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ESTRUCTURAS RETICULADAS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras
A
B
A’’
B’’
A’
B’’Directriz sindeformar Directriz
deformada
A
B
A’’
B’’
A’
B’’Directriz sindeformar Directriz
deformada
En el cálculo estructuras reticuladas suele despreciarse las deformaciones inducidas por los esfuerzos axiles y cortantes. Despreciar el primer tipo de esfuerzo equivale a decir que las barras de la estructura ni se acortan ni se alargan.
A’’B’’=AB
CONCEPTO DE NUDO EN UNA ESTRUCTURAFORMADA POR BARRAS
ESTRUCTURAS RETICULADASINTRASLACIONALES
CONCEPTO DE ESTRUCTURA INTRASLACIONAL
A
B C
DA
B C
D A
B C
D
P
δ δ
Los nudos no se desplazan, pero las secciones correspondientes sí giran
A
B C
D
P
P
A
B C
A
B CB’ C’
CALCULO DE ESTRUCTURAS INTRASLACIONALESa) VIGAS CONTINUAS
Pq M’ M
RA RB RC RD RE
AB C
E FG
Viga
AP B1 M1 C1
M1
B2
M2
C2
E1G
M2M’ M3
FM4E2
Pq M’ M
RA RB RC RD RE
AB C
E FG
Incógnitas: M1, M2, M3 y M4
)()(
)()(
)()(
21
21
21
antihoarioantihoario
antihoarioantihoario
antihoarioantihoario
EE
CC
BB
θθ
θθ
θθ
=
=
=Ecuaciones:
M3 M4
M
034 =−+ MMM
Viga
MM3 M4
M4M3
21
21
21
EEE
CCC
BBB
AA
RRR
RRR
RRRRR
+=
+=
+=
=
Pq M’ M
RA RB RC RD RE
AB C
E FG
AP B1 M1 C1
M1
B2
M2
C2
E1G
M2M’ M3
FM4E2
B1A M
PB2 CM
)()(21
antihoarioantihoario BB θθ =
lEIblPab
EIMloantihorari
EIMl
EIqloantihorari
B
B
6)(
3)(
324)(
2
1
3
+−=
−=
θ
θ
2
2
4
)(16 l
blPabqlM ++=
A B Cq
l la b
PEJEMPLO:
B1A B1A M
ql/2 ql/2 M/l M/l
PB2 C B2 CM
Pb/l Pa/l M/l M/l
lM
lPaR
lM
lPb
lMqlR
lMqlR
C
B
A
−↑=
+++↑=
−↑=
2
2
b) SEMIPÓRTICOS
A
BC
M
2l
l
A
B2C
M2
M1
B1
B
M2
M1M
( )( )
EIlMhorario
EIlM
lEIlMhorario
horariohorario
B
B
BB
3)(
2242
)(
)()(
1
22
2
2
1
21
=
==
=
θ
θ
θθ
21 MMM +=
MMMM53
52
12 ==
c) PÓRTICOS
l
B
A D
q
l
EIMl
EIMl
EIqlhorario
EIMlhorario
horariohorario
B
B
BB
6324)(
3)(
)()(
3
2
1
21
−−=
=
=
θ
θ
θθ20
2qlM =
202qlXqlY AA ==
M
B2 C
M
B1
M
XA
YA
A
B
A D
Cql2/20 B
A D
Cql/20
ql/2ql/2
ql/20
ql/2B ql/20
ESTRUCTURAS INTRASLACIONALES CON ROTULAS
P=20 kN
2 m 1 m 1 m
A B C D
L L L
P M = P·L
A B C D
6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m
20 kN/m 30 kN 50kN.m10 kN
AB C M D
E G F
6 m 2 m 3 m 3 m 2 m 2 m 2 m 1 m
20 kN/m 30 kN 50kN.m10 kN
AB C M D
E G F
L
L/4 3L/4
A
B
C D
M
E
L/8
L
L/4 3L/4
A
B
C D
M
E
L/8
P
Q1 Q2
P
Barra 1 Barra 2
Q1+Q2=P
P
P
d M=Pd
MA
B
BA
M
2 m L=1 m L=1 m
A C1 C2 D B Q1 Q2
Q1 Q2
P
P=20 kN
2 m 1 m 1 m
A B C D
Incógnitas:1 reacción vertical en A1 reacción vertical en B1 reacción vertical en D1 momento en el empotramiento D
4Ecuaciones de la estática:(1) Suma de fuerzas verticales nula(1) Suma de momentosen un punto igual a cero(1) Momentos en la rótula de una de las partes Igual a cero
3
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
Ecuación adicional: flecha en C1 igual a flecha en C2
PM=PL
Q
Q Q
Q
A B C1 C2 D
PM=PL
Q
Q Q
Q
A B C1 C2 D
