintegrable de Lebesgue, si:

Por lo tanto, siFes lafuncin de distribucin acumulativadeX, entonces:

y (sifes continua enx)

Intuitivamente, puede considerarsef(x)dxcomo la probabilidad deXdecaeren elintervaloinfinitesimal[x,x+dx].