FACULTAD DE MEDICINA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

UNIVERSIDAD ANDRES BELLO

MATEMATICAS AVANZADAS - FMM007

PRIMER SEMESTRE 2010

GUIA DE DERIVADAS

1. Calcular la derivada f ′(x), de:

(a) f(x) = 1− 2x+ 3x2 − 4x3

(b) f(x) =3x10

5− 4x6

3+

5x3

6− 9

2

(c) f(x) =2

3x− 3

4x2+

4

5x3− 5

6x4

(d) f(x) = 4√x3 − 6

3√x4 + 8

4√x5

(e) f(x) =1√x− 1

3√x− 1

4√x

(f) f(x) =3x2 − 4x+ 5

6√x

(g) f(x) =

(x− 1

x+

1

x2

)(√x− 1√

x

)(h) f(x) = (x3 + 1)2 · (x2 − 1)3

(i) f(x) =2x

x2 + 5

(j) f(x) =1

x2 − x+ 1

(k) f(x) =1

1 + x2+ x5 sin(x)

(l) f(x) =x sin(x)

1 + x2

(m) f(x) =ax2 + bx+ c

sin(x) + cos(x)

(n) f(x) = (2x+ 1)(3x+ 2) 3√

3x+ 2

(o) f(x) =

√x+

√x+√x

(p) f(x) = ln(x+√x2 − a2)− x2 + a2

x

2. Calcular y′ de:

(a) x3 + y3 − 3axy = 0

(b) x1/2 + y1/2 = a1/2(c) cos(xy) = x

(d) x cos(y) = y sin(x+ y)

3. Determine y′′′ de las funciones:

(a) y2 − 2xy = 0

(b) y = tan(x+ y)

(c) y = (x2 + y2) arctan(xa

)(d) y = ln(sinx)

4. Determine y(n) de las funciones:

(a) y = cos(ax)

(b) y = ln(1 + x)

(c) y = e2x

(d) y = ax

5. Demuestre que la funcion:

(a) y = ex sin(y), satisface: y′′ − 2y′ + 2y = 0

(b) y =1

2(x2 + 2x+ 2), satisface 1 + (y′)2 = 2yy′′

(c) y = 2e−2x +(c+

x

3

)ex, satisface y′′ + y′ − 2y = ex

(e) y = 8(x− 1)ex, satisface (x− 1)y′ = xy

(f) x2 + y2 = a2, satisface (1 + (y′)2) y′′′ − 3y′(y′′)2 = 0

(g) xesin(y/x) = c, satisface y′x cos(yx

)= y cos

(yx

)− x

6. Dada la funcion y =√

2mx, demostrar que y′ =m

y

7. Si xnym = (x+ y)m+n demuestre que y′ =y

x

8. Si ex − ey = ea verificar que y′ =exey − e2x

e2y

9. Suponga que h(x) = f(x)g(x) y F (x) = f [g(x)], donde f(2) = 3, g(2) = 5, g′(2) = 4, f ′(2) = −2y f ′(5) = 11, encuentre

(a) h′(2) (b) F ′(2)

10. Sea f(x) = x ln(e2x − 2) verificar que f ′(ln 3) = ln 7 + 18 ln 7√

3

11. Sea f : R→ R tal que f ′(x) = ex(1 + cos2(πx)) y se sabe que f(1) = 3. Muestre que:

2a(f−1)′(3) + f−1(3)

2a2(f−1)′(3)− 1

2(f−1)′(3)

=1

a− e

12. Sea f(x) = ln

(√x−√a√

x+√a

), verificar que: f ′(4a) + f(4a) =

1− 6a ln 3

12a

13. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la curva y = 4x− x2 en el punto P (3, 7).

14. Hallar la ecuacion de la recta tangente y normal a la curva y = x3 + 3x2 + x + 4 en el puntoP (1, 5).

15. ¿En que punto la tangente a la parabola

y = x2 − 7x+ 3

es paralela a la recta 5x+ y − 3 = 0?

16. Encuentre la recta tangente a la curva de ecuacion

ln

(3

4+ x2 + y

)= sin(yx)

en el punto P donde la curva intersecta al eje de las abscisas (y = 0), con abscisa positiva(x > 0).

17. Sea g : R → R dos veces derivable con g′(x) 6= 0 en todo R y f : R → R definida por

f(x) = cos(kg(x))

a) Demuestre que f , f ′, f ′′, g, g′, g′′ satisfacen la relacion

f ′′ − f ′ · g′′

g′+ (kg′)2f = 0

b) Calcule f (n)(0) para g(x) = x.

18. Hallar los maximos y mınimos (si existen) en las siguientes funciones

(a) f(x) = x2 − 6x+ 11

(b) f(x) = 1 + 4x− x2(c) f(x) = x3 − 9x2 + 24x− 13

(d) f(x) = x3ex

19. Dado a > 0, verificar que la funcion de variable real

f(x) =

(a− 1

a− x)

(4− 3x3)

tiene exactamente un solo maximo local y un solo mınimo local y que la diferencia entre losvalores alcanzados es

4

9

(a+

1

a

)3

¿Cual es el menor valor de esta diferencia para diferentes valores de a?.

20. Determine el mayor volumen de un cilindro de radio r y altura h, donde P = (h, r) recorre larecta L : ax+by = ab, a, b > 0 y a+b = 1. Analizar para que valor(es) de a este mayor volumense maximiza.

21. Un envase TetraPak se fabrica plegando un rectangulo de carton como indica la figura ( lasregiones achuradas corresponden a los pliegues de las esquinas)

Se desea determinar las dimensiones optimas a, x, y que minimicen la superficie del rectangulooriginal para un volumen total de 1000 (litros)

22. Un globo esferico es inflado con gas, que ingresa a razon de 80[m3/min]; en el instante en quealcanza un radio de 10[m]. Hallar la velocidad a la cual se esta incrementando su radio.

23. Un embudo de forma de cono invertido tiene 5 [cm] de radio, 8 [cm] de altura, un lıquido fluyedentro del embudo a razon de 12 [cm3/seg] y fuera a 4 [cm3/seg]. Con que rapidez sube el lıquidocuando se encuentra a 5 [cm] de altura.

24. Un barco se encuentra a una distancia de 15 [km] al este de un punto O, moviendose hacıa eloeste con va = 20 [km/h]; otro barco se encuentra a 60 [km] al sur de O, moviendose hacia elnorte a 15 [km/h]. Determinar si los barcos se acercan o alejan al cabo de una hora y a quevelocidad.

25. Hallar el area maxima del rectangulo inscrito en un triangulo rectangulo de dimensiones 6 ; 8 ; 10cm (Dos lados del rectangulo coinciden con los lados del ractangulo).

26. Hallar el rectangulo de maxima area, que puede inscribirse en una semicircunferencia de radio10 [cm] (las bases deben coincidir).