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31

LA DERIVADA

DERIVACIÓN CON FÓRMULAS1

Para encontrar la derivada de una función con fórmulas utiliza tu formulario de matemáticas VI, y recuerda que las primeras letras del abecedario como son a, b, c y d representan a constantes es decir números fijos.

Dada una función “f(x)” ó “y”, su derivada la denotaremos por el símbolo ddx si la variable en cuestión es “x” o

ddt si la variable es “t”, además el símbolo antes mencionado no es una fracción donde “d” sea el numerador y

“dx” el denominador, sino todo junto representa la derivada de la función con respecto de la variable

considerada ( ( )d f xdx

“derivada con respecto de x de f de x”, d ydx

“derivada con respecto de x de y”, ( )d f tdt

“derivada con respecto de t de f de t) Empecemos con la siguiente función:

Ejemplo 1.- 3 24 3 5f x x x , ésta función está compuesta por tres términos y según la fórmula 3 (F3) al

derivarla se derivará cada término de la función:

3 2 3 2( ) (4 3 5) 4 3 5d d d d df x x x x xdx dx dx dx dx

Cada uno de los 3 términos se derivan de la siguiente forma:

3 3 3 1 2

74

4 4 (4)(3) 12F

F

d dx x x xdx dx

2 2 2 1

74

3 3 (3)(2) 6F

F

d dx x x xdx dx

1

5 0

F

ddx

, entonces tenemos 3 2 24 3 5 12 6 0d d dx x x xdx dx dx

, es decir

3 2 2( ) (4 3 5) 12 6d df x x x x xdx dx

2( ) 12 6d f x x xdx

Ejemplo 2.- 1

5 3 2 2( ) 3 7 83

f x x x x , ahora derivemos sin explicar paso a paso sino un poco más directo:

15 3 2 2( ) 3 7 8

3d df x x x xdx dx

(F3)

1

5 3 2 2( ) 3 7 83

d d d d df x x x xdx dx dx dx dx

1

5 3 2 2( ) 3 7 83

d d d d df x x x xdx dx dx dx dx

(3 veces F4)

1 14 2 21( ) (3)(5) (7)(3) (8) 0

2d f x x x xdx

(3 veces F7 y una vez F1)

1

4 2 2( ) 15 21 4d f x x x xdx

1 Encuentra tu formulario en el Anexo 1

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32

Ejemplo 3.- 1xy

x , como puedes ver, ésta función es una fracción, encontremos su derivada:

1

d d xydx dx x

(F8) “u = x; v = x+1”

2

1

F

d xdx

2

( 1) ( ) ( ) ( 1)

( 1)

d dx x x xd dx dxydx x

2 1

3

( 1) 1 1 0 1F F

F

d d dx xdx dx dx

2

( 1)(1) ( )(1)

( 1)

x xd ydx x

2 2

1 1( 1) ( 1)

d x xydx x x

2

1( 1)

d ydx x

Las notaciones anteriores ( ) ydyd f x

dx dx las podemos cambiar por f´(x) y y´ respectivamente, y se leen “f

prima de x” y “y prima”.

Ejemplo 4.- 4( ) 2 1f x x , encontremos su derivada 'f x .

4

4

4

27

(2 1)( ) 2 1

2 2 1F

d xd d dxf x xdx dx x

4

3

4

(2 ) 1

( )2 2 1

F

d dxdx dx

d f xdx x

3

4

(2)(4)'( )

2 2 1

xf x

x

4 4 4 1

714

2 2 (2)(4) ; 1 0F

FF

d d dx x xdx dx dx

3

4

4'( )2 1

xf xx

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33

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

Funciones Explícitas: Son aquellas funciones donde la y (y=f(x)), aparece despejada.

2

2

2

( ) 5 1

4 1

1

1

sen 1

f x x x

y x x

xyx

xf x

x

Funciones donde está despejada “y”

Funciones Implícitas: Son aquellas en donde la “y” no aparece despejada

2 2

2

3 2

22

4

2 3 1

4

13 2

x y

x xy

x x y

yx

Funciones donde NO está despejada “y”

Recordemos que el símbolo que representa la derivada de una función es ddx

, y que 1ddx

, ahora para derivar

una función implícita lo que debemos de tener en cuenta es lo siguiente:

Por ejemplo, encontrar la derivada de y si: 22 4x xy y

(Ojo esto es una multiplicación)

Derivamos en ambos lados de la ecuación, y procediendo como hasta ahora se había hecho para una función explícita:

