Dept. Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona, España · genesis of algebra as a...

Bosch, M., Gascón, J., Ruiz Olarría, A., Artaud, M., Bronner, A., Chevallard, Y., Cirade, G., Ladage, C. & Larguier, M. (Eds.), Un panorama de la TAD (pp. 743-765) III Congreso Internacional sobre la TAD (Sant Hilari Sacalm, 25-29 enero 2010) Eje 3. Teoría y práctica de las AEI y los REI CRM Documents, vol. 10, Centre de Recerca Matemàtica, Bellaterra (Barcelona), 2011

Un modelo epistemológico de referencia del álgebra como instrumento de modelización

Noemí Ruiz-Munzón Escola Universitària del Maresme, España

Marianna Bosch IQS School of Management, Universitat Ramon Llull, España

Josep Gascón Dept. Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona, España

Abstract. The aim of this work is to coordinate and complete the papers we presented at the first two conferences on the ATD. We propose a reference epistemgenesis of algebra as a modelling tool and to support a progressive development of the algebraisation process of school mathematics leading to functional modelling.

Résumé. f de ce travail es -tions que nous avons présentées dans les deux premiers congrès sur la TAD. Nous proposons un modèle épistémologique de référence « global », au sens où il sert de fondement à la genèse scolaire modélisation et où, en même temps, il soutient un développement progressif des étapes successives du aboutit à la modélisation fonctionnelle.

Resumen. El objetivo de este trabajo es el de articular y completar las comuni-caciones que presentamos en los dos primeros congresos sobre la TAD. Proponemos un modelo epistemológico de referencia «global» en el sentido que permite fundamentar la génesis escolar del álgebra como instrumento de modelización y, al mismo tiempo, sustentar un desarrollo progresivo de las sucesivas etapas del proceso de algebrización de la matemática escolar que desemboca en la modelización funcional.

Noemí Ruiz-Munzón, Marianna Bosch y Josep Gascón

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1. Consecuencias de la aritmetización escolar del álgebraEn trabajos anteriores (Gascón 1993, 1993-94, 1999) en el ámbito de la teoría antropológica de lo didáctico (en adelante, TAD) se ha analizado el fenómeno de la aritmetización escolar del álgebra, mostrando que dicho fenómeno responde a la interpretación dominante en la institución escolar del álgebra elemental como aritmética generalizada. En esta interpreta-ción se identifica el álgebra con el simbolismo o «lenguaje algebraico» que generaliza, al tiempo que se opone a, un supuesto «lenguaje arit-mético». En el trabajo de tesis de Pilar Bolea (2003) se destacan algunas de las características principales de esta interpretación del álgebra elemental como aritmética generalizada:

(a) El álgebra elemental se construye exclusivamente en un contexto numérico, a modo de generalización de los cálculos con números y de la traducción de expresiones numérico-verbales. Se le considera como un mero epifenómeno de la aritmética.

(b) Se considera, de manera simplista, que las expresiones algebraicas surgen ante la necesidad de representar y manipular números des-conocidos; se supone que esta es su razón de ser.

(c) En la escritura y manipulación de expresiones algebraicas, la aritmé-tica generalizada hace una distinción absoluta entre los datos cono-cidos por un lado y las incógnitas por otro.

(d) Se tiende a reducir las tareas específicamente «algebraicas» a la manipulación formal de expresiones algebraicas con letras y números (lo que se suele denominar «cálculo algebraico») y a la resolución de ecuaciones.

(e) Se interpretan las ecuaciones como igualdades numéricas que se cumplen para algunos valores concretos de las incógnitas.

En un trabajo posterior de Pilar Bolea, Marianna Bosch y Josep Gascón (2004), se muestra que una de las consecuencias de la aritmetización escolar del álgebra elemental es la ausencia del álgebra como instru-mento de modelización en las matemáticas que se estudian en la enseñanza secundaria. Trabajos posteriores en el ámbito de la TAD han mostrado las conexiones de este fenómeno con la incompletitud de las organizaciones matemáticas (en adelante, OM) que se estudian en

Un MER del álgebra como instrumento de modelización

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secundaria (Fonseca, 2004) y con el fenómeno de la desarticulación de la matemática escolar (García, 2005).

Investigaciones más recientes en esta misma línea apuntan asimismo que el carácter prealgebraico de las matemáticas que se estudian en la enseñanza obligatoria constituye uno de los factores esenciales de las discontinuidades observadas en el sistema educativo español, entre las matemáticas de la educación secundaria obligatoria (en adelante, ESO, con alumnos entre 12 y 16 años) y las del bachillerato (alumnos entre 16 y 18 años). Más concretamente, la ausencia del uso del instrumento algebraico en la ESO dificulta enormemente el desarrollo de la modeliza-ción algebraico-funcional en el tránsito al bachillerato, lo que obstaculiza la emergencia de las cuestiones problemáticas que podrían dar sentido al cálculo diferencial (Ruiz-Munzón, 2006). Una vez constatada la impor-tancia didáctica del carácter prealgebraico de las matemáticas que se estudian en secundaria y el alcance de los fenómenos didácticos relacionados con la aritmetización del álgebra escolar, se plantea el problema de cómo introducir el álgebra en la educación secundaria como un instrumento de modelización, sin reducirla, como pasa habitualmente en España, a la manipulación formal de expresiones algebraicas, a la resolución de ecuaciones y a la resolución de ciertos prototipos de «problemas de planteo».

