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Osejo. 2017. Aproximaciones iniciales a la resolucion de problemas modelados con sistemasde ecuaciones lineales de tres variables en programacion lineal usando por primera vez unmetodo grafico. Revista Sigma, 13 (2). Pag. 16-27 http://coes.udenar.edu.co/revistasigma/articulosXIII/2.pdf

REVISTA SIGMADepartamento de Matematicas

Universidad de Narino Volumen XIII No2 (2017), paginas 16–27

Aproximaciones iniciales a la resolucionlineales de tres variables en programacion

de problemas modelados con sistemasde ecuaciones lineal usando por vez un

metodo grafico

Camilo. Osejo-Bucheli 1

Abstract. The following work shows one of the first successful attempts to solve problems in appliedlinear programming which use equation systems with three variables using a graphic method. Inorder to have a successful application of that sort of method, the use of descriptive geometry andperspective methods to add and substract volume was used. The applications of the proposedmethod can be extended to any first degree, three variables equations system, yet the applicationof this method has an immediate impact in linear programming especially for academic purposes.

Keywords. Linear programming Descriptive Geometry Otimization Linear Algebra.

Resumen: El siguiente artıculo muestra la aplicacion exitosa de un nuevo metodo grafico para laresolucion de problemas de programacion lineal que contengan sistemas de ecuaciones de tres va-riables de primer grado.

Debido a que graficar exitosamente tres variables exige un sistema de coordenadas de tres dimensio-nes, se opto por usar la geometrıa descriptiva mas especıficamente la perspectiva. Para expresar unadiferencia y hacer uso del metodo grafico como paralelo al nuevo metodo propuesto, he nombradotemporalmente a este nuevo metodo propuesto como el “Metodo Proyectivo”.

Las aplicaciones mas directas y utiles del metodo seran en la resolucion de problemas de programa-cion lineal modelados con sistemas de ecuaciones como los descritos anteriormente, sin embargo, elrepresentar graficamente tiene entre otras ventajas, por ejemplo: la facil identificacion de por quelos resultados de maximizacion o minimizacion son los optimos a simple vista, y por esta razontendra una aplicacion directa e inmediata en la academia.

Palabras Clave. Programacion lineal Geometrıa Descriptiva Optimizacion Algebra Lineal.

1Mg Administracion, Universidad del Valle, Docente Tiempo completo del departamento de Administra-cion, Universidad de Narino. Email: [email protected], Colombia. Email: [email protected]

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Aproximaciones iniciales a la resolucion lineales de tres variables en programacion deproblemas modelados con sistemas de ecuaciones lineal usando por vez un metodo grafico

1. Introduccion

El siguiente artıculo es producto de la investigacion profesoral “APLICACION DE LA GEO-METRIA DESCRIPTIVA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE PROGRAMACION LI-NEAL CON TRES VARIABLES APLICADAS EN EL CAMPO DE LA ADMINISTRA-CION DE OPERACIONES” del grupo de Investigacion S.O.L. del departamento de Ad-ministracion de Empresas de la Universidad de Narino. Este artıculo resume los primerosavances en la investigacion.

En administracion de Operaciones (AO) e Investigacion de Operaciones (IO), se hace unfuerte enfoque en la aplicacion de metodos cuantitativos para la optimizacion, razon porla cual, la utilizacion de Programacion Lineal (PL) es muy necesaria, las aplicaciones deesta en AO son muy diversas y abordan las 10 decisiones del Administrador de Operacionesen su totalidad; es facil encontrar aplicaciones en Distribucion, Inventario, Administracionde Restricciones, Localizacion, Administracion de procesos, Procesos de planificacion, y porsupuesto en Programacion de la produccion, etc. Y es en consecuencia, entre los metodoscuantitativos que se abordan en investigacion de operaciones, el mas versatil.

Entre los metodos para la resolucion de problemas de programacion lineal, se encuentra elmetodo grafico, -referido en algunos volumenes de la literatura de metodos cuantitativospara administracion de operaciones como “el enfoque grafico”- este tiene la caracterıstica depermitir ver en conjunto del sistema de ecuaciones planteado, y como su nombre lo indica,graficamente, todas las restricciones (ecuaciones de restriccion) al mismo tiempo. Esto tieneuna connotacion didactica importante, por cuanto el cerebro procesa de manera mucho masexpedita y natural, las imagenes que las abstracciones numericas.

