DESARROLLO DE PRÁCTICAS PARA UN LABORATORIO DE...
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ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS UNIVERSIDAD DE SEVILLA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
PROYECTO FIN DE CARRERA
DESARROLLO DE PRÁCTICAS PARA UN LABORATORIO DE
COMUNICACIONES Autor: Francisco Sivianes Castillo Director: José Luís Calvo Borrego Sevilla, 20 de Octubre de 2006
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
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PROYECTO FIN DE CARRERA
DESARROLLO DE PRÁCTICAS PARA UN LABORATORIO DE
COMUNICACIONES
Francisco Sivianes Castillo
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
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Índice General
SECCION 1.- INTRODUCCION, JUSTIFICACION Y OBJETO DEL PROYECTO
1. Introducción_______________________________________________________5
2. Justificación del Proyecto___________________________________________7
2.1. Modelo de Proyecto Docente__________________________________________8
2.2. Objetivos / Competencias_____________________________________________9
2.3. Contenidos________________________________________________________10
2.4. Métodos – Actividades de Aprendizaje__________________________________10
2.4.1. Clases de Teoría__________________________________________________11
2.4.2. Clases de Problemas_______________________________________________11
2.4.3. Prácticas de Laboratorio____________________________________________12
2.4.4. Tutorias_________________________________________________________13
2.4.5. Seminarios______________________________________________________13
2.5. Evaluación________________________________________________________15
2.5.1. Introducción_____________________________________________________15
2.5.2. Propósitos y criterios para la evaluación_______________________________15
2.6. Gestión del Conocimiento y Medios____________________________________17
2.6.1. Gestión del Conocimiento__________________________________________17
2.6.2. Medios_________________________________________________________17
2.7. Fuentes Bibliográficas_______________________________________________18
2.7.1. Internet_________________________________________________________19
3. Objetivos del Proyecto_____________________________________________20
SECCION 2.- DESARROLLO DEL PROYECTO
4. Conjunto de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones________21
4.1. Práctica 1: Análisis Espectral de Señales________________________________23
4.1.1. Práctica LTC-01: Análisis Espectral de una Señal Senoidal________________29
4.1.1.1. Problema PTC0004-07___________________________________________33
4.1.2. Práctica LTC-02: Análisis Espectral de una Señal Cuadrada_______________37
4.1.2.1. Problema PTC0004-08___________________________________________43
4.1.3. Práctica LTC-03: Análisis Espectral de una Señal Triangular______________48
4.1.3.1. Problema PTC0004-09___________________________________________52
4.1.4. Práctica LTC-04: Análisis Espectral de un Tren de Pulsos Sample__________58
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4.1.4.1. Problema PTC0004-10___________________________________________63
4.2. Práctica 2: Análisis Espectral de Sistemas_______________________________77
4.2.1. Práctica LTC-05: Análisis Espectral de un Sistema RC Paso de Baja________82
4.2.1.1. Problema PTC0004-11___________________________________________88
4.2.2. Práctica LTC-06: Análisis Espectral de un Sistema RC Paso de alta_________96
4.2.2.1. Problema PTC0004-12__________________________________________102
4.2.3. Práctica LTC-08: Análisis Espectral de un Sistema RLC Paso de Baja______110
4.2.3.1. Problema PTC0004-14__________________________________________117
4.3. Práctica 3: Transmisión de Señales en Cables___________________________133
4.3.1. Práctica LTC-12: Reflexiones en un Par Trenzado______________________137
4.3.1.1. Problema PTC0004-21__________________________________________144
4.3.2. Práctica LTC-14: Reflexiones en un Coaxial__________________________148
4.3.2.1. Problema PTC0004-24__________________________________________155
4.4. Práctica 4: Ruido y Errores de Transmisión_____________________________171
4.4.1. Práctica LTC-26: Ruido y Errores de Transmisión______________________174
4.4.1.1. Problema PTC0004-35__________________________________________181
4.4.1.2. Problema PTC0004-36__________________________________________189
4.5. Práctica 5: Interfaz RS-232 (V.24) ___________________________________193
4.5.1. Práctica LTC-16: Interfaz RS-232 (V.24)_____________________________196
4.5.1.1. Problema PTC0004-22__________________________________________201
4.6. Práctica 6: Digitalización de Señales__________________________________204
4.6.1. Práctica LTC-11: Digitalización de una Señal Senoidal__________________208
4.6.1.1. Problema PTC0004-24__________________________________________222
4.7. Práctica 7: Modulación_____________________________________________229
4.7.1. Práctica LTC-20: Modulación en Amplitud: Señal Senoidal_______________233
4.7.1.1. Problema PTC0004-28__________________________________________239
4.7.2. Práctica LTC-21: Modulación en Amplitud: Señal Cuadrada______________243
4.7.2.1. Problema PTC0004-29__________________________________________250
4.7.3. Práctica LTC-23: Modulación en Frecuencia: Señal Senoidal______________256
4.7.3.1. Problema PTC0004-31__________________________________________261
SECCION 3.- CONCLUSIONES Y FUTURAS AMPLIACIONES
5. Conclusiones y Futuras Ampliaciones_________________________266
6. Referencias______________________________________________268
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1.- INTRODUCCION
Tanto la Electrónica Industrial como la Informática, como las Comunicaciones
poseen un triple carácter disciplinar: como una parte de la Matemática, como una
Ciencia y como una Ingeniería. Cada uno de ellos emplea una metodología o proceso de
trabajo académico y profesional que, si bien no suele ser exclusiva, sí es característica.
Uno de dichos procesos, la teoría, es similar al que se usa en el desarrollo de teorías
matemáticas coherentes. Tiene los siguientes elementos principales:
Definiciones y axiomas
Teoremas
Pruebas
Interpretación de resultados
Este proceso es el usado en el desarrollo y comprensión de los principios
matemáticos que sustentan las Comunicaciones y la Electrónica. Ejemplo de aplicación
en ambas asignaturas son, Teoría de la señal, Teoremas de la Teoría de Circuitos:
Thevenin, Norton, Superposición, etc., la conservación de la energías.
El segundo proceso, la abstracción, se entronca en las ciencias experimentales y
contiene los siguientes elementos:
Recogida de datos y formación de hipótesis
Modelado y predicción
Diseño de experimentos
Análisis de resultados
El proceso de abstracción en las comunicaciones incluye por una parte el
modelado de posibles aspectos conceptuales, estructuras de datos, arquitecturas, etc.; y
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por otra parte la comprobación de esos modelos, de diseños alternativos, o de la propia
teoría subyacente.
El tercer proceso, el diseño, se relaciona con la ingeniería y se usa en el
desarrollo de un dispositivo o sistema para la resolución de un problema determinado.
Consta de las siguientes partes:
Requisitos
Especificaciones
Diseño e Implementación
Prueba y Análisis
Cuando un profesional ingeniero se enfrenta con el proceso de diseño, está
conceptualizando y realizando sistemas en el contexto de las restricciones del mundo
real. Los alumnos deben aprender a diseñar tanto por experiencia directa como mediante
el estudio de los diseños de otros. Muchas prácticas y proyectos de laboratorio están
orientadas al proceso de diseño, dando a los estudiantes una experiencia de primera
mano en el desarrollo de un sistema o de un componente de un sistema para la
resolución de un problema particular.
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2.- JUSTIFICACION
En el mundo globalizado en que vivimos en este siglo XXI se disponen de unos
recursos de almacenamiento, de procesamiento y de comunicación que si se gestionan
de forma eficaz ayudarán enormemente en el avance del conocimiento. Esto posibilita la
capacidad de adaptación de una civilización para solucionar los problemas actuales y
futuros, desde un enfoque donde predomina la construcción del propio conocimiento; es
decir:”el aprender a aprender”, potenciando en las personas las competencias que la
Sociedad va demandando. Por otra parte, se deberá actualizar, profundizar y enriquecer
el primer saber a lo largo de toda la vida para ir adaptándose a los cambios que el
mundo plantea.
Vamos a resumir algunas de las competencias que creemos son el núcleo de una
buena formación y que están ligadas muy directamente a la metodología del aprendizaje
en el sentido de potenciar la construcción del propio conocimiento y la capacitación
tanto para la realización de proyectos significativos, como para la resolución de
problemas que demanda nuestro contexto social.
Por otra parte, en las directrices para el desarrollo curricular de las Tecnologías de la
Información y las Comunicaciones en el siglo XXI [CARE01], en cuanto a los aspectos
competenciales y metodológicos coincide a grandes rasgos con lo anteriormente
expuesto; pero vamos a destacar algunos aspectos.
En primer lugar el problema que representa la identificación de los
conocimientos necesarios para alcanzar las competencias deseadas, es decir ser capaces
de conjugar lo básico con lo específico en el título de Grado.
Otro aspecto relevante que aporta el estudio, es que ante la complejidad de los
equipos y sistemas modernos, es importante tener una visión global, y además ser capaz
de analizar, representar y separarlos en subsistemas. Es decir, saber aislar problemas y
resolverlos, facilitando la comunicación entre las diferentes personas que participan en
los mismos.
Otra característica a considerar es estrechar la relación entre industria,
investigadores y profesores que trabajan en desarrollo de las tecnologías.
Es importante saber transferir los conocimientos que se han aprendido a otro
contexto. El estudio también hace hincapié en que es preciso saber aplicar las técnicas a
los problemas reales fomentando la concepción amplia de sistemas teniendo en cuenta
las limitaciones prácticas, tecnológicas y humanas en la resolución de los mismos.
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Desde el punto de vista legislativo, la LOU nos define la actividad docente en
los siguientes términos:
“La actividad y la dedicación docente, así como la formación del personal docente
de las Universidades, serán criterios relevantes, atendida su oportuna evaluación,
para determinar su eficiencia en el desarrollo de la actividad profesional”.
En cuanto la Ley Andaluza de Universidades [LAU03] la creación de la Agencia
Andaluza de Evaluación de la Calidad y Acreditación que, entre sus funciones
asume “La certificación de los sistemas y procedimientos de la calidad de las
universidades, y en especial los referidos a la actividad docente del profesorado de
las universidades...”.
Pero la calidad en su aspecto más amplio se debe regir por los criterios de la Unión
Europea, que en su documento sobre Educación Superior [CARE01] se plantea
como objetivo general:”convertirse en la sociedad del conocimiento más dinámica y
competitiva del mundo, capaz de implantar un crecimiento económico sostenido,
más cantidad y mejor calidad de empleos, y una mayor cohesión social”
2.1.- MODELO DE PROYECTO DOCENTE
Uno de los modelos más ampliamente empleado para la planificación de los
programas formativos es el que podemos ver en la Figura 1. Como puede observarse en
dicha figura, se ha añadido un aspecto de especial relevancia en el mundo actual como
es la gestión del conocimiento. Efectivamente, la incorporación y utilización de las
Tecnologías de la Información y las Comunicaciones en todos los procesos de
formación necesita incorporar este aspecto clave que consiste, básicamente, en gestionar
de forma eficaz el conocimiento.
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Modelo de Planificación
Figura 1
2.2.- OBJETIVOS / COMPETENCIAS
Vamos a destacar las competencias generales, que vamos a desarrollar para conseguir
nuestros objetivos en nuestro proyecto docente:
1. Capacidad de análisis y síntesis.
2. Capacidad para aprender.
3. Capacidad para plantearse y resolver problemas complejos.
4. Capacidad para aplicar los conocimientos prácticos.
5. Habilidad para realizar buenas medidas experimentales.
Entorno Socioeconómico y
Profesional
OBJETIVOS / COMPETENCIAS
CONTRUCCION DEL PROGRAMA
METODOS Y ACTIVIDADES
EVALUACION
Entorno Universitario
Marco Conceptual
GESTION DEL CONOCIMIENTO
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6. Habilidades para la gestión de la información.
7. Capacidad para trabajar de forma autónoma.
8. Capacidad para trabajar en equipo.
9. Capacidad de organización y gestión.
La prioridad de unas determinadas competencias con respecto a otras dependerá de las
asignaturas.
2.3.- CONTENIDOS
Los contenidos están de acuerdo con los Objetivos – Competencias que se
quieren conseguir después del proceso de Enseñanza –Aprendizaje, pero a nivel general
se organizan en:
1. Los principios
2. Las leyes y las teorías.
3. Los modelos.
4. Los sistemas complejos.
5. Los procedimientos de análisis.
6. Los diseños.
7. Las técnicas de medida.
8. Los servicios innovadores.
2.4.- METODOS – ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
Vamos a efectuar en esta sección una presentación y discusión de las principales
actividades docentes que se realizan a lo largo del curso académico.
Como punto de partida obtenemos mediante una encuesta los conocimientos
previos básicos de los alumnos, el interés por la asignatura, lo que les gustaría aprender
y la carga docente de cursos anteriores. Lógicamente existe un factor muy importante a
tener en cuenta: los recursos que disponemos. Es necesario construir el conocimiento
usando lo que tenemos, siendo aspectos a tener en cuenta las horas de clases teóricas,
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horas de clases prácticas, número de alumnos, disponibilidad de Laboratorios, etc... La
aplicación en grupos reducidos como es el caso de algunas asignaturas optativas es
lógicamente más fácil y directo de implementar.
2.4.1.- Clases de Teoría
Antes de cada lección se recuerdan los conceptos claves de la lección anterior:
conocimientos previos, así como el guión de lo que se va a explicar.
Usaremos las técnicas expositivas en las clases teóricas usando unas buenas
transparencias ajustadas a una buena estructura conceptual, intentando hacer participar
activamente al alumno, si la clase es de un número reducido de alumnos como es el caso
de Tecnología de Comunicaciones la participación se consigue de una forma fácil y casi
natural, en grupos más grandes como Tecnología de Computadores resulta bastante más
complejo. En cualquier caso para lograr estos objetivos es necesario dotar a la
exposición de un dinamismo que supere el puro monologo; por ello es conveniente la
introducción de nuevos conceptos o relaciones con ejemplos y casos concretos
ilustrativos
2.4.2.- Clases de Problemas
La resolución de problemas permite una muy positiva realimentación alumno-
profesor que hace que mejore el aprendizaje al poder detectar y revisar aquellos
conceptos, principios o análisis que han presentado más dificultad de comprensión a los
estudiantes y comprobar si se han asimilado los conceptos a través de las aplicaciones
más prácticas.
En las clases de problemas, debe existir una mayor participación de los alumnos
con el consiguiente aumento de su nivel de actividad, ya que la materia básica ha sido
expuesta previamente en las clases de teoría. El profesor debe tener en estas clases una
actividad más distendida, en orden a facilitar la participación.
Aunque en la Universidad es frecuente que la ratio de alumnos/profesor sea la
misma en grupos de teoría y de problemas o aplicación, lo deseable sería que en éstas
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los grupos fueran más reducidos de tal forma que se facilitara el contacto y el
seguimiento del profesor por parte de los estudiantes.
2.4.3.-Prácticas de Laboratorio
Las Prácticas de laboratorio permiten la aplicación de los principios de diseño
expuestos en teoría además de permitir el aprendizaje de las técnicas y los instrumentos,
tanto software como hardware, que los estudiantes habrán de manejar en su vida
profesional.
Las prácticas contribuyen a cubrir otros tres objetivos que consideramos básicos:
la experiencia de trabajo en equipo, la comunicación oral (discusión de resultados) y
escrita (memoria) y la familiarización con la profesión.
Las prácticas de laboratorio pueden ser de distintos tipos:
- Realización de medidas para comprobar el uso del comportamiento de los
circuitos y los modelos que más se ajustan a dicho comportamiento real, para diferentes
señales con diferentes parámetros.
- Diseño de subsistemas de equipos complejos, así como la medida de su
correcto comportamiento.
La realización de unas buenas prácticas de Laboratorio, si la asignatura está bien
estructurada en el sentido de una buena relación de teoría con prácticas y con una buena
preparación de las mismas que permitan efectuar de una forma explicita todas las
medidas en el tiempo que disponemos, se convierten en el complemento adecuado para
aprehender los conocimientos (hacerlos propios) propiciando el análisis, la capacidad de
resolución de problemas, las habilidades instrumentales y la síntesis (diseño) y acercar
al alumno al mundo profesional. Debemos, previamente a cada una de la sesiones de
prácticas, hacer llegar al alumno la necesidad de ir a cada una de dichas sesiones, con
los conceptos formales perfectamente definidos (no necesariamente asimilados), que
nos permitan sacar el máximo provecho a las horas de laboratorio. Las horas de
laboratorios deben ser para motar sistemas, comprobar su funcionamiento y realizar
medidas. El análisis se realizará posteriormente culminándose con la elaboración de una
memoria.
Hay dos formas distintas de realizar las prácticas: las prácticas abiertas y las
prácticas cerradas.
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Una práctica la denominamos abierta cuando se le encarga al alumno la
realización, sin supervisión del profesor, de una tarea que supone el uso de un
computador, de unos programas o de equipos de laboratorio.
Los alumnos realizan una práctica cerrada asistiendo a una sesión previamente
programada, usualmente de 2 horas de duración, en un lugar predeterminado, siendo
realizada bajo la supervisión de alguno de los profesores de la materia.
El uso de equipos y programas altamente especializados y la supervisión ofrecida en las
prácticas cerradas las hacen más interesantes en ciertas situaciones, particularmente
cuando la práctica se basa en la interacción profesor-alumno; pero esto no exime la
necesidad de fomentar la realización de prácticas abiertas en horarios alternativos.
2.4.4.-Tutorías
Las tutorías constituyen un método complementario al de las clases de teoría y
de problemas enormemente útil. En ellas, el alumno tiene la oportunidad de discutir
conceptos que no le quedaron suficientemente claros en clase, o que le surgieron con la
labor personal de estudio.
La eficacia docente de esta actividad es alta si es utilizada por el alumnado de
forma continuada ya que le permite solventar las dudas conceptuales y le ayudará a
comprender mejor la asignatura.
Por otra parte al profesor le sirve de retroalimentación para comprobar los
conceptos, principios o análisis que presentan mayor dificultad, sirviéndole para ver si
el alumno esta construyendo bien su propio conocimiento.
El profesor deberá promover su uso continuado durante el desarrollo de las otras
actividades docentes. En consecuencia, el profesor tiene que estar disponible a esta
actividad.
2.4.5.-Seminarios
Puede decirse que esta técnica es un verdadero instrumento de aprendizaje activo
ya que tiene por objeto la investigación o estudio de un tema en reuniones de trabajo
planificadas y, donde los alumnos no reciban la información del todo elaborada, sino
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que la busquen por sus propios medios en un clima de colaboración recíproca. Los
grupos de trabajo estarán compuestos por 4 ó más personas.
Los seminarios serán supervisados por el profesor, el cual actuará generalmente
como asesor y coordinador. Existirá también la figura de un organizador (que podrá ser
un alumno ayudante) encargado de reunir a los grupos, asesorar en la selección de los
temas en que se desea trabajar, preparar un temario provisional, seleccionar las fuentes
de consulta, disponer locales, elementos de trabajo y horarios. El desarrollo del
seminario seguirá los siguientes pasos:
a) En la primera sesión estarán presentes todos los participantes que se dividirán
luego en los diferentes subgrupos de seminario. El organizador formulará a
título de sugerencia la agenda previa que ha preparado, la cual será discutida por
todo el grupo. Modificada o no dicha agenda por el acuerdo del grupo, queda
convertida en agenda definitiva sobre la cual han de trabajar los distintos
subgrupos.
b) El grupo grande se subdivide en grupos de seminario a voluntad de los mismos.
Cada grupo designa su director para coordinar las tareas y un secretario que
tomará nota de las conclusiones.
c) La tarea específica del seminario consistirá en indagar, buscar información,
consultar fuentes bibliográficas y documentales, recurrir a expertos y asesores,
discutir en colaboración, analizar a fondo datos e informaciones, relacionar
aportes, confrontar puntos de vista, hasta llegar a formular las conclusiones del
grupo sobre el tema , así como desarrollar simulaciones funcionales de los
sistemas. Todo ello siguiendo el plan de trabajo formulada en la agenda
aprobada por el grupo general.
d) Al concluir las reuniones de seminario debe haberse logrado en mayor o menor
medida el objetivo buscado.
e) Terminada la labor de los subgrupos, todos ellos se reúnen nuevamente con la
coordinación del organizador, para dar a conocer sus conclusiones. Estas se
debaten hasta lograr un acuerdo y resumen general de las conclusiones del
seminario.
f) Finalmente se llevará a cabo la evaluación de la tarea realizada, mediante las
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técnicas de presentación de memoria escrita y presentación oral.
2.5.-EVALUACION
2.5.1.- Introducción
La evaluación es la parte del proceso curricular que representa para el profesor
una toma de decisiones en la elección de las estrategias de enseñanza / aprendizaje
adecuadas para verificar si conseguimos los objetivos / competencias que nos
proponemos, sabiendo que tenemos unos invariantes en el proceso formativos, que no
dependen del profesor, como son en el aspecto departamental las horas de teoría, las
horas de laboratorio, la disponibilidad de laboratorios y el número de alumnos; y por
otra parte en la Universidad de Sevilla, se tiende a un sistema de evaluación continua, lo
que supone una evaluación formativa que se debe efectuar durante todo el proceso de
enseñanza / aprendizaje, siendo el rasgo característico de la misma el hecho de la propia
formación continua; es decir en el transcurso del proceso instructivo y no en momentos
aislados (única alternativa en grupos grandes).
2.5.2.-Propósitos y Criterios para la Evaluación
La finalidad de la evaluación es saber como ha funcionado el proceso de
enseñanza–aprendizaje, así como el diseño del programa en los siguientes aspectos:
a) Niveles de conocimientos.
b) Niveles de capacidades de expresión y realización de informes.
c) Niveles en el manejo de la documentación.
d) Niveles de habilidades en las medidas experimentales.
e) Niveles en la integración de conocimientos y su aplicación práctica.
f) Nivel de trabajo a nivel autónomo.
g) Nivel de trabajo en grupo.
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Para comprobar dicho funcionamiento las técnicas más usadas que se proponen son:
a) Cuestionario sobre ideas previas.
b) Mapas conceptuales.
c) Resolución de problemas propuestos
d) Prácticas de laboratorio.
e) Trabajos avanzados
f) Exámenes globalizados sobre temas.
g) Desarrollo de proyectos.
h) Pruebas Objetivas
Las diferentes técnicas presentan diferentes potencialidades que debe poner en
funcionamiento el alumno como son: recordar, elaborar, aplicar modelos, diseñar,
comprender, analizar, sintetizar y valorar.
Los criterios de evaluación establecen el tipo y grado de aprendizaje que se
espera que hayan alcanzado los alumnos respecto a las capacidades indicadas en los
objetivos generales.
Se debe tener en cuenta en la calificación el nivel óptimo de aprendizaje en sus
aspectos conceptuales, en sus aspectos de análisis y diseño de sistemas tecnológicos y
en las actitudes respecto a la actividad tecnológica. Por otra parte se deben elegir las
técnicas más idóneas, teniendo en cuenta las limitaciones de recursos, para evaluar las
capacidades expresadas en los criterios de evaluación. Lógicamente no será lo mismo
realizar controles por temas para un grupo de 100 alumnos que para un grupo de 20, ni
en número de ellos, ni en contenido.
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2.6.-GESTION DEL CONOCIMIENTO Y MEDIOS
2.6.1.-Gestión del Conocimiento
Gestionar el conocimiento supone la capacidad que debemos ir adquiriendo
progresivamente para seleccionar la información significativa, catalogándola,
referenciándola y archivándola de forma estructurada; para una fácil recuperación y
reusabilidad posterior y su integración, convirtiéndola en conocimiento para su posible
utilización en diferentes disciplinas y para que sirva de enriquecimiento en este
movimiento interdisciplinar entre docentes, alumnos, graduados y profesionales en
general.
Por otra parte debemos ser capaces de extraer sentido a la información
incompleta, poder extraer conocimiento del volumen ingente de datos que se encuentran
a nuestro alcance. Otro concepto importante es el mantenimiento y actualización
(reusabilidad) de la información, pudiendo de forma relativamente fácil mantener lo que
sigue vigente y poderlo modificar eficazmente con las nuevas aportaciones.
Aún más importancia, si cabe, toman en la actualidad la labor de búsqueda del
conocimiento, a través de los servicios de biblioteca y centros de documentación de
nuestros centro, la creación de “rutas temáticas”, por áreas que nos permitan tanto a
docentes e investigadores, alumnos y graduados dirigirnos de forma eficiente y rápida
hacia puntos óptimos de conocimiento.
En esencia las actividades de la Universidad no han experimentado cambios
sustanciales: enseñar, investigar, ser epicentro de actividades interculturales y por otro
lado gestionar de forma eficiente, dotando de los recursos suficientes para que todo lo
anterior funcione cumpliendo sus objetivos ante una sociedad cambiante que evoluciona
con los tiempos.
2.6.2.-Medios
Las técnicas docentes explicadas anteriormente necesitan de medios materiales
para su aplicación. Ante la aparición durante los últimos años de nuevos recursos
tecnológicos aplicados a la docencia universitaria que hacen uso fundamentalmente de
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herramientas informáticas, conviene dedicarles un apartado mostrando sus
características y aplicaciones.
También es importante considerar las herramientas de didáctica universitaria
más tradicionales como la pizarra, que utilizada correctamente es un recurso adecuado a
la explicación (como es el caso de desarrollos matemáticos, demostraciones, resolución
de problemas, etc.) y que combinada convenientemente con otros medios audiovisuales
sirve para enriquecer el proceso de enseñanza/ aprendizaje.
Las ventajas pedagógicas de la pizarra son el permitir al alumno un seguimiento
pausado de la explicación de profesor, favoreciendo su comprensión, ya que el alumno
ve evolucionar de forma secuencial los argumentos y contenidos de la clase, lo que
además facilita la redacción simultánea de sus apuntes.
Para obtener el máximo rendimiento de este recurso es recomendable considerar
los siguientes aspectos:
Una adecuada estructuración del contenido, una presentación del mismo de
forma clara y secuencial, poniendo el índice a seguir, desarrollando con claridad los
conceptos, borrando lo que ya se ha explicado y por tanto no introduciendo ruido en la
información transmitida. En algunos casos será no sólo conveniente sini aconsejado
usar conjuntamente el retroproyector, por ejemplo en el caso de querer visualizar
sistemas complejos y utilizar la pizarra para las demostraciones que se precisan.
El ordenador con el videoproyector puede usarse en vez del retroproyector de
transparencias cuando precisemos simulaciones, resumir un tema en que interaccionan
muchas imágenes o en el caso de necesitar animaciones. El ordenador con el
videoproyector permite la presentación de materiales didácticos con animaciones y
formatos diversos (vídeo, imagen, sonido,…) en una clase, lo que lo convierte en un
elemento que atrae poderosamente atractivo para el alumno; pero aunque puede ser un
recurso muy eficaz para acompañar las exposiciones, es preciso señalar que pueden
distraer o dificultar el aprendizaje por la cantidad excesiva de información que se tiene
que asimilar en un tiempo menor.
Al igual que ocurre con las transparencias, es necesario cuidar los contenidos de
las pantallas y reservar los efectos de animación para aquellos casos en que realmente
aportan una mejor presentación y comprensión de los contenidos.
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2.7.-FUENTES BIBLIOGRAFICAS
Las fuentes bibliográficas constituyen un complemento fundamental en la
docencia universitaria. El profesor deberá seleccionar cuidadosamente una serie de
referencias bibliográficas que recomendará a sus alumnos. Pueden establecerse dos
niveles:
a) Bibliografía básica: trata directamente de los temas de la asignatura, con un
nivel acorde con los objetivos perseguidos. Debe estar disponible en la
biblioteca del centro o en la central.
b) Bibliografía específica: trata de algún tema específico o de ampliación en
algunos temas de la asignatura.
Además de los libros, en los últimos cursos de carrera, el profesor puede
recomendar la lectura de revistas especializadas e incluso de algún artículo en
particular.
2.7.1.-Internet
Internet está revolucionando la sociedad, y la educación no podía quedarse al margen.
Además de su incuestionable utilidad en la formación a distancia y en la semipresencial,
Internet está cambiando la forma de dar las clases, la forma de relacionarse el profesor y
sus alumnos, los trabajos en grupo, la forma de buscar documentación, etc.
Entre las posibilidades que presenta Internet, destacamos por su interés, las siguientes:
Tutorías de correo electrónico, Listas de correo, Chats, Foros de discusión, Información
en la WEB…
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3.- OBJETIVO DEL PROYECTO
La incorporación de las, ya no tan nuevas, tecnologías de la información en los
procesos de enseñanza – aprendizaje, hacen de la formación y educación a distancia,
cautivadas hace algunos años a entornos académicos muy concretos, una opción
necesaria y obligada de incorporación a asignaturas, seminarios, cursos…Esta opción
que nos ofrece las tecnologías de la información está cambiando la forma en que
docente y alumno enseñan y aprenden el conocimiento. El marco de la EEES, y el libre
desplazamiento de alumnos y enseñanzas hacen todavía más si cabe necesario un
replanteamiento de los planes docentes de las asignaturas.
Los usos simultáneos de video, audio, dibujos y transparencias adaptados bajo
un determinado formato electrónico permiten el seguimiento sencillo de las
explicaciones de casi cualquier asignatura o tema desde cualquier parte del mundo.
Pero hay un aspecto que por su dificultad siempre se deja exclusivamente para la
educación o entrenamiento presencial, y éste es la práctica en laboratorios. Dificultad
añadida por la realización de la práctica en si; que en la mayoría de las ocasiones hace
imprescindible una buena asimilación de los conceptos teóricos, mediatizados a través
de estudios previos, que en muchas ocasiones se vuelven excesivamente costosos en
tiempo y recursos. En muchas ocasiones se hace necesario incluso la presencia del
alumno en tutorías para resolver dichas cuestiones previas. Si añadimos unas memorias
finales de prácticas, para poder evaluar el proceso de enseñanza – aprendizaje dentro del
laboratorio; éstas se convierten en un verdadero obstáculo para el nuevo carácter
docente de muchas asignaturas.
Es cierto que muchas aplicaciones para prácticas en educación a distancia se
basan en simulaciones: con la simple presencia de un ordenador y un programa se
pueden simular los distintos equipos de medida que encontramos en el laboratorio
(Laboratorio Virtual). Esta solución empleada frecuentemente no permiten lógicamente
tomar medidas reales ni enfrentarse al equipo de medida real, perdiéndose una parte
importantísima del proceso de enseñanza – aprendizaje del laboratorio.
Ante la simulación, surge la necesidad del laboratorio real, no accesible
lógicamente a través de Internet. Pero se puede facilitar la realización de las prácticas de
laboratorio, en aquellos aspectos que sean posibles, haciendo accesibles (a través de
Internet), los conceptos y estudios previos que hagan menos costosas la realización de
dichas prácticas.
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El presente proyecto consiste en el desarrollo de un conjunto de prácticas,
referidas a un Laboratorio de Comunicaciones. Para cada una de las referidas prácticas
se establece una estructura jerárquica, que comienza con el enunciado de la misma,
donde se establecen los objetivos del trabajo y una plantilla de recogida de datos. En
dicho enunciado, a su vez, se hace referencia a estudios previos detalladamente
resueltos, que servirán de guía para la adquisición de las medidas necesarias en la
realización de la práctica. En estos estudios previos nuevamente se hace referencia a
problemas desarrollados que resuelven y justifican los conceptos teóricos en los que se
apoya el objetivo a alcanzar por la práctica. Todo el material estará disponible para que
los usuarios accedan desde Internet y puedan hacer uso del mismo desde cualquier parte
del mundo a través únicamente de su navegador.
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22
4.- CONJUNTO DE PRÁCTICAS PARA UN LABORATORIO DE COMUNICACIONES
PRÁCTICA 1: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES
PRÁCTICA 2: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SISTEMAS
PRÁCTICA 3: TRANSMISIÓN DE SEÑALES EN CABLES
PRÁCTICA 4: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN
PRÁCTICA 5: INTERFAZ RS-232 (V.24)
PRÁCTICA 6: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES
PRÁCTICA 7: MODULACIÓN
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PRÁCTICA 1: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES
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24
PRÁCTICA 1: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES 1.- Descripción de la práctica 1.1.- Para una señal sinusoidal de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V. b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz. c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
1.2.- Para una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V. b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz. c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V. d. Duty Cycle de 1%, 12,5%, 25% y 75%.
1.3.- Para una señal triangular de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V. b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz. c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
1.4.- Para una señal periódica de 1Khz, constituida en cada período por una función Sample de 10V de amplitud y 40Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. 2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio
3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de laboratorios siguientes: Epígrafe 1.1: Laboratorio LTC-01 Epígrafe 1.2: Laboratorio LTC-02 Epígrafe 1.3: Laboratorio LTC-03 Epígrafe 1.4: Laboratorio LTC-04
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25
4.- Hojas de resultados experimentales 4.1. Señal sinusoidal Apartado a)
Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. 1 Khz.
