Prof. Enrique Mateus NievesDoctorando en Educacin Matemtica.

Derivadas de las funciones trigonomtricas inversas

Se usa la derivacin implcita para hallar las derivadas de las funciones trigonomtricas inversas.Ya que si )x(f es derivable, su inversa notada )x(f 1 tambin es derivable, excepto donde sutangentes son verticales. Esto es posible porque la grfica de una funcin derivable no tiene vrtices nibucles, de ese modo, si al refleja con respecto a y=x, la grfica de su funcin inversa tampoco tienevrtices ni bucles.

La derivada de una funcin trigonomtrica inversa se nota como: x senarcdx

dxsen

dx

d1 , cualquiera

de las dos notacin es aceptada. Se definen:

2x-1

1x senarc

dx

dxsen

dx

d1

2x-1

1-xcosarc

dx

dxcos

dx

d1

2x1

1xtanarc

dx

dxtan

dx

d

1

2x1

1-xcotanarc

dx

dxancot

dx

d

1

1

1

2xx

1x secarc

dx

dxsec

dx

d 1

1

2xx

1-xcscarc

dx

dxcsc

dx

d

Ejemplo 1: Derivexsen

y1

1

Solucin: 111

1 xsenxsen

y de ah que: xsendx

dxsenxsen

dx

d

dx

dy 12111

221 11

xxsen

Ejemplo 2: Derive xarctanxxf la forma de f(x) es de un producto, por tanto aplicamos la frmulacorrespondiente, veamos:

Solucin: xarctanxx

xx

xxarctan.xf

121

11 2

1

21

2

Ejercicios:

Encuentredx

dy por derivacin implcita, simplifique al mximo donde sea posible:

1. xarctany 2. xtany -1 3. 12 x senxf -1

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4. x secxxg -112 5.

tcottcotanarcth

11

6.x1

x-1arctany

7. x-1 ecosy 2 8. 122 xy

9. 32 yx 10. xyyyxx 322 11. yyx 12

12. 132 xcossenxycosxsen 13. 01 2 x-1y esenxcosePara los ejercicios, del 14 al 19, utilice la derivacin implcita para encontrar una ecuacin de la rectatangente a la curva en el punto dado:

14. elipse.una1,1p,yxyx 322

15. hiprbola.1,2p,xyxyx 22 22

16. Cardiode.un0,p,xyxyx 21 22222 22

17. astroide.un,133-p,yx 43232

18. .lemnixcatauna3,1p,yx)yx( 22222 252

19. diablo.delcurva0,-2p,xx)y(y 54 2222