DEPARTAMENTO DE COORDINACION DE JEFES DE ENSEÑANZA
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DEPARTAMENTO DE COORDINACION DE JEFES DE ENSEÑANZA
COORDINACION SECTORIAL DE EDUCACION SECUNDARIA
MATEMATICAS
, , ,
¿Qué figura completa la serie? ¿Cuántas rectas las forman?
3 5 7 9
La octava figura de la serie es: ¿Cuántas rectas la forman?
17
¿Qué figura completa la serie? ¿Cuántas círculos las forman?
, , , ,
1 4 7 10 13
La novena figura de la serie es: ¿Cuántos círculos la forman?
25
Una progresión aritmética es:
Secuencia de números relacionados de tal manera que cada uno, después del primero, se puede obtener del que le precede sumando a éste una cantidad fija llamada diferencia común.
2 , 7, 12 , 17 , 22 , 27, 32
+ 5 + 5 + 5
+ 5 + 5 + 5
DIFERENCIA COMUN ES 5
OBSERVA :
2 , 7, 12, 17, 22 , 27, …a1
1°
a1 + d
2°
a1+ 2d
3°
a1+ 3d
4°
a1+ 4d
5°
a1+ 5d
6°
a1+ (n-1)d
n°
Término inicial Término n-ésimo
¿COMO ENCONTRAMOS EL TERMINO N-ESIMO ?
an = a1 + (n – 1) d
EJERCICIO DE APLICACION
Hallar el 23° término de la progresión aritmética 9 , 4 , -1 …
a23 = 9 + (23-1) (-5) a23 = 9 – 110
23° término es - 101
d = 4 – 9d = -5
Determinamos la diferencia común
Consecuente menos antecedente AntecedenteConsecuente
Término inicial
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) d
Hallar el 38° término de la progresión aritmética 2/3 , 3/2 , 7/3 …
a38 = 2/3 + (38 – 1) (5/6 a38 = 2/3 + 185/6
38° término es 189/6 o 63/2
d = 3/2 – 2/3d = 5/6
Determinamos la diferencia común
Consecuente menos antecedente AntecedenteConsecuente
Término inicial
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) d
EJERCICIO DE APLICACION
EJERCICIO DE APLICACION
a6 = 3 + (6 – 1) d
8 = 3 + 5d
5d = 8 - 3
Diferencia común es 1
Término inicial
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) d
Hallar la diferencia común de la progresión aritmética 3, …, 8 donde 8 es el 6° término.
an = a1 + (n – 1) d
Buscando el valor de “d”
an - a1
d = n - 1
*
EJERCICIO DE APLICACION
30 = 4 + (n – 1) ( 2 ) 30 = 4 + 2n - 2 28 = 2n n = 14
Término inicial
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) d
¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 4, 6, …30 ?
an = a1 + (n – 1) d
Buscando el valor de “n”
an - a1 + dn =
d
Buscamos diferencia común d = 6 – 4 d = 2 *
EJERCICIO DE APLICACION
20 = a1 + (15 – 1) ( 2/7 ) 20 = a1 + 4
a1 = 16
Sustituimos valores conocidos
an = a1 + (n – 1) dan = a1 + (n – 1) d
Buscando el valor de “a”
a1 = an – nd - d
*
El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la diferencia común 2/7. Hallar el primer término.
Una máquina costó $ 5 800.00 se deprecia 15% en el primer año, 13.5 en el segundo, 12% en el tercero, y así sucesivamente. ¿ Cuál es el valor de la máquina después de 9 años?
Diferencia común
13.5 % - 15.0%- 1.5 %
an = a1 + (n – 1) d
a9 = 15 + (9 – 1) ( - 1.5 ) a9 = 15 - 12
Se deprecia en el 9° año 3%
Suma depreciaciones
( a1 + an ) n S =
2
S = ( 15 + 3 ) 9 2
S = 81 %
Valor de la máquina $ 1 102.00*
OBSERVA :
2 , 6 , 18 , 54 , 162
¿ CUAL ES SU RAZON ?
2X3 6X3 18X3 54X3
ES UNA PROGRESION GEOMETRICA
2 , 6 , 18 , 54 , …1°
a1
2°
a r
3°
a r2
4°
a r3
n°
an r n-1
Término inicial Término n-ésimo
¿COMO ENCONTRAMOS EL TERMINO N-ESIMO ?
an = ar n-1
a10 = 50 (1/5)10-1
a10 = 50 (1/5)9
10° término es 2 / 57
d = 10 / 50d = 1/5
Determinamos la razón
Consecuente entre antecedente AntecedenteConsecuente
Término inicial
Sustituimos valores conocidos
an = a r n - 1
EJERCICIO DE APLICACION
Encontrar el décimo término en la progresión geométrica 50,10, 2, …
a7 = a (1/2)7-1
1/64 = a (1/2)6
a = (1/64) : 1/64
a = 1
an = a r n - 1
EJERCICIO DE APLICACION
La razón de una progresión geométrica es ½ y el 7° término es 1/64. Hallar el primer término.
Sustituimos valores conocidos
an = a r n - 1
EJERCICIO DE APLICACION
Sustituimos valores conocidos
Hallar la razón de la progresión geométrica 2, … 64, de 6 términos.
a6 = 2 r 6-1
64 = 2 r 5
r5 = 64/2
r = 5
32
a6 = a (1/2)6-1
1/16 = a (1/2)5
a = (1/16) : 1/32
a = 2
an = a r n - 1
EJERCICIO DE APLICACION
Sustituimos valores conocidos
El sexto término de una progresión geométrica es 1/16 y la razón ½. Hallar el primer término.
a6 = 8 (3/2)6-1
a6 = 8 (3/2)5
6° término es 243/4
an = a r n - 1
EJERCICIO DE APLICACION
Sustituimos valores conocidos
Encontrar el sexto término de la sucesión geométrica que tiene como primeros dos términos a 8 y 12.
Buscamos la razón
12 : 8 = 3/2
an = a r n - 1
EJERCICIO DE APLICACION
Sustituimos valores conocidos
Dada una sucesión geométrica en la que a4 = 135 y a7 = 3645, encontrar la razón y el 10° término .
an = a r n - 1
Sustituimos valores conocidos
a4 = a r 4-1
135 = a r 3
a = 135 / r 3
a7 = a r 7-1
3645 = a r 6
3645 = a r 6
3645 = 135 r - 3 r 6
r 3 = 3645 / 135 r 3 = 27 r = 3
a = 135 / 27 a = 5 *
a10 = 5 (3)9
10° termino es 98 415
Manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la cuarta 8; por la quinta, 16 … ¿ cuántas semillas de trigo se entregarán en la décima octava casilla ?
an = a r n - 1
Buscamos la razón
2 : 1 = 2
a18 = 1 ( 2 )18-1
a18 = 1 ( 2 )17
18° término es 131 072
¿ Cuánta semillas de trigo ha recibido en total ?
anr – a S = r - 1
S = 131 072 (2) – 1 2 – 1
S = 262 143