Apartado b)
Armónicos (en dBV) Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. 0 Khz. 0 Khz. 0.5 Khz. 1 Khz. 2 Khz.
Apartado c)
Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. 1 Khz. 4.2. Señal cuadrada Apartado a)
Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 3 Khz. 4 Khz. 5 Khz. 6 Khz. 7 Khz. 8 Khz. 9 Khz. 10 Khz.
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26
Apartado b)
Armónicos (en dBV) Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. 0 Khz. 0 Khz. 0.5 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 4 Khz.
1.5 Khz. 3 Khz. 6 Khz. 2 Khz. 4 Khz. 8 Khz.
2.5 Khz. 5 Khz. 10 Khz. 3 Khz. 6 Khz. 12 Khz.
3.5 Khz. 7 Khz. 14 Khz. 4 Khz. 8 Khz. 16 Khz.
4.5 Khz. 9 Khz. 18 Khz. 5 Khz. 10 Khz. 20 Khz.
Apartado c)
Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 3 Khz. 4 Khz. 5 Khz. 6 Khz. 7 Khz. 8 Khz. 9 Khz. 10 Khz.
Apartado d)
dc=1% dc=12.5% dc=25% dc=50% dc=75% Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 3 Khz. 4 Khz. 5 Khz. 6 Khz. 7 Khz. 8 Khz. 9 Khz. 10 Khz.
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4.3. Señal triangular Apartado a)
Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 3 Khz. 4 Khz. 5 Khz. 6 Khz. 7 Khz. 8 Khz. 9 Khz. 10 Khz.
Apartado b)
Armónicos (en dBV) Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. 0 Khz. 0 Khz. 0.5 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 4 Khz.
1.5 Khz. 3 Khz. 6 Khz. 2 Khz. 4 Khz. 8 Khz.
2.5 Khz. 5 Khz. 10 Khz. 3 Khz. 6 Khz. 12 Khz.
3.5 Khz. 7 Khz. 14 Khz. 4 Khz. 8 Khz. 16 Khz.
4.5 Khz. 9 Khz. 18 Khz. 5 Khz. 10 Khz. 20 Khz.
Apartado c)
Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 3 Khz. 4 Khz. 5 Khz. 6 Khz. 7 Khz. 8 Khz. 9 Khz. 10 Khz.
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4.4. Tren de pulsos Sample Khz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Aprox. Exacto Exper.
Khz 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Aprox. Exacto Exper.
Khz 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Aprox. Exacto Exper. Khz 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Aprox. Exacto Exper. Khz 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Aprox. Exacto Exper.
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PRÁCTICA LTC-01: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UNA SEÑAL SENOIDAL 1.- Descripción de la práctica Para una señal senoidal de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V. b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz. c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-07
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30
4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal senoidal de 1V de amplitud y 1 Khz., sin componente de continua.
Figura 1. Señal senoidal
Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. En ella se observa una única componente espectral a 1 Khz. y una pequeña componente de continua que atribuimos a las imperfecciones del generador de señal y del osciloscopio. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). En ella la componente de continua aparece relativamente más importante por el efecto que introduce la escala logarítmica. Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.
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Figura 2. Espectro de amplitud de una señal senoidal (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de una señal senoidal (escala en dBV RMS)
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Apartado a)
Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. -∞ -30.0 -∞ -32.6 -∞ -29.6 1 Khz. -3.01 -3.0 3.01 3.0 10.97 11.0
Apartado b)
Armónicos (en dBV) Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. -∞ -32.2 0 Khz. -∞ -32.2 0 Khz. -∞ -32.6 0.5 Khz. -3.01 -3.0 1 Khz. -3.01 -3.0 2 Khz. -3.01 -3.0
Apartado c)
Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. 6.02 6 0 0 -∞ -31.6 0 0 6.02 6 1 Khz. -3.01 -3.0 -3.01 -3.0 -3.01 -3.0 -3.01 -3.0 -3.01 -3.0 Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden sensiblemente, mostrándose una ligera desviación en la componente de continua que atribuimos a imperfecciones del instrumental. En cualquier caso, esta desviación en la componente de continua es del entorno de -30 dBV es decir, de
VVV 031.01010 5.120
30
== −−
lo que supone unas pocas centésimas de voltios. En algunos osciloscopios las definiciones de dBV o de VRMS no coinciden exactamente con las adoptadas aquí. Así, por ejemplo, los osciloscopios Tektronix TDS 1012, calculan el valor de continua como
( ) dBVMMMM
MRMSRMS dBVdBV 32log20log202log20
2
2log20 000
0'0 +=+===
es decir, que se obtiene un valor de la componente de continua 3 dB por encima del valor teórico. Para otros osciloscopios son posibles definiciones (y resultados) diferentes.
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33
Problema PTC0004-07 Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una señal sinusoidal de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia. Repetir el cálculo para:
1) Amplitudes de 2V y 5V. 2) Frecuencias de 0.5Khz y 2Khz. 3) Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
Solución PTC0004-07 Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
tj
nn
necT
tf ω∑∞
−∞=
= 1)(
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
dtetfcT
T
tjn
n∫−−=
2/
2/)( ω
En el caso de una señal sinusoidal tenemos que
)cos()( tAtf fω=
por lo que
dtetAdtetfcT
T
tjf
T
T
tjn
nn ∫∫ −
−
−
− ==2/
2/
2/
2/)cos()( ωω ω
Recordando que
2)cos(
tjtj
f
ff eet
ωω
ω−+=
tenemos
dteA
dteA
dteee
AcT
T
tjT
T
tjT
T
tjtjtj
nnfnfn
ff
∫∫∫ −
+−
−
−
−
−−
+=+=2/
2/
)(2/
2/
)(2/
2/ 222ωωωωω
ωω
Integrando
t
f(t)
T
A
t
f(t)
T
A
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34
[ ] [ ] 2/
2/)(2/
2/)(
)(2)(2
T
Ttj
nf
T
Ttj
nfn
nfnf ej
Ae
j
Ac −
+−−
−
+−
−= ωωωω
ωωωω
)(2)(2
2)(
2)(
2)(
2)(
nf
Tj
Tj
nf
Tj
Tj
n j
eeA
j
eeA
c
nfnfnfnf
ωωωω
ωωωωωωωω
+
−
−−
−
=
++−−−−
)(2)(2
2)(
2)(
2)(
2)(
nf
Tj
Tj
nf
Tj
Tj
n j
eeA
j
eeA
c
nfnfnfnf
ωωωω
ωωωωωωωω
+
−
+−
−
=
+−+−−−
Recordando que
j
eesenx
jxjx
2
−−=
podemos escribir
++
+
−−
=2
)()(2
)()(
Tsen
ATsen
Ac nf
nfnf
nfn ωω
ωωωω
ωω
Multiplicando y dividiendo cada término por T/2
2)(
2)(
22
)(
2)(
2 T
Tsen
TA
T
Tsen
TAc
nf
nf
nf
nf
n
ωω
ωω
ωω
ωω
+
++
−
−=
++
−=2
)(22
)(2
TSa
ATTSa
ATc nfnfn ωωωω
++
−=2
22
22
22
2
T
T
n
TSa
ATT
T
n
TSa
ATcn
ππππ
( )[ ] ( )[ ]ππ nSaAT
nSaAT
cn ++−= 12
12
Considerando que la función Sample es simétrica, Sa(x)= Sa(-x)
( )[ ] ( )[ ]ππ 12
12
++−= nSaAT
nSaAT
cn
Como sabemos, la función Sample se anula para todos los múltiplos de π, excepto para el múltiple de orden cero, en el que vale 1. Por tanto sólo existirán términos no nulos de los coeficientes de Fourier para n-1=0 y para n+1=0, es decir, para n=1 y n =-1.
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 02
02
22
02
112
1121 +=+=+=++−= ATAT
SaAT
SaAT
SaAT
SaAT
c πππ
Análogamente
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )22
002
22
112
1121
ATATSa
ATSa
ATSa
ATSa
ATc =+=+−=+−+−−=− πππ
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35
Para calcular los armónicos recordaremos que la función se desarrolla como
tj
nn
necT
tf ω∑∞
−∞=
= 1)(
es decir, que cada armónico vale
0>∀+= − nT
c
T
cM nn
n
En este caso sólo existe el armónico de orden 1, que vale
AAT
T
AT
TT
c
T
cM =+=+= −
2
1
2
1111
Para la componente de continua tenemos que
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 00022
102
110
2
100 =+=+−=++−== ππππ Sa
ASa
ASa
AT
TSa
AT
TT
cM
Los valores de los armónicos en RMS se calculan como el valor eficaz de los mismos. La tensión eficaz de una señal se define como el valor de la tensión de continua que disipa la misma potencia media que la señal. Para una tensión senoidal la potencia media disipada sobre una resistencia unidad es
[ ] ∫∫∫ ===TTT
dttT
AdttA
Tdttv
TP
0
22
0
2
0
2 )(cos)cos(1
)(1 ωω
Recordando que
2
2cos1cos2 x
x+=
tenemos
[ ] [ ]TTTT
tsenT
At
T
Adtt
T
Adt
T
AP 0
2
0
2
0
2
0
2
)2(2
1
22)2cos(
22ω
ωω +=+= ∫∫
[ ] [ ] )2
2(42
)0()2(4
02
2222
TT
senT
AAsenTsen
T
AT
T
AP
πω
ωω
+=−+−=
042
)4(42
2222
T
AAsen
T
AAP
ωπ
ω+=+=
2
2AP =
Por otra parte, por la definición de la tensión eficaz, la potencia media disipada por una tensión continua sobre una resistencia unidad es
2eVP =
por lo que igualando ambos términos tenemos
2
22 A
VP e ==
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36
22
2 AAVV eRMS ===
Esta expresión de la tensión eficaz o tensión RMS es válida para cualquier armónico excepto para el de orden cero, ya que al tratarse de una tensión de continua, por la propia definición de tensión eficaz,
AVV eRMS ==
Teniendo esto en cuenta, el valor RMS de los armónicos será
=∀=
>∀=
0
02
nMM
nM
M
nnRMS
nnRMS
Si el osciloscopio representa el valor de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán
1log20 nRMS
ndBV
MM
RMS=
=∀=
>∀=
0log20
02
log20
nMM
nM
M
nndBV
nndBV
RMS
RMS
Por último, debemos señalar que si a la señal se le suma una componente de continua (offset), el único armónico que resulta alterado es el de orden cero, al que hay que sumarle la tensión de offset. Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos de cada uno de los apartados Apartado 1)
Armónicos Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 0 Khz. -∞ -∞ -∞ 1 Khz. -3.01 dBV 3.01 dBV 10.97 dBV
Apartado 2)
Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. 0 Khz. -∞ 0 Khz. -∞ 0 Khz. -∞
0.5 Khz. -3.01 dBV 1 Khz. -3.01 dBV 2 Khz. -3.01 dBV Apartado 3) Armónicos Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2
0 Khz. 6.02 dBV 0 dBV -∞ 0 dBV 6.02 dBV 1 Khz. -3.01 dBV -3.01 dBV -3.01 dBV -3.01 dBV -3.01 dBV
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37
PRÁCTICA LTC-02: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UNA SEÑAL CUADRADA 1.- Descripción de la práctica Para una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V. b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz. c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V. d. Duty Cycle de 1%, 12,5%, 25% y 75%.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-08
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38
4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1 Khz., sin componente de continua.
Figura 1. Señal cuadrada
Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. El valor de la componente de continua es casi inapreciable. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.
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39
Figura 2. Espectro de amplitud de una señal cuadrada (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de una señal cuadrada (escala en dBV RMS)
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40
Apartado a)
Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. -∞ -40.4 -∞ -24.4 -∞ -26.2 1 Khz. -0.91 -1.0 5.11 5.2 13.07 13.2 2 Khz. -∞ -44.2 -∞ -54.8 -∞ -48.0 3 Khz. -10.45 -10.4 -4.33 -4.2 3.52 3.8 4 Khz. -∞ -44.2 -∞ -54.2 -∞ -51.0 5 Khz. -14.89 -14.4 -8.87 -8.6 -0.91 -0.6 6 Khz. -∞ -44.6 -∞ -54.4 -∞ -46.4 7 Khz. -17.81 -17.6 -11.79 -11.4 -3.83 -3.4 8 Khz. -∞ -44.2 -∞ -55.8 -∞ -49.8 9 Khz. -20.00 -19.6 -13.98 -13.6 -6.02 -5.4 10 Khz. -∞ -44.2 -∞ -57.8 -∞ -53.8
Apartado b)
Armónicos (en dBV) Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. -∞ -40.4 0 Khz. -∞ -40.4 0 Khz. -∞ -40.4 0.5 Khz. -0.91 -1.0 1 Khz. -0.91 -1.0 2 Khz. -0.91 -1.0 1 Khz. -∞ -44.2 2 Khz. -∞ -44.2 4 Khz. -∞ -44.2
1.5 Khz. -10.45 -10.4 3 Khz. -10.45 -10.4 6 Khz. -10.45 -10.4 2 Khz. -∞ -44.2 4 Khz. -∞ -44.2 8 Khz. -∞ -44.2
2.5 Khz. -14.89 -14.4 5 Khz. -14.89 -14.4 10 Khz. -14.89 -14.4 3 Khz. -∞ -44.6 6 Khz. -∞ -44.6 12 Khz. -∞ -44.6
3.5 Khz. -17.81 -17.6 7 Khz. -17.81 -17.6 14 Khz. -17.81 -17.6 4 Khz. -∞ -44.2 8 Khz. -∞ -44.2 16 Khz. -∞ -44.2
4.5 Khz. -20.00 -19.6 9 Khz. -20.00 -19.6 18 Khz. -20.00 -19.6 5 Khz. -∞ -44.2 10 Khz. -∞ -44.2 20 Khz. -∞ -44.2
Apartado c)
Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. 6.02 6.4 0 -40.4 -∞ -32.8 0 0 6.02 6.4 1 Khz. -0.91 -1.0 -0.91 -1.0 -0.91 -1.0 -0.91 -1.0 -0.91 -1.0 2 Khz. -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 3 Khz. -10.45 -10.4 -10.45 -10.4 -10.45 -10.4 -10.45 -10.4 -10.45 -10.4 4 Khz. -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 5 Khz. -14.89 -14.4 -14.89 -14.4 -14.89 -14.4 -14.89 -14.4 -14.89 -14.4 6 Khz. -∞ -44.6 -∞ -44.6 -∞ -44.6 -∞ -44.6 -∞ -44.6 7 Khz. -17.81 -17.6 -17.81 -17.6 -17.81 -17.6 -17.81 -17.6 -17.81 -17.6 8 Khz. -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 9 Khz. -20.00 -19.6 -20.00 -19.6 -20.00 -19.6 -20.00 -19.6 -20.00 -19.6 10 Khz. -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2
Apartado d) Las figuras 4 y 5 reflejan, en distintas escalas, el espectro de amplitud para el caso de un duty cycle del 1%.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
41
Figura 4. Espectro de amplitud de un pulso cuadrado con duty cyle del 1% (bajas frecuencias)
Figura 5. Espectro de amplitud de un pulso cuadrado con duty cyle del 1%
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
42
La tabla que recoge los valores teóricos y experimentales de este apartado es la siguiente:
dc=1% dc=12.5% dc=25% dc=50% dc=75% Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. -0.18 0 -2.50 -1.2 -6.02 -4.8 -∞ -32.8 -6.02 -6.6 1 Khz. -30.97 -25 -9.26 -9.2 -3.92 -4.0 -0.91 -1.0 -3.92 -3.4 2 Khz. -30.97 -31 -9.94 -10.0 -6.93 -6.8 -∞ -44.2 -6.93 -6.8 3 Khz. -30.98 -31 -11.14 -11.6 -13.46 -12.6 -10.45 -10.4 -13.46 -14.2 4 Khz. -30.99 -31 -12.95 -12.8 -∞ -31.0 -∞ -44.2 -∞ -30.4 5 Khz. -31.00 -31 -15.58 -14.8 -17.90 -19.3 -14.89 -14.4 -17.90 -16.5 6 Khz. -31.02 -31 -19.49 -18.4 -16.48 -16.4 -∞ -44.6 -16.48 -16.4 7 Khz. -31.04 -31 -26.16 -23.6 -20.82 -19.0 -17.81 -17.6 -20.82 -22.8 8 Khz. -31.06 -31 -∞ -36.4 -∞ -30.8 -∞ -44.2 -∞ -30.4 9 Khz. -31.09 -31 -28.34 -31.2 -23.01 -25.8 -20.00 -19.6 -23.01 -22.7 10 Khz. -31.11 -31 -23.92 -24.8 -20.91 -21.0 -∞ -44.2 -20.91 -23.5
Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden sensiblemente en todos los casos.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
43
Problema PTC0004-08 Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1Khz. Repetir el cálculo para: 1) Amplitudes de 2V y 5V. 2) Frecuencias de 0.5Khz y 2Khz. 3) Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V. 4) Duty Cycle de 1%, 12,5%, 25% y 75%.
Solución PTC0004-08 Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
tj
nn
necT
tf ω∑∞
−∞=
= 1)(
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
dtetfcT
T
tjn
n∫−−=
2/
2/)( ω
En el caso de una onda cuadrada con duty-cycle tenemos que
dtAedtAedtAedtetfcT
d
tjd
d
tjd
T
tjT
T
tjn
nnnn ∫∫∫∫−
−
−−
−
−
−
− −++−==2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/)( ωωωω
[ ] [ ] [ ] 2/
2/
2/
2/
2/
2/
T
dtj
n
d
dtj
n
d
Ttj
nn
nnn ej
Ae
j
Ae
j
Ac ωωω
ωωω−
−−−
−− +−+=
−+
−−+
−=
−−−222222
dj
Tj
n
dj
dj
n
Tj
dj
nn
nnnnnn
eej
Aee
j
Aee
j
Ac
ωωωωωω
ωωω
t
f(t)
T
d
A
t
f(t)
T
d
A
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
44
222222
dj
n
Tj
n
dj
n
dj
n
Tj
n
dj
nn
nnnnnn
ej
Ae
j
Ae
j
Ae
j
Ae
j
Ae
j
Ac
ωωωωωω
ωωωωωω−−−
−++−−=
2222 22 Tj
n
Tj
n
dj
n
dj
nn
nnnn
ej
Ae
j
Ae
j
Ae
j
Ac
ωωωω
ωωωω−−
+−−=
−−
−=
−−22222 T
jT
j
n
dj
dj
nn
nnnn
eej
Aee
j
Ac
ωωωω
ωω
jj
ee
j
Aj
j
ee
j
Ac
Tj
Tj
n
dj
dj
nn
nnnn
22
22
22222
−
−
−
=
−− ωωωω
ωω
−
=2
2
2
4 Tsen
Adsen
Ac n
nn
nn ω
ωω
ω
22
22
22
24 TT
Tsen
Add
dsen
Ac n
n
n
nn
n
n
nn ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
−
=
−
=22
2T
ATSad
AdSac nnn ωω
2
22 2n n
d n Tc AdSa ATSa
T
πω = −
( )22n n
dc AdSa ATSa nω π = −
El segundo término es siempre cero para n>0 por lo que
2 02n n
dc AdSa nω = ∀ >
Para calcular los armónicos recordaremos que la función se desarrolla como
tj
nn
necT
tf ω∑∞
−∞== 1
)(
es decir, que cada armónico vale
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
45
0>∀+= − nT
c
T
cM nn
n
Sustituyendo tenemos
2 22 2
0n n
n
d dAdSa AdSa
M nT T
ω ω− = + ∀ >
2 22 2
0n n
n
d dAdSa AdSa
M nT T
ω ω − = + ∀ >
Como la función Sample es simétrica
2 22 2
0n n
n
d dAdSa AdSa
M nT T
ω ω = + ∀ >
2
2 02n n
dM AdSa n
Tω = ∀ >
4 2
02n
Ad n dM Sa n
T T
π = ∀ >
4
0n
Ad dM Sa n n
T Tπ = ∀ >
Si llamamos dc al duty-cyle tenemos
T
ddc =
y sustituyendo
( ) 04 >∀= ndnSaAdM ccn π
Los valores de los armónicos en RMS se calculan como el valor eficaz de los mismos. La tensión eficaz de una señal se define como el valor de la tensión de continua que disipa la misma potencia media que la señal. En definitiva para un armónico de amplitud A tenemos
2
AVV eRMS ==
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
46
Esta expresión de la tensión eficaz o tensión RMS es válida para cualquier armónico excepto para el de orden cero, ya que al tratarse de una tensión de continua, por la propia definición de tensión eficaz,
AVV eRMS ==
Teniendo esto en cuenta, el valor RMS de los armónicos será
( )0
2
4log20
2log20
1log20 >∀=== n
dnSaAdMMM ccnnRMS
ndBVRMS
π
Para la componente de continua tenemos
T
cM 0
0 =
T
TATSa
dAdSa
T
TATSa
dAdSa
Mnn
−
=
−
=2
02
0222
2
0
ωω
AAdT
ATAdM c −=
−= 2
20
AAdMM
M cRMS
dBVRMS−=== 2log20log20
1log20 0
00
Por último, debemos señalar que si a la señal se le suma una componente de continua (offset), el único armónico que resulta alterado es el de orden cero, al que hay que sumarle la tensión de offset. Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos de cada uno de los subapartados. Apartado 1)
Armónicos Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 0 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 1 Khz. -0.91 dBV 5.11 dBV 13.07 dBV 2 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 3 Khz. -10.45 dBV -4.33 dBV 3.52 dBV 4 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -14.89 dBV -8.87 dBV -0.91 dBV 6 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 7 Khz. -17.81 dBV -11.79 dBV -3.83 dBV 8 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -20.00 dBV -13.98 dBV -6.02 dBV 10 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
47
Apartado 2)
Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. 0 Khz. -∞ dBV 0 Khz. -∞ dBV 0 Khz. -∞ dBV
0.5 Khz. -0.91 dBV 1 Khz. -0.91 dBV 2 Khz. -0.91 dBV 1 Khz. -∞ dBV 2 Khz. -∞ dBV 4 Khz. -∞ dBV
1.5 Khz. -10.45 dBV 3 Khz. -10.45 dBV 6 Khz. -10.45 dBV 2 Khz. -∞ dBV 4 Khz. -∞ dBV 8 Khz. -∞ dBV
2.5 Khz. -14.89 dBV 5 Khz. -14.89 dBV 10 Khz. -14.89 dBV 3 Khz. -∞ dBV 6 Khz. -∞ dBV 12 Khz. -∞ dBV
3.5 Khz. -17.81 dBV 7 Khz. -17.81 dBV 14 Khz. -17.81 dBV 4 Khz. -∞ dBV 8 Khz. -∞ dBV 16 Khz. -∞ dBV
4.5 Khz. -20.00 dBV 9 Khz. -20.00 dBV 18 Khz. -20.00 dBV 5 Khz. -∞ dBV 10 Khz. -∞ dBV 20 Khz. -∞ dBV
Apartado 3) Armónicos Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2
0 Khz. 6.02 dBV 0 dBV -∞ dBV 0 dBV 6.02 dBV 1 Khz. -0.91 dBV -0.91 dBV -0.91 dBV -0.91 dBV -0.91 dBV 2 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 3 Khz. -10.45 dBV -10.45 dBV -10.45 dBV -10.45 dBV -10.45 dBV 4 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -14.89 dBV -14.89 dBV -14.89 dBV -14.89 dBV -14.89 dBV 6 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 7 Khz. -17.81 dBV -17.81 dBV -17.81 dBV -17.81 dBV -17.81 dBV 8 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -20.00 dBV -20.00 dBV -20.00 dBV -20.00 dBV -20.00 dBV 10 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV
Apartado 4) Armónicos dc=1% dc=12.5% dc=25% dc=50% dc=75%
0 Khz. -0.18 dBV -2.50 dBV -6.02 dBV -∞ dBV -6.02 dBV 1 Khz. -30.97 dBV -9.26 dBV -3.92 dBV -0.91 dBV -3.92 dBV 2 Khz. -30.97 dBV -9.94 dBV -6.93 dBV -∞ dBV -6.93 dBV 3 Khz. -30.98 dBV -11.14 dBV -13.46 dBV -10.45 dBV -13.46 dBV 4 Khz. -30.99 dBV -12.95 dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -31.00 dBV -15.58 dBV -17.90 dBV -14.89 dBV -17.90 dBV 6 Khz. -31.02 dBV -19.49 dBV -16.48 dBV -∞ dBV -16.48 dBV 7 Khz. -31.04 dBV -26.16 dBV -20.82 dBV -17.81 dBV -20.82 dBV 8 Khz. -31.06 dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -31.09 dBV -28.34 dBV -23.01 dBV -20.00 dBV -23.01 dBV 10 Khz. -31.11 dBV -23.92 dBV -20.91 dBV -∞ dBV -20.91 dBV
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48
PRÁCTICA LTC-03: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UNA SEÑAL TRIANGULAR 1.- Descripción de la práctica Para una señal triangular de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:
a. Amplitudes de 2V y 5V. b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz. c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-09
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
49
4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal triangular de 1V de amplitud y 1 Khz., sin componente de continua.
Figura 1. Señal triangular
Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. El valor de la componente de continua es casi inapreciable. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
50
Figura 2. Espectro de amplitud de una señal triangular (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de una señal triangular (escala en dBV RMS)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
51
Apartado a)
Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. -∞ -41.4 -∞ -32.2 -∞ -30.8 1 Khz. -4.83 -4.6 1.19 1.4 9.14 9.4 2 Khz. -∞ -57.0 -∞ -51.0 -∞ -47.0 3 Khz. -23.92 -23.8 -17.90 -17.8 -9.94 -10.0 4 Khz. -∞ -54.6 -∞ -47.0 -∞ -40.6 5 Khz. -32.79 -32.4 -26.77 -26.4 -18.81 -18.6 6 Khz. -∞ -60.6 -∞ -55.8 -∞ -49.8 7 Khz. -38.64 -38.8 -32.62 -33.2 -24.66 -24.4 8 Khz. -∞ -63.0 -∞ -54.8 -∞ -50.6 9 Khz. -43.00 -43.0 -36.98 -36.6 -29.02 -28.4 10 Khz. -∞ -64.0 -∞ -55.8 -∞ -51.8
Apartado b)
Armónicos (en dBV) Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. -∞ -41.4 0 Khz. -∞ -41.4 0 Khz. -∞ -41.4 0.5 Khz. -4.83 -4.6 1 Khz. -4.83 -4.6 2 Khz. -4.83 -4.6 1 Khz. -∞ -57.0 2 Khz. -∞ -57.0 4 Khz. -∞ -57.0
1.5 Khz. -23.92 -23.8 3 Khz. -23.92 -23.8 6 Khz. -23.92 -23.8 2 Khz. -∞ -54.6 4 Khz. -∞ -54.6 8 Khz. -∞ -54.6
2.5 Khz. -32.79 -32.4 5 Khz. -32.79 -32.4 10 Khz. -32.79 -32.4 3 Khz. -∞ -60.6 6 Khz. -∞ -60.6 12 Khz. -∞ -60.6
3.5 Khz. -38.64 -38.8 7 Khz. -38.64 -38.8 14 Khz. -38.64 -38.8 4 Khz. -∞ -63.0 8 Khz. -∞ -63.0 16 Khz. -∞ -63.0
4.5 Khz. -43.00 -43.0 9 Khz. -43.00 -43.0 18 Khz. -43.00 -43.0 5 Khz. -∞ -64.0 10 Khz. -∞ -64.0 20 Khz. -∞ -64.0
Apartado c)
Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.
0 Khz. 6.02 6.4 0 0.2 -∞ -41.4 0 -0.2 6.02 6.0 1 Khz. -4.83 -4.6 -4.83 -4.6 -4.83 -4.6 -4.83 -4.6 -4.83 -4.6 2 Khz. -∞ -57.0 -∞ -57.0 -∞ -57.0 -∞ -57.0 -∞ -57.0 3 Khz. -23.92 -23.8 -23.92 -23.8 -23.92 -23.8 -23.92 -23.8 -23.92 -23.8 4 Khz. -∞ -54.6 -∞ -54.6 -∞ -54.6 -∞ -54.6 -∞ -54.6 5 Khz. -32.79 -32.4 -32.79 -32.4 -32.79 -32.4 -32.79 -32.4 -32.79 -32.4 6 Khz. -∞ -60.6 -∞ -60.6 -∞ -60.6 -∞ -60.6 -∞ -60.6 7 Khz. -38.64 -38.8 -38.64 -38.8 -38.64 -38.8 -38.64 -38.8 -38.64 -38.8 8 Khz. -∞ -63.0 -∞ -63.0 -∞ -63.0 -∞ -63.0 -∞ -63.0 9 Khz. -43.00 -43.0 -43.00 -43.0 -43.00 -43.0 -43.00 -43.0 -43.00 -43.0 10 Khz. -∞ -64.0 -∞ -64.0 -∞ -64.0 -∞ -64.0 -∞ -64.0
Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden sensiblemente en todos los casos.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
52
Problema PTC0004-09 Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una señal triangular de 1V de amplitud y 1Khz. Repetir el cálculo para: 1) Amplitudes de 2V y 5V. 2) Frecuencias de 0.5Khz y 2Khz. 3) Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.
