Dependencia lineal
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DEPENDENCIA LINEAL
Varios vectores libres del plano
se dice que son linealmente
dependientes si hay una combinación
lineal de ellos que es igual al vector cero,
sin que sean cero todos los coeficientes
de la combinación lineal.
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PROPIEDADES1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al
menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal
de los demás.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo
si, son paralelos.
También se cumple el reciproco: si un vector es
combinación lineal de otros, entonces todos los
vectores son linealmente dependientes.
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3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son
linealmente dependientes si sus componentes son
proporcionales.
Ejemplo:
Los vectores y son
linealmente dependientes, pues:
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Igualando componentes:
Para cualquier valor que tome se obtiene un valor para y otro para
también distintos de cero, luego y son linealmente dependientes.
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INDEPENDENCIA LINEAL
En álgebra lineal, un conjunto de vectores es
linealmente independiente si ninguno de ellos
puede ser escrito con una combinación lineal de
los restantes.
Por ejemplo, en R3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1,
0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes,
mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no
lo son, ya que el tercero es la suma de los dos
primeros.
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Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos
redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es
linealmente independiente si ∀
PROPIEDAD:
Si un conjunto de vectores es linealmente
independiente cualquier subconjunto suyo también
lo
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Estudiar la dependencia lineal de los vectores:
EJEMPLOS
= (3, 1) = (2, 3)
Linealmente independientes
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Estudiar la dependencia lineal de los vectores:
= (5, 3 − x ) y = (x + 9, 3x + 1)
Son linealmente dependientes para x = 1 y x = -22