En la primera parte de este trabajo nos proponemos mostrar que es posible introducir el instrumento algebraico en la enseñanza obligatoria de manera funcional, proponiendo una posible «razón de ser» del álgebra escolar, esto es, explicitando un tipo de cuestiones que viene a resolver la modelización algebraica y que pueden dar sentido a la introducción del álgebra en la primera etapa de la ESO (12-14 años). Además, dado que pretendemos iniciar a los alumnos en el uso de la modelización algebraica, deberemos elegir un sistema inicial para modelizar, apropiado para que su modelización requiera la construcción de las distintas herramientas que componen el álgebra elemental. Este planteamiento se puede resumir en el cuestionamiento siguiente:

¿Es didácticamente viable, en el actual sistema de enseñanza de las matemáticas, iniciar a los alumnos de la primera etapa de la ESO en el uso funcional del instrumento algebraico? ¿Qué OM puede tomarse como


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sistema inicial a modelizar? ¿Qué cuestiones problemáticas pueden dar sentido a dicho proceso de estudio, esto es, qué cuestiones planteables en dicho sistema requieren de manera ineludible el uso del instrumento algebraico?

En la segunda parte de este trabajo, ampliaremos el modelo epistemo-lógico sobre el álgebra elemental para articularlo con la modelización algebraica con parámetros. Veremos también cómo su desarrollo conduce a la modelización algebraico-funcional y al uso de las técnicas del cálculo infinitesimal. El cuestionamiento asociado a esta segunda ampliación del proceso de algebrización puede formularse en los términos siguientes:

Una vez que los alumnos estén en posesión del instrumento algebraico, ¿qué ampliaciones progresivas de las OM disponibles se requerirán para avanzar en las sucesivas etapas del proceso de algebrización? ¿Qué nuevos dispositivos didácticos se requerirán para llevarlo a cabo? A medida que avance el proceso de algebrización, ¿cómo se modificará el estudio del resto de las OM escolares y, en particular, cómo se avanzará hacia el estudio de las relaciones funcionales entre magnitudes y la introducción del cálculo diferencial e integral?

El trabajo que presentamos a continuación pretende aportar algunos elementos de respuesta a estas cuestiones, proponiendo una descripción del proceso de algebrización en términos de ampliaciones sucesivas de determinadas praxeologías matemáticas.

2. Génesis escolar del instrumento algebraico Partiremos de la noción clásica de «problema aritmético» como un problema que puede resolverse mediante una cadena de operaciones aritméticas (+, , ×, /, etc.) ejecutables a partir de los datos del problema, datos que acostumbran a ser cantidades conocidas de ciertas magnitudes. Tanto las cantidades que resultan de las operaciones intermedias como la cantidad incógnita, tienen que poder ser interpretadas en el contexto del enunciado del problema.

Podemos considerar que las técnicas clásicas de resolución de los problemas aritméticos escolares se materializan en discursos verbales que, partiendo de los datos y mediante una cadena de operaciones


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aritméticas, permiten calcular la cantidad incógnita. Los elementos tecnológico-teóricos que permiten describir, justificar e interpretar esta práctica aritmética elemental consisten esencialmente en las propiedades de los diferentes sistemas de números (naturales y racionales), en las propiedades de las operaciones aritméticas con estos números y en las operaciones elementales entre cantidades de magnitudes, a lo que se podría añadir, en el nivel teórico, el discurso implícito que describe e interpreta el «patrón de análisis-síntesis» (Gascón, 1993).

Para fundamentar una génesis escolar funcional del instrumento algebraico, tomaremos como sistema inicial a modelizar una OM en torno a los problemas aritméticos. Será esta misma OM la que consideraremos en la segunda parte del trabajo para ejemplificar el desarrollo del álgebra como instrumento de modelización. En esta primera parte del trabajo, centrada en la génesis del álgebra, utilizaremos un tipo de problemas aritméticos especialmente sencillos (que más tarde, por motivos obvios, denominaremos «lineales») y, dado que se trata de poner de manifiesto la necesidad inicial del instrumento algebraico, no iremos más allá de lo que después denominaremos y caracterizaremos como «primera etapa del proceso de algebrización».

Partimos, por lo tanto, de un problema aritmético resoluble mediante el patrón de análisis-síntesis como, por ejemplo, el siguiente:

T0: Noelia piensa un número, lo multiplica por 3, le resta 18 y acaba dividiendo el resultado entre 9. Si el resultado final es 7, ¿qué número había pensado Noelia? La resolución aritmética (verbal) de este problema podría ser: Antes de dividir entre 9, el resultado era 7 9 = 63; antes de restar 18 el resultado era 63 + 18 = 81; y antes de multiplicar por 3 el número (pensado) era 81/3 = 27.

También podemos escribir «en línea» esta cadena estructurada y jerarqui-zada de operaciones aritméticas que constituyen la síntesis del proceso de resolución (Ruiz-Munzón, Bosch & Gascón, 2005) y que, siguiendo la propuesta de Yves Chevallard (2004), llamaremos programa de cálculo aritmético (en adelante, PCA):

PCA(7, 9, 18, 3) = (7 9 + 18) / 3.