Solución PTC0004-09 Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
tj
nn
necT
tf ω∑∞
−∞== 1
)(
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
dtetfcT
T
tjn
n∫−−=
2/
2/)( ω
En el caso de la onda triangular la señal f(t) puede considerarse compuesta por dos rectas independientes que se corresponderían con las funciones f1(t) y f2(t). Por lo tanto,
∫∫−
−
− +=2/
0
2
0
2/
1 )()(T
tj
T
tjn dtetfdtetfc nn ωω
Las rectas f1(t) y f2(t) pueden calcularse fácilmente pues se conocen los puntos por los que pasan. Recordando que la ecuación de una recta que pasa por dos puntos es
12
12
1
1
xx
yy
xx
yy
−−=
−−
o, lo que es lo mismo,
( )112
121 xx
xx
yyyy −
−−+=
Para la primera de las rectas, que pasa por los puntos [-T/2,-A] y [0,A] , tenemos
t
f(t)
A
T
t
f(t)
A
T
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
53
AtT
AA
T
T
At
T
AA
Tt
T
AA
Tt
TAA
Atf 24
2
44
2
4
22
0
)()(1 ++−=++−=
++−=
+
−−
−−+−=
tT
AAtf
4)(1 +=
Para la segunda recta, que pasa por los puntos [0,A] y [T/2,-A], podemos escribir
( ) tT
AAt
TAA
Atf4
00
2
)()(2 −=−
−
−−+=
Con estos resultados podemos escribir de nuevo el coeficiente como
∫∫−
−
−
−+
+=2/
0
0
2/
44 Ttj
T
tjn dtet
T
AAdtet
T
AAc nn ωω
∫∫∫∫−−
−
−
−
− −++=2/
0
2/
0
0
2/
0
2/
44 Ttj
Ttj
T
tj
T
tjn dtet
T
AdteAdtet
T
AdteAc nnnn ωωωω
Agrupando términos
∫∫∫−
−
−
−
− −+=2/
0
0
2/
2/
2/
44 Ttj
T
tjT
T
tjn dtet
T
Adtet
T
AdteAc nnn ωωω
Para simplicidad de la resolución denominemos cn1, cn2 y cn3 respectivamente a cada una de las integrales anteriores. De esta forma
321 nnnn cccc ++=
Resolvamos ahora cada una de ellas. Para la primera tenemos
[ ] ( )2/2/2/
2/
2/
2/
1TjTj
n
T
Ttj
n
T
T
tjn
nnnn eej
Ae
j
AdteAc ωωωω
ωω+−
−−
−
− −−
=−
== ∫
( )2/2/1
TjTj
nn
nn eej
Ac ωω
ω−−=
En el caso de la segunda integral podemos escribir
∫−
−=0
2/
2
4
T
tjn dtet
T
Ac nω
Esa integral no es inmediata de resolver. Abordémosla por partes, haciendo los siguientes cambios de variables
n
tjtj
j
evdtedv
dtdutun
n
ω
ωω
−=⇒=
=⇒=−
−
Recordando que en la integración por partes
∫∫ −⋅= duvvudvu
podemos sustituir
∫−
−
−
−
−−
−=
0
2/
0
2/
2
44
T n
tj
Tn
tj
n dtj
e
T
A
j
et
T
Ac
nn
ωω
ωω
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
54
[ ]n
Ttj
nn
Tj
n j
e
jT
A
j
eT
T
Ac
nn
ωωω
ωω
−−−
−+= −
− 0
2/2/
2 )(
4
20
4
( )2/02
2/2
42 Tjj
n
Tj
nn
nnn eeT
Ae
j
Ac ωωω
ωω−+−= −
( )2/2
2/2 1
42 Tj
n
Tj
nn
nn eT
Ae
j
Ac ωω
ωω−+−=
Para la última de las integrales tenemos
∫−−=
2/
0
3
4 Ttj
n dtetT
Ac nω
Esa integral tampoco es inmediata de resolver. Abordémosla por partes, haciendo los mismos cambios de variables que en el caso anterior
n
tjtj
j
evdtedv
dtdutun
n
ω
ωω
−=⇒=
=⇒=−
−
Recordando que en la integración por partes
∫∫ −⋅= duvvudvu
podemos sustituir
∫ −+
−−=
−− 2/
0
2/
0
3
44 T
n
tjT
n
tj
n dtj
e
T
A
j
et
T
Ac
nn
ωω
ωω
[ ]n
Ttj
nn
Tj
n j
e
jT
A
j
eT
T
Ac
nn
ωωω
ωω
−−+
−
−−=
−− 2/
02/
3 )(
40
2
4
( )02/2
2/3
42nnn jTj
n
Tj
nn ee
T
Ae
j
Ac ωωω
ωω−−= −−
( )142 2/
22/
3 −−= −− Tj
n
Tj
nn
nn eT
Ae
j
Ac ωω
ωω
Con estos tres resultados estamos ya en condiciones de reanudar el cálculo de los coeficientes cn del desarrollo en serie de Fourier. En efecto,
321 nnnn cccc ++=
( ) ( ) ( )142
142 2/
22/2/
22/2/2/ −−+−+−+−= −−− Tj
n
Tj
n
Tj
n
Tj
n
TjTj
nn
nnnnnn eT
Ae
j
Ae
T
Ae
j
Aee
j
Ac ωωωωωω
ωωωωω
++
−+−+
−−= −
2222/
22/ 444242
nnnnn
Tj
nnn
Tjn T
A
T
A
T
A
j
A
j
Ae
T
A
j
A
j
Aec nn
ωωωωωωωωωω
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
55
222/
22/ 844
nnn
Tj
nn
Tjn T
A
T
A
j
Ae
T
A
j
Aec nn
ωωωωωωω +
−+
−−= −
( ) ( )2
2/2/2
2/2/ 84
n
TjTj
n
TjTj
nn T
Aee
T
Aee
j
Ac nnnn
ωωωωωωω ++−−−= −−
22
8
2cos
8
2
2
nn
nn
nn T
AT
T
ATsen
Ac
ωω
ωω
ω+
−
−=
Recordando la expresión del coseno del ángulo doble tenemos
( ) xsenxsenxsenxsenxx 22222 211cos)2cos( −=−−=−=
22
2
8
421
8
2
2
nn
nn
nn T
ATsen
T
ATsen
Ac
ωω
ωω
ω+
−−
−=
22
22
8
4
168
2
2
nn
nnn
nn T
ATsen
T
A
T
ATsen
Ac
ωω
ωωω
ω+
+−
−=
+
−=4
16
2
2 22
Tsen
T
ATsen
Ac n
nn
nn ω
ωω
ω
+
−=4
16
2
2 22
Tsen
T
ATsen
Ac n
nn
nn ω
ωω
ω
2
2
22
4
44
16
2
22
2
+
−=T
TT
senT
AT
TT
senA
c
n
n
nn
n
n
nn
n
ω
ωω
ωω
ωω
ω
+
−=42
2 TSaAT
TATSac nnn ωω
+
−=4
2
2
2 2 T
T
nSaAT
T
T
nATSacn
ππ
( )ππnATSanSaATcn −
=2
2
Para calcular los armónicos recordaremos que la función se desarrolla como
tj
nn
necT
tf ω∑∞
−∞=
= 1)(
es decir, que cada armónico vale
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
56
0>∀+= − nT
c
T
cM nn
n
( ) ( )0
2222
>∀−−
−+
−
= nT
nATSanSaAT
T
nATSanSaAT
M n
ππππ
( ) ( ) 022
22 >∀−−
−+−
= nnASanSaAnASanSaAM n ππππ
Como la función Sample es simétrica
( ) ( ) 022
22 >∀−
+−
= nnASanSaAnASanSaAM n ππππ
( ) 02
2 2 >∀−
= nnASanSaAM n ππ
Pero el segundo término es siempre cero para n>0, por lo que
02
2 2 >∀
= nnSaAM n
π
Por otro lado la componente de continua vale
T
cM 0
0 =
( )
T
ATAT
T
ATSaSaAT
M−
=−
=ππ
02
02
0
00 =M
Si el osciloscopio representa el valor de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán
02
22
log202
log201
log20
2
>∀
=== n
nSaAMM
M nnRMSndBVRMS
π
Para la componente de continua tenemos
RMSRMS
dBV dBVM
MRMS
−∞=== 0log201
log20 00
Por último, debemos señalar que si a la señal se le suma una componente de continua (offset), el único armónico que resulta alterado es el de orden cero, al que hay que sumarle la tensión de offset.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
57
Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos de cada uno de los subapartados. Apartado 1)
Armónicos Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 0 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 1 Khz. -4.83 dBV 1.19 dBV 9.14 dBV 2 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 3 Khz. -23.92 dBV -17.90 dBV -9.94 dBV 4 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -32.79 dBV -26.77 dBV -18.81 dBV 6 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 7 Khz. -38.64 dBV -32.62 dBV -24.66 dBV 8 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -43.00 dBV -36.98 dBV -29.02 dBV 10 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV
Apartado 2)
Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. 0 Khz. -∞ dBV 0 Khz. -∞ dBV 0 Khz. -∞ dBV
0.5 Khz. -4.83 dBV 1 Khz. -4.83 dBV 2 Khz. -4.83 dBV 1 Khz. -∞ dBV 2 Khz. -∞ dBV 4 Khz. -∞ dBV
1.5 Khz. -23.92 dBV 3 Khz. -23.92 dBV 6 Khz. -23.92 dBV 2 Khz. -∞ dBV 4 Khz. -∞ dBV 8 Khz. -∞ dBV
2.5 Khz. -32.79 dBV 5 Khz. -32.79 dBV 10 Khz. -32.79 dBV 3 Khz. -∞ dBV 6 Khz. -∞ dBV 12 Khz. -∞ dBV
3.5 Khz. -38.64 dBV 7 Khz. -38.64 dBV 14 Khz. -38.64 dBV 4 Khz. -∞ dBV 8 Khz. -∞ dBV 16 Khz. -∞ dBV
4.5 Khz. -43.00 dBV 9 Khz. -43.00 dBV 18 Khz. -43.00 dBV 5 Khz. -∞ dBV 10 Khz. -∞ dBV 20 Khz. -∞ dBV
Apartado 3) Armónicos Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2
0 Khz. 6.02 dBV 0 dBV -∞ dBV 0 dBV 6.02 dBV 1 Khz. -4.83 dBV -4.83 dBV -4.83 dBV -4.83 dBV -4.83 dBV 2 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 3 Khz. -23.92 dBV -23.92 dBV -23.92 dBV -23.92 dBV -23.92 dBV 4 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -32.79 dBV -32.79 dBV -32.79 dBV -32.79 dBV -32.79 dBV 6 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 7 Khz. -38.64 dBV -38.64 dBV -38.64 dBV -38.64 dBV -38.64 dBV 8 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -43.00 dBV -43.00 dBV -43.00 dBV -43.00 dBV -43.00 dBV 10 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
58
PRÁCTICA LTC-04: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN TREN DE PULSOS SAMPLE 1.- Descripción de la práctica Para una señal periódica de 1Khz, constituida en cada período por una función Sample de 10V de amplitud y 40Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. 2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-10
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
59
4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa un tren de pulsos Sample de 10V de amplitud y 1 Khz.
Figura 1. Tren de pulsos Sample
La figura 2 presenta un detalle de la figura anterior en la que se observa con más claridad la forma del pulso Sample. Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 3. Igualmente, en la figura 4 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Por último la figura 5 representa el espectro en escala logarítmica pero en un mayor rango de frecuencias.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
60
Figura 2. Tren de pulsos Sample
Figura 3. Espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample (escala lineal)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
61
Figura 4. Espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample (escala en dBV RMS)
Figura 5. Espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample (rango amplio de frecuencias)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
62
Los valores medidos (en dBV RMS) y su comparación con los teóricos se recogen en las siguientes tablas. Khz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Aprox. -18.06 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -18.11 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 Exper. -23.1 -15.0 -15.2 -15.1 -15.2 -15.1 -15.2 -15.0 -15.1 -15.0
Khz 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.11 -15.00 Exper. -15.1 -15.0 -15.1 -15.0 -15.1 -15.0 -15.1 -15.0 -15.1 -15.0
Khz 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.11 -15.00 -15.11 -14.99 -15.12 -14.98 -15.12 -14.97 -15.14 -14.96 Exper. -15.1 -15.0 -15.2 -14.9 -15.1 -15.1 -15.2 -14.9 -15.1 -15.0 Khz 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.15 -14.94 -15.17 -14.92 -15.21 -14.87 -15.28 -14.76 -15.50 -14.30 Exper. -15.2 -14.9 -15.1 -14.9 -15.2 -14.8 -15.3 -14.8 -15.5 -14.4 Khz 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Aprox. -21.07 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ Exacto -21.09 -36.14 -41.54 -44.98 -47.51 -49.52 -51.18 -52.61 -53.86 -54.97 Exper. -21.0 -37.8 -41.4 -44.8 -50.0 -52.0 -50.2 -54.1 -54.1 -55.1 Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden sensiblemente en todos los casos.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
63
Problema PTC0004-10 Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una señal periódica de 1Khz, constituida en cada período por una función Sample de 10V de amplitud y 40Khz de frecuencia. Solución PTC0004-10
La figura representa el tren de pulsos del enunciado. Cada uno de los ciclos puede verse en detalle en la figura siguiente
Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
tj
nn
necT
tf ω∑∞
−∞=
= 1)(
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
dtetfcT
T
tjn
n∫−−=
2/
2/)( ω
En el caso que nos ocupa tenemos que
t
f(t)
T
A
t
f(t)
T
A
t
f(t)
Ts
A
t
f(t)
Ts
A
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
64
−∈∀
==
2,
2
2)()(
TTtt
TSaAtSaAtf
ss
πω
por lo que
dtet
tsenAdtetSaAc
T
T
tj
s
sT
T
tjsn
nn ∫∫ −
−
−
− ==2/
2/
2/
2/
)()( ωω
ωωω
Desafortunadamente la expresión anterior no puede resolverse analíticamente. Caben dos soluciones: a) una integración numérica con el cálculo de cada uno de los valores necesarios; o b) una solución analítica aproximada. Intentemos primero este segundo camino. Consideremos para ello una señal Sample igual a la anterior, pero que no se repite periódicamente, es decir, un único pulso de tipo Sample. Para este caso,
)()( tSaAtg sω=
y, al no ser periódica, su representación espectral se consigue mediante la transformada de Fourier que vale
[ ]( ) ( ) ( ) ( )n nj t j ts sG g t e dt ASa t e dt ASa tω ωω ω ω
∞ ∞− −
−∞ −∞= = = ℑ∫ ∫
Esta integral tampoco puede resolverse directamente, pero sí podemos acudir a las propiedades de la transformada de Fourier para resolverla. Recordamos que si una función m(t) se transforma en
[ ]( ) ( )M m tω = ℑ
entonces la función )()( tMtn =
se transforma en
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) 2 ( )N n t M t mω π ω= ℑ = ℑ = −
Apliquemos esta propiedad a una función pulso de amplitud B y ancho d
−∉∀=
−∈∀=
2,
20)(
2,
2)(
ddttm
ddtBtm
Sabemos, y es fácil demostrar, que su transformada vale
[ ]( ) ( )2
dM m t BdSaω ω = ℑ =
Tengamos ahora otra función constituida por un pulso tipo Sample
==2
)()(d
tBdSatMtn
La transformada de esta función, aplicando la propiedad anteriormente enunciada será
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) 2 ( )N n t M t mω π ω= ℑ = ℑ = −
lo que dada la simetría de la función Sample nos lleva a
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
65
)(2)( ωπω mN =
−∉∀=
−∈∀=
2,
20)(
2,
22)(
ddN
ddBN
ωω
ωπω
Comparando n(t) con g(t) tenemos
=
=
2)(
)()(
dtBdSatn
tSaAtg sω
y, por lo tanto, ambas funciones son iguales si
BdAd
s == ;2
ω
o lo que es lo mismo
ss
A
d
ABd
ωω
2;2 ===
por lo que la transformada es
[ ]
[ ]
−∉∀=
−∈∀=⋅
==
ss
ssss
s
G
ATATAG
ωωωω
ωωωπ
πω
πω
,0)(
,222
22
2)(
es decir, un pulso cuadrado en el plano de la frecuencia, tal como puede observarse en la gráfica
Con esos resultados, y volviendo a la señal original, podemos escribir
dtetSaAdtetSaAdtetSaAcT
tjs
T tjs
tjsn
nnn ∫∫∫∞ −−
∞−
−∞
∞−
− −−=2/
2/)()()( ωωω ωωω
Comparando con las expresiones anteriores vemos que
dtetSaAdtetSaAGcT
tjs
T tjsn
nn ∫∫∞ −−
∞−
− −−=2/
2/)()()( ωω ωωω
G(ω)
2ωs
ω
2sAT
G(ω)
2ωs
ω
2sAT
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
66
Si T>>Ts la función Sample toma un valor muy pequeño, lo mismo que ocurre con las dos integrales de la expresión anterior. Por tanto, de una forma aproximada (ver Anexo), podemos escribir
)(ωGcn ≈
[ ][ ]
−∉∀≈
−∈∀≈
ssnn
ssns
n
c
ATc
ωωω
ωωω
,0
,2
−∉∀≈
−∈∀≈
ssn
ss
sn
TTT
nc
TTT
nATc
πππ
πππ
2,
220
2,
22
2
−∉∀≈
−∈∀≈
ssn
ss
sn
T
T
T
Tnc
T
T
T
Tn
ATc
,0
,2
El valor de G(ω) presenta una singularidad en ω= ωs, cambiando bruscamente de valor. Esto hace que debamos estudiar especialmente el valor de cn para ωn= ωs. En este caso tenemos
dtetSaAdtetSaAcT
T
tjs
T
T
tjsn
sn ∫∫ −
−
−
− ==2/
2/
2/
2/)()( ωω ωω
[ ]dttjsenttSaAc ss
T
T sn )()cos()(2/
2/ωωω −= ∫−
dttsentjSaAdtttSaAc s
T
T ss
T
T sn )()()cos()(2/
2/
2/
2/ωωωω ∫∫ −−
−=
La segunda integral, como la de cualquier función simétrica es cero. En efecto,
dttsentjSaAdttsentjSaAdttsentSaAj s
T
ssT ss
T
T s )()()()()()(2/
0
0
2/
2/
2/ωωωωωω ∫∫∫ +=
−−
Haciendo en la primera integral el cambio de variable
00;2/2/;; =→==→−=−=−= xtTxTtdxdtxt tenemos
dttsentjSaAdxxsenxjSaAdttsentjSaA s
T
ssT ss
T
T s )()())(()()()(2/
0
0
2/
2/
2/ωωωωωω ∫∫∫ +−−−=
−
dttsentjSaAdxxsenxjSaAdttsentjSaA s
T
ss
T
ss
T
T s )()())(()()()(2/
0
2/
0
2/
2/ωωωωωω ∫∫∫ +−−−−=
−
Como la función Sample es simétrica y la función seno no lo es, podemos escribir
dttsentjSaAdxxsenxjSaAdttsentjSaA s
T
ss
T
ss
T
T s )()()()()()(2/
0
2/
0
2/
2/ωωωωωω ∫∫∫ +−=
−
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
67
de donde, como queríamos demostrar,
0)()(2/
2/=∫− dttsentjSaA s
T
T s ωω
Sustituyendo en el cálculo del valor de cn tenemos
dtttSaAdttsentjSaAdtttSaAc s
T
T ss
T
T ss
T
T sn )cos()()()()cos()(2/
2/
2/
2/
2/
2/ωωωωωω ∫∫∫ −−−
=−=
dttASadttsen
t
Adtt
t
tsenAc
T
T ss
T
Ts
s
T
Ts
sn ∫∫∫ −−−
===2/
2/
2/
2/
2/
2/)2(
2
)2()cos(
)( ωωω
ωω
ω
dtetASadttASac tjssn
0)2()2( ∫∫∞
∞−
∞
∞−=≈ ωω
Es decir el valor será aproximadamente igual al término de continua (para ω=0) de la transformada de una función Sample de frecuencia doble a la original. Por tanto, para ω= ωs, tenemos
42
)2/( ssn
ATTAc =≈
Para calcular los armónicos recordaremos que cada armónico vale
0>∀+= − nT
c
T
cM nn
n
=∀+≈
∉∀≈
∈∀+≈
s
ssn
sn
s
ssn
T
Tn
T
AT
T
ATM
T
TnM
T
Tn
T
AT
T
ATM
44
,00
,022
=∀≈
∉∀≈
∈∀≈
s
sn
sn
s
sn
T
Tn
T
ATM
T
TnM
T
Tn
T
ATM
2
,00
,0
Por otro lado la componente de continua vale
T
cM 0
0 =
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
68
T
ATM s
20 ≈
Si el osciloscopio representa el valor de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán
2log20
1log20 nnRMS
ndBV
MMM
RMS==
Para la componente de continua tenemos
00
0 log201
log20 MM
M RMSdBVRMS
==
Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos exactos (por cálculo numérico) y aproximados de cada armónico, expresados todos ellos en dBV RMS. Khz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Aprox. -18.06 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -18.11 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01
Khz 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.11 -15.00 Khz 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.11 -15.00 -15.11 -14.99 -15.12 -14.98 -15.12 -14.97 -15.14 -14.96 Khz 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.15 -14.94 -15.17 -14.92 -15.21 -14.87 -15.28 -14.76 -15.50 -14.30 Khz 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Aprox. -21.07 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ Exacto -21.09 -36.14 -41.54 -44.98 -47.51 -49.52 -51.18 -52.61 -53.86 -54.97
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
69
Anexo. Cálculo del error de aproximación Hemos visto que
dtetSaAdtetSaAGcT
tjs
T tjsn
nn ∫∫∞ −−
∞−
− −−=2/
2/)()()( ωω ωωω
lo que nos permite, si T>>Ts, aproximarlo mediante
)(ωGcn ≈
El error cometido en esta aproximación es
dtetSaAdtetSaAT
tjs
T tjsn
nn ∫∫∞ −−
∞−
− +=2/
2/)()( ωω ωωε
Este error podemos rescribirlo haciendo, en la primera integral, el cambio de variable
2/2/;;; TxTtxtdxdtxt =→−=∞=→−∞=−=−= por lo que tenemos
dtetSaAdxexSaAT
tjs
T xjsn
nn ∫∫∞ −
∞+−−=
2/
2/)()()( ωω ωωε
Recordando que la función Sample es simétrica
dtetSaAdxexSaAT
tjsT
xjsn
nn ∫∫∞ −∞
+=2/2/
)()( ωω ωωε
y cambiando de nuevo de variable x=t
dtetSaAdtetSaAT
tjsT
tjsn
nn ∫∫∞ −∞
+=2/2/
)()( ωω ωωε
( ) ( )∫∫
∞ −∞ − +=+=2/2/ 2
)(2)(T
tjtj
sT
tjtjsn dt
eetSaAdteetSaA
nn
nn
ωωωω ωωε
( ) ( )∫∫∞∞
==2/2/
cos)(
2cos)(2T n
s
s
T nsn dttt
tsenAdtttSaA ω
ωωωωε
Recordando las expresiones trigonométricas de la suma y resta de ángulos tenemos
⋅−⋅=−⋅+⋅=+
bsenabasenbasen
bsenabasenbasen
coscos)(
coscos)(
Sumando ambas ecuaciones
basenbasenbasen cos2)()( ⋅=−++
2
)()(cos
basenbasenbasen
−++=⋅
Aplicando esta expresión a la integral tenemos
∫∞ −++=
2/ 2
)()(2T
nsns
sn dt
ttsenttsen
t
A ωωωωω
ε
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
70
[ ] [ ]∫∫
∞∞ −++=2/2/
)()(T
s
ns
Ts
nsn dt
t
tsenAdt
t
tsenA
ωωω
ωωωε
Distinguiremos tres casos. a) El primero será el que ocurre cuando ωn< ωs. En este caso en la primera integral hacemos el cambio de variable
2
)(2/;;;)( ns
nsns
TxTtxt
dxdtxt
ωωωω
ωω +=→=∞=→∞=+
==+
y en la segunda integral hacemos el cambio
2
)(2/;;;)( ns
nsns
TxTtxt
dxdtxt
ωωωω
ωω −=→=∞=→∞=−
==−
por lo que el error resulta ser
snT
ns
nss
T
ns
nss
n nsns
dx
x
xsenA
dx
x
xsenA ωω
ωωωω
ωωω
ωωω
ε ωωωω <∀−
−
++
+
= ∫∫∞
−∞
+2
)(
2
)(
snT
s
T
sn nssn
dxx
xsenAdx
x
xsenA ωωωω
ε ωωωω <∀+= ∫∫∞
−∞
+2
)(
2
)(
b) El segundo caso será el que ocurre cuando ωn> ωs. En este caso en la primera integral hacemos el mismo cambio de variable y en la segunda integral hacemos el cambio
2
)(2/;;;)( sn
snsn
TxTtxt
dxdtxt
ωωωω
ωω −=→=∞=→∞=−
==−
por lo que el error resulta ser
snT
sn
sns
T
ns
nss
n snsn
dx
x
xsenA
dx
x
xsenA ωω
ωωωω
ωωω
ωωω
ε ωωωω >∀−
−
−++
+
= ∫∫∞
−∞
+2
)(
2
)()(
snT
s
T
sn snsn
dxx
xsenAdx
x
xsenA ωωωω
ε ωωωω >∀−= ∫∫∞
−∞
+2
)(
2
)(
c) El tercer y último caso será el que ocurre cuando ωn= ωs. En este caso sustituimos estos valores en ambas integrales teniendo
snTs
Ts
sn dt
t
tsenAdt
t
tsenA ωω
ωωωε =∀+= ∫∫
∞∞
2/2/
)0()2(
snTs
sn dt
t
tsenA ωω
ωωε =∀= ∫
∞
2/
)2(
Haciendo el cambio de variable
ss
s TxTtxtdx
dtxt ωω
ω =→=∞=→∞=== 2/;;2
;2
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
71
tenemos
snTs
ns
dxx
senxA ωω
ωε
ω=∀= ∫
∞
22
snTs
ns
dxx
senxA ωωω
εω
=∀= ∫∞
Resumiendo los tres casos, el error de aproximación resulta ser
=∀=
>∀−=
<∀+=
∫
∫∫
∫∫
∞
∞−
∞+
∞−
∞+
snTs
n
snT
s
T
sn
snT
s
T
sn
s
snsn
nssn
dxx
senxA
dxx
xsenAdx
x
xsenA
dxx
xsenAdx
x
xsenA
ωωω
ε
ωωωω
ε
ωωωω
ε
ω
ωωωω
ωωωω
2
)(
2
)(
2
)(
2
)(
y en términos absolutos
=∀≤
>∀+≤
<∀+≤
∫
∫∫
∫∫
∞
∞−
∞+
∞−
∞+
snTs
n
snT
s
T
sn
snT
s
T
sn
s
snsn
nssn
dxx
senxA
dxx
xsenAdx
x
xsenA
dxx
xsenAdx
x
xsenA
ωωω
ε
ωωωω
ε
ωωωω
ε
ω
ωωωω
ωωωω
2
)(
2
)(
2
)(
2
)(
En definitiva, el error resulta ser dependiente de integrales del tipo
∫∞
=a
dxx
xsenaI )(
en las que el límite inferior de la integral es un número positivo que crece, cuando T crece.
( )
=∀≤
>∀
−+
+≤
<∀
−+
+≤
snss
n
snsn
s
sn
sn
snns
s
sn
sn
TIA
TI
ATI
A
TI
ATI
A
ωωωω
ε
ωωωωω
ωωω
ε
ωωωωω
ωωω
ε
2
)(
2
)(
2
)(
2
)(
Mostraremos que las integrales I(a) y, por tanto el error de aproximación, son muy pequeños cuando T es muy grande. Para ello veamos que el integrando está formado por dos funciones: una senoide de período 2π y una hipérbola. La integral es el área debajo de la curva formada por el integrando y el eje de abscisas, lo que podemos obtener también sumando las áreas de cada período o ciclo.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
72
Numeramos los ciclos empezando por i=0 (de x=0 a x=2π), i=1 (de x=2π a x=4π), i=2 (de x=4π a x=6π), y así sucesivamente hasta i=∞. Supondremos también que el límite inferior de la integral a está en el ciclo m-ésimo (por simplicidad y sin pérdida de generalidad supondremos que coincide con el inicio del ciclo). Es decir,
ma π2= Según esto, la integral vale
∑∫∞
=
∞==
miia
Adxx
xsenaI )(
siendo Ai el área del ciclo i-ésimo. Este ciclo va desde x=2πi a x=2π(i+1) y está formado por dos semiciclos, uno positivo de área Aip desde x=2πi a x=2πi+π y otro negativo de área Ain desde x=2πi+π a x=2π(i+1), siendo
∫∫+
+
++=+=
)1(2
2
2
2
i
i
i
iinipi dxx
xsendx
x
xsenAAA
π
ππ
ππ
π
En el semiciclo positivo, la senoide está multiplicada por un valor variable 1/x comprendido en el intervalo
Ciclo i Ciclo i+1Ciclo i-1
2πi 2π(i+1)
iπ2
1
)1(2
1
+iπππ +i2
1
2πi+ π
Ciclo i Ciclo i+1Ciclo i-1
2πi 2π(i+1)
iπ2
1
)1(2
1
+iπππ +i2
1
2πi+ π
Ciclo i Ciclo i+1Ciclo i-1 Ciclo i Ciclo i+1Ciclo i-1
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
73
πππ +≥≥
ixi 2
11
2
1
Si sustituimos ese factor variable por una constante igual al máximo valor del factor en el semiciclo obtendremos una cota superior del área del semiciclo. En efecto,
∫∫++
≤=ππ
π
ππ
π πi
i
i
iip dxi
xsendx
x
xsenA
2
2
2
2 2
Igualmente, en el semiciclo negativo la senoide está multiplicada por un valor variable 1/x comprendido en el intervalo
)1(2
11
2
1
+≥≥
+ ixi πππ
Si sustituimos ese factor variable por una constante igual al mínimo valor del factor en el semiciclo obtendremos una cota superior del área del semiciclo (recordemos que el área en este semiciclo es negativa). En efecto,
∫∫+
+
+
+ +≤=
)1(2
2
)1(2
2 )1(2
i
i
i
iin dxi
xsendx
x
xsenA
π
ππ
π
ππ π
Sustituyendo las cotas superiores de las áreas de los semiciclos positivo y negativo obtenemos una cota superior del área total del ciclo
∫∫+
+
+
++≤+=
)1(2
2
2
2 )1(22
i
i
i
iinipi dxi
xsendx
i
xsenAAA
π
ππ
ππ
π ππ
Integrando tenemos
[ ] [ ])1(2
cos
2
cos )1(22
22
+−
+−
≤+
++
i
x
i
xA
ii
ii
i ππ
πππ
πππ
[ ] [ ] [ ] [ ]
)1(2
)1(2cos2cos
2
2cos2cos
++−+++−≤
i
ii
i
iiAi π
ππππ
πππ
)1(2
2
2
2
)1(2
1)1(
2
)1(1
+−=
+−−+−−≤
iiiiAi ππππ
+−≤
1
111
iiAi π
Sustituyendo este resultado en el cálculo de la integral de la función Sample tenemos
∑∑∫∞
=
∞
=
∞
+−≤==
mimiia ii
Adxx
xsenaI
1
111)(
π
+
+−
++
+−
++
+−≤ L
3
1
2
1
2
1
1
1
1
111)(
mmmmmmaI
π
ππ mmaI
111)( =
≤
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
74
Recordando que ma π2=
y sustituyendo el valor de m en función de a tenemos
aaaI
221)( =≤ π
π
Sustituyendo esta cota de la integral en la expresión del error de aproximación tenemos
=∀≤
>∀−
++
≤
<∀−
++
≤
snss
n
snsnssns
n
snnsssns
n
T
A
TA
TA
TA
TA
ωωωω
ε
ωωωωωωωωε
ωωωωωωωωε
2
2
)(2
2
)(2
2
)(2
2
)(2
Como en esa expresión todos los valores son positivos tenemos
=∀≤
>∀−
++
≤
<∀−
++
≤
snss
n
snsnssns
n
snnsssns
n
T
A
T
A
T
A
T
A
T
A
ωωωω
ε
ωωωωωωωω
ε
ωωωωωωωω
ε
2
)(
4
)(
4
)(
4
)(
4
y simplificando
=∀≤
>∀
−+
+≤
<∀
−+
+≤
snss
n
snsnsns
n
snnssns
n
T
A
T
A
T
A
ωωωω
ε
ωωωωωωω
ε
ωωωωωωω
ε
12
114
114
=∀≤
>∀
−+
+≤
<∀
−+
+≤
snss
n
snsnsns
n
snnssns
n
ffff
fA
fffffff
fA
fffffff
fA
ππππ
ε
πππππππ
ε
πππππππ
ε
222
1
2
2
2222
1
22
1
2
4
2222
1
22
1
2
4
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
75
=∀≤
>∀
−+
+≤
<∀
−+
+≤
sns
n
snsnsn
n
snnssn
n
fffm
A
ffffffm
A
ffffffm
A
2
2
2
2
11
11
πε
πε
πε
Vemos que, como queríamos demostrar, cuando T crece disminuye la integral y por tanto, disminuye el error. Podemos hacer el error tan pequeño como queramos sin más que aumentar m (T/Ts), o lo que es lo mismo, la relación entre el período del tren de pulsos Sample (T) y el período de la propia función Sample (Ts). El valor de m en nuestro enunciado es 40. La gráfica siguiente muestra la evolución del error de la aproximación en función de m para tres armónicos (0 Khz, 10 Khz y 30 Khz). Este error se ha calculado por métodos numéricos y está expresado en porcentaje sobre el valor máximo teórico del espectro que, como vimos anteriormente, vale
22)( sAT
BG == πω
Vemos como, efectivamente, el error va disminuyendo al hacer que el período del tren de pulsos Sample (T) sea sensiblemente mayor que el período de la propia función Sample (Ts), es decir, al hacer que m crezca. En la gráfica siguiente se muestra la evolución del error de la aproximación para los distintos armónicos (m=40, valor del enunciado). Se observa una singularidad del error a la frecuencia de 40 Khz (pasa del 9.08% al 0.13%). Esta frecuencia es la misma a la que se produce la singularidad del espectro. En cualquier caso, se observa que, para los datos del enunciado, el error no supera el 10% en ninguno de los armónicos.
0 20 40 60 80 100m HTêTsL
0
5
10
15
20
25
rorrE
H%L
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
76
Estos valores se encuentran por debajo de las cotas calculadas tal como puede verse en la gráfica siguiente que muestra la evolución del error de la aproximación y su cota en función de m para el armónico de 30 Khz.
De igual forma, en la gráfica inferior se muestra la evolución del error de la aproximación y su cota para los distintos armónicos (m=40, valor del enunciado).
0 20 40 60 80 100Armó nico HKhz L
0
2
4
6
8
rorrE
H%L
0 20 40 60 80 100m HTêTsL
10
20
30
40
50
rorrE
H%L
0 20 40 60 80 100Armó nico HKhz L
0
5
10
15
20
rorrE
H%L
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
77
PRÁCTICA 2: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SISTEMAS
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
78
PRÁCTICA 2: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SISTEMAS 1.- Descripción de la práctica 1.1.- Excitar un circuito RC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 1Khz y frecuencia del Sample 40 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio en “CA”. R=1KΩ, C=100nF.
1.2.- Excitar un circuito RC paso de alta como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 200 Hz y frecuencia del Sample 8 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio en “CA”. R=1KΩ, C=100nF.
R
C
vi(t) vo(t)R
C
vi(t) vo(t)
R
Cvi(t) vo(t)
R
Cvi(t) vo(t)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
79
1.3.- Excitar un circuito RLC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio en “CA”. R=100Ω, L= 10mH, C=100nF.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio • Resistencias de 100Ω y 1 KΩ • Bobina de 10mH • Condensador de 100nF
3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de laboratorios siguientes: Epígrafe 1.1: Laboratorio LTC-05 Epígrafe 1.2: Laboratorio LTC-06 Epígrafe 1.3: Laboratorio LTC-08
C
L
vi(t) vo(t)
R
C
L
vi(t) vo(t)
R
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
80
4.- Hojas de resultados experimentales 4.1. Circuito RC paso de baja
Tensión (voltios)
Retardo (Microsegundos)
Ganancia Desfase (Grados)
Retardo de grupo (Microsegundos)
Frecuencia (en Khz)
Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 0,1 0,25 0,5 1 1,59 2 3 4 5 7 10 20 50 100 500 1.000 4.2. Circuito RC paso de alta
Tensión (voltios)
Retardo (Microsegundos)
Ganancia Desfase (Grados)
Retardo de grupo (Microsegundos)
Frecuencia (en Khz)
Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 0,1 0,25 0,5 1 1,59 2 3 4 5 7 10 20 50 100 500 1.000
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
81
4.3. Circuito RLC paso de baja
Tensión (voltios)
Retardo (Microsegundos)
Ganancia Desfase (Grados)
Retardo de grupo (Microsegundos)
Frecuencia (en Khz)
Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 0,1 0,5 1 2 3 4 4,5 4,7 5 5,5 6 7 10 20 50 100 500 1000
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
82
PRÁCTICA LTC-05: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN SISTEMA RC PASO DE BAJA 1.- Descripción de la práctica Excitar un circuito RC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 1Khz y frecuencia del Sample 40 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio en “CA”. R=1KΩ, C=100nF.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio • Resistencia de 1KΩ • Condensador de 100nF
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-11
R
Cvi(t) vo(t)
R
Cvi(t) vo(t)
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83
4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 4 representa (en amarillo) una señal de excitación senoidal de 5V de amplitud y 1 Khz. y la correspondiente señal de salida (en azul).