2(2 ) 4d dx xy ydx dx

22 4d d d dx x y ydx dx dx dx

Hay que aplicar la fórmula de multiplicación

4 ( ) 0d d dx x y ydx dx dx

4 ( ' ) ' 0x xy y y

Quitamos paréntesis simplificando

4 ' ' 0x xy y y

Pero “y prima o derivada de y”

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Finalmente hay que despejar a 'y , y recuerda si quieres despejar una variable y aparece varias veces, hay que

pasar todos los términos que contienen a dicha variable de un solo lado de la igualdad (puede ser el derecho o izquierdo) 4 ' ' 0

' ' 4

x xy y y

xy y x y

Ahora se factoriza (siempre) a 'y

'( 1) 4

4'

1

y x x y

x yy

x

Ejemplo 2.- Encontrar 'y si 6 2 2y xy x

Derivando ambos lados

(6 2 ) 2d dy xy xdx dx

6 2 2d d d dy xy xdx dx dx dx

Producto (al derivar se generan dos términos)

6 ' 2( ' ) 1 0y xy y los paréntesis son necesarios ya que –2 afectará a los dos términos

Quitando paréntesis

6 ' 2 ' 2 1 0y xy y

Para despejar a y’ hay que dejarla de un solo lado de la igualdad (derecho o izquierdo) para posteriormente factorizarla. 6 ' 2 ' 2 1

'(6 2 ) 2 1

2 1'

6 2

y xy y

y x y

yy

x

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EJERCICIOS Encontrar 'y si:

a) 3 3 2x y b) 3xy x c) 22 3x y x

d) 2 2 9x y e) 2 32 3 5x y f) 2x y

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36

DERIVADAS SUCESIVAS Y TRANSCENDENTE

Al tener una función en general, por ejemplo 4 3 23 5 4 6f x x x x y obtener su derivada, tenemos

3 2´ 12 15 8f x x x x , la cual vuelve a ser una función de “x” y por tanto podemos hablar de su derivada.

4 3 23 5 4 6f x x x x

3 2( ) 12 15 8d f x x x xdx

ó 3 2( ) 12 15 8f x x x x

Ahora, derivando a la derivada.

2

2

2( ) 36 30 8d d df x x x

dx dx dx ó 2( ) 36 30 8f x x x

La derivada de la derivada o mejor dicho la segunda derivada (derivada de segundo orden) vuelve a ser una función de “x”, de la cual por tercera vez podemos encontrar su derivada.

2 3

2 3( ) 72 30d d df x x

dx dx dx ó ( ) 72 30f x x

Y así sucesivamente.

Ejemplos.- Encontrar la segunda derivada de las siguientes funciones

a) 1

xyx

1

d d xydx dx x

2

( 1) ( ) ( ) ( 1)

( 1)

d dx x x xdx dxy

x

2

( 1)(1) ( )(1)

( 1)

x xy

x

Notemos que la notación para las derivadas sucesivas o de orden mayor queda para :

Primer derivada:

“y prima” ó “f prima de x”

Segunda derivada:

“y biprima” ó “f biprima de x”

Tercer derivada:

“y triprima” ó “f triprima de x”

y así sucesivamente.

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37

2 2

1 1( 1) ( 1)x xy

x x

2

1( 1)

yx

Ahora, encontremos la segunda derivada.

2 2

2 2

( 1) (1) (1) ( 1)

(( 1) )

d dx xx dxy

x

2 1

4

( 1) (0) (1)(2)( 1)

( 1)

x xy

x

Finalmente.

1

4 3

(1)(2)( 1) 2( 1) ( 1)

xy

x x

3

2( 1)

yx

EJERCICIOS Encontrar ''y

a) 8 67 5 4y x x x b) 2xy e

c) 2seny x d) 225

yx

e) xy e f) lny x x

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g) tany x h) 2ln(1 )y x

i) sen3y x j) ln

1

x

x

eye

NOTA: Una función se dice que es trascendente si contiene expresiones con logaritmos, exponenciales, trigonométricas e inversas de las trigonométricas

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39

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

Dada una función ( )f x , su derivada ésta definida formalmente como el límite de la razón entre el cambio de la

función y el cambio de la variable independiente, es decir: 0

( ) ( )( )

h

f x h f xd f x límdx h

es decir,

geométricamente significa:

Tm : Pendiente de la recta tangente en el punto x a

Cuando tú encuentras la derivada de una función, lo que obtienes es una expresión que representa la pendiente de cualquier recta tangente a la curva ( )f x

Si evalúas la derivada de ( )f x en el punto x a , el valor encontrado es la pendiente de la recta tangente a la

curva en el punto x a .