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En general, un PCA puede depender no solo de argumentos numéricos concretos (aj) sino también de otros argumentos que hacen el papel de parámetros o incógnitas (xi). Esto significa que la formulación escrita de un PCA tomará, en general, la forma de una cadena de operaciones aritméticas en función de xi y aj. Nos referiremos a dicha cadena usando la escritura

PCA(x1 xm, a1, an).

Lo que, en el álgebra escolar, se conoce como una «expresión algebraica» corresponde a esta escritura simbólica de un PCA que, en general, sirve para modelizar tanto el proceso de resolución de un problema aritmético como su estructura. Si asociamos a un problema aritmético el PCA que materializa su proceso de resolución, podemos preguntar qué tipo de problemas aritméticos puede servir como sistema inicial para sustentar la génesis del instrumento algebraico. Postulamos que, dadas las restricciones institucionales que aparecen en la primera etapa de la ESO (12-14 años), debemos limitarnos a aquellos problemas cuyo PCA asociado, una vez simplificado, puede expresarse simbólica-mente en la siguiente forma canónica 1:

PCA(n1, ,nm,a0 ak) b0 + b1 n1 + + bm nm

con ni N desconocidos y ai, bi Z conocidos.

¿Qué cuestiones problemáticas, planteables en la OM en torno a los problemas aritméticos, requieren del uso del instrumento algebraico para ser respondidas y, por lo tanto, podrían posibilitar la génesis funcional del mismo? Postulamos que deben ser cuestiones acerca de las relaciones que deben darse entre los argumentos de dos PCA para que estos proporcionen resultados equivalentes o relacionados de una determinada forma. Recíprocamente, suponiendo que se da cierta relación entre los resultados de dos PCA, las cuestiones versarán sobre el tipo de relaciones que deben darse entre los argumentos de dichos PCA. Veamos unos ejemplos:

1. Esta estructura canónica es la que justifica que denominemos «lineales» a los corres-pondientes problemas.


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T11: Noelia y Marga piensan, independientemente, sendos números. Noelia multiplica su número por 3, resta 18 y acaba dividiendo este resultado entre 9. Por su parte, Marga empieza restando 4 unidades al número que pensó, a continuación multiplica el resultado por 5 y acaba dividiendo el resultado por 10. Si, casualmente, obtienen el mismo resultado final, ¿qué relación hay entre los números pensados por Noelia y Marga?Si denotamos por n el número pensado por Noelia y por m el pensado por Marga, los resultados obtenidos después de aplicar los respectivos PCA son:

PCA(n, 3, 18, 9) = n·3 18

9n3 2;

PCA(m, 4, 5, 10) = (m 4) 5

10m2 2.

Igualando los dos PCA ya simplificados se obtiene n/3 = m/2, es decir, n = 1,5 m: el número pensado por Noelia es una vez y media el número que pensó Marga.

Otros especímenes del mismo tipo de problemas podrían ser los siguien-tes, que solo enunciaremos aquí:

T11 : Si el resultado final obtenido por Marga es la mitad del que ha obtenido Noelia, ¿podrías decir qué relación hay entre los números que pensaron? T11 : Si Noelia pensó el número 9 y ambas obtienen el mismo resultado final, ¿qué número pensó Marga?

En el trabajo de Eva Cid presentado en este mismo libro se propone un proceso de estudio experimentado a lo largo de dos cursos académicos con alumnos de la primera etapa de la ESO, dirigido a desarrollar las técnicas de simplificación de expresiones algebraicas como paso previopara resolver el tipo de problemas mencionado (ejemplificados aquí por T11, T11 y T11 ) que se sitúa en la primera etapa del proceso de algebrización. Dicho trabajo muestra que es únicamente en este ámbito algebraico en el que es posible llevar a cabo, con sentido, la introducción, primero «operatoria» y después «conceptual», de los números negativos.


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3. Tres etapas del proceso de algebrización de las OM escolares

Para avanzar en nuestra descripción del proceso de algebrización tal como hemos iniciado en el apartado anterior, supongamos ahora que los alumnos están en posesión del instrumento algebraico y tomemos como punto de partida un problema aritmético con una estructura más compleja (no «lineal») para ejemplificar con mayor claridad los «saltos» en el tipo de actividad matemática que aparecen progresivamente en las sucesivas etapas del proceso de algebrización. Para ello trabajaremos con el sistema de triángulos isósceles inscritos en una circunferencia. En dicho sistema pueden plantearse inicialmente problemas «aritméticos» resolubles mediante la ejecución de un PCA en forma retórica y el patrón de análisis-síntesis. Estos problemas forman parte de un sistema S mucho más amplio que definimos como aquella OM que incluye los problemas aritméticos en el sentido definido anteriormente y la posibilidad de ejecutar PCA de forma retórica. Veamos un ejemplo concreto:

P0: Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia de radio 6 cm. Si la altura relativa al lado desigual del triángulo mide 9 cm, ¿cuánto vale el área del triángulo? La resolución aritmética (verbal) apoyada en la figura 1 sería la siguiente: si restamos el radio a la longitud de la altura relativa al lado desigual, obtenemos un segmento de 2,625 cm, como muestra la figura; utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos que la mitad del lado desigual del triángulo es 9,3752 (2,625)2, operando obtenemos 9 cm; el área del triángulo se obtiene de multiplicar la longitud de la base (9 2 = 18) por

Figura 1. Triángulo isósceles inscrito en una circunferencia


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la altura (12) y dividirla entre dos; obtenemos por lo tanto que el área del triángulo es de 108 cm2.