Figura 4. Señal senoidal
En la gráfica podemos observar que en la tensión de salida se produce una atenuación y un retraso. Repitiendo este proceso para distintas frecuencias de la señal de entrada y midiendo las tensiones y retardos de la señal de salida obtenemos la tabla de la página siguiente. El enunciado nos sugiere que las tensiones se midan pico a pico. Ello nos facilita la medida (muchos osciloscopios la tienen incorporada) limitando el posible efecto que una tensión de offset tendría sobre una medida de amplitud. Igualmente, la sugerencia de acoplamiento en el osciloscopio en “CA” va encaminada a eliminar el efecto que una posible tensión de offset (siempre presente por las impresiones de la fuente de señal) tendría sobre las medidas. En la tabla, las 4 primeras columnas (encabezadas “Exp.”) son medidas directas obtenidas experimentalmente con el osciloscopio. Las columnas encabezadas como “Calc.” son medidas indirectas calculadas a partir de las medidas directas experimentales. Por último, las columnas encabezadas como “Teor.” reflejan los valores teóricos que deberían obtenerse.
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Tensión (voltios)
Retardo (Microsegundos)
Ganancia Desfase (Grados)
Retardo de grupo (Microsegundos)
Frecuencia (en Khz)
Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 10,10 10,16 0,00 -100,00 1,006 1,000 0,0 -0,4 -115,56 -100,00 0,1 10,12 10,17 -104,00 -99,87 1,005 0,998 -3,7 -3,6 -115,56 -99,61 0,25 10,09 10,03 -104,00 -99,19 0,994 0,988 -9,4 -8,9 -104,00 -97,59 0,5 10,02 9,61 -102,00 -96,89 0,959 0,954 -18,4 -17,4 -100,00 -91,02 1 9,94 8,40 -94,00 -89,28 0,845 0,847 -33,8 -32,1 -86,00 -71,70 1,59 9,79 6,92 -80,00 -78,54 0,707 0,707 -45,8 -45,0 -56,33 -50,00 2 9,69 6,04 -73,60 -71,51 0,623 0,623 -53,0 -51,5 -48,66 -38,77 3 9,57 4,49 -58,40 -57,46 0,469 0,469 -63,1 -62,1 -28,00 -21,96 4 9,53 3,53 -48,80 -47,43 0,370 0,370 -70,3 -68,3 -20,00 -13,67 5 9,50 2,91 -41,40 -40,19 0,306 0,303 -74,5 -72,3 -11,80 -9,20 7 9,49 2,14 -31,40 -30,63 0,225 0,222 -79,1 -77,2 -6,40 -4,92 10 9,44 1,55 -22,60 -22,49 0,164 0,157 -81,4 -81,0 -2,07 -2,47 20 9,46 0,76 -11,80 -11,87 0,080 0,079 -85,0 -85,5 -1,00 -0,63 50 9,47 0,32 -4,88 -4,90 0,034 0,032 -87,8 -88,2 -0,27 -0,10 100 9,48 0,17 -2,46 -2,47 0,018 0,016 -88,6 -89,1 -0,04 -0,03 500 9,68 0,04 -0,48 -0,50 0,004 0,003 -86,4 -89,8 0,02 0,00 1.000 9,65 0,03 -0,25 -0,25 0,003 0,002 -89,3 -89,9 -0,02 0,00 Los valores calculados a partir de los datos experimentales son los siguientes: la ganancia
o
i
VG
V=
el desfase φº (en grados) a partir del retardo R y de la frecuencia f 2 360
º 3602
R R fT
πϕπ
= = ⋅ ⋅
y, por último, el retardo de grupo a partir del desfase φº y de la frecuencia f
( )
2º
2 1 º 1 º 13602 360 2 360 360g
dd d d
Rd d f df df f
πϕϕ π ϕ ϕ ϕω π π
∆ = = = = ≈
∆
Apartado a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
0,001
0,01
0,1
1
10
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
0,001
0,01
0,1
1
10
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
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Apartado b) Las gráficas siguientes representan el espectro de fase (en grados) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Apartado c) Las gráficas siguientes representan el retardo del sistema (en microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Apartado d) Las gráficas siguientes representan el retardo de grupo del sistema (en microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Todos los valores teóricos y experimentales coinciden con bastante aproximación. Únicamente se observan algunas discrepancias sensibles en los valores de los retardos a
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
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muy baja frecuencia. Ello es debido a la dificultad de medir en el osciloscopio desfases muy pequeños, como ocurre en el caso de las bajas frecuencias. Aunque en menor medida, también se observan algunas discrepancias en los valores de ganancia a altas frecuencias. La explicación en este caso es la misma: los valores de la tensión de salida son tan bajos que no pueden medirse bien con el osciloscopio (vienen afectados por las imprecisiones experimentales). Apartado e) Según el estudio teórico realizado, para la señal de entrada el valor del armónico esperado es de 177 mV hasta 40 Khz. La gráfica siguiente muestra la representación obtenida en el osciloscopio que coincide sensiblemente con el valor teórico.
Figura 2.
Por otra parte, sabemos del estudio teórico que la forma del espectro de la señal de salida es aproximadamente igual a la de la función de transferencia, difiriendo únicamente en un valor constante. En la gráfica siguiente observamos el valor obtenido en el osciloscopio para el espectro de amplitud de la señal de salida del sistema. En dicha gráfica hemos superpuesto el valor teórico y experimental del espectro de amplitud del sistema que hemos trazado ya en el apartado a). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente.
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Figura 3.
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Problema PTC0004-11 Se dispone de un circuito RC como el de la figura. Calcular:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. La frecuencia de 3dB. 5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de 3dB. 6. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 1Khz y frecuencia del Sample 40 Khz. Demostrar que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de amplitud del sistema.
Datos: R= 1KΩ, C=100nF
Solución PTC0004-11 Trataremos en primer lugar de determinar la función de transferencia del sistema. Para ello plantearemos las ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento. La intensidad por el condensador será
( )( ) o
C
dv ti t C
dt=
Por otra parte, la tensión en la resistencia es ( ) ( )R Rv t i t R=
Al estar la salida del circuito abierta, la impedancia de la carga es infinita y la intensidad que circula por ella es nula, por lo que las intensidades por la resistencia y por el condensador son iguales
( ) ( ) ( )C Ri t i t i t= =
Aplicando el cálculo de tensiones en el circuito tenemos
( ) ( ) ( )i R ov t v t v t= +
y sustituyendo ( ) ( ) ( )i ov t i t R v t= +
( )
( ) ( )oi o
dv tv t RC v t
dt= +
R
Cvi(t) vo(t)
R
Cvi(t) vo(t)
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Esta ecuación es la que modela el comportamiento temporal del circuito. Para calcular la función de transferencia no tenemos más que recordar la expresión
)(
)()(
ωωω
jP
jPH
B
A=
donde los polinomios PA y PB son los que aparecen en la ecuación diferencial que modela el comportamiento temporal del sistema, de acuerdo con
)()()()( tyDPtxDP BA =
En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como
( )( ) 1 ( )i ov t RCD v t= +
por lo que los polinomios son
( ) 1
( ) 1A
B
P D
P D RCD
= = +
Sustituyendo en la expresión de la función de transferencia tenemos
( ) 1( )
( ) ( ) 1A
B
P jH
P j RC j
ωωω ω
= =+
1
( )1
Hj RC
ωω
=+
o, en términos de frecuencia
1( )
1 2H f
j fRCπ=
+
Apartado a)
Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del sistema que no es más que
1( )
1H
j RCω
ω=
+
2 4 6 8 10f HKhz L
0.2
0.4
0.6
0.8
1»HHf L»
Figura 5.Espectro de amplitud (escala lineal)
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90
o, en términos de frecuencia
1( )
1 2H f
j fRCπ=
+
La figura 1 representa el espectro de amplitud en escala lineal. Análogamente, la figura 2 lo representa en escala logarítmica.
Figura 2.Espectro de amplitud (escala logaritmica)
Apartado b)
Figura 8. Espectro de fase (escala lineal)
De igual forma, el espectro de fase del sistema es
[ ] [ ] [ ]arg ( ) arg 1 arg 1 01
RCH j RC arctg
ωω ω = − + = −
[ ] ( )arg ( )H arctg RCω ω= −
o, en términos de frecuencia
[ ] ( )arg ( ) 2H f arctg f RCπ= −
La figura 3 representa el espectro de fase en escala lineal. Análogamente, la figura 4 lo representa en escala logarítmica.
0.001 0.01 0.1 1 10 100f
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1
»HHf L»
2 4 6 8 10f H
-80
-60
-40
-20
Arg @HHf LD
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91
Figura 4. Espectro de fase (escala logarítmica)
Apartado c)
Figura 10. Retardo (escala lineal)
El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula como
[ ] [ ] [ ]arg ( )1( ) arg ( ) arg ( )
22
HTR H H
T
ωω ω ω
ππ ω= = =
Recordando que
[ ] ( )arg ( )H arctg RCω ω= −
tenemos que
( )( )
arctg RCR
ωω
ω−
=
En términos de frecuencia podemos escribir
( )2( )
2
arctg f RCR f
f
ππ
−=
0.001 0.01 0.1 1 10 100f HKhz L
-80
-60
-40
-20
0Arg @HHf LD
2 4 6 8 10f H
-100
-80
-60
-40
-20
RHf L HµsL
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La figura 5 representa el retardo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 6 lo representa en escala logarítmica.
Figura 11. Retardo (escala logarítmica)
Por otra parte, el retardo de grupo se define como [ ]arg ( )
( )g
d HR
d
ωω
ω≡
Por tanto
( )( )2( )
1g
d arctg RC RCR
d RC
ωω
ω ω
− − = =+
En términos de frecuencia podemos escribir
( )2( )1 2
g
RCR f
f RCπ−=
+
La figura 7 representa el retardo de grupo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 8 lo representa en escala logarítmica.
2 4 6 8 10f HKhz L
-100
-80
-60
-40
-20
RgHf L HµsL
Figura 12. Retardo de grupo (escala lineal)
0.01 0.1 1 10 100f HKhz L
-100
-80
-60
-40
-20
RHf L HµsL
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93
Las figuras 9 y 10 comparan el retardo y el retardo de grupo en escalas lineal y logarítmica respectívamente.
Figura 15. Retardo (línea inferior) y retardo de grupo (escala lineal)
Se observa cómo, al no ser el espectro de fase lineal, los dos retardos no coinciden. En términos absolutos, vemos que el retardo es mayor que el retardo de grupo.
Figura 16. Retardo (línea inferior) y retardo de grupo (escala logarítmica)
Apartado d) El ancho de banda de 3 dB, o la frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple
3( ) 3dB dBH f dB= −
0.01 0.1 1 10 100f HKhz L
-100
-80
-60
-40
-20
RgHf L HµsL
Figura 13. Retardo de grupo (escala logarítmica)
0.01 0.1 1 10 100f
-100
-80
-60
-40
-20
RHf L HµsL
2 4 6 8 10f
-100
-80
-60
-40
-20
RHf L HµsL
Figura 14. Retardo (línea inferior) y retardo de
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94
3
120log 3
1 2 dBj f RCπ= −
+
1 1
3 3 2 220 10
3
1 1 110 10
1 2 2 2dBj f RCπ− − = = = = +
( )223
1 1
21 2 dBf RCπ=
+
( )2
31 2 2dBf RCπ+ =
32 1dBf RCπ =
3
1
2dBfRCπ
=
En nuestro caso tenemos
3 3 9
1 11'59
2 2 (1 10 )(100 10 )dBf KhzRCπ π −= = =
⋅ ⋅
Apartado e) Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de 3 dB (f3dB). En primer lugar, la ganancia del sistema es, por definición,
3( ) 3dB dBH f dB= −
o lo que es lo mismo
3
1( ) 0 '707
2dBH f = =
El desfase es
[ ] ( ) ( )3 3
1arg ( ) 2 2 1 45º
2dB dBH f arctg f RC arctg RC arctgRC
π ππ
= − = − = − = −
El retardo del sistema se calcula como
( ) ( )33
3
12
2 2( ) 1
12 422
dBdB
dB
arctg RCarctg f RC RC
R f arctg RC RCf
RC
ππ πππ π
π
− − = = = − = −
3( ) 78'54dBR f sµ= −
Y, por último, el retardo de grupo es
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95
( )3 9
3 2 2
3
10 100 10( )
2 211 21 2
2
g dB
dB
RC RC RCR f
f RCRC
RC
π ππ
−− − − − ⋅ ⋅= = = =+ +
3( ) 50g dBR f sµ= −
Apartado f) Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale
110
40 2501
1
sn
AT KhzM mVT
Khz
⋅≈ = =
o, en valores RMS,
250177
2 2n
nRMS
M mVM mV= ≈ =
Por otra parte, si denominamos H(ω) a la función de transferencia del sistema, F(ω) a la representación espectral de la entrada y G(ω) a la representación espectral de la salida, tenemos que
( )
( )( )
GH
F
ωωω
=
Pero si la entrada es aproximadamente constante, entonces
( ) ( )H k Gω ω≈ ⋅ es decir, que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que la función de transferencia, difiriendo en una constante, que para representaciones RMS, toma el valor
1 1
177nRMS
kM mV
= =
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PRÁCTICA LTC-06: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN SISTEMA RC PASO DE ALTA 1.- Descripción de la práctica Excitar un circuito RC paso de alta como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 200 Hz y frecuencia del Sample 8 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio en “CA”. R=1KΩ, C=100nF.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio • Resistencia de 1KΩ • Condensador de 100nF
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-12
R
C
vi(t) vo(t)R
C
vi(t) vo(t)
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4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 1 representa (en amarillo) una señal de excitación senoidal de 5V de amplitud y 1 Khz. y la correspondiente señal de salida (en azul).
Figura 1. Señal senoidal
En la gráfica podemos observar que en la tensión de salida se produce una atenuación y un retraso (adelanto en este caso). Repitiendo este proceso para distintas frecuencias de la señal de entrada y midiendo las tensiones y retardos de la señal de salida obtenemos la tabla de la página siguiente. El enunciado nos sugiere que las tensiones se midan pico a pico. Ello nos facilita la medida (muchos osciloscopios la tienen incorporada) limitando el posible efecto que una tensión de offset tendría sobre una medida de amplitud. Igualmente, la sugerencia de acoplamiento en el osciloscopio en “CA” va encaminada a eliminar el efecto que una posible tensión de offset (siempre presente por las impresiones de la fuente de señal) tendría sobre las medidas. En la tabla, las 4 primeras columnas (encabezadas “Exp.”) son medidas directas obtenidas experimentalmente con el osciloscopio. Las columnas encabezadas como “Calc.” son medidas indirectas calculadas a partir de las medidas directas experimentales. Por último, las columnas encabezadas como “Teor.” reflejan los valores teóricos que deberían obtenerse.
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Tensión (voltios)
Retardo (Microsegundos)
Ganancia Desfase (Grados)
Retardo de grupo (Microsegundos)
Frecuencia (en Khz)
Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 10,11 0,07 24.000 25.100 0,007 0,006 90.4 89,6 -122.22 -100,00 0,1 10,15 0,66 2.400 2.400 0,065 0,063 86,4 86,4 -122.22 -99,61 0,25 10,15 1,61 900 900,81 0,158 0,155 81,0 81,1 -100,00 -97,59 0,5 10,05 3,13 400 403,11 0,312 0,300 72,0 72,6 -100,00 -91,02 1 9,98 5,43 160 160,72 0,545 0,532 57,6 57,9 -80,00 -71,70 1,59 9,88 7,10 76 78,54 0,719 0,707 43,5 45,0 -66,00 -50,00 2 9,80 7,73 52 53,49 0,789 0,782 37,4 38,5 -41,52 -38,77 3 9,70 8,59 24,8 25,88 0,886 0,883 26,8 27,9 -29,60 -21,96 4 9,66 8,98 14,4 15,07 0,929 0,929 20,7 21,7 -16,80 -13,67 5 9,61 9,17 10,0 9,81 0,954 0,953 18,0 17,7 -7,60 -9,20 7 9,58 9,34 4,8 5,08 0,975 0,975 12,1 12,8 -8,20 -4,92 10 9,57 9,45 2,5 2,51 0,988 0,988 9,0 9,0 -2,87 -2,47 20 9,54 9,52 0,61 0,63 0,998 0,997 4,4 4,5 -1,28 -0,63 50 9,57 9,57 0,10 0,10 1,000 0,999 1,8 1,8 -0,24 -0,10 100 9,58 9,54 0,03 0,03 0,996 1,000 0,9 0,9 -0,05 -0,03 500 9,69 9,67 0,00 0,00 0,997 1,000 0,0 0,2 -0,01 0,00 1.000 9,68 9,65 0,00 0,00 0,998 1,000 0,0 0,1 0,00 0,00 Los valores calculados a partir de los datos experimentales son los siguientes: la ganancia
o
i
VG
V=
el desfase φº (en grados) a partir del retardo R y de la frecuencia f 2 360
º 3602
R R fT
πϕπ
= = ⋅ ⋅
y, por último, el retardo de grupo a partir del desfase φº y de la frecuencia f
( )
2º
2 1 º 1 º 13602 360 2 360 360g
dd d d
Rd d f df df f
πϕϕ π ϕ ϕ ϕω π π
∆ = = = = ≈
∆
Apartado a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
0,001
0,01
0,1
1
10
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
0,001
0,01
0,1
1
10
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
99
Apartado b) Las gráficas siguientes representan el espectro de fase (en grados) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Apartado c) Las gráficas siguientes representan el retardo del sistema (en microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Apartado d) Las gráficas siguientes representan el retardo de grupo del sistema (en microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Todos los valores teóricos y experimentales coinciden con bastante aproximación. Únicamente se observan algunas discrepancias sensibles en los valores de los retardos a
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
020406080
100120140160180200
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
020406080
100120140160180200
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
020406080
100120140160180200
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
020406080
100120140160180200
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
100
muy baja frecuencia. Ello es debido a la dificultad de medir en el osciloscopio desfases muy pequeños, como ocurre en el caso de las bajas frecuencias. Aunque en menor medida, también se observan algunas discrepancias en los valores de ganancia a bajas frecuencias. La explicación en este caso es la misma: los valores de la tensión de salida son tan bajos que no pueden medirse bien con el osciloscopio (vienen afectados por las imprecisiones experimentales). Apartado e) Según el estudio teórico realizado, para la señal de entrada el valor del armónico esperado es de 177 mV hasta 8 Khz. La gráfica siguiente muestra la representación obtenida en el osciloscopio que coincide sensiblemente con el valor teórico.
Figura 2.
Por otra parte, sabemos del estudio teórico que la forma del espectro de la señal de salida es aproximadamente igual a la de la función de transferencia, difiriendo únicamente en un valor constante. En la gráfica siguiente observamos el valor obtenido en el osciloscopio para el espectro de amplitud de la señal de salida del sistema. En dicha gráfica hemos superpuesto el valor teórico y experimental del espectro de amplitud del sistema que hemos trazado ya en el apartado a). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente.
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101
Figura 3.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
102
Problema PTC0004-12 Se dispone de un circuito RC como el de la figura. Calcular:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. La frecuencia de 3dB. 5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de 3dB. 6. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 200 Hz y frecuencia del Sample 8 Khz. Demostrar que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de amplitud del sistema.
Datos: R= 1KΩ, C=100nF
Solución PTC0004-12 Trataremos en primer lugar de determinar la función de transferencia del sistema. Para ello plantearemos las ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento. La intensidad por el condensador será
( )( ) c
C
dv ti t C
dt=
Por otra parte, la tensión en la resistencia es
0( ) ( ) ( )R Rv t v t i t R= =
o lo que es lo mismo,
0( )( )R
v ti t
R=
Al estar la salida del circuito abierta, la impedancia de la carga es infinita y la intensidad que circula por ella es nula, por lo que las intensidades por la resistencia y por el condensador son iguales
( ) ( ) ( )C Ri t i t i t= =
Aplicando el cálculo de tensiones en el circuito tenemos
( ) ( ) ( )i c ov t v t v t= +
o lo que es lo mismo
( ) ( ) ( )c i ov t v t v t= −
R
C
vi(t) vo(t)R
C
vi(t) vo(t)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
103
y sustituyendo
[ ]
0
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
i oc i oC
R
d v t v tdv t dv t dv ti t i t C C C
dt dt dt dt
v ti t i t
R
− = = = = − = =
Igualando tenemos
0( ) ( ) ( )i odv t dv t v tC
dt dt R − =
0( ) ( ) ( )i odv t dv t v t
dt dt RC− =
y, finalmente
0
( ) ( ) 1( )i odv t dv t
v tdt dt RC
= +
Esta ecuación es la que modela el comportamiento temporal del circuito. Para calcular la función de transferencia no tenemos más que recordar la expresión
)(
)()(
ωωω
jP
jPH
B
A=
donde los polinomios PA y PB son los que aparecen en la ecuación diferencial que modela el comportamiento temporal del sistema, de acuerdo con
)()()()( tyDPtxDP BA =
En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como 1
( ) ( )i oDv t D v tRC
= +
por lo que los polinomios son
( )
1( )
A
B
P D D
P D DRC
= = +
Sustituyendo en la expresión de la función de transferencia tenemos
( )( )
1( )A
B
P j jH
P j jRC
ω ωωω ω
= =+
( )1
j RCH
j RC
ωωω
=+
o, en términos de frecuencia
2( )
1 2
j fRCH f
j fRC
ππ
=+
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104
Apartado a)
Figura 1 Espectro de amplitud (escala lineal)
Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del sistema que no es más que
( )1
j RCH
j RC
ωωω
=+
o, en términos de frecuencia
2( )
1 2
j fRCH f
j fRC
ππ
=+
La figura 1 representa el espectro de amplitud en escala lineal. Análogamente, la figura 2 lo representa en escala logarítmica.
Figura 18. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
0.1 1 10 100f
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1»HHf L»
2 4 6 8 10f HKhz L
0.2
0.4
0.6
0.8
1»HHf L»
Figura 1 Espectro de amplitud (escala lineal)
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105
Apartado b)
Figura 20. Espectro de fase (escala lineal)
De igual forma, el espectro de fase del sistema es
[ ] [ ] [ ]arg ( ) arg arg 12 1
RCH j RC j RC arctg
π ωω ω ω = − + = −
[ ] ( )arg ( )2
H arctg RCπω ω= −
o, en términos de frecuencia
[ ] ( )arg ( ) 22
H f arctg f RCπ π= −
La figura 3 representa el espectro de fase en escala lineal. Análogamente, la figura 4 lo representa en escala logarítmica.
Figura 21. Espectro de fase (escala logarítmica)
0.001 0.01 0.1 1 10 100f HKhz L
20
40
60
80
Arg @HHf LD
2 4 6 8 10f H
20
40
60
80
Arg @HHf LD
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106
Apartado c)
Figura 23. Retardo (escala lineal)
El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula como
[ ] [ ] [ ]arg ( )1( ) arg ( ) arg ( )
22
HTR H H
T
ωω ω ω
ππ ω= = =
Recordando que
[ ] ( )arg ( )2
H arctg RCπω ω= −
tenemos que
( )2( )
arctg RCR
π ωω
ω
−=
En términos de frecuencia podemos escribir
( )22( )
2
arctg f RCR f
f
π π
π
−=
La figura 5 representa el retardo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 6 lo representa en escala logarítmica.
Figura 24. Retardo (escala logarítmica)
2 4 6 8 10f H
25
50
75
100
125
150
175
200RHf L HµsL
0.5 1 5 10 50 100f HKhz L
25
50
75
100
125
150
175
200RHf L HµsL
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107
Por otra parte, el retardo de grupo se define como [ ]arg ( )
( )g
d HR
d
ωω
ω≡
Por tanto
( ) ( )( )2
2( )
1g
d arctg RC d arctg RC RCR
d d RC
π ω ωω
ω ω ω
− − − = = =+
En términos de frecuencia podemos escribir
( )2( )1 2
g
RCR f
f RCπ−=
+
La figura 7 representa el retardo de grupo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 8 lo representa en escala logarítmica.
Figura 27. Retardo de grupo (escala logarítmica)
Apartado d) La frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple
3( ) 3dB dBH f dB= −
2 4 6 8 10f HKhz L
-100
-80
-60
-40
-20
RgHf L HµsL
Figura 26. Retardo de grupo (escala lineal)
Figura 26. Retardo de grupo (escala lineal)
0.01 0.1 1 10 100f HKhz L
-100
-80
-60
-40
-20
RgHf L HµsL
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108
3
3
220log 3
1 2dB
dB
j f RC
j f RC
ππ
= −+
1 1
3 3 2 23 20 10
3
2 1 110 10
1 2 2 2dB
dB
j f RC
j f RC
ππ
− − = = = = +
( )3
2 2 2 223 3
3 3 3
2 1 1 1
21 2 21 11
2 2 2
dB
dB dB
dB dB dB
f RC
f RC f RC
f RC f RC f RC
π
π ππ π π
= = =+
+ +
2
3
11 2
2 dBf RCπ
+ =
3
11
2 dBf RCπ=
3
1
2dBfRCπ
=
En nuestro caso tenemos
3 3 9
1 11'59
2 2 (1 10 )(100 10 )dBf KhzRCπ π −= = =
⋅ ⋅
Apartado e) Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de 3 dB (f3dB). En primer lugar, la ganancia del sistema es, por definición,
3( ) 3dB dBH f dB= −
o lo que es lo mismo
3
1( ) 0 '707
2dBH f = =
El desfase es
[ ] ( ) ( )3 3
1arg ( ) 2 2 1 45º
2 2 2 2dB dBH f arctg f RC arctg RC arctgRC
π π ππ ππ
= − = − = − =
El retardo del sistema se calcula como
( )( )
3
33
122
2 22( ) 112 2 42
2
dB
dBdB
arctg RCarctg f RCRC
R f arctg RC RCf
RC
ππ ππ π πππ π
π
−− = = = − =
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109
3( ) 78'54dBR f sµ=
Y, por último, el retardo de grupo es
( )3 9
3 2 2
3
10 100 10( )
2 211 21 2
2
g dB
dB
RC RC RCR f
f RCRC
RC
π ππ
−− − − − ⋅ ⋅= = = =+ +
3( ) 50g dBR f sµ= −
Apartado f) Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale
110
8 2501
0'2
sn
AT KhzM mVT
Khz
⋅≈ = =
o, en valores RMS,
250177
2 2n
nRMS
M mVM mV= ≈ =
Por otra parte, si denominamos H(ω) a la función de transferencia del sistema, F(ω) a la representación espectral de la entrada y G(ω) a la representación espectral de la salida, tenemos que
( )
( )( )
GH
F
ωωω
=
Pero si la entrada es aproximadamente constante, entonces
( ) ( )H k Gω ω≈ ⋅ es decir, que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que la función de transferencia, difiriendo en una constante, que para representaciones RMS, toma el valor
1 1
177nRMS
kM mV
= =
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110
PRÁCTICA LTC-08: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN SISTEMA RLC PASO DE BAJA 1.- Descripción de la práctica Excitar un circuito RLC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia
del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.
Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio en “CA”. R=100Ω, L= 10mH, C=100nF.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio • Resistencia de 100Ω • Bobina de 10mH • Condensador de 100nF
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-14
C
L
vi(t) vo(t)
R
C
L
vi(t) vo(t)
R
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
111
4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 1 representa (en amarillo) una señal de excitación senoidal de 5V de amplitud y 2 Khz. y la correspondiente señal de salida (en azul).
Figura1. Señal senoidal
En la gráfica podemos observar que en la tensión de salida se produce una atenuación (ganancia en este caso) y un retraso. Repitiendo este proceso para distintas frecuencias de la señal de entrada y midiendo las tensiones y retardos de la señal de salida obtenemos la tabla de la página siguiente. El enunciado nos sugiere que las tensiones se midan pico a pico. Ello nos facilita la medida (muchos osciloscopios la tienen incorporada) limitando el posible efecto que una tensión de offset tendría sobre una medida de amplitud. Igualmente, la sugerencia de acoplamiento en el osciloscopio en “CA” va encaminada a eliminar el efecto que una posible tensión de offset (siempre presente por las impresiones de la fuente de señal) tendría sobre las medidas. Experimentalmente obtenemos que la ganancia máxima es de 2’541, por lo que dando por buenos los valores de L y C, podemos calcular el valor de la resistencia total del circuito como
2
2 11 1
( )m
LR
C H ω
= − −
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112
Para nuestro caso tenemos
( )3
9 2
2 10 10 11 1 127 '03
100 10 2 '541R
−
−
⋅ = − − = Ω ⋅
es decir, que además de la resistencia de 100 ohmios del circuito, existen otras resistencias debidas a las no idealidades del resto de componentes y, sobre todo, de la fuente. Será éste el valor que utilicemos como valor teórico del circuito en los estudios siguientes. En la tabla, las 4 primeras columnas (encabezadas “Exp.”) son medidas directas obtenidas experimentalmente con el osciloscopio. Las columnas encabezadas como “Calc.” son medidas indirectas calculadas a partir de las medidas directas experimentales. Por último, las columnas encabezadas como “Teor.” reflejan los valores teóricos que deberían obtenerse.
Tensión (voltios)
Retardo (Microsegundos)
Ganancia Desfase (Grados)
Retardo de grupo (Microsegundos)
Frecuencia (en Khz)
Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 10,40 10,40 1.040,0 -12,7 1,00 1,00 3,7 0,0 -115,56 -12,70 0,1 10,30 10,30 0,0 -12,7 1,00 1,00 0,0 -0,5 -115,56 -12,72 0,5 10,30 10,40 -12,0 -12,8 1,01 1,01 -2,2 -2,3 -15,00 -13,06
1 10,40 10,80 -13,2 -13,2 1,04 1,04 -4,8 -4,8 -14,40 -14,21 2 10,20 11,90 -14,8 -14,9 1,17 1,17 -10,7 -10,7 -16,40 -20,02 3 9,72 14,30 -18,8 -18,9 1,47 1,45 -20,3 -20,4 -26,80 -36,40 4 8,52 18,10 -30,4 -28,4 2,12 2,05 -43,8 -40,9 -65,20 -87,23
4,5 7,68 18,90 -40,4 -37,5 2,46 2,43 -65,4 -60,8 -120,40 -135,07 4,7 7,32 18,60 -45,2 -42,1 2,54 2,52 -76,5 -71,2 -153,20 -151,39
5 7,28 17,80 -52,0 -49,0 2,45 2,50 -93,6 -88,1 -158,53 -158,31 5,5 7,84 15,30 -59,6 -57,5 1,95 2,08 -118,0 -113,9 -135,60 -120,96
6 8,44 12,50 -62,4 -60,8 1,48 1,57 -134,8 -131,3 -93,20 -75,61 7 9,28 8,50 -59,2 -59,2 0,92 0,92 -149,2 -149,1 -40,00 -31,45
10 10,00 3,26 -45,6 -45,8 0,33 0,33 -164,2 -164,8 -13,87 -6,74 20 10,30 0,68 -24,0 -24,1 0,07 0,07 -172,8 -173,8 -2,40 -0,96 50 10,40 0,10 -9,9 -9,9 0,01 0,01 -178,6 -177,7 -0,53 -0,13
100 10,40 0,03 -5,0 -5,0 0,00 0,00 -178,6 -178,8 0,00 -0,03 500 10,40 0,01 -1,0 0,00 0,00 0,0 -179,8 1,24 0,00
1000 10,40 0,01 -0,5 0,00 0,00 0,0 -179,9 0,00 0,00 Los valores calculados a partir de los datos experimentales son los siguientes: la ganancia
o
i
VG
V=
el desfase φº (en grados) a partir del retardo R y de la frecuencia f 2 360
º 3602
R R fT
πϕπ
= = ⋅ ⋅
y, por último, el retardo de grupo a partir del desfase φº y de la frecuencia f
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113
( )
2º
2 1 º 1 º 13602 360 2 360 360g
dd d d
Rd d f df df f
πϕϕ π ϕ ϕ ϕω π π
∆ = = = = ≈
∆
Apartado a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Apartado b) Las gráficas siguientes representan el espectro de fase (en grados) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Apartado c) Las gráficas siguientes representan el retardo del sistema (en microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
-70,00
-60,00
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-70,00
-60,00
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-70,00
-60,00
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-70,00
-60,00
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
114
Apartado d) Las gráficas siguientes representan el retardo de grupo del sistema (en microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Todos los valores teóricos y experimentales coinciden con bastante aproximación. Únicamente se observan algunas discrepancias sensibles en los valores de los retardos a muy baja frecuencia. Ello es debido a la dificultad de medir en el osciloscopio desfases muy pequeños, como ocurre en el caso de las bajas frecuencias. Aunque en menor medida, también se observan algunas discrepancias en los valores de ganancia a bajas frecuencias. La explicación en este caso es la misma: los valores de la tensión de salida son tan bajos que no pueden medirse bien con el osciloscopio (vienen afectados por las imprecisiones experimentales).
