DERIVADAS. Pág. 2 mjp Tasa se variación media Llamamos tasa de variación media de una función f...
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DERIVADAS
DERIVADAS Pág. 2mjpmjp
Tasa se variación media
Llamamos tasa de variación media de una función f entre a y b con a < b al cociente entre la variación de f(x) y la de x en el intervalo [a, b].
ab
afbfMVT
)()(
...
Ejemplo:
14
1)( 2 xxf
ab
afbfMVT
)()(]4,2.[..
5.12
3
24
25
a
f(a)
b
f(b)
b – a
f(b) – f(a)
DERIVADAS Pág. 3mjpmjp
La tasa de variación media de una función f en el intervalo [a, b] coincide con la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
Tasa se variación media. Interpretación geométrica.
mab
afbfMVT
)()(
...
5.12
3m
Así, la pendiente de la recta secante del ejemplo es:
b – a
f(b) – f(a)
Recta secante
(a, f(a))
(b, f(b))
DERIVADAS Pág. 4mjpmjp
Tasa se variación instantánea
ab
afbfMVT
)()(
...
h
afhafMVT
)()(...
Si hacemos b = a + h, también podemos expresar la T.V.M. como:
Cuando h 0 la Tasa de variación media tiende a la Tasa de variación instantánea:
h
afhafh
)()(lim
0
DERIVADAS Pág. 5mjpmjp
Tasa se variación instantánea. Interpretación geométrica.
Hemos visto que la T.V.M. de f en el intervalo [a, a+h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)).
Cuando h0, la recta secante se va aproximando a la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x = a.
Cuando h0 , a+ha
Recta tangente en x = a
DERIVADAS Pág. 6mjpmjp
h
afhafaf
h
)()(lim)('
0
Derivada de una función en un punto
Llamamos derivada de la función f en el punto x = a al límite, si existe:
ax
afxfax
)()(lim
Si hacemos b = a + h, la derivada de una función en un punto también se puede expresar:
Lo representamos por f(a) y decimos que la función f es derivable en x = a.
DERIVADAS Pág. 7mjpmjp
4)4(0
hlímh
La derivada de f(x) = x2 + 1 en x = 2 es:
h
hlímh
30
La derivada de f(x) = 3x – 2 en x = 1 es:
h
fhflímfh
)2()2()2('
0
h
hlímh
1212 22
0
h
hhlímh
14144 2
0
h
hhlímh
42
0
h
fhflímfh
)1()1()1('
0
h
hlímh
2132130
h
hlímh
232330
3)3(
0
hlím
EJEMPLOS
DERIVADAS Pág. 8mjpmjp
Interpretación geométrica de la derivada
La derivada de la función f en el punto x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a))
La ecuación punto-pendiente de una recta no vertical de pendiente m que pasa por el punto (x0, y0) es
y – y0 = m(x – x0).
La ecuación punto-pendiente de una recta no vertical de pendiente m que pasa por el punto (x0, y0) es
y – y0 = m(x – x0).
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es:
y – f(a) = f’(a)(x – a)
tangente en (a, f(a))
DERIVADAS Pág. 9mjpmjp
y – 15 = 6(x – 3)
y = 6x – 18 + 15
Cálculo de la recta tangente en un punto.EJEMPLO
Halla la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x2 + 6 en x = 3
Buscamos la ecuación de la recta que pasa por el punto (x =3, y =15) con m = f ’ (3) = 6
Solución: La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada en ese punto
f ’(x) = 2x
Como x = 3, debemos hallar m= f’ (3) y f(3) :
x = 3 entonces m =f’ (3) = 2·3 = 6
x = 3 entonces f(3) = (3)2 + 6 = 15
La ecuación de la recta tangente en x = 3 es: y = 6x – 3
y – f(a) = f ’(a)(x – a)
DERIVADAS Pág. 10mjpmjp
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
Función derivada
El dominio de la función derivada está formado por todos los puntos para los que la función f es derivable.
Otras notaciones para la derivada:
'ydx
dy
dx
df)(xf
dx
d
La derivada de la función f(x) con respecto a la variable x es la función f (x)cuyo valor para x es
DERIVADAS Pág. 11mjpmjp
Derivadas de las principales funciones.
Derivada de una constante
Derivada de una función potencial
Derivadas de las funciones trigonométricas
Derivadas de las funciones logarítmicas
Derivada de las funciones exponenciales
xxf
1)(
axxf
ln
11)(
f (x) = k
f (x) = xn
f (x) = sen x
f (x) = cos x
f (x) = ln x
f (x) = loga x
f (x) = ex
f (x) = ax
f (x) = ex
f (x) = ax · lna
f (x) = cos x
f (x) = –sen x
f (x) = 0
f (x) = n · xn–1
Función Derivada
DERIVADAS Pág. 12mjpmjp
Reglas de derivación
Derivada de una constante por una función
Derivada de la suma (resta)
Derivada de un polinomio.