En este sistema S se pueden plantear una serie de cuestiones de naturaleza tecnológica relativas a por qué se obtiene el tipo de resultado que se obtiene, a la interpretación de estos resultados, al alcance o dominio de validez de las técnicas y a la delimitación de los tipos de problemas que se resuelven con un mismo PCA, a las condiciones que se requieren (en términos de relaciones entre los datos) para que un tipo de problemas tenga solución o esta sea única, a la estructura del conjunto de las soluciones de los diferentes tipos de problemas, etc. Este cuestionamiento provoca la necesidad de ampliar el sistema inicial mediante progresivas modelizaciones que expondremos a continuación.

3.1. Primera etapa del proceso de algebrización

Identificamos la primera etapa del proceso de algebrización con el momento en que es necesario considerar el PCA como un todo, traducir la formulación retórica del PCA a una formulación escrita (simbólica) y manipularlo globalmente. En esta etapa aparece la necesidad de utilizar nuevas técnicas, esencialmente de «simplificación», para resolver los nuevos problemas 2. El paso de la formulación retórica de un PCA a su formulación simbólica pone en juego la necesidad de escribir la secuencia de operaciones en una única línea, explicitando su estructura de forma global y, por lo tanto, tomando en consideración la jerarquía de las operaciones, las reglas del uso de paréntesis y las propiedades de las relaciones entre ellas (elementos tecnológicos).

Denotaremos por M1 la OM en la que se lleva a cabo esta primera etapa del proceso de algebrización y que constituye una primera ampliación de S, lo que resume la figura 2.

2. Por «simplificar un PCA» se entiende la operación de transformarlo en otro equivalenteque, en cierto sentido, sea más «sencillo» o, mejor, más «adaptado» o «adecuado» para utilizarlo en una actividad matemática concreta. Para ello, se introducen algunos símbolosque permiten identificar y explicitar los argumentos que juegan el papel de parámetros del PCA y cuyo ámbito numérico debe delimitarse.


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Veamos como una pequeña modificación de los datos 3 del problema P0

da lugar a una tarea que se sitúa en M1 porque requiere de la explicitación del proceso de resolución:

P1: Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia y la altura relativa al lado desigual del triángulo mide 3/2 del radio de la circunfe-rencia. ¿Cómo depende el área del triángulo del radio de la circun-ferencia circunscrita?

En el ejemplo anterior, al conocer la longitud del radio (9,375) y la altura relativa al lado desigual (12) podíamos ejecutar el programa de cálculo siguiente:

A = PCA(9,375; 12) = 12·( )2· (9,375)2 (12 9,375)2

2 .

En P0 los argumentos de los que depende el PCA son datos numéricos conocidos y A es la incógnita, es decir, el área del triángulo que estamos buscando. En P1 los datos no son numéricos y, por lo tanto, no es posible la resolución aritmética anterior. Pero se puede utilizar la escritura en línea del PCA utilizando letras en lugar de las longitudes dadas y, por medio de la simplificación, responder a la cuestión planteada:

A = PCA(R; 3·R/2) =

3·R2 2· (R)2 3·R

2 R2

23· 3·R2

4 .

El área del triángulo es el valor del radio de la circunferencia circunscrita al cuadrado multiplicado por 3 3 y dividido entre cuatro.

En P0 los argumentos de los que depende el PCA son datos numéricos conocidos y el área del triángulo buscada es también una cantidad de magnitud. En P1 los datos no son numéricos (son relaciones) y, además, la incógnita tampoco es numérica (es otra relación), por lo que no es

3. La elección de los datos a modificar es relativamente arbitraria y, evidentemente, no es única.

S: OM en torno a los problemas aritméticos + PCA (en forma retórica) + patrón análisis-síntesis

M2: Problemas que requieren la manipulación de PCA escritos P(x, a1 ak) + técnicas de manipulación

Figura 2. Primera etapa del proceso de algebrización


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posible una resolución aritmética. Esta es, esencialmente, la caracteriza-ción de los problemas que se sitúan en la primera etapa del proceso de algebrización.

Es en esta primera etapa donde se sitúan, también, aquellos problemas cuya resolución requiere resolver una ecuación 4 tal que la incógnita aparece únicamente en uno de los miembros. Denotamos por M1 a la OM que contiene este tipo de problemas y que está incluida en M1 ya que los problemas que forman parte de M1 se obtienen a partir de los problemas de M1 sin más que dar un valor numérico concreto a una de las variables que en M1 hacía el papel de parámetro o incógnita. Proponemos a continuación un problema P1 de M1 obtenido a partir de P1:

P1 : Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia, la altura relativa al lado desigual del triángulo mide 3/2 del radio de la circunferencia y el área del triángulo es de 3 3 cm2. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita? Solución: Partimos del PCA escrito y simplificado del problema P1:

A = PCA(R; 3·R/2) =

3·R2 2· (R)2 3·R

2 R2

23· 3·R2

4 .