Recta tangente: recta que corta en un solo punto a una curva.

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Ejemplo 1.- Considera la función 2( ) 1f x x , cuya gráfica debes ya conocer y es la siguiente;

Si trazamos una recta tangente a la función 1)( 2 xxf en el punto cuando 2x nos queda:

La recta tangente a la curva de 2( ) 1f x x le corresponde una pendiente, la cual se obtiene como ya

se había mencionado con la derivada de ( )f x evaluada en (2,5) [ 2, 5]x y

Derivando

2( ) 1f x x ( ) 2d f x xdx

, ahora evalúo a '( )f x en el punto (2, 5)

4)2(2)5,2(' f

Ejemplo 2.- Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva 32 4 2y x x en 1x [En este caso solo se da la abscisa del punto de tangencia] Para encontrar lo que se está pidiendo no es necesario graficar, encontremos la derivada de y.

2' 6 4y x

Evaluando y’ en 1x

2'( 1) 6( 1) 4

6 1 4 2

y

Para encontrar la ordenada (la y) del punto de tangencia evalúa en tu función cuando 1x 3( 1) 2( 1) 4 ( 1) 2y x

2 4 2 4 (1, 4) punto de tangencia

2m pendiente de la recta tangente a la curva 32 4 2y x x en el punto (1, 4)

Ejemplo 3.- Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva 2 24 5x y en el punto 12,2

derivando 2 24 5x y 2 4(2) ' 0x y y

despejando a y’

No se utiliza pues la derivada no contiene ninguna y

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41

2 8 ' 0x y y 8 ' 2y y x simplificando '4

xyy

Ahora para la pendiente de la recta tangente en el punto 12,2

1

[ 2, ]2

x y , tenemos

evaluando

'4

xyy

21 2' 2, 1

2 2142

y

1RTm Pendiente de la recta tangente a la curva 2 24 5x y en el punto 12,2

EJERCICIOS Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado

1) 2( ) 3 6 4f x x x si 2x

2) ( )1

xf xx

en 11,2

3) 3 4 3x xy si 1x

4) 2 2 4x y si 0x

5) 39( )4

f xx

si 1x

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43

1 4 41 14

Nm

4Nm

Pendiente de la recta normal

La ecuación de la recta normal queda:

34( ( 3))

2y x

34( 3)

2y x

34 12

2y x

Ahora para quitar el 2 de denominador que hay, multiplica a toda la ecuación por 2 2 3 8 24y x

y finalmente se pasan todos los términos del lado donde la “x” sea positiva 8 2 3 24 0x y

8 2 21 0x y

EJERCICIOS Encontrar la ecuación de la tangente y la normal para las funciones en el punto indicado:

a) 2( ) 5 3 8f x x x 2x

b) 1( ) xf xx 3x

c) ( ) 1f x x 0x

Ecuación de la recta Normal

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d) 2 2 4x y ( 1,1)

e) 2 22 4x xy y (0,2)

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45

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Se dice que una función es creciente en un punto x a si ' 0f a , es decir la derivada evaluada en el punto

x a es positiva, y va ser decreciente si es negativa ' 0f a

Ejemplo 1.- Dada una función 22 8 5f x x x para saber en qué intervalo es creciente o decreciente se

procede de la siguiente manera: Primero se encuentra la derivada de la función y se iguala a cero

22 8 5f x x x

derivando

( ) 4 8d f x xdx

ó ' 4 8f x x

Igualando el resultado a cero. 4 8 0x

Se resuelve la ecuación que resulta 4 8 0

4 8

8 24

x

x

x

En 2x la derivada vale cero. Ahora como queremos saber dónde la derivada es positiva o negativa, representemos en la recta numérica 2x que es donde la derivada vale cero y lo tomaremos como referencia

Tomemos un a valor de x antes de 2x , por ejemplo 3x , entonces

´ 3 4 3 8f derivada evaluada en 3x

´ 3 4f negativa

Como la derivada fue negativa en 3x la función es decreciente en cualquier punto antes de 2x ,

o sea, f x es decreciente en el intervalo ( , 2)

Ahora tomemos un punto después de, por ejemplo 0x y evaluemos en la derivada

’ 0 4 0 8f

’ 0 0 8 8f positiva

Como la derivada fue positiva la función es creciente en cualquier punto después de 2x , es decir

f x es creciente en ( 2, )