f (x) = c · g (x) f (x) = c · g (x)
EJEMPLOS
f (x) = g (x) h (x) f (x) = g (x) h (x)
f (x) = 4x3 f (x) = 4·3x2 = 12x2
f (x) = 2cos x f (x) = –2sen x
EJEMPLOS f (x) = x3 + ex f (x) = 3x2 + ex
f (x) = x – sen x f (x) = 1 – cos x
EJEMPLO f (x) = x4 + 2x3 – 5x2 + 4x – 7
f (x) = 4x3 + 6x2 – 5x + 4
DERIVADAS Pág. 13mjpmjp
F(x) es el producto de dos funciones: F(x) = 5x2 ·(x3 + 2)
Regla del Producto
F (x) = f (x)·g (x)
Halla la derivada de F(x) = 5x2 (x3 + 2)EJEMPLO
f (x) = 5x2
g (x) = x3 + 2
f (x) = 10x
g (x) = 3x2
F (x) = 10x ·(x3 + 2) + 5x2 · 3x2
= 10x4 + 20x + 15x4 = 25x4 + 20x
F (x) = f (x)·g (x) + f (x)·g(x)
DERIVADAS Pág. 14mjpmjp
F(x) es el cociente de dos funciones:
Regla del Cociente
f (x) = 3x
g (x) = 2x + 5
f (x) = 3
g (x) = 2
52
3)(
x
xxFyHalla la derivada deEJEMPLO
)(
)()(
xg
xfxF
2)]([
)()()()()(
xg
xgxfxgxfxF
3·(2x + 5) – 3x ·2
(2x + 5)2F’(x) =
15
(2x + 5)2=
DERIVADAS Pág. 15mjpmjp
Aplicando la regla de la cadena:
Sus derivadas son:
Regla de la cadena(Derivada de la función compuesta)
Derivada de 2x
Derivada del seno
EJEMPLO
F (x) = (f g) (x) = f (g(x))
F (x) = sen(2x)
f (x) = sen(x) g (x) = 2x
f (x) = cos(x) g (x) = 2
F (x) = cos(2x)·2 = 2 cos(2x)
F (x) = f (g (x))·g(x)
La función F(x) = sen(2x) es la composición de dos funciones:
DERIVADAS Pág. 16mjpmjp
Sus derivadas son:
Aplicando la regla de la cadena:
Ejemplo: Regla de la cadena
F (x) = (2x2 – x)3EJEMPLO
f (x) = (x)3 g (x) = 2x2 – x
f (x) = 3(x)2 g (x) = 4x – 1
F (x) = (g(x))3
F (x) = 3(g(x))2·g (x)
F (x) = 3(2x2 – x)2·(4x – 1)
La función F(x) = (2x2 – x)3 es la composición de dos funciones:
DERIVADAS Pág. 17mjpmjp
Ejemplos. Cálculo de derivadas de funciones.
2
1
)( xxf
1)( xxf
2
1
)(
xxf
3
2
)( xxf
45)( xxf
21)( xxf
2
1
2
1)(
xxf
2
3
2
1)(
xxf
3
1
3
2)(
xxf
11510)( 24 xxxf
2
1
x
x2
1
xx2
1
33
2
x
5)( xxf a)
xxf
1)( b)
xxf )(c)
xxf
1)( d)
3 2)( xxf e)
152)( 35 xxxxff)
DERIVADAS Pág. 18mjpmjp
xxxf ln)( 3
2
cos)(
x
xxf
23)( xexf
Ejemplos. Cálculo de derivadas de funciones.
g)
h)
i)
Es un producto de dos funciones:
Es un cociente de dos funciones:
Es una composición de dos funciones:
22 33 66)( xx xexexf
xxxxxf
1ln3)( 32 )1ln3(ln3 222 xxxxx
22
2
)(
2cossen)(
x
xxxxxf
3
cos2sen
x
xxx
Derivada de 3x2
Derivada de la exponencial
DERIVADAS Pág. 19mjpmjp
23 )12(
1)(
x
xxf
j) f(x) = (x + 1)·sen(5x)
k)
Ejemplos. Cálculo de derivadas de funciones.
Es un producto de funciones donde la segunda función es una composición de funciones:
Es un cociente de funciones donde el denominador es una composición de funciones:
43
2323
)12(
6)12(2)1()12(1)(
x
xxxxxf
Sus derivadas son:
Sus derivadas son:
g(x) = (x + 1) h(x) = sen(5x)
g (x) = 1 h (x) = cos(5x)·5
f (x) = 1·sen(5x) + (x + 1)·cos(5x)·5
g(x) = x + 1
g (x) = 1
h(x) = (2x3 + 1)2
h (x) = 2(2x3 + 1)·6x2
33
23
)12(
11210
x
xx
DERIVADAS Pág. 20mjpmjp
2
2
)(')(""dx
ydxf
dx
dxfy
4
4)4( )()(''''''''
dx
ydxfxfy
Derivadas de orden superior
f es también una función. En los puntos de su dominio en los que sea derivable, podemos obtener su derivada, que se llama derivada segunda, f.
3
3
)(''''''dx
ydxfy
.
.
.
.
Análogamente podremos obtener la derivada tercera, f , la derivada cuarta, f (4) , ......
DERIVADAS Pág. 21mjpmjp
Ejemplos. Derivadas de orden superior.
EJEMPLO
f (x) = x3 – 3x2 + 5x – 7
f (x) = 3x2 – 6x + 5
f’’(x) = 6x – 6
f’’’(x) = 6
f (4) (x) = 0 f (4) (x) = sen x
f (5) (x) = cos x
f (x) = sen x
f’’ (x) = – sen x
f (x) = cos x
f’’’ (x) = – cos x
EJEMPLO