Sabiendo que A = 3 3 , se puede aplicar la técnica inversa a la ecuación anterior y obtener el valor del radio R = 2.

Queremos remarcar que en los problemas de M1 la ecuación se construye utilizando únicamente técnicas de simplificación (no hay que utilizar técnicas de cancelación puesto que la incógnita aparece únicamente en uno de los dos miembros de la ecuación). En el caso particular de los problemas lineales, la simplificación siempre culmina en una forma canónica que hace innecesarias las técnicas ecuacionales propiamente dichas, puesto que la ecuación resultante después de la simplificación puede resolverse utilizando el patrón de análisis-síntesis. De todos modos, también podemos encontrar problemas no lineales sencillos situados en M1 cuya resolución no requiere de técnicas ecuacionales (véase el ejemplo anterior P1 ).

4. El significado de la noción de ecuación es el usual y puede expresarse como la igualdad entre dos programas de cálculo aritmético que contienen (al menos uno de ellos) una o más incógnitas.


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3.2. Segunda etapa del proceso de algebrización

El paso a la segunda etapa del proceso de algebrización se identifica con la necesidad de igualar dos PCA que contienen los dos mismos argu-mentos no numéricos (x1, x2):

P(x1, x2, a1 ak) = Q(x1, x2, b1 bs).Se requiere de nuevas técnicas, las técnicas de cancelación, puesto

que hay que manipular una igualdad de dos PCA como un nuevo objeto matemático (ecuación). El uso de dichas técnicas tiene por objetivo obtener ecuaciones equivalentes y no solo PCA equivalentes como pasaba con las técnicas de simplificación características de M1. Aparece así un segundo modelo M2 que, además de aumentar el nivel de algebri-zación, amplía y completa M1, como resume la figura 3:

Un ejemplo de problema en M2 podría ser el siguiente:

P2: Dos triángulos isósceles están inscritos respectivamente en circun-ferencias de radios R1 y R2. Se sabe que la altura (relativa al lado desigual) del segundo es el doble de la correspondiente altura del primero y el radio de la segunda circunferencia excede en 1 cm al radio de la primera. Si los dos triángulos tienen la misma área, ¿qué relación hay en cada caso entre la altura del triángulo y el radio de la circunferencia circunscrita?Si denominamos por h1, h2 a las alturas, R1, R2 a los radios y A1, A2 a las áreas respectivamente, podemos expresar ambas áreas mediante los siguientes PCA:

A1 = PCA(R1, h1) = h1· (R1)2 (h1 R1)2

A2 = PCA(R2, h2) = h2· (R2)2 (h2 R2)2

Utilizando las relaciones dadas por el enunciado, h2 = 2h1 y R2 = R1 + 1, e igualando los dos PCA, obtenemos:

h1· (R1)2 (h1 R1)2 = 2·h1· (R1 + 1)2 (2·h1 (R1 + 1))2

M1: Problemas que requieren la manipulación de PCA del tipo

P(x, a1 ak)

M2: Problemas que requieren una igualdad entre dos PCA con los mismos argumentos no numéricos + técnicas de cancelación

Figura 3. Segunda etapa del proceso de algebrización


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que equivale a 14R1h1 15h12 + 16h1 = 0. Así para el primer triángulo

tenemos que la relación entre la altura y el radio es h1 = 14·R1 + 16

15 y la

relación para el segundo triángulo es h2 = 28·R2 + 4

15 .

A continuación describiremos una OM incluida en M2 que tiene una presencia muy destacada en la matemática escolar española. La denominaremos M2 y tiene la misma relación con M2 que M1

con M1. Se trata de la OM que contiene las tareas resolubles mediante ecuaciones con una incógnita. Veamos un ejemplo de tarea matemática de P2 en M2 M2:

P2 : Dos triángulos isósceles están inscritos respectivamente en circun-ferencias de radios R1 y R2. Se sabe que la altura (relativa al lado desigual) del segundo es el doble de la correspondiente altura del primero y el radio de la segunda circunferencia excede en 1 cm al radio de la primera. Si los dos triángulos tienen la misma área y la altura del primer triángulo es de 2 cm. ¿cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita a este triángulo?

Utilizaremos aquí la relación 14R1h1 15h12 + 16h1 = 0 encontrada

anteriormente. Si substituimos el valor de h1 por 2 y llevamos a cabo la resolución de la ecuación de primer grado obtenemos una única solución: R1 = 1 cm.

Queremos apuntar que existe el peligro de identificar la razón de serdel álgebra escolar con la resolución de los problemas situados en M2 . En nuestro MER la OM en la que tiene lugar la segunda etapa del proceso de algebrización, M2, contiene ampliamente a M2 (puesto que los problemas de M2 se obtienen sin más que dar un valor numérico concreto a una de las variables que en M2 hacia el papel de parámetro o incógnita) y, además, la razón de ser del álgebra escolar no se manifiesta plenamente hasta culminar en la tercera etapa del proceso de algebrización. Postulamos que el modelo dominante del álgebra escolar como aritmética generalizada y la correspondiente obligación de que el resultado de una tarea sea numérico es un factor que puede haber llevado a considerar que las tareas de M2 (la traducción del lenguaje natural al lenguaje algebraico


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y la resolución de ecuaciones con una incógnita) constituyen la culmina-ción del álgebra escolar.