L L L
P M = P·L
A B C D
Incógnitas:1 reacción vertical en A1 reacción vertical en D1 momento en el empotramiento A1 momento en el empotramiento D
4
Ecuaciones de la estática:(1) Suma de fuerzas verticales nula(1) Suma de momentosen un punto igual a cero(1) Momentos en la rótula de una de las partes Igual a cero
3
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1
Ecuación adicional: flecha en C1 igual a flecha en C2
A
B1Q
N B2 C1
MQ
NN
Q C2
D
Q
N
A
B1Q
N B2 C1
MQ
NN
Q C2
D
Q
N
L
L/4 3L/4
A
B
C D
M
E
L/8
L
L/4 3L/4
A
B
C D
M
E
L/8 Incógnitas:1 reacción vertical en A1 reacción horizontal en A1 reacción vertical en D1 reacción horizontal en D1 momento en el empotramiento A1 momento en el empotramiento D
6
Ecuaciones de la estática:(1) Suma de fuerzas verticales nula(1) Suma de fuerzas horizontales nula(1) Suma de momentos en un punto igual a cero(1) Momentos en una de las rótulas, de una de las partes
de la estructura, igual a cero(1) Momentos en otra de las rótulas, de una de las partes
de la estructura, igual a cero
5
PROBLEMA HIPERESTÁTICO DE GRADO 1Ecuación adicional: desplazamiento horizontal de B1 nulo
ESTRUCTURAS RETICULADASTRASLACIONALES
Veamos con un ejemplo la filosofía que debemos utilizar paracalcular estructuras traslacionales.
F
AB
C D
ESTRUCTURA REAL ESTRUCTURA DEFORMADA
F
AB
C DC* D*
a a
F
AB
C D
ESTRUCTURA REAL
MB
Sean MC y MD los momentos flectoresque aparecen en las secciones en contactocon los nudos
Si prescindimos de todas las cargas que actúan y suponemos que lasbarras estuviesen conectadas mediante articulaciones (rótulas)
F
AB
C D
AB
C D
La estructura inicial se ha convertido en un mecanismo con un gdl
AB
C D
El movimiento de este mecanismo viene determinado por unsólo parámetro, como es el desplazamiento CC*=DD*
C* D*
El valor de este parámetro (CC* ó DD*) no es conocido a priori, pero si lo supusiéramos conocido (e idéntico al que se produce en la estructura real “a”) tendríamos perfectamente determinados los desplazamientos de los nudos de la estructura.
AB
C DC* D*
Si, ahora, una vez que el mecanismo se ha movido de manera que el nudo C (y el D) ocupa la posición final que ocuparía en el caso de que estuviésemos considerando la estructura real, no estaríamos añadiendo nuevas coacciones al sistema porque ya se había movido
a a
Pero, claro, en el caso del mecanismo, las secciones en contacto con la rótula queexista en un nudo giran diferente, cuando en la estructura real, las secciones de dosbarras coincidentes en un nudo, tendrían que girar lo mismo.
Si, ahora, colocáramos sobre el mecanismo una vez movido, las cargas que actúansobre la estructura y, en las secciones en contacto con las rótulas los momentosflectores que, en la realidad, actúan sobre ellas (MB en B, MC en C* y MD en D*):
AB
C DC*
a a
MB
MC
MD
F
¡Obtendríamos la estructura deformada!