-250
-200
-150
-100
-50
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-250
-200
-150
-100
-50
0
0 2 4 6 8 10
Frecuencia (Khz)
-250
-200
-150
-100
-50
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
-250
-200
-150
-100
-50
0
0,01 0,1 1 10 100 1000
Frecuencia (Khz)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
115
Apartado e) Según el estudio teórico realizado, para la señal de entrada el valor del armónico esperado es de 177 mV hasta 10 Khz. En la primera gráfica siguiente muestra la representación obtenida en el osciloscopio que coincide sensiblemente con el valor teórico. En ella observamos que, aunque debería ser aproximadamente plano, aparece una bajada en las proximidades de la frecuencia de resonancia.
Figura 2.
Por otra parte, sabemos del estudio teórico que la forma del espectro de la señal de salida es aproximadamente igual a la de la función de transferencia, difiriendo únicamente en un valor constante. No obstante la bajada del espectro de entrada a la frecuencia de resonancia hace que a dichas frecuencias, el espectro de salida no alcance los valores máximos esperados, aunque sí aproxima la forma del espectro. En la segunda de las gráficas siguientes observamos el valor obtenido en el osciloscopio para el espectro de amplitud de la señal de salida del sistema. En dicha gráfica hemos superpuesto el valor teórico y experimental del espectro de amplitud del sistema que hemos trazado ya en el apartado a). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
116
Figura 3.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
117
Problema PTC0004-14 Se dispone de un circuito RLC como el de la figura. Calcular:
1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. La frecuencia de máxima ganancia y la frecuencia de 3dB. 5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de
máxima ganancia. 6. Se sustituye ahora la resistencia por otra de valor desconocido que da una
ganancia máxima de 10. Calcular el valor de la resistencia y el valor de la frecuencia de máxima ganancia.
7. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Demostrar que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de amplitud del sistema.
Datos: R= 100Ω, L= 10mH, C=100nF
Solución PTC0004-14 Trataremos en primer lugar de determinar la función de transferencia del sistema. Para ello plantearemos las ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento. La intensidad por el condensador será
( )( ) o
C
dv ti t C
dt=
Por otra parte, la tensión en la resistencia es
( ) ( )R Rv t i t R=
y la tensión en la bobina es
( )( ) L
L
di tv t L
dt=
Al estar la salida del circuito abierta, la impedancia de la carga es infinita y la intensidad que circula por ella es nula, por lo que las intensidades por la resistencia y por el condensador son iguales
C
L
vi(t) vo(t)
R
C
L
vi(t) vo(t)
R
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
118
( ) ( ) ( ) ( )C R Li t i t i t i t= = =
Aplicando el cálculo de tensiones en el circuito tenemos
( ) ( ) ( ) ( )i R L ov t v t v t v t= + +
y sustituyendo
( )( ) ( ) ( )i o
di tv t i t R L v t
dt= + +
( ) ( )
( ) ( )o oi o
dv t dv tdv t RC L C v t
dt dt dt = + +
2
2
( ) ( )( ) ( )o o
i o
dv t d v tv t RC LC v t
dt dt= + +
Esta ecuación es la que modela el comportamiento temporal del circuito. Para calcular la función de transferencia no tenemos más que recordar la expresión
)(
)()(
ωωω
jP
jPH
B
A=
donde los polinomios PA y PB son los que aparecen en la ecuación diferencial que modela el comportamiento temporal del sistema, de acuerdo con
)()()()( tyDPtxDP BA =
En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como
( )2( ) 1 ( )i ov t LCD RCD v t= + +
por lo que los polinomios son
2
( ) 1
( ) 1A
B
P D
P D LCD RCD
=
= + +
Sustituyendo en la expresión de la función de transferencia tenemos
2
( ) 1( )
( ) ( ) ( ) 1A
B
P jH
P j LC j RC j
ωωω ω ω
= =+ +
( )2
1( )
1H
LC j RCω
ω ω=
− +
o, en términos de frecuencia
( )2 2
1( )
1 4 2H f
LCf j f RCπ π=
− +
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
119
Apartado a) Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del sistema que no es más que
( )2
1( )
1H
LC j RCω
ω ω=
− +
o, en términos de frecuencia
( )2 2
1( )
1 4 2H f
LCf j f RCπ π=
− +
Figura 1 Espectro de amplitud (escala lineal)
La figura 1 representa el espectro de amplitud en escala lineal. Análogamente, la figura 2 lo representa en escala logarítmica.
Figura 2. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
Apartado b) De igual forma, el espectro de fase del sistema es
[ ] [ ] ( )22
arg ( ) arg 1 arg 1 01
RCH LC j RC arctg
LC
ωω ω ωω
= − − + = − −
[ ] 2arg ( )
1
RCH arctg
LC
ωωω
= − −
0.1 0.5 1 5 10 50 100f
0.050.1
0.51
510»HHf L»
2 4 6 8 10f HKhz L
1
2
3
4
5»HHf L»
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
120
o, en términos de frecuencia
[ ] 2 2
2arg ( )
1 4
f RCH f arctg
LCf
ππ
= − −
Figura 29. Espectro de fase (escala lineal)
La figura 3 representa el espectro de fase en escala lineal. Análogamente, la figura 4 lo representa en escala logarítmica.
Figura 30. Espectro de fase (escala logarítmica)
Apartado c) El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula como
[ ] [ ] [ ]arg ( )1( ) arg ( ) arg ( )
22
HTR H H
T
ωω ω ω
ππ ω= = =
Recordando que
[ ] 2arg ( )
1
RCH arctg
LC
ωωω
= − −
2 4 6 8 10f H
-175
-150
-125
-100
-75
-50
-25
Arg @HHf LD
0.5 1 5 10 50 100f HKhz L
-175
-150
-125
-100
-75
-50
-25
Arg @HHf LD
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
121
tenemos que
21( )
RCarctg
LCR
ωωω
ω
− − =
En términos de frecuencia podemos escribir
2 2
21 4
( )2
f RCarctg
LCfR f
f
ππ
π
− − =
Figura 5. Retardo (escala lineal)
La figura 5 representa el retardo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 6 lo representa en escala logarítmica.
Por otra parte, el retardo de grupo se define como
[ ]arg ( )( )g
d HR
d
ωω
ω≡
Por tanto
2 4 6 8 10f H
-50
-40
-30
-20
-10
RHf L HµsL
0.5 1 5 10 50 100f HKhz L
-40
-30
-20
-10
RHf L HµsL
Figura 31. Retardo (escala logarítmica)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
122
2 2
2
2
1 1 1( )
11
g
RC RCd arctg dLC LC
Rd dRC
LC
ω ωω ωω
ω ωωω
− − − − = = + −
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
2 222 2
22
1 21( )
1 1
1
g
LC RC RC LCR
LC RC LC
LC
ω ω ωω
ω ω ω
ω
− − −−=− + −
−
( )( ) ( ) ( )
22 2 2 2 2
2 222 2
1 2( )
1 1g
LC RC RLC RLCR
LC RC LC
ω ω ωωω ω ω
− − − +=− + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 22 22 2
2( )
1 1g
RC RLC RLC RC RLCR
LC RC LC RC
ω ω ωωω ω ω ω
− + − − −= =− + − +
( )( ) ( )
2
2 22
1( )
1g
RC LCR
LC RC
ωω
ω ω
− +=
− +
En términos de frecuencia podemos escribir
( )( ) ( )
2 2
2 22 2
1 4( )
1 4 2g
RC LC fR f
LC f f RC
π
π π
− +=
− +
La figura 7 representa el retardo de grupo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 8 lo representa en escala logarítmica.
2 4 6 8 10f HKhz L
-200
-150
-100
-50
RgHf L HµsL
Figura 32. Retardo de grupo (escala lineal)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
123
Apartado d) La frecuencia de máxima ganancia (fm), se define como aquella en la que es máximo
( ) ( ) ( )2 2 22
1 1( )
1 1H
LC j RC LC RCω
ω ω ω ω= =
− + − +
o lo que es lo mismo, cuando es mínimo el denominador de la anterior fracción. Si llamamos
( ) ( )2 22( ) 1f LC RCω ω ω= − +
la ganancia del sistema será máxima cuando f(ω) sea mínima. Para ello derivemos e igualemos a cero
[ ] ( ) ( )2 221( ) d LC RCd f
d d
ω ωωω ω
− + =
[ ] 2 2 4 2 2 2 22 1( ) d L C LC R Cd f
d d
ω ω ωωω ω
− + + =
[ ] ( )2 2 4 2 2 22 1( ) d L C R C LCd f
d d
ω ωωω ω
+ − + =
[ ] ( )2 2 3 2 2( )
4 2 2d f
L C R C LCd
ωω ω
ω= + −
A la frecuencia de máxima ganancia se cumple que
[ ] ( )2 2 3 2 2( )4 2 2 0
m
m m
d fL C R C LC
dω ω
ωω ω
ω=
= + − =
( )2 2 2 2 22 2 2 0m mL C R C LCω ω + − =
lo que nos da dos soluciones
0.5 1 5 10 50 100f HKhz L
-200
-150
-100
-50
RgHf L HµsL
Figura 33. Retardo de grupo (escala logarítmica)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
124
( )2 2 2 2 2
0
2 2 0
m
mL C R C LC
ω
ω
= + − =
La primera solución corresponde a un máximo relativo de la ganancia (como puede verse en la gráfica del espectro de amplitud), por lo que la frecuencia de máxima ganancia se corresponde con la segunda solución que es
2 2 2
2 2 2
2 1
2 2m
LC R C R
L C LC Lω −= = −
o en términos de frecuencia
2
2
1 1
2 2m
Rf
LC Lπ= −
que coincide con la frecuencia de resonancia sólo si la resistencia es nula. En nuestro caso tenemos
2 89
3 9 3 2
1 1 (100) 1 1010 4 '91
2 (10 10 )(100 10 ) 2(10 10 ) 2 2mf Khzπ π− − −= − = − =
⋅ ⋅ ⋅
Este valor de la frecuencia de máxima ganancia sólo existe si la expresión dentro de la raíz es mayor que cero. En caso contrario no existe pico en la ganancia. Para que un circuito RLC presente un pico en la ganancia debe cumplirse que
2
2
10
2
R
LC L− ≥
2
2
1
2
R
L LC≤
2 2L
RC
≤
2LR
C≤
En nuestro caso, esta condición se cumple cuando
35
9
2 2(10 10 )2 10
(100 10 )
LR
C
−
−
⋅≤ = = ⋅⋅
447 '21R ≤ Ω
Si representamos el valor de la frecuencia de máxima ganancia en función del valor de la resistencia obtenemos una gráfica cómo la de la figura 9
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
125
Observamos cómo la frecuencia de máxima ganancia va decreciendo desde la frecuencia de resonancia, situación correspondiente al circuito LC puro (sin resistencia), hasta una frecuencia cero, momento en el cual el circuito RLC deja de tener pico de ganancia y se comporta como un circuito paso de baja simple. Por otra parte, el ancho de banda de 3 dB, o la frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple
3( ) 3dB dBH f dB= −
320log ( ) 3dBH f = −
1 1
3 3 2 220 10
3
1 1( ) 10 10
2 2dBH f
− − = = = =
( )2 23 3
1 1
1 4 2 2dB dBLCf j f RCπ π=
− +
( ) ( )2 22 23 3
1 1
21 4 2dB dBLCf f RCπ π=
− +
( ) ( )2 22 23 31 4 2 2dB dBLCf f RCπ π− + =
Elevando al cuadrado
( ) ( )2 22 23 31 4 2 2dB dBLCf f RCπ π− + =
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
3 3 31 16 8 4 2dB dB dBL C f LCf R C fπ π π+ − + =
( )4 2 2 4 2 2 2 2 23 316 4 8 1 0dB dBL C f R C LC fπ π π+ − − =
100 200 300 400 500 600R HΩL
1
2
3
4
5
f mHKhz L
Figura 34. Frecuencia de máxima ganancia
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
126
Resolviendo esa ecuación bicuadrada tenemos
( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
23 4 2 2
4 8 4 8 64
32dB
R C LC R C LC L Cf
L C
π π π π ππ
− − ± − +=
( )2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 4 2 3 4 2 2
23 4 2 2
4 8 16 64 64 64
32dB
R C LC R C L C R C L L Cf
L C
π π π π π ππ
− − ± + − +=
( )2 2 2 2 4 4 2 2 2 3
23 4 2 2
4 2 4 8 4
32dB
R C LC R C L C R C Lf
L C
π ππ
− − ± + −=
( )2 2 4 4 2 2 2 3
23 2 2 2
2 8 4
8dB
R C LC R C L C R C Lf
L Cπ− − ± + −
=
En esta expresión sólo es válida la solución con el signo positivo delante de la raíz, ya que en caso contrario, el resultado sería negativo y, al extraer raíz cuadrada, obtendríamos una solución compleja con parte imaginaria. En efecto vemos que
( ) ( )2 22 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 64 4 8R C LC L C R C LCπ π π π π− + ≥ −
o, lo que es lo mismo
( ) ( )22 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 64 4 8R C LC L C R C LCπ π π π π− + ≥ −
Por lo tanto, con el signo positivo de la raíz tenemos
( ) ( )( ) ( )
22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 8 4 8 64
4 8 4 8
R C LC R C LC L C
R C LC R C LC
π π π π π
π π π π
− − + − + ≥
− − + −
Si el término entre paréntesis es positivo
( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 24 8 4 8 64 0R C LC R C LC L Cπ π π π π− − + − + ≥
y si es negativo
( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 4 8 64 2 4 8 0R C LC R C LC L C R C LCπ π π π π π π− − + − + ≥ − ≥
Por el contrario, con el signo negativo de la raíz tenemos
( ) ( )( ) ( )
22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 8 4 8 64
4 8 4 8
R C LC R C LC L C
R C LC R C LC
π π π π π
π π π π
− − − − + ≤
− − + −
Si el término entre paréntesis es positivo
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
127
( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 24 8 4 8 64 0R C LC R C LC L Cπ π π π π− − + − + ≤
y si es negativo
( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 4 8 64 2 4 8 0R C LC R C LC L C R C LCπ π π π π π π− − + − + ≤ − ≤
En definitiva, sólo el signo positivo de la raíz da soluciones válidas con lo que
( )2 2 4 4 2 2 2 3
23 2 2 2
2 8 4
8dB
R C LC R C L C R C Lf
L Cπ− − + + −
=
y, finalmente
( )2 2 4 4 2 2 2 3
3 2 2
2 8 41
2 2dB
R C LC R C L C R C Lf
L Cπ− − + + −
=
En nuestro caso tenemos, sustituyendo
3 7 '68dBf Khz=
La figura 10 representa el espectro de amplitud en escala lineal señalándose la frecuencia de 3dB. Análogamente, la figura 11 lo representa en escala logarítmica.
0.1 0.5 1 5 10 50 100f
0.050.1
0.51
510»HH f L»
Figura 36. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
2 4 6 8 10f HKhz L
1
2
3
4
5»HHf L»
Figura 35 Espectro de amplitud (escala lineal)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
128
Apartado e) Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de máxima ganancia (fm). En primer lugar, la ganancia del sistema es
( ) ( )2 22
1( )
1m
m m
HLC RC
ωω ω
=− +
22 2
2 22 2
1( )
1 11
2 2
mHR R
LC R CLC L LC L
ω =
− − + −
22 2 4 2
2
1( )
1 12 2
mHR C R C R C
L L L
ω =
− + + −
4 2 2 4 2
2 2
1( )
4 2
mHR C R C R C
L L L
ω =
+ −
4 2 2
2
1( )
1 14 2
mHR C R C
L L
ω = − +
2 4 2
2
1( )
4
mHR C R C
L L
ω =−
En nuestro caso tenemos
( )( )
( )( )
2 22 9 4 91
23 3
1 1( ) 3'20
10100 100 10 100 100 10 104
10 10 4 10 10
mH ω−− − −
− −
= = =⋅ ⋅ −−
⋅ ⋅
El desfase es
[ ] 2arg ( )
1m
mm
RCH arctg
LC
ωωω
= − −
[ ]
2 2
2 2
22
2
1 12 2arg ( )
1 1 1122
m
R RRC RC
LC L LC LH arctg arctgR CR
LCLLC L
ω
− − = − = − − +− −
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
129
[ ]2 2 2
2 2 2
1 1arg ( ) 2 2
2 2m
L R L RH arctg arctg
R LC L R LC Lω
= − − = − −
[ ] 2
1arg ( ) 2
2m
LH arctg
R Cω
= − −
En nuestro caso tenemos
[ ] ( )( )
3
2 9
10 10 1 1arg ( ) 2 2 10
2 2100 100 10mH arctg arctgω
−
−
⋅ = − − = − − ⋅
[ ]arg ( ) 80 '79ºmH ω = −
El retardo del sistema se calcula como
21( )
m
mm
m
RCarctg
LCR
ωω
ωω
− − =
Sustituyendo tenemos
2
2
2
12
2( )
12
m
Larctg
R CR
R
LC L
ω
− −
=−
En nuestro caso
( )( )
3
2 9
2 89
3 9 3 2
10 10 1 12 2 102100 100 10 2( )
1 (100) 1010
(10 10 )(100 10 ) 2(10 10 ) 2
m
arctg arctg
R ω
−
−
− − −
⋅ − − − − ⋅ = =
− −⋅ ⋅ ⋅
( ) 45'7mR sω µ= −
El retardo de grupo del sistema a la frecuencia de máxima ganancia se calcula como
( )( ) ( )
2
2 22
1( )
1
m
g m
m m
RC LCR
LC RC
ωω
ω ω
− +=
− +
Sustituyendo tenemos
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
130
( )
2
2
22 2
2
2 2
11
2( )
1 11
2 2
g m
RRC LC
LC LR
R RLC RC
LC L LC L
ω
− + −
=
− − + −
2
22 2 4 2
2
1 12
( )
1 12 2
g m
R CRC
LR
R C R C R C
L L L
ω
− + −
=
− + + −
2 2 2
4 2 2 4 2 2 4 2 2 2
2 2 2
2 2 22 2 2
( )
14 2 4 4
g m
R C R C R CRC RC RC
L L LR
R C R C R C R C R C R C R CL L L L L L L
ω
− − − − − −
= = = + − − −
2
2
22
( )
14
g m
R CL
LR
R CR
L
ω
− −
=
−
En nuestro caso
( ) ( )( )
( )( )
2 933 2
3 2
32 92
23
100 100 10 1010 10 2 10 22 10 10 2 10( )
10100 100 10 10 1100 1 4 104 10 10
g mR ω
−−− −
− −
−−
−−
⋅ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ = = ⋅ − − ⋅ ⋅
( ) 200g mR sω µ= −
Apartado f) Sabemos que el valor máximo de la ganancia se produce a la frecuencia de máxima ganancia y que vale
2 4 2
2
1( )
4
mHR C R C
L L
ω =−
Si conocemos la ganancia máxima y queremos calcular el valor de la resistencia que la produce, trataremos de despejar R en la ecuación anterior. Para ello procedemos de la siguiente forma
2 4 2
2
1
4 ( )m
R C R C
L L H ω− =
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131
2 4 2
22
1
4 ( )m
R C R C
L L H ω− =
Ordenando la ecuación tenemos
24 2
22
10
4 ( )r
C CR R
L L H ω− + =
que es una ecuación bicuadrada en R. Resolviendo tenemos
22 2
222
22 2
2 2
11 144 ( )( )
22
4
mm
C CC C CL LL L L HH
RC C
L L
ωω
± − ± − = =
22
2 11 1
( )m
LR
C H ω
= ± −
En principio esa ecuación tiene dos soluciones, pero veremos que sólo una de ellas es válida. En efecto, la ganancia a la frecuencia de máxima ganancia es siempre mayor que 1
( ) 1mH ω ≥
por lo que
2
10 1
( )mH ω≤ ≤
2
10 1 1
( )mH ω
≤ − ≤
2
10 1 1
( )mH ω≤ − ≤
Pero, según vimos en un apartado anterior, para que el circuito presente un pico de ganancia, se tiene que cumplir que
2 2LR
C≤
por lo que la expresión
22
2 11 1
( )m
LR
C H ω
= ± −
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132
sólo tiene solución válida cuando la raíz está precedida del signo menos, ya que en caso contrario la resistencia superaría el valor límite del circuito. En definitiva, la única solución válida es
22
2 11 1
( )m
LR
C H ω
= − −
y, como la resistencia debe ser positiva, finalmente obtenemos
2
2 11 1
( )m
LR
C H ω
= − −
Para nuestro caso tenemos
( ) ( )3
5 29 2
2 10 10 11 1 2 10 1 1 10 31'6
100 10 10R
−−
−
⋅ = − − = ⋅ − − = Ω ⋅
Apartado g) Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale
110
40 2501
1
sn
AT KhzM mVT
Khz
⋅≈ = =
o, en valores RMS,
250177
2 2n
nRMS
M mVM mV= ≈ =
Por otra parte, si denominamos H(ω) a la función de transferencia del sistema, F(ω) a la representación espectral de la entrada y G(ω) a la representación espectral de la salida, tenemos que
( )( )
( )
GH
F
ωωω
=
Pero si la entrada es aproximadamente constante, entonces
( ) ( )H k Gω ω≈ ⋅ es decir, que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que la función de transferencia, difiriendo en una constante, que para representaciones RMS, toma el valor
1 1
177nRMS
kM mV
= =
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133
PRÁCTICA 3: TRANSMISIÓN DE SEÑALES EN CABLES
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
134
PRÁCTICA 3: TRANSMISIÓN DE SEÑALES EN CABLES 1.- Descripción de la práctica 1.1.- Excitar un cable de pares de 50 metros de longitud con un pulso de tensión de 0 a 10 voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%. Colocar en el otro extremo del cable un potenciómetro de 500 ohmios para cargar el cable con distintos valores de resistencia (incluyendo el circuito abierto y el cortocircuito). Observar la tensión de entrada y la de salida para distintos valores de la resistencia de carga. Con estos valores determinar:
a. El retardo del pulso reflejado. b. La velocidad de propagación de las señales por el cable. c. La impedancia característica del cable. d. Los parámetros unitarios del cable (inductancia y capacitancia).
1.2.- Cortocircuitar el cable en un extremo y medir con un polímetro la impedancia de entrada de continua. Con este valor determinar la resistencia del cable de continua. 1.3.- Excitar ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos valores de frecuencia. Observar la tensión de salida midiendo la ganancia. Con estos valores determinar:
a. El espectro de amplitud del cable con una carga igual a la impedancia característica.
b. El ancho de banda de 3dB c. La frecuencia pelicular
1.4.- Repetir los apartados anteriores para un cable coaxial de 50 metros de longitud 2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio • Polímetro • Potenciómetro de 500 Ω
3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de laboratorios LTC-12 (cable de pares) y LTC-14 (cable coaxial)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
135
4.- Hojas de resultados experimentales 4.1. Cable de pares con excitación de un pulso
Retardo del pulso a la salida Retardo del pulso reflejado Resistencia de carga sin reflexiones Resistencia de entrada en cortocircuito
4.2. Cable de pares con excitación sinusoidal
Tensión (voltios)
Ganancia Frecuencia (en Khz)
Entrada Salida Calculada Teórica 0,001 0,01 0,1 1 10 50 100 200 500
1.000 2.000 5.000 10.000
4.3. Cable coaxial con excitación de un pulso
Retardo del pulso a la salida Retardo del pulso reflejado Resistencia de carga sin reflexiones Resistencia de entrada en cortocircuito
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
136
4.4. Cable coaxial con excitación sinusoidal
Tensión (voltios)
Ganancia Frecuencia (en Khz)
Entrada Salida Calculada Teórica 0,001 0,01 0,1 1 10 50 100 200 500
1.000 2.000 5.000 10.000 16.000
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
137
PRÁCTICA LTC-12: REFLEXIONES EN UN PAR TRENZADO 1.- Descripción de la práctica 1. Excitar un cable de pares de 50 metros de longitud con un pulso de tensión de 0 a 10
voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%. Colocar en el otro extremo del cable un potenciómetro de 500 ohmios para cargar el cable con distintos valores de resistencia (incluyendo el circuito abierto y el cortocircuito). Observar la tensión de entrada y la de salida para distintos valores de la resistencia de carga. Con estos valores determinar:
a. El retardo del pulso reflejado. b. La velocidad de propagación de las señales por el cable. c. La impedancia característica del cable. d. Los parámetros unitarios del cable (inductancia y capacitancia).
2. Cortocircuitar el cable en un extremo y medir con un polímetro la impedancia de
entrada de continua. Con este valor determinar la resistencia del cable de continua. 3. Excitar ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos
valores de frecuencia. Observar la tensión de salida midiendo la ganancia. Con estos valores determinar:
a. El espectro de amplitud del cable con una carga igual a la impedancia característica.
b. El ancho de banda de 3dB c. La frecuencia pelicular
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio • Cable de par trenzado de 50 metros
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-21
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
138
4.- Resultados Apartado a) Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa (en amarillo) la señal de entrada (un pulso de tensión de 0 a 10 voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%) y la correspondiente señal de salida (en azul) cuando la salida del cable se deja en circuito abierto.
Figura 1. Tren de pulsos de entrada (amarillo) y salida (azul) para cable en circuito abierto
La figura 2 es un detalle de la figura anterior en la que puede observarse (y medirse fácilmente) el retardo entre el pulso de entrada y salida. Igualmente se observa un segundo pulso atenuado en la señal de entrada correspondiente a la reflexión en la salida del cable. Al estar la salida del cable en circuito abierto el coeficiente de reflexión es 1. La atenuación se produce porque el cable no es un cable sin pérdidas, sino que tiene una resistencia distinta de cero. Puede observarse también un segundo pulso atenuado e invertido en la señal de salida correspondiente a la reflexión de esta señal en la entrada del cable (la fuente). Al estar la entrada del cable conectada a una fuente con baja impedancia de salida (idealmente cero), el coeficiente de reflexión en este extremo es idealmente -1.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
139
Figura 237. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en circuito abierto (detalle)
Figura 338. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en cortocircuito
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
140
La figura 3 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está cortocircuitada. Puede observarse que la tensión de salida es nula (está en cortocircuito) y que en la entrada aparece un segundo pulso atenuado e invertido correspondiente a la reflexión de esta señal en la salida del cable. Al estar la salida del cable en cortocircuito el coeficiente de reflexión es -1. Por último, la figura 4 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está cargada con una resistencia igual a la impedancia característica del cable. Esto se consigue cargando el cable con un potenciómetro y variando su valor hasta conseguir que la onda reflejada sea prácticamente nula. En este caso el coeficiente de reflexión es 0.
Figura 4. Tren de pulsos de entrada y salida para cable cargado con la impedancia característica
La medida de la resistencia del potenciómetro en ese momento nos da un valor de 97 ohmios Apartado 1.a) En las figuras anteriores puede observarse que el retardo entre el pulso a la entrada y a la salida es de 348 ns. Igualmente puede observarse cómo a la entrada aparece un pulso reflejado con un retraso de 682 ns. (Aproximadamente el doble del valor anterior). Apartado 1.b) La velocidad de propagación de las señales en el cable se calcula inmediatamente a partir de los resultados anteriores, sin más que recordar que
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
141
longitudvelocidad
retardo=
50
143.678'16348
m Kmv
ns s= =
o en términos de la velocidad de la luz
143.678'160 '479
300.000
Kmsv c
Km
s
= =
Apartado 1.c) El valor de la resistencia de carga que anula las reflexiones coincide con la impedancia característica del cable, Como hemos visto experimentalmente, esta impedancia es de
0 97Z = Ω
Apartado 1.c) Conociendo el valor de la velocidad de propagación y la impedancia característica del cable, es fácil calcular la capacitancia unitaria mediante la expresión
11
0
1 17 '175 10
143.678'16 97
faradiosC
Kmv Z metros
−= = = ⋅⋅ ⋅ Ω
De igual forma, la inductancia unitaria del cable puede calcularse mediante la expresión
70 976'751 10
143.678'16
Z henriosL
Kmv metros
−Ω= = = ⋅
Apartado 2) Cortocircuitando el cable en un extremo y midiendo con un polímetro la impedancia de entrada de continua obtenemos un valor de 8’9 Ω. Con este valor podemos determinar la resistencia del cable de continua mediante la expresión
8'90 '178
50in
e
ZR =
z m m
Ω Ω= =
Apartado 3) Excitando ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos valores de frecuencia obtenemos un conjunto de valores para la tensión de entrada y de salida. Con ellos calculamos la ganancia y la comparamos con el valor teórico. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
142
Tensión (voltios)
Ganancia Frecuencia (en Khz)
Entrada Salida Calculada Teórica 0,001 6,52 5,72 0,877 0,916 0,01 6,36 5,56 0,874 0,916 0,1 6,48 5,64 0,870 0,916 1 6,52 5,64 0,865 0,916 10 6,52 5,52 0,847 0,906 50 6,56 5,48 0,835 0,857 100 6,40 5,44 0,850 0,814 200 6,40 5,36 0,838 0,763 500 6,32 5,24 0,829 0,717
1.000 6,24 4,92 0,788 0,715 2.000 6,00 4,32 0,720 0,587 5.000 5,60 2,80 0,500 0,441 10.000 4,44 1,40 0,315 0,315
Apartado 3.a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Apartado 3.b) El ancho de banda de 3dB se obtiene como aquél que cumple
3( ) 3dB dBH dBω = −
3 3( ) 20 log ( ) 3dB dBdBH H dBω ω= = −
3
203
1( ) 10 0.707
2dBH ω
−
= = =
Observando las gráficas anteriores vemos que esto se produce aproximadamente a 2’5Mhz por lo que
3 2'5dBB Mhz=
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000
Frecuencia (Khz)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000
Frecuencia (Khz)
0,01
0,1
1
10
0,01 0,1 1 10 100 1000 10000
Frecuencia (Khz)
0,01
0,1
1
10
0,01 0,1 1 10 100 1000 10000
Frecuencia (Khz)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
143
Apartado 3.c) Para el cálculo de la frecuencia pelicular estudiemos cuanto vale la resistencia a la frecuencia de 10 Mhz
( )0
2 2( ) 97 0'315 4'482
50e
R Z Ln H Lnz m m
ω Ω≈ − = − ⋅ Ω⋅ =
Observamos que la resistencia a alta frecuencia es considerablemente mayor que la de baja frecuencia. Esto es debido al efecto pelicular que, en la zona de alta frecuencia, se expresa mediante
0
2 s
R fR
f=
de donde
2
270
0'17810 3'943
2 2 4'482s
R mf f Hz KhzR
m
Ω = = = Ω ⋅
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
144
Problema PTC0004-21 En un cable con pérdidas se inyecta un pulso de alta frecuencia. Observando las características de entrada y de salida, calcular:
a) Velocidad de propagación de la señal en el cable b) Capacitancia del cable c) Inductancia del cable d) Resistencia del cable a baja frecuencia e) Frecuencia pelicular del cable
Datos
• Longitud: 50 metros. • Impedancia característica: 58 Ω. • Retardo de propagación de un pulso de alta frecuencia: 254 ns. • Resistencia de entrada (a frecuencia cero) con la salida en cortocircuito: 2.7 Ω. • Ganancia a 10 Mhz con el cable cargado con la impedancia característica: 0’847.