3.3. Tercera etapa del proceso de algebrización

La tercera etapa del proceso de algebrización corresponde al momento en que se requiere una fuerte generalización del cálculo ecuacional debido a la necesidad de no limitar el número de variables y de no hacer ningún tipo de distinción entre incógnitas y parámetros. El tipo de cuestiones que provoca esta ampliación tiene relación con el estudio de la variación conjunta de dos o más variables y su repercusión sobre la variación del PCA. Las técnicas para abordar estas cuestiones en el ámbito puramente algebraico son bastante limitadas. Son eficaces en casos sencillos: por ejemplo, si sabemos que R = x y/z, podemos afirmar que el valor de R aumenta cuando x o y aumentan y que disminuye cuando z aumenta. Pero cuando el PCA es más complejo aparecen «fórmulas» mucho más difíciles de analizar si solo disponemos de técnicas algebraicas. Veamos dos ejemplos:

P3: ¿Se puede determinar un triángulo isósceles por su área A y la longitud del lado igual c? ¿Cuánto mide el radio R de la circunferencia donde se inscribe el triángulo? ¿Cómo depende R de la variación conjunta de los lados b y c? Si denominamos h a la altura y c a la magnitud de los lados iguales, utilizando el teorema de Pitágoras tenemos que la longitud del lado desigual del triángulo es b = 2 c2 h2. El área del triángulo viene entonces dada por A = PCA(c, h) = ( )h·2 c2 h2 / 2. Despejando h de la

ecuación, obtenemos el valor de la altura en función de los parámetros cy A:

H = ±c2 ± c4 4·A2

2 .

Hemos determinado las dimensiones del triángulo (h y b) en función de los datos iniciales y podemos concluir que: si el valor de A es mayor que c2/2 no existe ningún triángulo que verifique las condiciones del enunciado; si el valor de A es igual que c2/2 existe un único triángulo que cumpla las condiciones requeridas; y, finalmente, si A es menor que c2/2existen dos triángulos con área A y lados iguales c.


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Veamos ahora cual es la relación con el valor de R. De la fórmula del área deducimos que b = 2A/h. Observando la figura 4 y aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene la igualdad siguiente 5:

(h R)2 + (b/2)2 = (h R)2 + (A/h)2 = R2 . (*)

Deducimos entonces que R =h4 + A2

2h3 .

Para el caso de A menor que c2/2, en el que existen dos triángulos, los

radios de las circunferencias respectivas son h4 + A2

2·h· A2 + h4 + |A2 h4| y

h4 + A2

2·h· A2 + h4 |A2 h4|. El valor de los dos radios solo es igual cuando

A = c2/2, que corresponde al caso en que únicamente existe un triángulo. Para estudiar cómo depende R de la variación conjunta de b y c, podemos partir de la igualdad (*) combinada con h2 + (b/2)2 = c2 para obtener la

expresión: R = c2

4c2 b2 . Deducimos que siempre que 2c > b, tendre-

mos R > 0 y, por lo tanto, existirá una única circunferencia circunscrita al triángulo.

En la resolución que se ha iniciado con el problema P0 hasta su desarrollo que ha desembocado en el problema P3 se ha llevado a cabo la ejempli-ficación de un proceso completo de modelización algebraica que permite dar información acerca de la estructura misma del tipo de problemas que emergen del sistema considerado. Es en esta tercera etapa, cuyo ámbito de trabajo es una OM más amplia y completa que M2 y que denotaremos por M3, donde se encuentran las fórmulas algebraicas y donde consi-

5. En el caso de que h < R, la igualdad sería (R h)2 + (b/2)2 = R2 y el razonamiento no sufriría ningún cambio.

b/2h R

cc

Figura 4. Triángulo isósceles dada el área A y lado igual c


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deramos que culmina el proceso de algebrización elemental, como se resume en la figura 5.

4. El desarrollo del instrumento algebraico: la modelización algebraico-funcional

Vamos a describir a continuación la modelización algebraico-funcional mostrando en qué sentido se puede considerar como un desarrollo de la modelización algebraica. Denominamos primer nivel de modelización algebraico-funcional de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan mediante funciones aisladas de una única variable y las correspondientes ecuaciones (e inecuaciones) asociadas. El paso al primer nivel de modelización algebraico-funcional es provocado por tipos de cuestiones que hacen referencia a la variación de una magnitud del sistema en función de otra. Dichas cuestiones pueden surgir del trabajo en M2 (segunda etapa del proceso de algebrización) pero no pueden ser completamente resolubles ni en M2 ni en M3. Requieren el uso de nuevas técnicas (que llamaremos «funcionales» y «gráficas») y que se sitúan en una nueva ampliación de M2 que designaremos en adelante por OMf(x),como resume la figura 6.