D*
E
A
BC
D
q=20 kN/m
F=80 kN8 m
4 m
6 m 2 m
6 m
Veamos un ejemplo:Deducir las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantesy axiles y los movimientosDe las secciones B y D en la estructura de la figura. La sección de las vigas es rectangular de 30 cm de ancho y 40 cm decanto y el material (hormigón) tiene un módulo de elasticidad de 20 Gpa.
E
A
BC
q=20 kN/m
F=80 kN8 m
4 m
6 m 2 m
6 m
2q
2q
2q
2q
E
A
BC
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
¿Podemos simplificar más aún la estructura?
A
BC
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
F=80 kN
q=20 kN/m 2q
2q
A
BC C*
B*
a a
MM
a
B1*
A
F=80 kN
M
C*
B2*
M
q=20 kN/m 2q
2q
=
( ) ( )oantihorarioantihorari ** BB 21θθ =
a
B1*
A
F=80 kN
M
C*
B2*
M
q=20 kN/m 2q
2q
( )EIEIEI
Moantihorari*B 24620
6406
36 3
2
⋅−
⋅+=θ
( )816
88038 2
1
aEIEI
Moantihorari*B−
⋅+−=θ
46083
14=+ aEIM
E
A
BC
q=20 kN/m
F=80 kN
2q
2q
80 kN
VA
VE
Tomando momentos en Bde las fuerzas y momentosque actúan sobre la barra AB(sentido antihorario positivo):
mkNMM
⋅−==⋅+−⋅−
3200480880
mkN,,EI ⋅=⋅⋅⋅= 3200040301211020 36
46083
14=+ aEIM m,a 4880=
Ley de momentos flectores
320 kN.m E
A
BC
D
q=20 kN/m
F=80 kN
40 kN.m
320 kN.m
Ley de esfuerzos cortantes
80 kNE
A
BC
D
q=20 kN/m
F=80 kN120 kN
40 kN
Ley de esfuerzos axiles
E
A
BC
D
q=20 kN/m
F=80 kN160 kN
Movimientos de la sección B:
El desplazamiento horizontal será 0,488 m, el vertical nulo y el giro:
a
B1*
A
F=80 kN
M
( ) rad,,EIEI
oantihorari*B02430
84880
16880
33208 2
1−=−
⋅+
⋅=θ
La sección B gira en sentido horario 0,0243 rad
Movimientos de la sección D:El desplazamiento horizontal será 0,488 m.
( )
m,,v
rad,EIEIEI
horario
D
C
026250201310
013106
632024
6203
640
2
3
=⋅↑=
−=⋅
−⋅
−⋅
=θ
El desplazamiento vertical será suma de:a) El obtenido si la sección C del dintel no girara:
mm,EILqv CD
D 251320008
2208
441 =
⋅⋅
=⋅
↓=
b) El de sólido rígido motivado por en giro de la sección C del dintel:
m,,,vD 0250001250026250 =−↑=El giro de D será (suma del de la sección C más el causado por la sobrecarga que actúa sobre la ménsula:
( ) rad,EI
,oantihorariD 012206
22001303
=⋅
−=θ
q=20 kN/m
P1=60 kN P2=40 kN
A
B
CD
E
2,5 m 2,5 m 2,5 m 2,5 m
5 m
En el pórtico de la figura, todas las barras tienen la misma rigidez EI=40000 kN.m.Cuando actúan las cargas indicadas, determinar:a) Leyes de esfuerzos en la estructurab) Desplazamiento horizontal en C
A
B
C D
E
Estructura con un grado de traslacionalidad
aa a
B*
C* D*
A
B
C D
E
aa a
B* C* D*
M2M1
M3
M2M1
B2* C1*
A
B
aB1*M1
q
M3M2
C2* D1*
a
M3
E
D2*
P1 P2
EILM
EILP
EILMoantihorari
La
EIqL
EILMoantihorari
B
B
6163)(
243)(
22
11
31
2
1
+−−=
−+=
θ
θEc.1
EILM
EILP
EILMoantihorari
EILM
EILM
EILPoantihorari
C
C
6163
63163
222
122
1
2
1
+−=θ
+−=θ
)(
)(Ec.2
La
EILMoantihorari
EILM
EILP
EILMoantihorari
D
D
−=
−+−=
3)(
6163)(
3
22
23
2
1
θ
θEc.3
EILM
EILP
EILMoantihorari
La
EIqL
EILMoantihorari
B
B
6163)(
243)(
22
11
31
2
1
+−−=
−+=
θ
θEc.1
EILM
EILP
EILMoantihorari
EILM
EILM
EILPoantihorari
C
C
6163
63163
222
122
1
2
1
+−=θ
+−=θ
)(
)(Ec.2
La
EILMoantihorari
EILM
EILP
EILMoantihorari
D
D
−=
−+−=
3)(
6163)(
3
22
23
2
1
θ
θEc.3
¡3 ecuaciones con cuatro incógnitas!