Aquí la derivada vale cero

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46

EJERCICIOS Decir en que intervalo las siguientes funciones son crecientes o decrecientes

a) 23 12 4f x x x

b) 25 3 1f x x x

c) 3 22 12 18f x x x x

d) 3 243

6 112f x x x x

e) 24 3 8f x x x

f) 3 29 15f x x x

g) 4 4f x x x

www.ca

lixto.

com.m

x

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47

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN

RTa, RTb, RTc y RTd son las rectas tangentes a la curva f en los puntos a, b, c y d respectivamente. Claramente la pendiente de las rectas antes mencionadas es cero, entonces cuando un función alcanza su mínimo o máximo valor, la derivada en estos puntos es cero.

Para encontrar los mínimos y máximos de una función, primero se deriva y se iguala a cero a la derivada obtenida. Después se resuelve la ecuación resultante para encontrar los puntos críticos (así se les llama pues aún no se sabe si serán mínimos o máximos). Después hay que encontrar la segunda derivada (la derivada de la derivada) y evaluarla en dichos puntos críticos, si resulta positiva entones será ese el valor de “x” donde la función alcanza su mínimo valor. Y si al evaluar en la segunda derivada un punto crítico resulta negativa, entonces en ese valor es donde la función alcanza su máximo valor.

Ejemplo 1: Encontrar el mínimo y el máximo valor de la función 3

22 4 63xf x x x

Primero encontremos la derivada de f x

2'3

f x 3

2

2 2

4 2 6

' 2 8 6 Igualando a cero 2 8 6 0

x x

f x x x x x

Recuerda: La pendiente de toda recta vertical es cero. La derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto.

Si (positiva) La función alcanza su mínimo valor en x.

Si (negativa) La función alcanza su máximo valor en x.

Sugerencia:

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48

Ahora hay que resolver la ecuación de segundo grado que resultó

2 2FACTORIZANDO FACTORIZANDO2 8 6 0 2 4 3 0 2 1 3 0x x x x x x

1 0 3 0

1 3 puntos críticos

x ó x

x x

Encontrando la segunda derivada

2 DERIVANDO' 2 8 6 '' 4 8f x x x f x x

Evaluando la segunda derivada en los puntos críticos

'' 1 4 1 8 4 8 4 4 0 (negativo)f

Entonces la función alcanza su valor máximo cuando 1x

'' 3 4 3 8 12 8 4 4 0 (positivo)f

Entonces la función alcanza su valor mínimo cuando 3x Finalmente encontremos el valor mínimo y máximo de la función

3 2

Que es 2

3 2

2 2 2 2 6 8 81 1 4 1 6 1 4 6 2 1, Máximo3 3 3 3 3 3 3

2 23 3 4 3 6 33 3

f

f

3 3 3 36 18 18 18 0 3,0 Mínimo

Para que un producto de cómo resultado cero, uno de los factores (cualquiera) debe ser cero

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Ejemplo 2: Si 2 42y x x encontrar el mínimo y máximo valor de y.

2 4 3 3DERIVANDO IGUALANDOA CERO2 ' 4 4 4 4 0y x x y x x x x

Para resolver la ecuación resultante se factoriza

3 2FACTOR COMÚN DIFERENCIA4 DE CUADRADOS4 4 0 4 1 0 4 1 1 0xx x x x x x x

Un producto resulta cero cuando alguno de sus factores es cero, entonces

4 0 ó 1 0 ó 1 0

0 1 1 Puntos círticos

x x x

x x x

Ahora evaluamos en la segunda derivada los puntos que encontramos 3 2DERIVANDO' 4 4 '' 4 12y x x y x

2

2

2

'' 0 4 12 0 4 como 4 0 (es positivo) en 0 hay un mínimo.

'' 1 4 12 1 4 12 8 como 8 0 (es negativo) en 1 hay un máximo.

'' 1 4 12 1 4 12 8 como 8 0 (es negativo) en 1 hay un máximo.

y x

y x

y x

finalmente encontremos los valores mínimos y máximos.

2 4

2 4

2 4

0 2 0 0 0 (0,0) mínimo

1 2 1 1 2 1 1 1,1 máximo

1 2 1 1 2 1 1 1,1 máximo

y

y

y

EJERCICIOS Encontrar los valores mínimos y máximos para las siguientes funciones:

a) 3 26 9f x x x x

b) 3 3 4f x x x

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50

c) 24 3 8f x x x

d) 3 23 2f x x x

e) 2

24

xf xx

f) 2 1xf x

x

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