El tipo de tareas matemáticas que forman parte de OMf(x) son las requeridas para estudiar funciones aisladas, es decir, para descubrir las relaciones internas entre los elementos de una misma función y para

M2: Problemas que requieren el uso de una igualdad entre dos PCA con los mismos argumentos no numéricos + técnicas de cancelación

OMf(x): Problemas que requieren el uso de funciones aisladas de una única variable + técnicas gráficas + cálculo diferencial en una variable

M2: Problemas que requieren el uso de una igualdad entre dos PCA con los mismos argumentos no numéricos + técnicas de cancelación

M3: Problemas que requieren el uso de una fórmula algebraica + técnicas para estudiar cómo depende cada variable de la fórmula de las restantes

Figura 5. Tercera etapa del proceso de algebrización

Figura 6. Primer nivel del proceso de modelización algebraico-funcional


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analizar su comportamiento global. Siguiendo con el estudio del sistema de los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia, podemos tomar el siguiente ejemplo de problema situado en OMf(x):

P4: Un triángulo isósceles está inscrito en circunferencias de radio R = 2 cm. ¿Qué dimensiones tendrá el triángulo de área máxima? ¿Cuántos triángulos inscritos en la circunferencia de radio 2 existen que tengan una área A dada? Para determinar el triángulo de área máxima inscrito en la circunferencia, trabajaremos con el modelo que hemos obtenido en el problema P2:

A = PCA(2, h) = (h·(2· 22 (h 2)2 ))/2 h· 4h h2.R es un parámetro fijado por el enunciado; por lo tanto, podemos pensar que el área A es una función que depende de h:

A(h) = h· 4h h2. Usando una técnica gráfica de la figura 7 podemos determinar de forma aproximada 6 el valor máximo del área, que se alcanza cuando h = 3 (y b = 2 3 ) y es A(3) = 6 3. Observamos que el valor del lado igual c, que se obtiene de la igualdad h2 + (b/2)2 = c2, mide 2 3 cm, es decir, coincide con la base del triángulo; así el triángulo de área máxima es un triángulo equilátero. La gráfica de la función A(h) también nos permite responder a la segunda cuestión planteada. Para un valor A fijado del área, menor que el valor del área máxima, existen dos posibles alturas de triángulos (h1 y h2) como se

6. También podría usarse la técnica de derivación y calcular A (h) e igualar la función resultado a cero.

A

h1 h2

Figura 7. Relación entre el área A del triángulo y su altura h


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indica en la figura de la derecha, es decir, existen dos triángulos dife-rentes inscritos en la circunferencia de radio 2 con la misma área.7

Denominamos segundo nivel de modelización algebraico-funcional de un sistema el que se materializa en modelos que se expresan precisamente mediante familias de funciones de una variable y las correspondientes ecuaciones (e inecuaciones) paramétricas asociadas. En este segundo nivel de modelización se distingue entre «parámetros» y «variables» ya que se trabaja con familias de funciones de una variable, pero no con funciones de dos variables. Denominaremos OMfp(x) a la OM que amplía OMf(x) para contener estos nuevos problemas:

Un ejemplo de problema que se situaría en este segundo nivel es:

P5: ¿El perímetro y el área de un triángulo isósceles determinan sus dimensiones? En caso afirmativo, ¿cuál es el radio R de la circunferencia circunscrita?Para dar respuesta a esta cuestión se requiere explicitar la ecuación del problema en función de los parámetros A (área) y P (perímetro). De la definición de perímetro obtenemos la relación c = (P b)/2. Utilizando dos relaciones usadas en los problemas anteriores (A = hb/2 y h2 + (b/2)2 = c2), llegamos a 2Pb + Pb2 16A2 = 0. No parece sencillo, a partir de aquí, estudiar con técnicas algebraicas cómo depende b de los valores de A y P, situación que motiva el uso de estrategias funcionales

7. Se podría llegar a la misma conclusión a partir del estudio del signo de la derivada de la función y usando algunos de los teoremas de continuidad de funciones de una variable real. Con el uso de técnicas de aproximación numéricas para el cálculo de raíces (método de bisección, de Newton-Raphson, etc.) es posible calcular h1 y h2 para cada valor concreto de A > 0.

OMf(x): Problemas que requieren el uso de funciones aisladas de una única variable + técnicas gráficas + cálculo diferencial en una variable

OMfp(x): Problemas que requieren el uso de una familia de funciones fp(x, y) = 0, donde una de las variables puede aislarse y = Fp(x) + teoría de familias de funciones de una variable

Figura 8. Segundo nivel del proceso de modelización algebraico-funcional


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para abordar el problema planteado, utilizando la familia de funciones fA(P, b) = 2Pb3 + P2b2 16A2. Ahora el problema se traduce al estudio de cuántas veces interseca nuestra función con el eje de abscisas, problema que puede resolverse calculando la derivada parcial de frespecto de la variable b:

6Pb2 + 2P2b.

Igualando esta derivada a cero, deducimos que en b = 0 se sitúa el mínimo relativo de la función y, por lo tanto, nunca existirán tres triángulos isósceles diferentes con el mismo perímetro y área, ya que existe siempre un punto de corte negativo con el eje de abscisas. En b = P/3 hay un máximo relativo para el que se tiene: fA(P, P/3) = P4/27 16A2. Si

fA(P, P/3) = P4/27 16A2 = 0, es decir, si A = P2

12 3, existe un único

triángulo isósceles (que será también equilátero) con área A y perí-

metro P. Si A >P2

12· 3 no existe ningún triangulo isósceles y si

A < P2

12· 3 existen dos triángulos isósceles.