aMMM 321
¡La ecuación que falta la obtenemos aplicando lasecuaciones de la estática!
A
B
aB1*M1
q
a
M3
E
D2*
VAHA VEHE
Suma de momentos en B1* igual a cero: Suma de momentos en D2* igual a cero:
02
2
1 =−+ LHqLM A03 =+ LHM E
Junto con: qLHH AE −=− 02 3
22
1 =+−+ MqLqLM Ec. 4
Resolviendo el sistema de las cuatro ecuaciones con las 4 incógnitas:
mamkNM
mkNMmkNM
061,025,156
25,3175,93
3
2
1
=⋅=⋅=⋅=
q
P1 P2
A
B
CD
E
106,25 kN.m
31,25 kN.m43,75 kN.m
156,25 kN.m
Ley de momentos flectores
q
P1 P2
A
B
CD
E68,75 kN
31,25 kN
5 kN
55 kN
5 kN
45 kN31,25 kN
Ley de esfuerzos cortantes
q
P1 P2
A
B
CD
E5 kN
31,25 kN
45 kN
Ley de esfuerzos axiles
ESTRUCTURAS RETICULADASATIRANTADAS
AB
C D P
EI
EtAt
L
h/2
AB
C D
=
AB
C D P
ABF F
F F
∆BA=F.L/ EtAt
P
AB
C DP
ABF F
F F
∆BA=F.L/ EtAt
AB
C D
1 1
ESTADO REAL ESTADO FICTICIO
Teorema de reciprocidad:
realA
ficticioD
ficticioA uuPuF
rrr⋅−=⋅+⋅− 1
realA
ficticioD
ficticioA uuPuF
rrr⋅−=⋅+⋅− 1
ttrealA
realB
realABA AE/LFuuu ⋅==−=∆
rrr
ttrealA AE/LFu ⋅=r
tt
ficticioD
ficticioA AE
LFuPuF ⋅−=⋅+⋅−
rr
tt
ficticioA
ficticioD
AELu
uPF−
⋅=r
r¡Sólo es preciso resolverel estado ficticio paraobtener la fuerza en eltirante!
AB
C D
1 1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−= Lh
EIhhhhhhLhhh
EIu ficticio
A 32
32
21
32
211 2r
( )hLEILhLhhLhL
EIv ficticio
A +=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅⋅↓=
221
21
( ) ( )hLEIhhL
EILhL ficticio
BficticioB +=⇒+=⋅
22θθ
AB
C D
1 1
ESTADO FICTICIO
h
h
h
EIhhhh
EIu ficticio
D 631
211 3
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅⋅=
r
Pero como B gira:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=+−=
2326
223 LhEIhhL
EIh
EIhu ficticio
Dr( )hL
EIhficticio
B +=2
θ
tt
ficticioA
ficticioD
AELu
uPF−
⋅=r
r
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−= Lh
EIhu ficticio
A 322r
tt AELLh
EIh
LhEIhP
F−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅−
=
32
232
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
23
2 LhEIhu ficticio
Dr
F>0, luego el tirante trabajaa tracción, como habíamossupuesto