Sin embargo, el metodo o enfoque grafico, se limita a la representacion de sistemas ecuacio-nes lineales con dos variables, debido a que se grafica en un plano cartesiano (dos ejes).

Este artıculo presenta un ejemplo de las primeras aproximaciones exitosas a responder lapregunta: ¿Es posible aplicar el metodo grafico para resolucion de sistemas de ecuacioneslineales de tres variables, representando graficamente dicho sistema, y aplicando la mismalogica de resolucion del metodo grafico tradicional?

2. Marco Teorıco

2.1. Programacion lineal:

Chase, Jacobs y Aquilano (2009:37) definen la programacion lineal (o PL): “. . . se refiere avarias tecnicas matematicas utilizadas para asignar, en forma optima, los recursos limitadosa distintas demandas que compiten por ellos. La PL es el mas popular de los enfoques quecaben dentro del tıtulo general de tecnicas matematicas para la optimizacion y se ha apli-cado a muchos problemas de la administracion de operaciones. . . ”

Segun los mismos autores, algunas aplicaciones tıpicas son: Planeacion de operaciones yventas agregadas, Analisis de la productividad en la produccion/servicios, Planeacion delos productos, Rutas de los productos, Programacion de vehıculos/cuadrillas, Control deprocesos, Control de inventarios, Programacion de la distribucion, Estudios para ubicarla planta, Manejo de materiales. Por otro lado Taha (2011 ) “. . . La tecnica de IO masimportante es la programacion lineal. Esta disenada para modelos con funciones objetivo y

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Camilo. Osejo-Bucheli

restricciones lineales. Otras tecnicas incluyen la programacion entera (en la cual las variablesasumen valores enteros). . . ”2.

2.2. Metodos para la programacion lineal.

Los metodos que se usan para la resolucion de problemas son el metodo grafico, donde segrafican las ecuaciones en un plano cartesiano, lo que permite ver el comportamiento decada una de las restricciones y la funcion objetivo dentro del sistema y del problema en sutotalidad de forma clara en el proceso de resolucion del mismo. Otra forma de resolucionde sistemas de es el metodo simplex, que se usa en conjuncion y usualmente es sinonimocon el metodo grafico, es un proceso algebraico iterativo, que toma puntos extremos de lassoluciones factibles y evalua el comportamiento de la funcion objetivo con cada iteracion(Krajewsky et al, 2008:610). La forma mas usual para resolver problemas de programacionlineal es usando el MSExcel-solver, que es una funcion del programa Excel, especıfica parala resolucion de este tipo de sistemas de ecuaciones, sin embargo, para la utilizacion deeste metodo hay que tener un conocimiento basico de la herramienta y del metodo, y elprograma no arroja proceso, sino solo resultados, por lo cual no es de uso amplio en entornosacademicos cuando se aborda la pedagogıa del metodo, y es la herramienta mas popular enel uso diario de la Investigacion de Operaciones. Potencialmente existen otros metodos comoel algebraico, o el algebra lineal, que son aplicables a este tipo de sistemas de ecuaciones,pero que no se usan comunmente ni se citan en los textos de administracion de operacionesde uso mas corriente.

2.3. Geometrıa descriptiva.

La geometrıa descriptiva (GD) es una ciencia que trata la representacion de cuerpos tridimen-sionales en un espacio bidimensional mediante tecnicas estandarizadas de representacion, loque permite la operacion con exactitud de estos cuerpos. La geometrıa descriptiva se ocupade dos cosas: la representacion y la operacion. La operacion en GD, se resume en la rela-cion de los cuerpos, es decir, la interseccion, union, sustraccion, y la relacion entre cuerpos,perpendicularidad, paralelismo, etc. Otras operaciones que tienen un poco mayor comple-jidad son la obtencion de verdadera magnitud, proyeccion, homologıa, analogıa, rotacionperspectiva, etc. y en general, la especificacion de lugares geometricos.

2.4. Perspectiva.

La perspectiva es una variacion importante de la representacion en geometrıa descriptiva, yaborda la posibilidad de representar de forma exacta cuerpos, incluyendo las deformacionesque se producen en los mismos con la vision normal, de manera tal que aquellos cuerpos queestan representados de manera exacta en bidimensional, sean al mismo tiempo, operables,y familiares esteticamente a lo que se percibe con el ojo a simple vista.