Nota: Considerar que no existen pérdidas en el dieléctrico Solución PTC0004-21 Apartado a) Podemos calcular fácilmente la velocidad de propagación a partir de los datos del cable, sin más que recordar que
longitudvelocidad
retardo=
50
196.850 '39254
m Kmv
ns s= =
Apartado b) Llamando
;Z = R j L Y = G j Cω ω+ + sabemos que la impedancia característica del cable es
0
ZZ
Y=
A alta frecuencia las partes reactivas de Z e Y son mucho más importantes que las resistivas por lo que podemos escribir
0
Z R j L LZ
Y G j C C
ωω
+= = ≈+
También sabemos que la velocidad de propagación es
1v
L C=
⋅
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
145
Conociendo el valor de la velocidad de propagación y la impedancia característica del cable, es fácil calcular la capacitancia unitaria sabiendo que
0
1 1Lv Z
C CL C⋅ ≈ =
⋅
11
0
1 18'759 10
196.850 '39 58
faradiosC
Kmv Z metros
−≈ = = ⋅⋅ ⋅ Ω
Apartado c) De igual forma, la inductancia unitaria del cable puede calcularse sabiendo que
0
1
LZ LC L C Lv C
L C
≈ = ⋅ =
⋅
70 58
2'946 10196.850 '39
Z henriosL
Kmv metros
−Ω≈ = = ⋅
Apartado d) A frecuencia cero tenemos que
Z = R j L Rω+ =
Y = G j C Gω+ = Como no existen pérdidas en el dieléctrico G=0. Si colocamos el cable en cortocircuito y no influyen G (por ser nula), L ni C (por estar a frecuencia cero) el único efecto es el resistivo por lo que la resistencia de entrada del cable será
in eZ = R z⋅
De ahí deducimos
2'70'054
50in
e
ZR =
z m m
Ω Ω= =
Apartado e) Para calcular la frecuencia pelicular debemos partir de la ganancia (o atenuación) a alta frecuencia. Sabemos que la función de transferencia de un cable con pérdidas es (ver TTC-004)
1( )
e ez zH
e eγ γρω
ρ −
+=+
siendo
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
146
0
0
L
L
Z Z
Z Zρ −=
+
Z Yγ = ⋅ Cuando el cable se carga con una impedancia igual a la impedancia característica entonces
0 0
0 0
0Z Z
Z Zρ −= =
+
y la función de transferencia es
1( )
ezH
eγω =
siendo el espectro de amplitud
1( )
ezH
eγω =
Cuando la frecuencia es grande se puede demostrar (ver PTC0004-19) que
2
1( )
eRC GL
zLC
H
e
ω +≈
Conociendo la ganancia G, L, y C podemos calcular R desarrollando la expresión anterior
2 1
( )
eRC GL
zLCe
H ω
+
≈
1
( )( )2
e
RC GLz Ln Ln H
HLCω
ω+ ≈ = −
1
( )( )2
e
RC GLz Ln Ln H
HLCω
ω+ ≈ = −
2 ( )
e
LCLn HRC GL
z
ω+ ≈ −
2 ( )
e
LCLn H GLR
C z C
ω≈ − −
⋅
2( )
e
L GLR Ln H
z C Cω≈ − −
Para el caso de ausencia de pérdidas en el dieléctrico (G=0) tenemos
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
147
2( )
e
LR Ln H
z Cω≈ −
0
2( )
e
R Z Ln Hz
ω≈ −
A la frecuencia de 10 Mhz la resistencia vale
( )0
2 2( ) 58 0'847 0'385
50e
R Z Ln H Lnz m m
ω Ω≈ − = − ⋅ Ω⋅ =
Observamos que la resistencia a alta frecuencia es considerablemente mayor que la de baja frecuencia. Esto es debido al efecto pelicular que, en la zona de alta frecuencia se expresa mediante
0
2 s
R fR
f=
de donde
2
0
2
s
f R
f R
=
2
0
2s
Rf f
R =
Sustituyendo los valores de la resistencia a 10 Mhz podemos calcular la frecuencia pelicular
2
70.054
10 49'1822 0'385
smf Hz Khz
m
Ω
= = Ω ⋅
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148
PRÁCTICA LTC-14: REFLEXIONES EN UN CABLE COAXIAL 1.- Descripción de la práctica 1. Excitar un cable coaxial de 50 metros de longitud con un pulso de tensión de 0 a 10
voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%. Colocar en el otro extremo del cable un potenciómetro de 500 ohmios para cargar el cable con distintos valores de resistencia (incluyendo el circuito abierto y el cortocircuito). Observar la tensión de entrada y la de salida para distintos valores de la resistencia de carga. Con estos valores determinar:
a. El retardo del pulso reflejado. b. La velocidad de propagación de las señales por el cable. c. La impedancia característica del cable. d. Los parámetros unitarios del cable (inductancia y capacitancia).
2. Cortocircuitar el cable en un extremo y medir con un polímetro la impedancia de
entrada de continua. Con este valor determinar la resistencia del cable de continua. 3. Excitar ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos
valores de frecuencia. Observar la tensión de salida midiendo la ganancia. Con estos valores determinar:
a. El espectro de amplitud del cable con una carga igual a la impedancia característica.
b. El ancho de banda de 3dB c. La frecuencia pelicular
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio • Cable coaxial de 50 metros
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-14
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149
4.- Resultados Apartado a) Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa (en amarillo) la señal de entrada (un pulso de tensión de 0 a 10 voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%) y la correspondiente señal de salida (en azul) cuando la salida del cable se deja en circuito abierto.
Figura 1. Tren de pulsos de entrada (amarillo) y salida (azul) para cable en circuito abierto
La figura 2 es un detalle de la figura anterior en la que puede observarse (y medirse fácilmente) el retardo entre el pulso de entrada y salida. Igualmente se observa un segundo pulso atenuado en la señal de entrada correspondiente a la reflexión en la salida del cable. Al estar la salida del cable en circuito abierto el coeficiente de reflexión es 1. La atenuación se produce porque el cable no es un cable sin pérdidas, sino que tiene una resistencia distinta de cero. Puede observarse también un segundo pulso atenuado en la señal de salida correspondiente a la reflexión de esta señal en la entrada del cable (la fuente). Al estar la entrada del cable conectada a una fuente con baja impedancia de salida (idealmente cero), el coeficiente de reflexión en este extremo es idealmente -1.
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150
Figura 2. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en circuito abierto (detalle)
Figura 3. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en cortocircuito
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151
La figura 3 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está cortocircuitada. Puede observarse que la tensión de salida es nula (está en cortocircuito) y que en la entrada aparece un segundo pulso atenuado e invertido correspondiente a la reflexión de esta señal en la salida del cable. Al estar la salida del cable en cortocircuito el coeficiente de reflexión es -1. Por último, la figura 4 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está cargada con una resistencia igual a la impedancia característica del cable. Esto se consigue cargando el cable con un potenciómetro y variando su valor hasta conseguir que la onda reflejada sea prácticamente nula. En este caso el coeficiente de reflexión es 0.
Figura 4. Tren de pulsos de entrada y salida para cable cargado con la impedancia característica
La medida de la resistencia del potenciómetro en ese momento nos da un valor de 58 ohmios Apartado 1.a) En las figuras anteriores puede observarse que el retardo entre el pulso a la entrada y a la salida es de 254 ns. Igualmente puede observarse cómo a la entrada aparece un pulso reflejado con un retraso de 500 ns. (Aproximadamente el doble del valor anterior). Apartado 1.b) La velocidad de propagación de las señales en el cable se calcula inmediatamente a partir de los resultados anteriores, sin más que recordar que
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152
longitudvelocidad
retardo=
50
196.850 '39254
m Kmv
ns s= =
o en términos de la velocidad de la luz
196.850 '390 '656
300.000
Kmsv c
Km
s
= =
Apartado 1.c) El valor de la resistencia de carga que anula las reflexiones coincide con la impedancia característica del cable, Como hemos visto experimentalmente, esta impedancia es de
0 58Z = Ω
Apartado 1.d) Conociendo el valor de la velocidad de propagación y la impedancia característica del cable, es fácil calcular la capacitancia unitaria mediante la expresión
11
0
1 18'759 10
196.850 '39 58
faradiosC
Kmv Z metros
−= = = ⋅⋅ ⋅ Ω
De igual forma, la inductancia unitaria del cable puede calcularse mediante la expresión
70 582'946 10
196.850 '39
Z henriosL
Kmv metros
−Ω= = = ⋅
Apartado 2) Cortocircuitando el cable en un extremo y midiendo con un polímetro la impedancia de entrada de continua obtenemos un valor de 2’55 Ω. Con este valor podemos determinar la resistencia del cable de continua mediante la expresión
2'550 '051
50in
e
ZR =
z m m
Ω Ω= =
Apartado 3) Excitando ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos valores de frecuencia obtenemos un conjunto de valores para la tensión de entrada y de salida. Con ellos calculamos la ganancia y la comparamos con el valor teórico. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.
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153
Tensión (voltios)
Ganancia Frecuencia (en Khz)
Entrada Salida Calculada Teórica 0,001 5,28 5,22 0,989 0,958 0,01 5,28 5,22 0,989 0,958 0,1 5,26 5,18 0,985 0,958 1 5,30 5,14 0,970 0,958 10 5,28 5,06 0,958 0,958 50 5,30 5,06 0,955 0,957 100 5,31 5,06 0,953 0,953 200 5,34 5,06 0,948 0,945 500 5,32 5,00 0,940 0,940
1.000 4,84 4,98 1,029 0,947 2.000 5,12 4,64 0,906 0,926 5.000 4,28 4,12 0,963 0,888 10.000 3,00 2,54 0,847 0,842 16.000 2,06 1,66 0,806 0,805
Apartado 3.a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.
Apartado 3.b) El ancho de banda de 3dB se obtiene como aquél que cumple
3( ) 3dB dBH dBω = −
3 3( ) 20 log ( ) 3dB dBdBH H dBω ω= = −
3
203
1( ) 10 0.707
2dBH ω
−
= = =
Observando las gráficas anteriores vemos que esta condición no se produce a ninguna frecuencia dentro del rango experimental, por lo que podemos deducir que el ancho de banda es
3 16dBB Mhz>
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5.000 10.000 15.000
Frecuencia (Khz)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 5.000 10.000 15.000
Frecuencia (Khz)
0,01
0,1
1
10
0,01 1 100 10000
Frecuencia (Khz)
0,01
0,1
1
10
0,01 1 100 10000
Frecuencia (Khz)
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154
Apartado 3.c) Para el cálculo de la frecuencia pelicular estudiemos cuanto vale la resistencia a la frecuencia de 16 Mhz
( )0
2 2( ) 58 0'806 0'500
50e
R Z Ln H Lnz m m
ω Ω≈ − = − ⋅ Ω⋅ =
Observamos que la resistencia a alta frecuencia es considerablemente mayor que la de baja frecuencia. Esto es debido al efecto pelicular que, en la zona de alta frecuencia, se expresa mediante
0
2 s
R fR
f=
de donde
2
260
0'05116 10 41'616
2 2 0'500s
R mf f Hz KhzR
m
Ω = = ⋅ = Ω ⋅
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155
Problema PTC0004-14 Se dispone de un circuito RLC como el de la figura. Calcular: 1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. La frecuencia de máxima ganancia y la frecuencia de 3dB. 5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de máxima
ganancia. 6. Se sustituye ahora la resistencia por otra de valor desconocido que da una ganancia
máxima de 10. Calcular el valor de la resistencia y el valor de la frecuencia de máxima ganancia.
7. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Demostrar que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de amplitud del sistema.
Datos: R= 100Ω, L= 10mH, C=100nF
Solución PTC0004-14 Trataremos en primer lugar de determinar la función de transferencia del sistema. Para ello plantearemos las ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento. La intensidad por el condensador será
( )( ) o
C
dv ti t C
dt=
Por otra parte, la tensión en la resistencia es
( ) ( )R Rv t i t R=
y la tensión en la bobina es
( )( ) L
L
di tv t L
dt=
Al estar la salida del circuito abierta, la impedancia de la carga es infinita y la intensidad que circula por ella es nula, por lo que las intensidades por la resistencia y por el condensador son iguales
( ) ( ) ( ) ( )C R Li t i t i t i t= = =
C
L
vi(t) vo(t)
R
C
L
vi(t) vo(t)
R
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156
Aplicando el cálculo de tensiones en el circuito tenemos
( ) ( ) ( ) ( )i R L ov t v t v t v t= + +
y sustituyendo
( )( ) ( ) ( )i o
di tv t i t R L v t
dt= + +
( ) ( )
( ) ( )o oi o
dv t dv tdv t RC L C v t
dt dt dt = + +
2
2
( ) ( )( ) ( )o o
i o
dv t d v tv t RC LC v t
dt dt= + +
Esta ecuación es la que modela el comportamiento temporal del circuito. Para calcular la función de transferencia no tenemos más que recordar la expresión
)(
)()(
ωωω
jP
jPH
B
A=
donde los polinomios PA y PB son los que aparecen en la ecuación diferencial que modela el comportamiento temporal del sistema, de acuerdo con
)()()()( tyDPtxDP BA =
En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como
( )2( ) 1 ( )i ov t LCD RCD v t= + +
por lo que los polinomios son
2
( ) 1
( ) 1A
B
P D
P D LCD RCD
= = + +
Sustituyendo en la expresión de la función de transferencia tenemos
2
( ) 1( )
( ) ( ) ( ) 1A
B
P jH
P j LC j RC j
ωωω ω ω
= =+ +
( )2
1( )
1H
LC j RCω
ω ω=
− +
o, en términos de frecuencia
( )2 2
1( )
1 4 2H f
LCf j f RCπ π=
− +
Apartado 1)
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157
Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del sistema que no es más que
( )2
1( )
1H
LC j RCω
ω ω=
− +
o, en términos de frecuencia
( )2 2
1( )
1 4 2H f
LCf j f RCπ π=
− +
La figura 1 representa el espectro de amplitud en escala lineal. Análogamente, la figura 2 lo representa en escala logarítmica.
Apartado 3) De igual forma, el espectro de fase del sistema es
[ ] [ ] ( )22
arg ( ) arg 1 arg 1 01
RCH LC j RC arctg
LC
ωω ω ωω
= − − + = − −
[ ] 2arg ( )
1
RCH arctg
LC
ωωω
= − −
o, en términos de frecuencia
0.1 0.5 1 5 10 50 100f HKhzL0.05
0.1
0.51
510ÈHHfLÈ
Figura 2. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
2 4 6 8 10f HKhzL1
2
3
4
5ÈHHfLÈ
Figura 1 Espectro de amplitud (escala lineal)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
158
[ ] 2 2
2arg ( )
1 4
f RCH f arctg
LCf
ππ
= − −
La figura 3 representa el espectro de fase en escala lineal. Análogamente, la figura 4 lo representa en escala logarítmica.
Apartado 3) El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula como
[ ] [ ] [ ]arg ( )1( ) arg ( ) arg ( )
22
HTR H H
T
ωω ω ω
ππ ω= = =
Recordando que
[ ] 2arg ( )
1
RCH arctg
LC
ωωω
= − −
tenemos que
2 4 6 8 10f H
-175
-150
-125
-100
-75
-50
-25
Arg @HHf LD
Figura 3. Espectro de fase (escala lineal)
0.5 1 5 10 50 100f HKhz L
-175
-150
-125
-100
-75
-50
-25
Arg @HHf LD
Figura 4. Espectro de fase (escala logarítmica)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
159
21( )
RCarctg
LCR
ωωω
ω
− − =
En términos de frecuencia podemos escribir
2 2
21 4
( )2
f RCarctg
LCfR f
f
ππ
π
− − =
La figura 5 representa el retardo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 6 lo representa en escala logarítmica.
Por otra parte, el retardo de grupo se define como
[ ]arg ( )( )g
d HR
d
ωω
ω≡
Por tanto
2 4 6 8 10f H
-50
-40
-30
-20
-10
RHf L HµsL
Figura 5. Retardo (escala lineal)
0.5 1 5 10 50 100f HKhz L
-40
-30
-20
-10
RHf L HµsL
Figura 39. Retardo (escala logarítmica)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
160
2 2
2
2
1 1 1( )
11
g
RC RCd arctg dLC LC
Rd dRC
LC
ω ωω ωω
ω ωωω
− − − − = = + −
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
2
2 222 2
22
1 21( )
1 1
1
g
LC RC RC LCR
LC RC LC
LC
ω ω ωω
ω ω ω
ω
− − −−=− + −
−
( )( ) ( ) ( )
22 2 2 2 2
2 222 2
1 2( )
1 1g
LC RC RLC RLCR
LC RC LC
ω ω ωωω ω ω
− − − +=− + −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 22 22 2
2( )
1 1g
RC RLC RLC RC RLCR
LC RC LC RC
ω ω ωωω ω ω ω
− + − − −= =− + − +
( )( ) ( )
2
2 22
1( )
1g
RC LCR
LC RC
ωω
ω ω
− +=
− +
En términos de frecuencia podemos escribir
( )( ) ( )
2 2
2 22 2
1 4( )
1 4 2g
RC LC fR f
LC f f RC
π
π π
− +=
− +
La figura 7 representa el retardo de grupo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 8 lo representa en escala logarítmica.
2 4 6 8 10f HKhz L
-200
-150
-100
-50
RgHf L HµsL
Figura 40. Retardo de grupo (escala lineal)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
161
Apartado 4) La frecuencia de máxima ganancia (fm), se define como aquella en la que es máximo
( ) ( ) ( )2 2 22
1 1( )
1 1H
LC j RC LC RCω
ω ω ω ω= =
− + − +
o lo que es lo mismo, cuando es mínimo el denominador de la anterior fracción. Si llamamos
( ) ( )2 22( ) 1f LC RCω ω ω= − +
la ganancia del sistema será máxima cuando f(ω) sea mínima. Para ello derivemos e igualemos a cero
[ ] ( ) ( )2 221( ) d LC RCd f
d d
ω ωωω ω
− + =
[ ] 2 2 4 2 2 2 22 1( ) d L C LC R Cd f
d d
ω ω ωωω ω
− + + =
[ ] ( )2 2 4 2 2 22 1( ) d L C R C LCd f
d d
ω ωωω ω
+ − + =
[ ] ( )2 2 3 2 2( )
4 2 2d f
L C R C LCd
ωω ω
ω= + −
A la frecuencia de máxima ganancia se cumple que
[ ] ( )2 2 3 2 2( )4 2 2 0
m
m m
d fL C R C LC
dω ω
ωω ω
ω=
= + − =
( )2 2 2 2 22 2 2 0m mL C R C LCω ω + − =
lo que nos da dos soluciones
0.5 1 5 10 50 100f HKhz L
-200
-150
-100
-50
RgHf L HµsL
Figura 8. Retardo de grupo (escala logarítmica)
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
162
( )2 2 2 2 2
0
2 2 0
m
mL C R C LC
ω
ω
= + − =
La primera solución corresponde a un máximo relativo de la ganancia (como puede verse en la gráfica del espectro de amplitud), por lo que la frecuencia de máxima ganancia se corresponde con la segunda solución que es
2 2 2
2 2 2
2 1
2 2m
LC R C R
L C LC Lω −= = −
o en términos de frecuencia
2
2
1 1
2 2m
Rf
LC Lπ= −
que coincide con la frecuencia de resonancia sólo si la resistencia es nula. En nuestro caso tenemos
2 89
3 9 3 2
1 1 (100) 1 1010 4'91
2 (10 10 )(100 10 ) 2(10 10 ) 2 2mf Khzπ π− − −= − = − =
⋅ ⋅ ⋅
Este valor de la frecuencia de máxima ganancia sólo existe si la expresión dentro de la raíz es mayor que cero. En caso contrario no existe pico en la ganancia. Para que un circuito RLC presente un pico en la ganancia debe cumplirse que
2
2
10
2
R
LC L− ≥
2
2
1
2
R
L LC≤
2 2L
RC
≤
2LR
C≤
En nuestro caso, esta condición se cumple cuando
35
9
2 2(10 10 )2 10
(100 10 )
LR
C
−
−
⋅≤ = = ⋅⋅
447 '21R≤ Ω
Si representamos el valor de la frecuencia de máxima ganancia en función del valor de la resistencia obtenemos una gráfica cómo la de la figura 9
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
163
Observamos cómo la frecuencia de máxima ganancia va decreciendo desde la frecuencia de resonancia, situación correspondiente al circuito LC puro (sin resistencia), hasta una frecuencia cero, momento en el cual el circuito RLC deja de tener pico de ganancia y se comporta como un circuito paso de baja simple. Por otra parte, el ancho de banda de 3 dB, o la frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple
3( ) 3dB dBH f dB= −
320log ( ) 3dBH f = −
1 1
3 3 2 220 10
3
1 1( ) 10 10
2 2dBH f
− − = = = =
( )2 23 3
1 1
1 4 2 2dB dBLCf j f RCπ π=
− +
( ) ( )2 22 23 3
1 1
21 4 2dB dBLCf f RCπ π=
− +
( ) ( )2 22 23 31 4 2 2dB dBLCf f RCπ π− + =
Elevando al cuadrado
( ) ( )2 22 23 31 4 2 2dB dBLCf f RCπ π− + =
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2
3 3 31 16 8 4 2dB dB dBL C f LCf R C fπ π π+ − + =
( )4 2 2 4 2 2 2 2 23 316 4 8 1 0dB dBL C f R C LC fπ π π+ − − =
100 200 300 400 500 600R HΩL
1
2
3
4
5
f mHKhz L
Figura 41. Frecuencia de máxima ganancia
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
164
Resolviendo esa ecuación bicuadrada tenemos
( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
23 4 2 2
4 8 4 8 64
32dB
R C LC R C LC L Cf
L C
π π π π ππ
− − ± − +=
( )2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 4 2 3 4 2 2
23 4 2 2
4 8 16 64 64 64
32dB
R C LC R C L C R C L L Cf
L C
π π π π π ππ
− − ± + − +=
( )2 2 2 2 4 4 2 2 2 3
23 4 2 2
4 2 4 8 4
32dB
R C LC R C L C R C Lf
L C
π ππ
− − ± + −=
( )2 2 4 4 2 2 2 3
23 2 2 2
2 8 4
8dB
R C LC R C L C R C Lf
L Cπ− − ± + −
=
En esta expresión sólo es válida la solución con el signo positivo delante de la raíz, ya que en caso contrario, el resultado sería negativo y, al extraer raíz cuadrada, obtendríamos una solución compleja con parte imaginaria. En efecto vemos que
( ) ( )2 22 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 64 4 8R C LC L C R C LCπ π π π π− + ≥ −
o, lo que es lo mismo
( ) ( )22 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 64 4 8R C LC L C R C LCπ π π π π− + ≥ −
Por lo tanto, con el signo positivo de la raíz tenemos
( ) ( )( ) ( )
22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 8 4 8 64
4 8 4 8
R C LC R C LC L C
R C LC R C LC
π π π π π
π π π π
− − + − + ≥
− − + −
Si el término entre paréntesis es positivo
( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 24 8 4 8 64 0R C LC R C LC L Cπ π π π π− − + − + ≥
y si es negativo
( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 4 8 64 2 4 8 0R C LC R C LC L C R C LCπ π π π π π π− − + − + ≥ − ≥
Por el contrario, con el signo negativo de la raíz tenemos
( ) ( )( ) ( )
22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 8 4 8 64
4 8 4 8
R C LC R C LC L C
R C LC R C LC
π π π π π
π π π π
− − − − + ≤
− − + −
Si el término entre paréntesis es positivo
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
165
( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 24 8 4 8 64 0R C LC R C LC L Cπ π π π π− − + − + ≤
y si es negativo
( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 4 8 64 2 4 8 0R C LC R C LC L C R C LCπ π π π π π π− − + − + ≤ − ≤
En definitiva, sólo el signo positivo de la raíz da soluciones válidas con lo que
( )2 2 4 4 2 2 2 3
23 2 2 2
2 8 4
8dB
R C LC R C L C R C Lf
L Cπ− − + + −
=
y, finalmente
( )2 2 4 4 2 2 2 3
3 2 2
2 8 41
2 2dB
R C LC R C L C R C Lf
L Cπ− − + + −
=
En nuestro caso tenemos, sustituyendo
3 7 '68dBf Khz=
La figura 10 representa el espectro de amplitud en escala lineal señalándose la frecuencia de 3dB. Análogamente, la figura 11 lo representa en escala logarítmica.
0.1 0.5 1 5 10 50 100f
0.050.1
0.51
510»HH f L»
Figura 43. Espectro de amplitud (escala logarítmica)
2 4 6 8 10f HKhz L
1
2
3
4
5»HH f L»
Figura 42 Espectro de amplitud (escala lineal)
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166
Apartado 5) Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de máxima ganancia (fm). En primer lugar, la ganancia del sistema es
( ) ( )2 22
1( )
1m
m m
HLC RC
ωω ω
=− +
22 2
2 22 2
1( )
1 11
2 2
mHR R
LC R CLC L LC L
ω =
− − + −
22 2 4 2
2
1( )
1 12 2
mHR C R C R C
L L L
ω =
− + + −
4 2 2 4 2
2 2
1( )
4 2
mHR C R C R C
L L L
ω =
+ −
4 2 2
2
1( )
1 14 2
mHR C R C
L L
ω = − +
2 4 2
2
1( )
4
mHR C R C
L L
ω =−
En nuestro caso tenemos
( )( )
( )( )
2 22 9 4 91
23 3
1 1( ) 3'20
10100 100 10 100 100 10 104
10 10 4 10 10
mH ω−− − −
− −
= = =⋅ ⋅ −−
⋅ ⋅
El desfase es
[ ] 2arg ( )
1m
mm
RCH arctg
LC
ωωω
= − −
[ ]
2 2
2 2
22
2
1 12 2arg ( )
1 1 1122
m
R RRC RC
LC L LC LH arctg arctgR CR
LCLLC L
ω
− − = − = − − +− −
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167
[ ]2 2 2
2 2 2
1 1arg ( ) 2 2
2 2m
L R L RH arctg arctg
R LC L R LC Lω
= − − = − −
[ ] 2
1arg ( ) 2
2m
LH arctg
R Cω
= − −
En nuestro caso tenemos
[ ] ( )( )
3
2 9
10 10 1 1arg ( ) 2 2 10
2 2100 100 10mH arctg arctgω
−
−
⋅ = − − = − − ⋅
[ ]arg ( ) 80 '79ºmH ω = −
El retardo del sistema se calcula como
21( )
m
mm
m
RCarctg
LCR
ωω
ωω
− − =
Sustituyendo tenemos
2
2
2
12
2( )
12
m
Larctg
R CR
R
LC L
ω
− −
=−
En nuestro caso
( )( )
3
2 9
2 89
3 9 3 2
10 10 1 12 2 102100 100 10 2( )
1 (100) 1010
(10 10 )(100 10 ) 2(10 10 ) 2
m
arctg arctg
R ω
−
−
− − −
⋅ − − − − ⋅ = =
− −⋅ ⋅ ⋅
( ) 45'7mR sω µ= −
El retardo de grupo del sistema a la frecuencia de máxima ganancia se calcula como
( )( ) ( )
2
2 22
1( )
1
m
g m
m m
RC LCR
LC RC
ωω
ω ω
− +=
− +
Sustituyendo tenemos
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168
( )
2
2
22 2
2
2 2
11
2( )
1 11
2 2
g m
RRC LC
LC LR
R RLC RC
LC L LC L
ω
− + −
=
− − + −
2
22 2 4 2
2
1 12
( )
1 12 2
g m
R CRC
LR
R C R C R C
L L L
ω
− + −
=
− + + −
2 2 2
4 2 2 4 2 2 4 2 2 2
2 2 2
2 2 22 2 2
( )
14 2 4 4
g m
R C R C R CRC RC RC
L L LR
R C R C R C R C R C R C R CL L L L L L L
ω
− − − − − −
= = = + − − −
2
2
22
( )
14
g m
R CL
LR
R CR
L
ω
− −
=
−
En nuestro caso
( ) ( )( )
( )( )
2 933 2
3 2
32 92
23
100 100 10 1010 10 2 10 22 10 10 2 10( )
10100 100 10 10 1100 1 4 104 10 10
g mR ω
−−− −
− −
−−
−−
⋅ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ = = ⋅ − − ⋅ ⋅
( ) 200g mR sω µ= −
Apartado 6) Sabemos que el valor máximo de la ganancia se produce a la frecuencia de máxima ganancia y que vale
2 4 2
2
1( )
4
mHR C R C
L L
ω =−
Si conocemos la ganancia máxima y queremos calcular el valor de la resistencia que la produce, trataremos de despejar R en la ecuación anterior. Para ello procedemos de la siguiente forma
2 4 2
2
1
4 ( )m
R C R C
L L H ω− =
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169
2 4 2
22
1
4 ( )m
R C R C
L L H ω− =
Ordenando la ecuación tenemos
24 2
22
10
4 ( )r
C CR R
L L H ω− + =
que es una ecuación bicuadrada en R. Resolviendo tenemos
22 2
222
22 2
2 2
11 144 ( )( )
22
4
mm
C CC C CL LL L L HH
RC C
L L
ωω
± − ± − = =
22
2 11 1
( )m
LR
C H ω
= ± −
En principio esa ecuación tiene dos soluciones, pero veremos que sólo una de ellas es válida. En efecto, la ganancia a la frecuencia de máxima ganancia es siempre mayor que 1
( ) 1mH ω ≥
por lo que
2
10 1
( )mH ω≤ ≤
2
10 1 1
( )mH ω
≤ − ≤
2
10 1 1
( )mH ω≤ − ≤
Pero, según vimos en un apartado anterior, para que el circuito presente un pico de ganancia, se tiene que cumplir que
2 2LR
C≤
por lo que la expresión
22
2 11 1
( )m
LR
C H ω
= ± −
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170
sólo tiene solución válida cuando la raíz está precedida del signo menos, ya que en caso contrario la resistencia superaría el valor límite del circuito. En definitiva, la única solución válida es
22
2 11 1
( )m
LR
C H ω
= − −
y, como la resistencia debe ser positiva, finalmente obtenemos
2
2 11 1
( )m
LR
C H ω
= − −
Para nuestro caso tenemos
( ) ( )3
5 29 2
2 10 10 11 1 2 10 1 1 10 31'6
100 10 10R
−−
−
⋅ = − − = ⋅ − − = Ω ⋅
Apartado 7) Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale
110
40 2501
1
sn
AT KhzM mVT
Khz
⋅≈ = =
o, en valores RMS,
250177
2 2n
nRMS
M mVM mV= ≈ =
Por otra parte, si denominamos H(ω) a la función de transferencia del sistema, F(ω) a la representación espectral de la entrada y G(ω) a la representación espectral de la salida, tenemos que
( )
( )( )
GH
F
ωωω
=
Pero si la entrada es aproximadamente constante, entonces
( ) ( )H k Gω ω≈ ⋅ es decir, que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que la función de transferencia, difiriendo en una constante, que para representaciones RMS, toma el valor
1 1
177nRMS
kM mV
= =
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171
PRÁCTICA 4: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN
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172
PRÁCTICA 4: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN Se desea comprobar la influencia del ruido en los errores de comunicaciones. Para ello se dispone de un cable formado por dos pares trenzados. En un extremo del primer par se introduce una señal V.24 atenuada y en el del segundo par se inyecta un ruido. En el otro extremo del primer par se recibe una señal V.24 atenuada y con ruido.
Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite de forma continua un carácter (elegido aleatoriamente) y, simultáneamente, es capaz de recibir caracteres y compararlos con los transmitidos, escribiendo en pantalla la tasa de caracteres erróneos recibidos. Proceder de la siguiente forma: 1. Mediante el potenciómetro atenuar la señal V.24 hasta una zona próxima a la que
comiencen a producirse errores. 2. En el segundo par inyectar un ruido de amplitud variable. 3. Determinar la relación entre la probabilidad de error de un carácter y la SNR. Datos:
Velocidad: 600 bps Longitud del carácter (número de bits de datos): 8 Paridad: Ninguna Número bits de parada: 1 R1= R2=10KΩ
2.- Equipos y materiales
• PC con puerto serie • Generador de señales • Osciloscopio • Conector RS-323 con los hilos de transmisión, recepción y masa accesibles • Cable de par trenzado de 50 metros • Resistencia de 10KΩ • Potenciómetro de 10KΩ
3.- Estudio teórico El estudio teórico y la memoria correspondiente se encuentran en el ejercicio de laboratorio LTC-26
R1
R2
R1
R2
+
Vn
Tx
Rx
Gnd
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173
4.- Hojas de resultados experimentales
Amplitud señal en recepción sin ruido
Ruido en generador
Ruido en recepción
SNR (Calculado)
Tasa errores
0 0.5 1
1.5 2
2.5 3
3.5 4
4.5 5
5.5 6
6.5 7
7.5 8
8.5 9
9.5 10
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174
PRÁCTICA LTC-26: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN 1.- Descripción de la práctica Se desea comprobar la influencia del ruido en los errores de comunicaciones. Para ello se dispone de un cable formado por dos pares trenzados. En un extremo del primer par se introduce una señal V.24 atenuada y en el del segundo par se inyecta un ruido. En el otro extremo del primer par se recibe una señal V.24 atenuada y con ruido.
Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite de forma continua un carácter (elegido aleatoriamente) y, simultáneamente, es capaz de recibir caracteres y compararlos con los transmitidos, escribiendo en pantalla la tasa de caracteres erróneos recibidos. Proceder de la siguiente forma: 1. Mediante el potenciómetro atenuar la señal V.24 hasta una zona próxima a la que
comiencen a producirse errores. 2. En el segundo par inyectar un ruido de amplitud variable. 3. Determinar la relación entre la probabilidad de error de un carácter y la SNR. Datos:
Velocidad: 600 bps Longitud del carácter (número de bits de datos): 8 Paridad: Ninguna Número bits de parada: 1 R1= R2=10KΩ
2.- Equipos y materiales
• PC con puerto serie • Generador de señales • Osciloscopio • Conector RS-323 con los hilos de transmisión, recepción y masa accesibles • Cable de par trenzado de 50 metros • Resistencia de 10KΩ • Potenciómetro de 10KΩ
R1
R2
R1
R2
+
Vn
Tx
Rx
Gnd
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
175
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en los problemas PTC0004-35 (desarrollo del programa) y PTC0004-36 (análisis del ruido). 4.- Resultados Al ejecutar el programa descrito en PTC0004-35 el resultado obtenido en el osciloscopio para la tensión de salida es el siguiente
en el que se puede observar que la tensión está comprendida entre los -12 y +12 voltios aproximadamente. Si conectamos el PC al cable tal como se especifica en la figura del enunciado, podemos regular la tensión a la entrada del cable hasta un valor comprendido entre -2 y +2 voltios aproximadamente. Comprobamos mediante el programa que no se producen errores en esta configuración. El resultado obtenido es el siguiente
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
176
Mediante el generador de señales inyectamos en el otro par del cable (ver figura del enunciado) un ruido uniforme cuya amplitud seleccionamos en el propio generador. La figura siguiente recoge el caso para un ruido de 5 voltios.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
177
Para poder observar bien los valores máximo y mínimo del ruido utilizamos el osciloscopio con un modo de adquisición de envolvente. El resultado es el siguiente
Conectamos la salida del primer par con la recepción de la UART, observándose en ese punto, en ausencia de ruido, lo recogido en la gráfica siguiente
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
178
Si añadimos un ruido de 5 voltios, la señal de recepción es la siguiente
Cambiando los valores de la amplitud del ruido en el generador se obtienen distintos valores del ruido en el receptor. La gráfica siguiente refleja el ruido en el receptor para una tensión en el generador de 5 voltios (con un modo de adquisición de envolvente).
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
179
Si observamos la señal recibida en presencia de un ruido (para una tensión en el generador de 5 voltios y con un modo de adquisición de envolvente) obtenemos lo siguiente
Con todo ello, y midiendo la señal en el receptor en ausencia de ruido (que vale A=2.10 voltios) estamos en condiciones de construir la tabla siguiente
Tensión generador
Señal+ ruido
(mín.: m)
Señal+ ruido
(máx.: M)
Señal+ ruido
(media: µ)
Ruido (rango: b) A=2.1 V
SNR A=2.1 V
4 -3.20 3.26 0.03 1.04 12.28 4.5 -3.32 3.42 0.05 1.18 9.53 5 -3.48 3.68 0.10 1.39 6.86
5.5 -3.60 3.76 0.08 1.49 5.97 6 -3.70 3.80 0.05 1.56 5.44
6.5 -3.88 4.00 0.06 1.75 4.32 7 -4.00 4.08 0.04 1.85 3.87
7.5 -4.12 4.20 0.04 1.97 3.41 8 -4.28 4.36 0.04 2.13 2.91
8.5 -4.44 4.52 0.04 2.29 2.52 9 -4.56 4.64 0.04 2.41 2.28
9.5 -4.68 4.76 0.04 2.53 2.06 10 -4.80 4.92 0.06 2.67 1.85
Para el cálculo del rango se ha utilizado la siguiente expresión
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
180
( )2
M m Ab
− −=
Igualmente para la SNR hemos utilizado la fórmula
2
2
3ASNR
b=
Observando ahora con el programa la tasa de caracteres erróneos recibidos para cada tensión de ruido del generador obtenemos la tabla siguiente
Tensión generador
SNR Tasa errores
4 12.28 0.00E+00 4.5 9.53 5.86E-03 5 6.86 1.08E-02
5.5 5.97 1.64E-02 6 5.44 1.97E-02
6.5 4.32 6.10E-02 7 3.87 9.43E-02
7.5 3.41 1.42E-01 8 2.91 2.48E-01
8.5 2.52 2.90E-01 9 2.28 3.16E-01
9.5 2.06 5.30E-01 10 1.85 6.31E-01
En realidad, dado el carácter aleatorio del experimento, la tasa de errores para cada tensión de ruido del generador se ha obtenido como la media de 10 medidas experimentales. En la figura siguiente se reflejan los puntos experimentales obtenidos (probabilidad de error del carácter frente a SNR) y se comparan con los valores del análisis teórico para umbrales de 0 (rojo), 0.5 (azul) y 1 voltio (verde) respectivamente.
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0 2 4 6 8 10 12 14
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
181
Problema PTC0004-35 Un transmisor codifica los bits en NRZ polar (+A voltios para el 1 y –A voltios para el cero). Dicha transmisión se ve afectada por un ruido aleatorio con función de densidad uniforme entre –b y +b voltios. El receptor codifica las tensiones inferiores a –c como un 1 y las superiores a +c como un cero. En la zona indeterminada del receptor la probabilidad de interpretación de un uno es lineal
a) Determinar analítica y gráficamente la probabilidad de que se produzca un error en un bit en función de la relación señal-ruido en el canal.
b) Repetir el cálculo anterior para el caso de la probabilidad de error de un carácter en una transmisión asíncrona con 8 bits de datos, un bit de parada y sin bit de paridad.
Solución PTC0004-35 Apartado a) Sea n(t) la función temporal correspondiente al ruido aleatorio. Denominemos f(n) a la función de densidad de probabilidad de dicho ruido. Su representación gráfica es la siguiente
En toda función de densidad de probabilidad se verifica que
1)( =∫∞
∞−
dnnf
por lo que, en nuestro caso,
[ ] [ ] 12)()( ==−−=== −−
∞
∞−∫∫ kbbbknkkdndnnf b
b
b
b
Esto nos conduce a que
bk
2
1=
Por otra parte, la probabilidad de que el detector interprete un uno (d=1), en función del valor de la tensión a su entrada, lo denotamos como
1( ) [ 1| ]d rP v P d v v≡ = =
siendo su representación gráfica la siguiente.
n
f(n)
b-b
k
n
f(n)
b-b
k
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
182
Podemos ver fácilmente que el valor de dicha probabilidad vale
[ ]1
1
1
( ) 0
1( ) ,
2 2( ) 1
d
d
d
P v v c
vP v v c c
cP v v c
= ∀ ≤ − = + ∀ ∈ −
= ∀ ≥
Como el enunciado no afirma nada, supondremos que el ruido es aditivo. En ese caso, la función f1(v) de densidad de probabilidad de la tensión en el receptor cuando se transmite un 1 será como la de la figura
Esta función de densidad de probabilidad se corresponde, como sabemos, con la probabilidad de que la tensión del receptor esté en el entorno del valor v cuando se transmite un uno, o más concretamente
11
[ ]( ) rP v v v dv
f vdv
≤ ≤ +≡
La probabilidad de que el receptor cometa un error en la decisión cuando, habiendo transmitido un uno, la tensión del receptor esté en el entorno del valor v, la denotamos como
1[ ]e rP v v v dv≤ ≤ +
Este valor se calcula como la probabilidad de que se produzcan simultáneamente dos sucesos:
- que la tensión del receptor esté en el entorno del valor v, y; - que teniendo ese valor la tensión del receptor, se produzca un error de
decisión. Esta conjunción de sucesos (que suponemos independientes) se obtiene multiplicando la probabilidad de ambos sucesos por separado, es decir que
v
Pd1(v)
c
1
-c
v
f1(v)
-A+b-A-b -A
k
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
183
1 1[ ] [ ] [ 1| ]e r r rP v v v dv P v v v dv P d v v≤ ≤ + = ≤ ≤ + ⋅ = =
[ ]1 1 1[ ] ( ) ( )e r dP v v v dv f v dv P v≤ ≤ + = ⋅
1 1 1[ ] ( ) ( )e r dP v v v dv f v P v dv≤ ≤ + = ⋅ ⋅
La probabilidad de error en el receptor cuando se transmite un uno será pues
1 1 1 1[ ] ( ) ( )e e r dP P v v v dv f v P v dv∞ ∞
−∞ −∞= ≤ ≤ + = ⋅ ⋅∫ ∫
lo que superponiendo las dos gráficas anteriores no da finalmente el área rayada
Esta probabilidad vale
1 1 1 1 1
1( ) ( ) ( ) ( )
2 2
A b A b
e d dc c
vP f v P v dv f v P v dv k dv
c
∞ − + − +
−∞ − −
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )2 22
1 4 2 4 2 4 2
A b
e
c
A b A b cv v cP k k
c c c
− +
−
− + − + − −= + = + − −
2 2 2 2
1
1 2 1 2
2 4 2 4 2 2 4 2 4e
A b Ab b A c c A b Ab b A cP
b c b c
+ − − + − −= + − + = + +
( )2 2 21
12 2 2
8eP A b Ab bc Ac cbc
= + − + − +
( ) ( )2
1
12 2
8eP A b c c b Abc
= − + + −
El estudio análogo para la probabilidad de error en el receptor cuando se transmite un cero nos da
0 0 0 0[ ] ( ) ( )e e r dP P v v v dv f v P v dv∞ ∞
−∞ −∞= ≤ ≤ + = ⋅ ⋅∫ ∫
lo que se representa mediante el área rayada de la figura siguiente
v
f1(v)
-A+b-A-b -A
k
-c c
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184
lo que por simetría con el caso anterior nos da
( ) ( )2
0 1
12 2
8e eP P A b c c b Abc
= = − + + −
Si denominamos P0 a la probabilidad de que se transmita un cero y P1 a la de que se transmita un uno, la probabilidad de error será
1100 eee PPPPP +=
Si en promedio se transmiten el mismo número de ceros que de unos tenemos que
2
110 == PP
por lo que queda
( ) ( )0 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 2 2e e e e e e e eP P P P P P P P= + = + = + =
( ) ( )212 2
8eP A b c c b Abc
= − + + −
Todo esto ocurre si –c<-A+b<c (o lo que es lo mismo, A-c<b<A+c). Si consideramos A y c valores fijos y estudiamos cómo varía la probabilidad de error a medida que aumenta el ruido, tenemos las situaciones reflejadas en las figuras siguientes.
En estas figuras observamos tres casos:
a) El primero, en el que b<A-c (primera figura) y por tanto vemos gráficamente que
v
f1(v)
-A+b-A-b -A
k
-c c
v
f1(v)
-A+b-A-b -A
k
-c
c
v
f0(v)
A+bA-b A
k
-c c
v
f1(v)
-A
k
-cc
v
f1(v)
-A+b-A-b -A
k
-c c
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
185
0eP =
b) El segundo, en el que A-c<b<A+c (segunda y tercera figuras), que se
corresponde con el desarrollo anterior y en el que hemos demostrado que
( ) ( )212 2
8eP A b c c b Abc
= − + + −
c) El tercero, en el que b>A+c (cuarta figura), que no ha sido todavía estudiado
y que debe ser desarrollado independientemente. Analizando, por tanto, el tercero de los casos tenemos
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c A b
e e d d dc cP P f v P v dv f v P v dv f v P v dv
∞ − +
−∞ −= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫
[ ]21
12 2 4 2
cc A b A b
e cc cc
v v vP k dv k dv k k v
c c
− + − +
−−
= + + ⋅ ⋅ = + +
∫ ∫
( ) ( )2 2
4 2 4 2e
c c c cP k k A b c kc k A b c
c c
= + − + + − + − = + − + −
( ) ( )eP k c A b c k b A= − + − = −
( )1
2eP b Ab
= −
Por otra parte para expresar ahora la probabilidad de error en función de la relación señal ruido (SNR) debemos transformar las expresiones anteriores. Supondremos que tanto A como c son valores prefijados por el sistema de comunicaciones que utilizamos. Por ello lo que puede alterar la probabilidad de error es la cantidad de ruido que se añade al sistema, es decir, el valor de b. En este sentido, sabemos que
N
SSNR=
Por una parte, la potencia de la señal S es fácil de calcular puesto que se trata de una señal digital de sólo dos valores (+A y –A) y en ambos casos la potencia es la misma
2AS = Por otro lado, también sabemos que la potencia del ruido N es igual a la varianza (recordemos que el ruido es aleatorio), y que vale
[ ]∫∞
∞−
−== dnnfnnnN )()()( 22 µσ
Teniendo en cuenta que la media del ruido vale
02
)(
22)()(
222
=
−−=
===
−−
∞
∞−∫∫
bbk
nkndnkdnnnfn
b
b
b
b
µ
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186
podemos sustituir y obtener
3333
222
3
2
3
)(
33)()( kb
bbk
nkdnnkdnnfnnN
b
b
b
b
=
−−=
====
−−
∞
∞−∫∫σ
Recordando el valor de k podemos escribir finalmente
32
1
3
2)(
232 b
bb
nN === σ
Sustituyendo los valores de S y N tenemos
2
2
2
2 3
3b
A
b
A
N
SSNR ===
SNRA
b 32
2
=
3b A
SNR=
Estamos ahora en condiciones de expresar la probabilidad de error en función de la SNR. En efecto, y resumiendo los tres casos analizados anteriormente tenemos:
a) Para b<A-c 2
3 3; ;
A cb A c A A c
SNR SNR A
− < − < − <
2
3A
SNRA c
> −
En este caso
0eP =
b) Para A-c<b<A+c
3;A c b A c A c A A c
SNR− < < + − < < +
2 2 2 2
3;
3
A c A c A SNR A
A SNR A A c A c
− + < < > > − +
2 2
3 3A A
SNRA c A c
> > − +
En este caso
( ) ( )212 2
8eP A b c c b Abc
= − + + −
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187
2
1 3 32 2
38
eP A A c c A ASNR SNR
cASNR
= − + + −
c) Para b>A+c
23 3
; ;A c
b A c A A cSNR SNR A
> > + > + >
2
3A
SNRA c
< +
En este caso
1 3 1 31
2 332
e
SNRP A A
SNR SNRA
SNR
= − = −
11
2 3e
SNRP
= −
Gráficamente dicha expresión toma la siguiente forma
Apartado b) En el caso un carácter en una transmisión asíncrona con 8 bits de datos, un bit de parada y sin bit de paridad debemos darnos cuentas que el carácter está formado por n=10 bits (1 de comienzo, 8 de datos y 1 de parada). La probabilidad de que se produzca un error en un carácter es la complementaria de que llegue un carácter correcto.
1ec ecP P= −
1 2 3 4 5SNR
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Pe
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188
La probabilidad de que llegue un carácter correcto es igual a la probabilidad de que lleguen correctos todos y cada uno de los n bits del carácter.
n
ec e e e e eP P P P P P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
siendo la probabilidad de que llegue correcto un bit la complementaria de que llegue erróneo dicho bit
1e eP P= −
Por tanto, sustituyendo,
( )1 1n
ec eP P= − −
Gráficamente dicha expresión toma la siguiente forma
1 2 3 4 5SNR
0.2
0.4
0.6
0.8
1Pe
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189
Problema PTC0004-36 Se desea comprobar la influencia del ruido en los errores de comunicaciones. Para ello se dispone de un cable formado por dos pares trenzados. En un extremo del primer par se introduce una señal V.24 atenuada y en el del segundo par se inyecta un ruido. En el otro extremo del primer par se recibe una señal V.24 atenuada y con ruido.
Realizar un programa en C que configure el puerto serie del PC, transmita de forma continua un carácter (elegido aleatoriamente) y, simultáneamente, sea capaz de recibir caracteres y compararlos con los transmitidos, escribiendo en pantalla la tasa de caracteres erróneos recibidos. Datos: Velocidad: 600 bps Longitud del carácter (número de bits de datos): 8 Paridad: Ninguna Número bits de parada: 1
R1= R2=10KΩ Solución PTC0004-36 El puerto serie de un PC está constituido por una UART de la serie 8250 (National Semiconductor). Este dispositivo, hoy obsoleto, ha sido seguido por otros tales como el 16450 y el 16550. Existen numerosos tutoriales de cómo manejar este dispositivo y, en cualquier caso, la hoja de características del propio dispositivo (disponible en Internet). Con estos datos estamos en condiciones de escribir un programa como el descrito en cuyos comentarios se van explicando cada uno de los pasos.
R1
R2
R1
R2
+
Vn
Tx
Rx
Gnd
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190
/************************************************** ******************* Programa para calcular tasa de errores en el canal *************************************************** ******************/ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define PUERTO 0x3F8 /* COM1*/ #define THR (PUERTO+0) /*THR: Transmitter Holding Register (con DLAB=0; en escritura)*/ #define RBR (PUERTO+0) /*RBR: REceiver Buffer Register (con DLAB=0; en lectura)*/ #define DLL (PUERTO+0) /*DLL: Divisor Latch Least Significant Byte (con DLAB=1; lectura/escritura)*/ #define DLM (PUERTO+1) /*DLS: Divisor Latch Most Significant Byte (con DLAB=1; lectura/escritura)*/ #define IER (PUERTO+1) /* IER: Interrupt Enable Register (con DLAB=0; lectura/escritura) */ #define ERBFI 0x01 /*Bit 0 (ERBFI): Enable Received Data Available Interrupt*/ #define ETBI 0x02 /*Bit 1 (ETBI): Enable Transmitter Holding Register Empty Interrupt*/ #define ELSI 0x03 /*Bit 2 (ELSI): Enable Receiver Line Status Interrupt*/ #define EDSSI 0x04 /*Bit 3 (EDSSI): Enable Modem Status Interrupt*/ #define LCR (PUERTO+3) /* LCR: Line Control Register (lectura/escritura) */ #define longitud_5 0 /*Longitud 5 bits*/ #define longitud_6 1 /*Longitud 6 bits*/ #define longitud_7 2 /*Longitud 7 bits*/ #define longitud_8 3 /*Longitud 8 bits*/ #define bitsparada_1 0 /*Bits de parada: 1 bits*/ #define bitsparada_2 4 /*Bits de parada: 2 bits*/ #define paridad_no 0 /*Paridad: no*/ #define paridad_si 8 /*Paridad: si*/ #define paridad_impar 0 /*Paridad impar*/ #define paridad_par 16 /*Paridad par*/ #define SPE 0x20 /* Bit 5:(SPE) Stick Parity Enable; con PEN=1 y EPS=1 transmite paridad 0; con PEN=1 y EPS=0 transmite paridad 1*/ #define BC 0x40 /* Bit 6: (BC) Break Control; fuerza condici¢n de Break en la línea (en bajo) */ #define DLAB 0x80 /* Bit 7 (DLAB): Divisor Latch Access Bit */ #define LSR (PUERTO+5) /*LSR: Line Status Register (lectura/escritura)*/ #define DR 0x01 /*Bit 0 (DR): Data Ready*/ #define OE 0x02 /*Bit 1 (OE): Overrun Error*/ #define PE 0x04 /*Bit 2 (PE): Parity Error*/ #define FE 0x08 /*Bit 3 (FE): Framing Error*/ #define BI 0x10 /*Bit 4 (BI): Break Interrupt*/ #define THRE 0x20 /*Bit 5 (THRE): Transmitter Holding Register (THR) Empty*/ #define TEMT 0x40 /*Bit 6 (TEMT): Transmitter Empty */ #define RFE 0x80 /*Bit 7: (RFE) Error in RCVR FIFO*/ #define ESCAPE 27 /* Velocidad: se calcula como divisor (x16) de un reloj de 1.8432MHz (los valores reales son aproximaciones a los nominales)*/ #define velocidad_50 2304 /*Velocidad 50 bps*/ #define velocidad_75 1536 /*Velocidad 75 bps*/ #define velocidad_150 768 /*Velocidad 150 bps*/
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191
#define velocidad_300 384 /*Velocidad 300 bps*/ #define velocidad_600 192 /*Velocidad 600 bps*/ #define velocidad_1200 96 /*Velocidad 1.200 bps*/ #define velocidad_2400 48 /*Velocidad 2.400 bps*/ #define velocidad_4800 24 /*Velocidad 4.800 bps*/ #define velocidad_9600 12 /*Velocidad 9.600 bps*/ #define velocidad_19200 6 /*Velocidad 19.200 bps*/ #define velocidad_56000 2 /*Velocidad 56.000 bps*/ #define velocidad_128000 1 /*Velocidad 128.000 bps*/ void main(void) unsigned char lcr,lsr,rbr,configuracion,cenv,inicio; unsigned int velocidad,terminar=0; unsigned int numcar,numerrores,numerrorUART; unsigned int haydato,hayerror,mascaraerror; float tasaerrores; /* Configurar velocidad */ lcr=inportb(LCR); lcr=lcr|DLAB; /* Pone DLAB=1 */ outportb(LCR,lcr); velocidad=velocidad_600; outportb(DLL,velocidad&0xFF); outportb(DLM,(velocidad>>8)&0xFF); /* Configurar paridad, longitud y stop */ lcr=lcr&(!DLAB); /* Pone DLAB=0*/ outportb(LCR,lcr); configuracion=longitud_8|bitsparada_1|paridad_no; outportb(LCR,configuracion); /* Deshabilita interrupciones */ outportb(IER,0); /*0000.0000 (con DLAB=0)*/ /* Transmitir de forma continua un carácter seguido de pausa */ printf("\n\nInicio de la UART\n"); inicio=1; randomize(); cenv=random(256); numcar=0; numerrores=0; numerrorUART=0; outportb(lsr,0x0); while(1 && !terminar) lsr=inportb(LSR); if(lsr&THRE) /* comprueba si el transmisor está vacío)*/ outportb(THR,cenv); /* Envía el carácter*/ delay(10); /* Espera en milisegundos*/ haydato=lsr&DR; mascaraerror=PE|FE|BI; hayerror=lsr&mascaraerror; if(hayerror) /* Comprueba si se ha recibido algún error*/
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192
numerrores++; numerrorUART++; delay(100); /* Espera en milisegundos*/ /* De "hayerrores" */ if(haydato) /* Comprueba si se ha recibido algún dato*/ rbr=inportb(RBR); /* Lee el dato recibido*/ /* printf("%x; ",rbr);*/ if(inicio==1) if(rbr==cenv) inicio=0; numcar=0; /* printf("\nFin del Inicio\n; ");*/ /* De inicio */ else numcar++; if(rbr!=cenv&&!hayerror) /*printf("Error; ");*/ numerrores++; /* De else inicio */ /* De "haydato" */ if(kbhit()!=0) /* Comprueba si el usuario ha pulsado una tecla (para terminar)*/ if(getch()==ESCAPE) terminar=1; tasaerrores=numerrores; if(numcar!=0)tasaerrores=tasaerrores/numcar; printf("\rCaracteres: %d; Errores totales: %d; Tasa: %e", numcar,numerrores,tasaerrores); /* De "While (terminar)" */ printf("\nN£mero de errores: %d\n",numerrores); printf("N£mero de car ct‚res transmitidos: %d\n",numcar); tasaerrores=numerrores; tasaerrores=tasaerrores/numcar; printf("Tasa de errores: %e\n",tasaerrores);
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193
PRÁCTICA 5: INTERFAZ RS-232 (V.24)
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194
PRÁCTICA 5: INTERFAZ RS-232 (V.24) 1.- Descripción de la práctica Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite 2 caracteres cada segundo y escriba en pantalla lo que recibe. La configuración del puerto es la siguiente: 600 bps; 7 bits de datos; 2 bits de parada; paridad impar. 1. Observar en el osciloscopio la tensión de salida del puerto y determinar si cumple la
norma V.24 2. Determinar la información transmitida 3. Alterar el número de bits del carácter, la paridad y el número de bits de parada,
observando las consecuencias en la tensión de salida. 4. Medir el Slew-Rate máximo. 2.- Equipos y materiales
• PC con puerto serie • Conector RS-323 con los hilos de transmisión recepción y masa accesibles • Osciloscopio
3.- Estudio teórico El estudio teórico y la memoria correspondiente se encuentran en el ejercicio de laboratorio LTC-16
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195
4.- Hojas de resultados experimentales Apartado a)
Tensión del “cero” Tensión del “uno” Duración del bit Velocidad de transmisión (calculado)
Apartado b)
Información transmitida (primer carácter) Información transmitida (segundo carácter)
Apartado d)
Tiempo de subida (pendiente aprox. constante) Tensión subida (pendiente aprox. constante) Slew Rate (calculado)
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196
PRÁCTICA LTC-16: INTERFAZ RS-232 (V.24) 1.- Descripción de la práctica Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite 2 caracteres cada segundo y escriba en pantalla lo que recibe. La configuración del puerto es la siguiente: 600 bps; 7 bits de datos; 2 bits de parada; paridad impar. a) Observar en el osciloscopio la tensión de salida del puerto y determinar si cumple la
norma V.24 b) Determinar la información transmitida c) Alterar el número de bits del carácter, la paridad y el número de bits de parada,
observando las consecuencias en la tensión de salida. d) Medir el Slew-Rate máximo. 2.- Equipos y materiales
• PC con puerto serie • Conector RS-232 con los hilos de transmisión recepción y masa accesibles • Osciloscopio
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-22.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
197
4.- Resultados Apartado a) Al ejecutar el programa descrito en PTC0004-22 el resultado obtenido en el osciloscopio para la tensión de salida es el siguiente
en el que se puede observar que la tensión está comprendida entre los -10’6 voltios y los 10’2 voltios. Estos valores están claramente dentro del rango de la RS-232 (entre -15 y -5 para el “1” lógico; entre +5 y +15 para el “0” lógico). Como vemos la RS-232 utiliza lógica negativa, por lo que es más fácil identificar los bits si invertimos en el osciloscopio la señal. En ese caso se obtiene la imagen representada en la gráfica siguiente. En ella observamos cómo la línea se encuentra en “1” (“marca”) cuando está en reposo y va oscilando entre “0” y “1” cuando está transmitiendo. El número total de bits transmitidos por cada carácter es: 1 bit de comienzo + 7 bits de datos + 1 bit de paridad + 2 bits de parada; en total 11 bits por cada carácter. Como se transmiten 2 caracteres el número total de bits es de 22 bits. El tiempo de duración de cada bit será
11'67
600bt msbps
= =
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198
Ampliando esta gráfica e identificando los valores de cada bit en cada intervalo (1’67 ms) tenemos
0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1
S T A R T
Datos Datos
P A R I T Y
S T O P
S T O P
P A R I T Y
S T O P
S T O P
S T A R T
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199
Apartado b) Para determinar la información transmitida tenemos que tener en cuenta que los datos aparecen en la línea (y por tanto en el osciloscopio) empezando por el menos significativo. Los datos transmitidos son: L M S S B B Primer carácter: 0100101 Segundo carácter: 1010010 Poniéndolos en el orden que habitualmente se hace (empezando por el más significativo) tenemos que los datos transmitidos son: M L S S B B Primer carácter: 1010010 (52 en hexadecimal) Segundo carácter: 0100101 (25 en hexadecimal) Apartado c) Si alteramos la configuración del puerto serie obtenemos imágenes similares a la anterior. Para 8 bits de datos, sin paridad y un bit de parada se obtiene la siguiente gráfica
0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
S T A R T
Datos Datos
S T O P
S T O P
S T A R T
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200
Apartado e) Para medir el Slew-Rate conectamos la línea de transmisión a la de recepción, para provocar que la carga del transmisor sea la adecuada. En estas circunstancias, ampliando fuertemente la escala horizontal del osciloscopio, podemos observar la pendiente de subida de la tensión de acuerdo con la siguiente figura
Midiendo el primer tramo de subida, en la que la pendiente es prácticamente constante y de valor máximo, observamos que transcurren 56 ns para que la tensión se incremente en 2 voltios, es decir que el Slew-Rate máximo es
max
2 235'71
56 0'056
dV V V V VSR
dt t ns s sµ µ∆= ≈ = = =∆
Este valor es ligeramente superior al permitido por la norma (30 V/µs)
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201
Problema PTC0004-22 Realizar un programa en C que configure el puerto serie del PC, transmita 2 caracteres cada segundo y escriba en pantalla lo que recibe. Datos: Velocidad: 600 bps Longitud del carácter (número de bits de datos): 7 Paridad: Impar Número bits de parada: 2 Primer carácter: 52 (hexadecimal) Segundo carácter: 25 (hexadecimal) Solución PTC0004-22 El puerto serie de un PC está constituido por una UART de la serie 8250 (National Semiconductor). Este dispositivo, hoy obsoleto, ha sido seguido por otros tales como el 16450 y el 16550. Existen numerosos tutoriales de cómo manejar este dispositivo y, en cualquier caso, la hoja de características del propio dispositivo (disponible en Internet). Con estos datos estamos en condiciones de escribir un programa como el descrito en cuyos comentarios se van explicando cada uno de los pasos.
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202
/************************************************** ******************* Programa para manejo del puerto serie *************************************************** ******************/ #include <stdio.h> #define PUERTO 0x3F8 /* COM1*/ #define THR (PUERTO+0) /*THR: Transmitter Holding Register (con DLAB=0; en escritura)*/ #define RBR (PUERTO+0) /*RBR: REceiver Buffer Register (con DLAB=0; en lectura)*/ #define DLL (PUERTO+0) /*DLL: Divisor Latch Least Significant Byte (con DLAB=1; lectura/escritura)*/ #define DLM (PUERTO+1) /*DLS: Divisor Latch Most Significant Byte (con DLAB=1; lectura/escritura)*/ #define IER (PUERTO+1) /* IER: Interrupt Enable Register (con DLAB=0; lectura/escritura) */ #define ERBFI 0x01 /*Bit 0 (ERBFI): Enable Received Data Available Interrupt*/ #define ETBI 0x02 /*Bit 1 (ETBI): Enable Transmitter Holding Register Empty Interrupt*/ #define ELSI 0x03 /*Bit 2 (ELSI): Enable Receiver Line Status Interrupt*/ #define EDSSI 0x04 /*Bit 3 (EDSSI): Enable Modem Status Interrupt*/ #define LCR (PUERTO+3) /* LCR: Line Control Register (lectura/escritura) */ #define longitud_5 0 /*Longitud 5 bits*/ #define longitud_6 1 /*Longitud 6 bits*/ #define longitud_7 2 /*Longitud 7 bits*/ #define longitud_8 3 /*Longitud 8 bits*/ #define bitsparada_1 0 /*Bits de parada: 1 bits*/ #define bitsparada_2 4 /*Bits de parada: 2 bits*/ #define paridad_no 0 /*Paridad: no*/ #define paridad_si 8 /*Paridad: si*/ #define paridad_impar 0 /*Paridad impar*/ #define paridad_par 16 /*Paridad par*/ #define SPE 0x20 /* Bit 5:(SPE) Stick Parity Enable; con PEN=1 y EPS=1 transmite paridad 0;
con PEN=1 y EPS=0 transmite paridad 1*/ #define BC 0x40 /* Bit 6: (BC) Break Control; fuerza condici¢n de Break en la línea (en bajo) */ #define DLAB 0x80 /* Bit 7 (DLAB): Divisor Latch Access Bit */ #define LSR (PUERTO+5) /*LSR: Line Status Register (lectura/escritura)*/ #define DR 0x01 /*Bit 0 (DR): Data Ready*/ #define OE 0x02 /*Bit 1 (OE): Overrun Error*/ #define PE 0x03 /*Bit 2 (PE): Parity Error*/ #define FE 0x04 /*Bit 3 (FE): Framing Error*/ #define BI 0x10 /*Bit 4 (BI): Break Interrupt*/ #define THRE 0x20 /*Bit 5 (THRE): Transmitter Holding Register (THR) Empty*/ #define TEMT 0x40 /*Bit 6 (TEMT): Transmitter Empty */ #define RFE 0x80 /*Bit 7: (RFE) Error in RCVR FIFO*/ #define ESCAPE 27 /* Velocidad: se calcula como divisor (x16) de un reloj de 1.8432MHz (los valores reales son aproximaciones a los nominales)*/ #define velocidad_50 2304 /*Velocidad 50 bps*/ #define velocidad_75 1536 /*Velocidad 75 bps*/ #define velocidad_150 768 /*Velocidad 150 bps*/ #define velocidad_300 384 /*Velocidad 300 bps*/
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203
#define velocidad_600 192 /*Velocidad 600 bps*/ #define velocidad_1200 96 /*Velocidad 1.200 bps*/ #define velocidad_2400 48 /*Velocidad 2.400 bps*/ #define velocidad_4800 24 /*Velocidad 4.800 bps*/ #define velocidad_9600 12 /*Velocidad 9.600 bps*/ #define velocidad_19200 6 /*Velocidad 19.200 bps*/ #define velocidad_56000 2 /*Velocidad 56.000 bps*/ #define velocidad_128000 1 /*Velocidad 128.000 bps*/ void main(void) unsigned char a,c,configuracion,caracter=1; unsigned int velocidad,terminar=0; /* Configurar velocidad */ a=inportb(LCR); a=a|DLAB; /* Pone DLAB=1 */ outportb(LCR,a); velocidad=velocidad_600; outportb(DLL,velocidad&0xFF); outportb(DLM,(velocidad>>8)&0xFF); /* Configurar paridad, longitud y stop */ a=a&(!DLAB); /* Pone DLAB=0*/ configuracion=longitud_7|bitsparada_2|paridad_si|paridad_impar; outportb(LCR,configuracion); /* Deshabilita interrupciones */ outportb(IER,0); /*0000.0000 (con DLAB=0)*/ /* Transmitir de forma continua dos caracteres seguido de pausa */ while(1 && !terminar) a=inportb(LSR); if(a&THRE) /* comprueba si el transmisor está vacío)*/ if(caracter==1) outportb(THR,0x52); /* Envía el primer carácter*/ caracter=2; else outportb(THR,0x25); /* Envía el segundo carácter*/ caracter=1; delay(1000); /* Espera en milisegundos*/ if(a&DR) /* Comprueba si se ha recibido algún dato*/ c=inportb(RBR); /* Lee el dato recibido*/ printf("%x; ",c); if(kbhit()!=0) /* Comprueba si el usuario ha pulsado una tecla (para terminar)*/ if(getch()==ESCAPE) terminar=1;
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204
PRÁCTICA 6: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES
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205
PRÁCTICA 6: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES 1.- Descripción de la práctica Una señal senoidal de 2 Khz y 5 voltios de amplitud se digitaliza mediante el circuito de la figura. Como señal de muestreo se utiliza un pulso cuadrado de 0 a 5 voltios y 40 Khz. de frecuencia. Determinar:
a) La señal muestreada (muestreo natural) y su espectro. b) Repetir el apartado anterior cuando la señal de muestreo tiene un duty-cycle del
25%, 12% y 1%. c) La señal muestreada (muestreo plano) y su espectro para un duty-cycle del 1%. d) La señal recuperada para el caso del muestreo natural y su espectro. e) La señal recuperada para el caso del muestreo plano y su espectro. f) Repetir el apartado anterior para distintas frecuencias de la señal de muestreo.
