Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros

Ingeniería Industrial V3MECÁNICA RACIONAL

CUADRO GLOBAL DE RESPUESTAS

Preguntas II 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

Respuestas ll§ §8§§ ~ §8B§ No olvide rellenar este cuadro. Pase las respuestas -con bolígrafo- al cuadro global. Las cuestiones cuyas respuestas se encuentren de izquierda a derecha se pasarán en el orden de arriba a abajo.

APELLIDOS YNOMBRE DNI ........ ... . .... . .

Examen de febrero. 19 de Enero de 2010.

EJERCICIO 1: TEST. Valor: 4 puntos. Duración: 1 hora y 30 minutos.

Esta prueba consta de 10 cuestiones. De las tres respuestas asociadas a cada pregunta una de ellas es verdadera, siendo las otras dos falsas. Cada cuestión respondida correctamente suma 0.4 puntos. Si se responde incorrectamente, resta 0.2 puntos; y si no se contesta, vale Opuntos. La respuesta que considere correcta deberá llevar una cruz en su cuadrito correspondiente. Si quiere cambiar de respuesta, deberá rellenar completamente el cuadrito de la que rechace y añadir una cruz en la nueva respuesta. No se corregirán otros métodos distintos de responder a este cuestionario.

Se sobrentenderá por defecto, y mientras no se diga lo contrario, que los movimientos, magnitudes y derivadas que aparezcan en todas las partes de este examen son respecto a un sistema de referencia inercial. Análogamente, 9 será el valor de la gravedad en la superficie terrestre.

1. El tensor de inercia en el vértice A de una placa cuadrada homogénea tiene como sistema de direcciones principales el formado por:

D Las otras dos respuestas son falsas.

D Los lados del cuadrado con vértice A y la normal al plano material en A .

[K] La diagonal que pasa por A, la normal a dicha diagonal en A contenida en el plano del cuadrado, y la normal a dicho plano en A.

2. El momento de inercia de un aro homogéneo de radio R y masa m respecto de una recta tangente cualquiera contenida en su plano material es:

2D 5mR2/4 ~ 3mR2 / 2 D 2mR .

3. Considere el sistema S formado por una varilla homogénea OB de masa m que permanece contenida en un plano horizontal inercial OXl Y1 con su extremo O fijo y girando de manera uniforme, y una partícu¡a P de igual masa m que se mueve libremente sobre la varilla (coordenada generalizada p = 10Pj). Teniendo en cuenta que todos los contactos son lisos podemos asegurar que:

~ se conserva la hamiltoniana de S D se conserva la energía mecánica de S D el sistema es esclerónomo .

4. Considere el sistema formado por una varilla homogénea O B de masa m que permanece contenida en un plano horizontal inercial OX1 Y1 con su extremo O fijo y girando de manera uniforme, y una partícula P de igual masa m que se mueve libremente sobre la varilla. Podemos asegurar que el desplazamiento virtual (jfP del punto P:

D las otras dos respuestas son falsas D será perpendicular al segmento OB ~ será paralelo al segmento OB

5. En el desarrollo teórico que conduce a las ecuaciones de Lagrange se hace uso de la igualdad:

~~(or)=oiJ D~(OiJ ) =~ ( or) 'D~(017) ( OiJ)dt Oqk Oqk Oqk Oqk Oqk Oqk dt Oqk Oqk .

Considérese una varilla AB homogénea (sólido "2"), de centro e, longitud 2a y masa M. El punto e puede deslizar sin rozamiento por el eje OXo de "O", mientras que la varilla está obligada a formar 900 con el eje OX o. Para fijar la posición de la varilla respecto a los ejes "O" se emplearán las coordenadas x == oe y () (ver figura). Los ejes "O" (de masa despreciable) pueden rotar libremente alrededor del eje vertical compartido OZl = OZo de los ejes inerciales "}". Para fijar la posición de los ejes "O" respecto a "1" se empleará el ángulo 1jJ. La energía cinética de la varilla AB viene dada por la expresión:

M [ · 2 2()'2 .(, 2 2 2)' 2]T = 6 3.x + a + 3.1: + a sen () 1jJ ,

que podrá usar donde crea necesario para contestar a las cuestiones si­guientes.

6. La velocidad angular de la varilla, W21, proyectada en la base vectorial "O" es :

D [-e,o,-~Jo D [e,o,~J o ~ [-e , o ,~Jo

7. Teniendo en cuenta las siguientes funciones {px== ~~ Pe == o~ P,¡; == O~ E 11} donde {L, E, 11} son res-u.x oe o1jJ

pectivamente la lagrangiana, la energía mecánica y la hamiltoniana del sistema, podemos asegurar que

D se conserva P,¡; y E #-11 [R] se conservan P'1f; y 11 D sólo se conserva E

Suponga a partir de ahora y en las cuestiones que siguen que se aplica una fuerza F [F,O, 0]0 a la varilla en e que garantiza que

.x = cte = 30" Y un par i = [O, O, Tlo a "O" que garantiza que ~ = cte = 0. / 3 .

8. ¿Cuánto vale F?

lKI -MaD.2 /3 D -MaD.2 /2

9. ¿Cuánto vale T?

D M a2 2Q Ma2 . . D M a .

~ -g-D.() sen 20 -3-0.0 sen 2e -6-D.e sen 2e .

10. Usando argumentos de la mecánica analítica se deduce que la integral primera del movimiento es:

D 62 - D.2sen2e= cte D 4e 2 - D.2sen2e= cte [X] ge 2

- D.2sen2() = cte .