2.5. El modelado en la Programacion Lineal.

La PL, antes de abordar la resolucion de los problemas requiere un modelado de estos, elcual consiste en definir las variables que se requiere encontrar, en terminos de incognitas(x1, x2, x3 · · ·xi) Formular las relaciones entre ellas planteadas en las restricciones del siste-ma, y una funcion, cuyo objetivo es la maximizacion o la minimizacion, es decir, encontrarlas combinaciones de magnitudes de las variables antes definidas, de forma que se obtengael maximo posible (por ejemplo, utilidades en una combinacion de productos) o el mınimoposible (por ejemplo, en el costo de operacion de dos fabricas).Es por esto que el modelo de la PL tomara siempre la siguiente forma:

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Maximizar (minimizar) Z = C1X1 + C2X2 + · · ·+ Cn

sujeto a las restricciones de los recursos con formula

Z = A11X1 +A12X2 . . . +A1nXn+ ≤ B1

Z = A21X1 +A22X2 . . . +A2nXn+ ≤ B2

......

. . ....

Z = Am1X1 +AM2X2 . . . +AmnXn+ ≤ BM

2.6. La resolucion usando el metodo grafico.

El algoritmo para aplicar el metodo grafico: 1. Plantear en terminos matematicos (Formularel modelo), 2. Trazar las ecuaciones de las restricciones. (Convertir las ecuaciones en rectas,igualando alternativamente cada una de sus incognitas a cero, en caso de que las contengaambas), 3. Trazarlas en el plano, 4.Determinar el area de factibilidad. 5. Trazar la funcionobjetivo, 5. Encontrar el punto optimo.

2.7. Otras consideraciones.

Autores como Davis/McKeon (1984:28) afirman que el metodo grafico solo sirve para resolverproblemas de dos variables, Mathur y otro (1996) Afirman que aunque el mundo real tienemuchas mas variables, el metodo grafico solo sirve para resolver problemas con dos variables.Por otro lado TAHA (1997:14) dice que el metodo grafico sirve para operar dos variables,cuando el mundo real presenta miles, y la excepcion la presenta Chase y otros (2009:39),sugieren que mientras el metodo grafico sirve para operar dos variables en PL, usando elplano, posiblemente modelos de tres variables pueden ser resueltos en el espacio.

3. La metodologıa propuesta:

Tal como lo intuyeron Chase y otros (2009), debe ser posible graficar sistemas de ecuacionesque contengan ecuaciones lineales de tres variables.

Tal como lo intuyeron Chase y otros (2009), debe ser posible graficar sistemas de ecuacionesque contengan ecuaciones lineales de tres variables. Si fuera posible graficar dichas ecuacio-nes, equivalentes a las restricciones del modelo matematico de un problema de programacionlineal usando los metodos graficos de interseccion de planos, adicion y sustraccion de espaciode un volumen, en la perspectiva, podemos, usando la misma logica del metodo grafico deprogramacion lineal, lograr un espacio de solucion factible y someterlo a la evaluacion delmetodo simplex para determinar la solucion optima. El pasar de hacer una implementacionde un metodo grafico (bidimensional) que es totalmente intuitivo, a un metodo que contem-ple el espacio, no es igualmente intuitivo; Debido a que es necesario recurrir a herramientasde representacion que no son propias de la programacion lineal, ni del algebra; es por estarazon que se recurrira a las reglas de representacion y operacion de planos y solidos quebrinda la perspectiva. A este nuevo metodo, como se menciono antes, se lo llamara de ahoraen adelante, y de forma temporal el metodo proyectivo.

3.1. Se propone seguir el siguiente algoritmo:

1. Formular el modelo matematico asegurandose que no se encuentra un sistema de ecua-ciones diferente a ecuaciones lineales con tres variables.

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2. Verificar la condicion de no negatividad de las variables en las restricciones determi-nando los puntos que definen el plano.

3. Graficar en perspectiva el volumen (generalmente un prisma) factible resultante deldimensionamiento mınimo o maximo de las variables independientes, si este existiera.