Denominamos tercer nivel de modelización algebraico-funcional de un sistema, el que se materializa en modelos que se expresan mediante familias de funciones de dos o más variables y las correspondientesfórmulas asociadas. En este tercer nivel de modelización el papel de los parámetros y de las variables es intercambiable. Se estudia cómo repercute la variación conjunta de dos o más variables sobre la variación de una función. Esta tarea puede plantearse en OMfp(x) aunque, como ha pasado en los casos anteriores, no existen técnicas en esta OM que permitan su completa resolución.

Denominaremos OMf(x1, ,xn) la OM que incluye las nuevas técnicas que se requieren para resolver estos nuevos tipos de problemas:

OMfp(x): Problemas que requieren

el uso de una familia de funciones fp(x, y) = 0 + cálculo de funciones de una variable

OMf(x1, , xn): Problemas que requieren el uso de funciones de dos o más variables + cálculo diferencial de funciones de varias variables

Figura 9. Tercer nivel del proceso de modelización algebraico-funcional


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Para finalizar veamos a continuación el tercer nivel de modelización algebraico-funcional plasmado en nuestro ejemplo:

P6: Dado un triángulo isósceles de área A inscrito en una circunferencia de radio R, estudiar la variación del perímetro en función de A y R.Sea b el lado desigual del triángulo, h la altura relativa a este lado y c el lado igual. Despejando b de la fórmula del área de un triángulo tenemos que b = 2A/h y, por lo tanto, el perímetro viene dado por P = 2c + b = 2c + 2A/h. Basándonos en la resolución del problema P3, se obtienen las dos igualdades siguientes:

(h R)2 + (b / 2)2 = R2 y h2 + (b / 2)2 = c2,

de donde se deduce que c = 2Rh.Podemos expresar el perímetro como un programa de cálculo con varios parámetros:

P(R, A, h) = 2 2Rh + A/h,

donde 0 A 3 3 R2/2 y A/R h 2 R, y estudiar la variación de esta función con las técnicas de cálculo de varias variables.

Si retomamos el problema P3 en genérico, se puede calcular que el valor del área máxima se obtiene cuando h = 3R/2; por lo tanto, cuando A sea un valor menor que el valor del área máxima, que corresponde a 3 3 R

2/2, las alturas de los dos triángulos solución h1, h2 verificarán la

relación siguiente: h1 < 3R/2 < h2. Así para el triángulo de altura h2

siempre se verificará R < (3R/2)3 < h23/2; por lo tanto, una variación de

una unidad de R provocará siempre mayor variación de la longitud del perímetro del triángulo.

En cambio, para el triángulo de h1 no podemos dar una respuesta única, ya que dependerá del resultado numérico.

Como hemos visto, la línea de evolución del proceso de estudio nos ha llevado a la construcción de funciones de varias variables. Es importante remarcar que muchos de los problemas que se sitúan en OMf(x1, ,xn), esto es, en el tercer nivel de modelización algebraico-funcional, pueden expre-sarse mediante un PCA similar al de los problemas de la tercera etapa, M3, del proceso de modelización algebraica, esto es, mediante un PCA del tipo:


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PCA(x1 xm, a1, an ) = 0.

Pero, considerada como organización matemática, OMf(x1, ,xn) contiene y completa ampliamente a M3 por dos motivos principales. En primer lugar, porque OMf(x1, ,xn) incluye el trabajo con funciones de varias variables que no sean «algebraicas» (por ejemplo aquellas definidas mediante la composición de funciones logarítmicas, exponenciales, circulares, etc.) y, en segundo lugar, aunque nos restrinjamos dentro de OMf(x1, ,xn) a problemas definidos mediante funciones «algebraicas». No hay que olvidar que OMf(x1, ,xn) contiene tareas, técnicas matemáticas y elementos tecnológico-teóricos que no existen en M3 y, por lo tanto, permite plantear (y responder) cuestiones matemáticas no abordables con los instrumentos matemáticos de M3. En términos generales podríamos decir que, mientras las tareas propias de la modelización algebraica se caracterizan por el hecho de que los datos son relaciones algebraicas y la incógnita es también una relación algebraica, las tareas específicas de la modeliza-ción funcional se caracterizan por incluir el estudio de la variación continua de una variable respecto de otra u otras, lo que requiere el uso de técnicas funcionales y, en particular, de las técnicas y el discurso tecnológico-teórico que proporciona el cálculo diferencial.

Acabamos de describir una herramienta que debería facilitar y organizar el diseño y análisis posterior de diferentes propuestas didácticas integradas para llevar a cabo la génesis didáctica y el desarrollo del álgebra como instrumento de modelización en la enseñanza secundaria. Por otra parte, ya hemos realizado algunas experimentaciones situadas en la primera y segunda etapa del proceso de algebrización con alumnos de primer ciclo de la ESO y también en el primer y segundo nivel de modelización algebraico-funcional con alumnos de segundo ciclo de la ESO y bachillerato. Creemos que el cambio de visión sobre el álgebra escolar que proponemos será el punto de partida para dar solución a algu-nos fenómenos didácticos ya mencionados anteriormente y articular algunas de las organizaciones matemáticas que aparecen (o podrían aparecer) en Secundaria. Pero deberemos esperar al cuarto congreso de la TAD para empezar a mostrar algunos resultados en esta línea de investigación.


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Agradecimientos Trabajo realizado en el marco del proyecto EDU2008/02750EDUC del Ministerio de Ciencia e Innovación de España.

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