4. Graficar alternativamente las restricciones, y determinar la interseccion resultante conel volumen inicial.

5. Verificar la adicion o sustraccion del volumen factible.

6. Repetir los pasos 4 y 5, con todas las demas restricciones.

7. Una vez se ha sustraıdo/anadido todas las restricciones al volumen factible, y se haconseguido el volumen factible final, se determinan las soluciones optimas que se ubi-caran en cada uno de los vertices del volumen factible final.

8. Ya que el resultante es un volumen, y ya que interpretar un volumen es mucho masnatural que otras convenciones, se descartan aquellos vertices del volumen o prismatruncado factible, que evidentemente no cumplan como solucion optima (lo anterior sehace solo para agilizar el proceso, y debido al rigor del metodo, en el ejemplo siguienteno se lo hara. En cambio, se analizaran todas las posibles soluciones).

9. Se verifica mediante simplex, la solucion optima y las de iso-utilidades.

4. La aplicacion (Ejemplo 1):

Minas Universal opera tres minas en West Virginia. El mineral de cada una se separa, antesde embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de produccion de las mismas, ası comosus costos diarios de operacion son los siguientes:Tabla 1. Relacion de grado.

Mineral de grado alto, Mineral de grado bajo, Costo de operacionton/dıa ton/dıa $ 1000/dıa

Mina I 4 4 20Mina II 6 4 22Mina III 1 6 18

Fuente: Esta investigacion.La Universal se comprometio a entregar al menos 54 toneladas de mineral de grado alto yal menos 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Ademas,tiene contratos de trabajo que garantizan a los trabajadores de ambas minas el pago del dıacompleto por cada dıa o fraccion de dıa que la mina este abierta. Determınese el numero dedıas que cada mina deberıa operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha decumplir su compromiso a un costo total mınimo.Denotense con X1, X2 y X3, respectivamente, el numero de dıas que las minas I, II y IIIhabran de operar durante la semana venidera. Entonces, el objetivo (expresado en $1000) es:

Minimıcese:

z = 20X1 + 22X2 + 18X3 (1)

La demanda de mineral de grado alto es:

4X1 + 6X2 +X3 ≥ 54 (2)

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y la demanda de mineral de grado bajo es:

4X1 + 4X2 + 6X3 ≥ 65 (3)

Como ninguna mina puede operar un numero negativo de dıas, se plantean tres restriccionesde no negatividad, y son: X1 ≥ 0, X2 ≥ 0 y X3 ≥ 0. Por otro lado, como ninguna mina puedeoperar mas de 7 dıas a la semana, otras tres restricciones apareceran: y son X1 ≤ 7, X2 ≤ 7y X3 ≤ 7. Finalmente, debido a los contratos laborales, Minas Universal no tiene nada queganar al operar una mina cero dıas; en consecuencia, X1, X2 y X3 deben ser mayores a cero.Combinando las restricciones con (1), (2) y (3), se obtiene el modelo matematico:

1. Formular el modelo matematico asegurandose que no se encuentra un sistema de ecua-ciones diferente a ecuaciones lineales con tres variables.

Minimıcese: z = 20X1 + 22X2 + 18X3

con las condiciones:4X1 + 6X2 +X3 ≥ 544X1 + 4X2 + 6X3 ≥ 65

X1 ≤ 7. (4)

X2 ≤ 7. (5)

X3 ≤ 7. (6)

Todas las variables enteras y no negativas.

2.Verificar la condicion de no negatividad de las variables en las restricciones determinandolos puntos que definen el plano.

La ecuacion de restriccion que dara origen al plano de restriccion α sera:

α: 4X1 + 6X2 +X3 ≥ 54 (2)

α: X1 = 544 X2 = 54

6 X3 = 54

Las coordenadas del plano seran:

α: { A:( 13,5 ; 0 ; 0 ), B:( 0 ; 9 ; 0 ), C:( 0 ; 0 ; 54 ) } (2)

La ecuacion de restriccion que dara origen al plano de restriccion β sera:

α: 4X1 + 6X2 +X3 ≥ 65 (3)

α: X1 = 654 X2 = 65

4 X3 = 656

Las coordenadas del plano seran:

α: { D:( 16,25 ; 0 ; 0 ), E:( 0 ; 16,25 ; 0 ), F:( 0 ; 0 ; 10,8 ) }

3.Graficar en perspectiva el volumen (prisma) factible resultante del dimensionamiento mıni-mo o maximo de las variables independientes, si este existiera.Las restricciones individuales de cada una de las restricciones daran origen a las caras delvolumen de solucion optima con los planos trazados sobre los ejes ası:

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τ : x1 ≤ 7 τ : (7; 0; 0) (4)

δ : x2 ≤ 7 δ : (0; 7; 0) (5)

ε : x3 ≤ 7 ε : (0; 0; 7) (6)

Figura 1. Volumen de solucion optima, construido con los planos τ, δ y ε.

Fuente: Esta investigacion.

4.Graficar alternativamente las restricciones, y determinar la interseccion resultante conel volumen inicial.

Figura 2. Plano de restriccion α y la interseccion con el volumen de solucionfactible.


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Figura 3. Plano de restriccion β y la interseccion con el volumen de solucionfactible.


5. Verificar la adicion o sustraccion del volumen factible.

Figura 4. Sumatoria de los dos volumenes de solucion factible.


6. Repetir los pasos 4 y 5, con todas las demas restricciones.7. Una vez se ha sustraıdo/anadido todas las restricciones al volumen factible, y se ha con-seguido el volumen factible final, se determinan las soluciones optimas, que se ubicaran encada uno de los vertices del volumen factible final .

Figura 5. Volumen de solucion factible, con todos los vertices de solucion eti-quetados y su ubicacion resultante.

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8. Se verifica la solucion optima y las de iso-utilidades

Tabla 2. Verificacion de la solucion optima.


La respuesta al problema en particular, sera el punto que genere el resultado menor con lafuncion objetivo, descartando la existencia de un punto de coordenadas (0, 0, 0), el cual serıael equivalente a “no hacer nada” y que en ejercicio propuesto esta ademas descartado porque entran en efecto las restricciones δ y β.

De los resultados antes obtenidos, se toma el punto B, cuyo resultado es 278,64, y querepresenta la minimizacion de las variables τ, δ, ε, sujeto a las restricciones δ y β.

Ademas, en la proyeccion que se muestra en la figura 5, es posible evidenciar que los puntos

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que podrıan generar una mejor respuesta en minimizacion son B y D debido a su cercanıaal origen del sistema, esta observacion se ratifica como verdadera en la tabla 2.

5. Analisis.

Debido a que los sistemas de ecuaciones a los que se amplıan el metodo son de tres variables,el planteamiento del metodo proyectivo siempre comienza definiendo las cantidades mınimaso maximas de estas variables, por lo tanto, en todas las aplicaciones del metodo, se comienzacon un prisma cuya base es un paralelogramo

Debido a que en PL, por definicion se opta por maximizar o minimizar una zona restringidade posibles soluciones, mientras en el metodo grafico es un area y en el metodo proyectivoes un volumen, todas las aplicaciones logradas hasta ahora han obtenido la adicion o subs-traccion de espacio, ası como en el metodo grafico es la adicion o substraccion de area.

Es necesario completar el metodo proyectivo con metodo que permita verificar la solucionoptima exclusivamente en el metodo grafico, tanto en bidimensionalidad como en el metodoproyectivo en tridimensionalidad.

Los metodos propuestos para el metodo proyectivo son los metodos de obtencion de ver-dadera magnitud, que son: rebatimiento, rotacion y cambio de planos.

6. Conclusiones:

Hasta ahora, el metodo proyectivo ha resultado de excelente ayuda para expresar lalogica de la programacion lineal en problemas mas complejos que los que se puedensolucionar mediante el metodo grafico, y por lo tanto tiene una gran potencialidad deser una herramienta pedagogica.

Es necesario continuar la investigacion y hacer una aplicacion grafica del metodo sim-plex que complete el proceso en el metodo proyectivo.

Debe ajustarse el metodo grafico para incorporar la verificacion de la funcion objetivoen un mismo sistema de coordenadas.

Deben hacerse otras aplicaciones, explotando las posibilidades de rotacion, verdaderamagnitud y cambio de planos de la GD, para mostrar de mejor manera las solucionesoptimas.

Una vez se ha adquirido destreza en la graficacion del metodo proyectivo, la resolu-cion de problemas se vuelve expedita, al parecer la mayor dificultad del metodo radicaen acondicionar el cerebro a pensar tridimensionalmente y graficar en dos dimensio-nes, sin embargo entender el conjunto de posibles resultados y soluciones viables escompletamente intuitivo y no requiere ningun entrenamiento.

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