NOTAS: R1=R2=10KΩ; C1=C2=1nF
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales (2 señales independientes) • Osciloscopio • Fuente de alimentación de +7 y de -7 voltios • Interruptor analógico 4066 • Amplificador operacional 741 • 2 resistencias de 10KΩ • 2 condensadores de 1 nF
3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en el ejercicio de laboratorio LTC-11.
-
+
C1
R2
C2
+
V in
R1
4066
-
+
C1
R2
C2
+
V in
R1
4066
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206
4.- Hojas de resultados experimentales Apartados a) y b)
dc=50% dc=25% dc=12.5% dc=1% Arm. Khz. Teór. Exp. Teór. Exp. Teór. Exp. Teór. Exp.
2 42 82 122 162 202 242 282 322 362 402
Apartado c)
dc=1% Arm. Khz. Teór. Exp.
2 42 82 122 162 202 242 282 322 362 402
Apartado d)
Teórico Experimental Armónicos Original Original/2 y
filtrado Recuperado Recuperado
2 Khz.
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207
Apartado e)
Teórico Experimental Armónicos Original Original
filtrado Recuperado Recuperado
2 Khz. Apartado f)
Recup. (10Khz)
Recup. (20Khz)
Recup. (30Khz)
Arm. Orig. (dBV)
Filt. (dBV)
Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. 2 Khz.
Recup. (40Khz)
Recup. (50Khz)
Recup. (60Khz)
Recup. (70Khz)
Arm. Orig. (dBV)
Filt. (dBV)
Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. 2 Khz.
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208
PRÁCTICA LTC-11: DIGITALIZACIÓN DE UNA SEÑAL SENOIDAL 1.- Descripción de la práctica Una señal senoidal de 2 Khz y 5 voltios de amplitud se digitaliza mediante el circuito de la figura. Como señal de muestreo se utiliza un pulso cuadrado de 0 a 5 voltios y 40 Khz. de frecuencia. Determinar:
a) La señal muestreada (muestreo natural) y su espectro. b) Repetir el apartado anterior cuando la señal de muestreo tiene un duty-cycle del
25%, 12% y 1%. c) La señal muestreada (muestreo plano) y su espectro para un duty-cycle del 1%. d) La señal recuperada para el caso del muestreo natural y su espectro. e) La señal recuperada para el caso del muestreo plano y su espectro. f) Repetir el apartado anterior para distintas frecuencias de la señal de muestreo.
NOTAS: R1=R2=10KΩ; C1=C2=1nF
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales (2 señales independientes) • Osciloscopio • Fuente de alimentación de +7 y de -7 voltios • Interruptor analógico 4066 • Amplificador operacional 741 • 2 resistencias de 10KΩ • 2 condensadores de 1 nF
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-24
-
+
C1
R2
C2
+
V in
R1
4066
-
+
C1
R2
C2
+
V in
R1
4066
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209
4.- Resultados Apartado a) Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 4 representa (en amarillo) la seña original (la triangular), la señal de muestreo (en violeta) y la señal muestreada (en azul).
Figura 1. Muestreo de señales
En las gráficas siguientes se refleja un detalle de la señal muestreada (figura 2), así como los correspondientes espectros de la seña original (figura 3) y de la señal muestreada (figura 4 y figura 5). Podemos observar cómo el espectro de la señal original es el típico de una señal senoidal, mientras que para la señal muestreada aparece el espectro repetido y duplicado para cada múltiplo de la frecuencia de la señal de muestreo (40 Khz, 80 Khz, etc.) Observamos también cómo en la señal muestreada cada repetición del espectro tiene una amplitud diferente de acuerdo con lo esperado teóricamente.
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210
Figura 2. Señal muestreada (detalle)
Figura 3. Espectro de la señal original
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211
Figura 4. Espectro de la señal muestreada
Figura 5. Espectro de la señal muestreada (detalle)
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212
Apartado b) En las gráficas siguientes se representan las señales muestreadas y sus espectros para distintos valores del duty-cycle (dc)
Figura 10. Señal muestreada (dc=12%)
Figura 11. Espectro señal muestreada (dc=12%)
Figura 8. Señal muestreada (dc=25%)
Figura 9. Espectro señal muestreada (dc=25%)
Figura 6. Señal muestreada (dc=50%)
Figura 7. Espectro señal muestreada (dc=50%)
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213
Observamos cómo en la señal muestreada cada repetición del espectro tiene una amplitud diferente según el valor del duty-cycle, de acuerdo con lo esperado teóricamente. Los valores teóricos y experimentales de los armónicos del primer lóbulo, expresados en dBV, son los siguientes
dc=50% dc=25% dc=12.5% dc=1% Arm. Khz. Teór. Exp. Teór. Exp. Teór. Exp. Teór. Exp.
2 4.95 4.8 -1.07 -1.2 -7.09 -7.2 -29.03 -28.8 Los valores teóricos y experimentales del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes
dc=50% dc=25% dc=12.5% dc=1% Arm. Khz. Teór. Exp. Teór. Exp. Teór. Exp. Teór. Exp.
2 4.95 4.8 -1.07 -1.2 -7.09 -7.2 -29.03 -28.8 42 1.03 0.8 -1.98 -2.0 -7.32 -7.6 -29.03 -29.6 82 -∞ -36 -4.99 -5.2 -8.00 -8.4 -29.04 -30.0 122 -8.52 -9.2 -11.53 -12.4 -9.20 -9.6 -29.04 -30.4 162 -∞ -37.6 -∞ -30.8 -11.02 -11.2 -29.05 -30.8 202 -12.95 -14.0 -15.96 -15.6 -13.64 -13.6 -29.07 -31.2 242 -∞ -37.6 -14.54 -15.2 -17.55 -17.2 -29.08 -32.0 282 -15.88 -18.0 -18.89 -20.4 -24.22 -23.2 -29.10 -33.6 322 -∞ -36.0 -∞ -28.0 -∞ -36.0 -29.12 -34.8 362 -18.06 -21.2 -21.07 -21.2 -26.40 -27.2 -29.15 -37.2 402 -∞ -31.6 -18.97 -20.4 -21.98 -22.0 -29.17 -39.2
Apartado c) Cuando se realiza el muestreo plano la señal original y muestreada toman la forma de la figura 14. El espectro de la señal muestreada aparece en la figura 15
Figura 12. Señal muestreada (dc=1%)
Figura 13. Espectro señal muestreada (dc=1%)
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214
Figura 14. Señal original y muestreada (muestreo plano)
Figura 15. Espectro de la señal muestreada (muestreo plano)
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215
Los valores teóricos y experimentales de los armónicos del primer lóbulo, expresados en dBV, son los siguientes
dc=1% Arm. Khz. Teór. Exp.
2 10.93 10.8 Los valores teóricos y experimentales del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes
dc=1% Arm. Khz. Teór. Exp.
2 10.93 10.8 42 -15.51 -15.6 82 -21.33 -21.6 122 -24.79 -24.8 162 -27.26 -27.2 202 -29.19 -28.8 242 -30.77 -30.4 282 -32.12 -31.6 322 -33.29 -32.4 362 -34.34 -33.2 402 -35.27 -33.6
Apartado d) Si filtramos la señal muestreada (muestreo natural) mediante un simple circuito RC paso de baja de frecuencia de corte adecuada, podemos recuperar (aproximadamente) la señal original. La frecuencia de corte en nuestro caso es
3 4 9
1 115'9
2 2 10 10dBf KhzRCπ π −= = =
⋅ ⋅
En la figura 16 se recogen la señal original y la recuperada. El espectro de la señal recuperada aparece en la figura 17. Los valores teóricos y experimentales de los armónicos de la señal recuperada, expresados en dBV, son los siguientes:
Teórico Experimental Armónicos Original Original/2 y
filtrado Recuperado Recuperado
2 Khz. 10.97 4.88 4.88 4.4
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216
Figura 16. Señal original y recuperada (muestreo natural)
Figura 17. Espectro de la señal original (dividido por 2) y de la recuperada (muestreo natural)
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217
Apartado e) Si filtramos la señal muestreada (muestreo plano) mediante el mismo circuito recuperador (un simple circuito RC paso de baja de frecuencia de corte 15’9 Khz), podemos recuperar (aproximadamente) la señal original. En la figura 18 se recogen la señal original y la recuperada. El espectro de la señal recuperada aparece en la figura 19. Los valores teóricos y experimentales de los armónicos de la señal recuperada, expresados en dBV, son los siguientes:
Teórico Experimental Armónicos Original Original
filtrado Recuperado Recuperado
2 Khz. 10.97 10.90 10.87 10.8
Figura 18. Señal original y recuperada (muestreo plano)
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218
Figura 19. Espectro de la señal original y recuperada (muestreo plano)
Apartado f) En las gráficas siguientes se representan las señales muestreadas y recuperadas, así como el espectro de la señal recuperada para distintos valores de la frecuencia de muestreo (fs)
Figura 20. Señal original y recuperada (fs=10Khz)
Figura 21. Espectro señal original y recuperada (fs=10Khz)
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219
Figura 26. Señal original y recuperada (fs=40Khz)
Figura 27. Espectro señal original y recuperada (fs=40Khz)
Figura 24. Señal original y recuperada (fs=30Khz)
Figura 25. Espectro señal original y recuperada (fs=30Khz)
Figura 22. Señal original y recuperada (fs=20Khz)
Figura 23. Espectro señal original y recuperada (fs=20Khz)
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220
Figura 32. Señal original y recuperada (fs=70Khz)
Figura 33. Espectro señal original y recuperada (fs=70Khz)
Figura 30. Señal original y recuperada (fs=60Khz)
Figura 31. Espectro señal original y recuperada (fs=60Khz)
Figura 28. Señal original y recuperada (fs=50Khz)
Figura 29. Espectro señal original y recuperada (fs=50Khz)
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221
En las tablas siguientes se estudia el comportamiento para frecuencias de 10 a 70 Khz.
Recup. (10Khz)
Recup. (20Khz)
Recup. (30Khz)
Arm. Orig. (dBV)
Filt. (dBV)
Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. 2 Khz. 10.97 10.90 10.32 10.0 10.76 10.4 10.84 10.8
Recup. (40Khz)
Recup. (50Khz)
Recup. (60Khz)
Recup. (70Khz)
Arm. Orig. (dBV)
Filt. (dBV)
Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. 2 Khz. 10.97 10.90 10.87 10.8 10.88 10.8 10.89 10.8 10.89 10.8
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222
Problema PTC0004-24 Una señal senoidal de 2 Khz y 5 voltios de amplitud se digitaliza mediante el circuito de la figura. Como señal de muestreo se utiliza una señal cuadrada de 0 a 5 voltios y 40 Khz. de frecuencia. Determinar:
a) El espectro de la señal original. b) El espectro de la señal muestreada (muestreo natural) cuando la señal de
muestreo tiene un duty-cycle del 50%, 25%, 12’5% y 1%. c) El espectro de la señal muestreada (muestreo plano) para un duty-cycle del 1%. d) El espectro de la señal recuperada para el caso de muestreo natural. e) El espectro de la señal recuperada para el caso de muestreo plano. f) Repetir el apartado anterior para distintas frecuencias de la señal de muestreo.
NOTAS: Obtener los valores de cada una de las componentes espectrales en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). R1=R2=10KΩ; C1=C2=1nF
Solución PTC0004-24 Apartado a) Sabemos que la señal original que pretendemos muestrear puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
1( ) nj t
fnn
f t c eT
ω∞
=−∞= ∑
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
/ 2
/ 2( ) n
T j tfn T
c f t e dtω−
−= ∫
Según se puede calcular (ver problema PTC0004-07) existen sólo valores para n=±1 (un único componente armónico) de valor
-
+
C1
R2
C2
+
V in
R1
4066
-
+
C1
R2
C2
+
V in
R1
4066
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223
12fn
ATc n= ∀ = ±
siendo A la amplitud de la señal cuadrada. Cada armónico vale
0fn fn
fn
c cM n
T T−= + ∀ >
y sustituyendo
1fnM A n= ∀ =
El espectro de amplitud para frecuencias positivas se refleja en la figura siguiente
Para obtener los valores de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán
20log 02RMS
fnfndBV
MM n= ∀ >
Los resultados son los siguientes
Frecuencia Armónico 2 Khz. 10.97 dBV
Apartado b) Llamando g(t) a la señal muestreada (muestreo natural) sabemos que su espectro vale
( ) ( )( ) c c si
G d Sa i d F iω π ω ω∞
=−∞= ⋅ ⋅ −∑
siendo dc el duty-cycle de la señal de muestreo. Análogamente
( ) ,gn c c fn ii
c d Sa i d cπ∞
=−∞= ⋅ ⋅∑
donde cfn,i corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud i·fs. Análogamente, para los armónicos podemos escribir
5 10 15 20
0.5
1
1.5
2
2.5
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224
( ) ,0
gn c c fn ii
M d Sa i d Mπ∞
== ⋅ ⋅∑
El espectro de amplitud de la señal muestreada se representa para frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 50 y del 25% respectivamente.
Igualmente las figuras siguientes muestran el espectro de la señal muestreada para un duty-cycle del 12’5 y del 1% respectivamente.
Los valores numéricos de los armónicos del primer lóbulo son los siguientes
Lóbulo Armónicos dc=50% dc=25% dc=12.5% dc=1% 1 2 Khz. 4.95 dBV -1.07 dBV -7.09 dBV -29.03 dBV
Los valores numéricos del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes
20 40 60 80 100 120 140
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
20 40 60 80 100 120 140
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
20 40 60 80 100 120 140
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
20 40 60 80 100 120 140
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
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225
Lóbulo Armónicos dc=50% dc=25% dc=12.5% dc=1%
1 2 Khz. 4.95 dBV -1.07 dBV -7.09 dBV -29.03 dBV 2 42 Khz. 1.03 dBV -1.98 dBV -7.32 dBV -29.03 dBV 3 82 Khz. -∞ dBV -4.99 dBV -8.00 dBV -29.04 dBV 4 122 Khz. -8.52 dBV -11.53 dBV -9.20 dBV -29.04 dBV 5 162 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -11.02 dBV -29.05 dBV 6 202 Khz. -12.95 dBV -15.96 dBV -13.64 dBV -29.07 dBV 7 242 Khz. -∞ dBV -14.54 dBV -17.55 dBV -29.08 dBV 8 282 Khz. -15.88 dBV -18.89 dBV -24.22 dBV -29.10 dBV 9 322 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -29.12 dBV 10 362 Khz. -18.06 dBV -21.07 dBV -26.40 dBV -29.15 dBV 11 402 Khz. -∞ dBV -18.97 dBV -21.98 dBV -29.17 dBV
Apartado c) Llamando gh(t) a la señal muestreada (muestreo plano) sabemos que, cuando el ancho del pulso de muestreo es muy pequeño, su espectro vale
( )1( )
2s
hc
TG Sa G
dω ω ω = ⋅
( ) ( )1( )
2s
h c c sic
TG Sa d Sa i d F i
dω ω π ω ω
∞
=−∞
= ⋅ ⋅ ⋅ −
∑
( ) ( )( )2s
h c si
TG Sa Sa i d F iω ω π ω ω
∞
=−∞
= ⋅ ⋅ −
∑
Análogamente
( ) ,0 2
sghn c fn i
i
TM Sa Sa i d Mω π
∞
=
= ⋅ ⋅
∑
El espectro de amplitud de la señal muestreada (muestreo plano) se representa para frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 1%.
En la gráfica anterior aparecen reflejadas dos líneas discontinuas. La primera de ellas (la superior en la gráfica) corresponde al factor
20 40 60 80 100 120 140
0.5
1
1.5
2
2.5
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226
( )cSa i dπ
para un duty-cycle del 1%, mientras que la segunda (la inferior en la gráfica) corresponde al factor
2sT
Sa ω
Los valores numéricos de los armónicos del primer lóbulo son los siguientes
Lóbulo Armónicos dc=1% 1 2 Khz. 10.93 dBV
Los valores numéricos del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes
Lóbulo Armónicos dc=1% 1 2 Khz. 10.93 dBV 2 42 Khz. -15.51 dBV 3 82 Khz. -21.33 dBV 4 122 Khz. -24.79 dBV 5 162 Khz. -27.26 dBV 6 202 Khz. -29.19 dBV 7 242 Khz. -30.77 dBV 8 282 Khz. -32.12 dBV 9 322 Khz. -33.29 dBV 10 362 Khz. -34.34 dBV 11 402 Khz. -35.27 dBV
Apartado d) En el recuperador utilizamos un filtro paso de baja, constituido por un circuito RC, cuya función de transferencia (problema PTC0004-11) sabemos que vale
1( )
1H
j RCω
ω=
+
con una frecuencia de corte de 3dB de valor
3 4 9
1 115'9
2 2 10 10dBf KhzRCπ π −= = =
Llamando r(t) a la señal recuperada (después del muestreo natural) tenemos que
( ) ( ) ( )R G Hω ω ω= ⋅
( ) ( )( ) ( )c c si
R d Sa i d F i Hω π ω ω ω∞
=−∞= ⋅ ⋅ − ⋅∑
y si los parámetros del muestreador y recuperador están bien calculados, sabemos que la recuperación nos deja aproximadamente sólo el primer lóbulo (i=0) por lo que podemos escribir
( ) ( )( ) 0 0 ( )c c sR d Sa d F Hω π ω ω ω≈ ⋅ ⋅ − ⋅
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227
( )( ) 1 ( )cR d F Hω ω ω≈ ⋅ ⋅ ⋅
( )( ) cR d Fω ω≈ ⋅
Análogamente, para los armónicos podemos escribir
( ) ,0
( )rn c c fn ii
M d Sa i d M Hπ ω∞
== ⋅ ⋅ ⋅∑
El espectro de amplitud de la señal recuperada (muestreo natural) se representa para frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 50%.
Los valores numéricos de los armónicos de la señal recuperada son los siguientes
Armónicos Original Original/2 y filtrado
Recuperado
2 Khz. 10.97 dBV 4.88 dBV 4.88 dBV Apartado e) En el recuperador utilizamos un filtro paso de baja, constituido por un circuito RC, cuya función de transferencia (problema PTC0004-11) sabemos que vale
1( )
1H
j RCω
ω=
+
Llamando rh(t) a la señal recuperada (después del muestreo plano) tenemos que
( ) ( ) ( )h hR G Hω ω ω= ⋅
( ) ( )( ) ( )2s
h c si
TR Sa Sa i d F i Hω ω π ω ω ω
∞
=−∞
= ⋅ ⋅ − ⋅
∑
y si los parámetros del muestreador y recuperador están bien calculados, sabemos que la recuperación nos deja aproximadamente sólo el primer lóbulo (i=0) por lo que podemos escribir
( ) ( )( ) 0 0 ( )2s
h c s
TR Sa Sa d F Hω ω π ω ω ω ≈ ⋅ ⋅ − ⋅
5 10 15 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
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228
( )( ) 1 ( )2s
h
TR Sa F Hω ω ω ω ≈ ⋅ ⋅ ⋅
( )( )2s
h
TR Sa Fω ω ω ≈ ⋅
Análogamente, para los armónicos podemos escribir
( ) ,0
( )2s
rhn c fn ii
TM Sa Sa i d M Hω π ω
∞
=
= ⋅ ⋅ ⋅
∑
El espectro de amplitud de la señal recuperada (muestreo plano) se representa para frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 1%.
En la gráfica anterior aparecen reflejadas mediante línea discontinua el valor para una recuperación ideal. Los valores numéricos de los armónicos de la señal recuperada son los siguientes
Armónicos Original Original Filtrado
Recuperado
2 Khz. 10.97 dBV 10.90 dBV 10.87 dBV Apartado f) Si en el caso del muestreo plano utilizamos otras frecuencias de muestreo, los datos de la recuperación son distintos. En la tabla siguiente, obtenida numéricamente, se estudia el comportamiento para frecuencias de 10 a 70 Khz.
Arm. Orig. (dBV)
Filt. (dBV)
Recup. (10Khz)
Recup. (20Khz)
Recup. (30Khz)
Recup. (40Khz)
Recup. (50Khz)
Recup. (60Khz)
Recup. (70Khz)
2 Khz. 10.97 10.90 10.32 10.76 10.84 10.87 10.88 10.89 10.89
5 10 15 20
1
2
3
4
5
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229
PRÁCTICA 7: MODULACIÓN
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230
PRÁCTICA 7: MODULACIÓN 1.- Descripción de la práctica 1.1.- Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar l espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas amplitudes de la señal modulante. 1.2.- Una señal cuadrada de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas amplitudes de la señal modulante. 1.3.- Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en frecuencia una portadora senoidal de 10 Khz y 10 voltios de amplitud. La desviación en frecuencia es de 5 Khz. Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas desviaciones de frecuencia. 2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio
NOTA 1: El generador de señales utilizado modula en AM mediante la siguiente expresión
[ ] ( ) 1( ) 1 ( ) cos
2 p pg t A m f t tω= + ⋅
por lo que la amplitud seleccionada deberá ser de 10 voltios (el doble de la requerida para la portadora). NOTA 2: El generador de señales utilizado modula en FM mediante los siguientes parámetros
• FM FUNC: SINE • FM FREQ: 1 Khz • FM DEVIA: 1 Khz
3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de laboratorios siguientes: Epígrafe 1.1: Laboratorio LTC-20 Epígrafe 1.2: Laboratorio LTC-21 Epígrafe 1.3: Laboratorio LTC-23
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231
4.- Hojas de resultados experimentales 4.1. Señal senoidal modulada en amplitud
Armónicos(dBV) Amplitud=1
Armónicos(dBV) Amplitud=0.5
Armónicos(dBV) Amplitud=0.1
Frecuencia (en Khz.)
Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 9 Khz. 10 Khz. 11 Khz.
4.2. Señal cuadrada modulada en frecuencia
Armónicos(dBV) Amplitud=1
Armónicos(dBV) Amplitud=0.5
Armónicos(dBV) Amplitud=0.1
Frecuencia (en Khz.)
Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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232
4.3. Señal senoidal modulada en frecuencia
Armónicos (en dBV) ∆f=0.1 ∆f=0.5 ∆f=1 ∆f=2 ∆f=5
Frecuencia (en Khz)
Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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233
PRÁCTICA LTC-20: MODULACIÓN EN AMPLITUD: SEÑAL SENOIDAL 1.- Descripción de la práctica Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:
a) El espectro de la señal original. b) El espectro de la señal modulada. c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio
NOTA: El generador de señales utilizado modula en AM mediante la siguiente expresión
[ ] ( ) 1( ) 1 ( ) cos
2 p pg t A m f t tω= + ⋅
por lo que la amplitud seleccionada deberá ser de 10 voltios (el doble de la requerida para la portadora). 3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-28
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234
4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal modulante senoidal de 1V de amplitud y 1 Khz., así como la señal modulada en amplitud correspondiente.
Figura 1. Señales modulante y modulada (AM)
Apartado a) El espectro de amplitud de la modulante en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. En ella se observa una única componente espectral a 1 Khz. y una pequeña componente de continua que atribuimos a las imperfecciones del generador de señal y del osciloscopio. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). En ella la componente de continua aparece relativamente más importante por el efecto que introduce la escala logarítmica. Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.
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Figura 2. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala en dBV RMS)
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Armónicos(dBV)
Amplitud=1 Frecuencia (en Khz.)
Teor. Práct. 0 Khz. -∞ -30.0 1 Khz. -3.01 -3.0
Apartado b) El espectro de amplitud de la señal modulada (AM) en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 4 (en rojo). En ella se observa una componente espectral de 10 Khz. correspondiente a la portadora, y dos bandas laterales (superior e inferior) con el espectro de la señal modulante a cada lado. En dicha figura hemos superpuesto el valor teórico (en amarillo). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente. Igualmente, en la figura 5 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.
Figura 4. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala lineal)
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Figura 5. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala en dBV RMS)
Armónicos(dBV) Amplitud=1
Armónicos(dBV) Amplitud=0.5
Armónicos(dBV) Amplitud=0.1
Frecuencia (en Khz.)
Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 9 Khz. 4.95 5.6 -1.07 -0.6 -15.05 -14.6 10 Khz. 10.97 11.0 10.97 11.0 10.97 11.0 11 Khz. 4.95 5.6 -1.07 -0.6 -15.05 -14.6
Apartado c)
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Figura 8. Señales (A=0.1V)
Figura 9. Espectro señal modulada (A=0.1V)
Figura 6. Señales (A=0.5V)
Figura 7. Espectro señal modulada (A=0.5V)
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Problema PTC0004-28 Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:
a) El espectro de la señal original. b) El espectro de la señal modulada. c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.
Solución PTC0004-28 Apartado a) Sabemos que la señal modulante puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
1( ) nj t
fnn
f t c eT
ω∞
=−∞= ∑
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
/ 2
/ 2( ) n
T j tfn T
c f t e dtω−
−= ∫
Según se puede calcular (ver problema PTC0004-07) existen sólo valores para n=±1 (un único componente armónico) de valor
12fn
ATc n= ∀ = ±
siendo A la amplitud de la señal cuadrada. Cada armónico vale
0fn fn
fn
c cM n
T T−= + ∀ >
y sustituyendo
1fnM A n= ∀ =
El espectro de amplitud para frecuencias positivas se refleja en la figura siguiente
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
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240
Para obtener los valores de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán
20log 02RMS
fnfndBV
MM n= ∀ >
Los resultados son los siguientes
Frecuencia (en Khz.)
Armónico (en dBV)
1 Khz. -3.01 dBV Apartado b) Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que
[ ] ( )( ) 1 ( ) cosp pg t A m f t tω= + ⋅
siendo m el índice de modulación. Su representación gráfica es la siguiente
Para calcular su espectro escribimos
( ) ( )( ) cos ( )cosp p p pg t A t A m f t tω ω= +
[ ] ( ) ( )( ) ( ) cos ( )cosp p p pG g t A t A m f t tω ω ω = = + F F
( ) ( )( ) cos ( )cosp p p pG A t A m f t tω ω ω = + F F
El primer sumando corresponde a la portadora senoidal y su espectro será
( )( ) cosp pP A tω ω = F
de donde
( )( ) ( ) ( )cosp pG P A m f t tω ω ω = + F
Por otra parte, el segundo sumando vale
( ) ( )2( ) ( )cos ( )cos j tp p p pG A m f t t A m f t t e dtωω ω ω
∞−
−∞
= = ∫F
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-10
-5
5
10
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241
2( ) ( )2
p pj t j tj t
p
e eG A m f t e dt
ω ωωω
−∞−
−∞
+= ∫
( ) ( )2( ) ( ) ( )
2 2p pj t j tp pA m A m
G f t e dt f t e dtω ω ω ωω
∞ ∞− − − +
−∞ −∞
= +∫ ∫
2( ) ( ) ( )2 2p p
p p
A m A mG F Fω ω ω ω ω= − + +
2( ) ( ) ( )2p
p p
A mG F Fω ω ω ω ω = − + +
Por lo tanto, finalmente, el espectro de una señal modulada en amplitud vale
( ) ( )( ) ( )2p
p p
A mG P F Fω ω ω ω ω ω = + − + +
Análogamente
, ,2 2p p
p pgn pn fn fn
A m A mc c c cω ω−= + +
donde cfn,ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud fp; mientras que cfn,-ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud -fp. Análogamente, para los armónicos podemos escribir
, ,2 2p p
p pgn pn fn fn
A m A mM M M Mω ω−= + +
expresión en la que Mfn,ωp representa a los armónicos (bilaterales) correspondientes al espectro de la modulante centrado en ωp. El espectro de amplitud de la señal modulada para frecuencias positivas se refleja en la figura siguiente
Los valores numéricos de los armónicos son los siguientes
5 10 15 20
0.5
1
1.5
2
2.5
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242
Frecuencia (en Khz.)
Armónico (en dBV)
9 Khz. 4.95 dBV 10 Khz. 10.97 dBV 11 Khz. 4.95 dBV
Apartado c) En la figura se representan las señales moduladas y sus espectros cuando la amplitud de la modulante es, respectivamente, de 0.5V y de 0.1V.
Los valores numéricos de los armónicos son
Armónico (en dBV) Frecuencia (en Khz.) A=1V A=0.5V A=0.1V 9 Khz. 4.95 dBV -1.07 dBV -15.05 dBV 10 Khz. 10.97 dBV 10.97 dBV 10.97 dBV 11 Khz. 4.95 dBV -1.07 dBV -15.05 dBV
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4
-2
2
4
5 10 15 20
0.5
1
1.5
2
2.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-6
-4
-2
2
4
6
5 10 15 20
0.5
1
1.5
2
2.5
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243
PRÁCTICA LTC-21: MODULACIÓN EN AMPLITUD: SEÑAL CUADRADA 1.- Descripción de la práctica Una señal cuadrada de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:
a) El espectro de la señal original. b) El espectro de la señal modulada. c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.
2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio
NOTA: El generador de señales utilizado modula en AM mediante la siguiente expresión
[ ] ( ) 1( ) 1 ( ) cos
2 p pg t A m f t tω= + ⋅
por lo que la amplitud seleccionada deberá ser de 10 voltios (el doble de la requerida para la portadora). 3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-29
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244
4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal modulante cuadrada de 1V de amplitud y 1 Khz., así como la señal modulada en amplitud correspondiente.
Figura 1. Señales modulante y modulada (AM)
Apartado a) El espectro de amplitud de la modulante en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. En ella se observa una única componente espectral a 1 Khz. y una pequeña componente de continua que atribuimos a las imperfecciones del generador de señal y del osciloscopio. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). En ella la componente de continua aparece relativamente más importante por el efecto que introduce la escala logarítmica. Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.
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245
Figura 2. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala en dBV RMS)
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246
Armónicos(dBV)
Amplitud=1 Frecuencia (en Khz.)
Teor. Práct. 0 -∞ -40.4 1 -0.91 -1.0 2 -∞ -44.2 3 -10.45 -10.4 4 -∞ -44.2 5 -14.89 -14.4 6 -∞ -44.6 7 -17.81 -17.6 8 -∞ -44.2 9 -20.00 -19.6 10 -∞ -44.2
Apartado b) El espectro de amplitud de la señal modulada (AM) en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 4 (en rojo). En ella se observa una componente espectral de 10 Khz. correspondiente a la portadora, y dos bandas laterales (superior e inferior) con el espectro de la señal modulante a cada lado. En dicha figura hemos superpuesto el valor teórico (en amarillo). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente. Igualmente, en la figura 5 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.
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247
Figura 4. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala lineal)
Figura 5. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala en dBV RMS)
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248
Armónicos(dBV) Amplitud=1
Armónicos(dBV) Amplitud=0.5
Armónicos(dBV) Amplitud=0.1
Frecuencia (en Khz.)
Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 -∞ -14.4 -∞ -16.8 -∞ -23.0 1 -6.85 -6.0 -12.87 -12.8 -26.85 -27.6 2 -∞ -41.8 -∞ -32.8 -∞ -50.0 3 -6.11 -5.2 -12.13 -12.2 -26.11 -26.8 4 -∞ -43.0 -∞ -32.0 -∞ -38.4 5 -4.43 -3.6 -10.45 -10.2 -24.43 -23.2 6 -∞ -46.0 -∞ -30.6 -∞ -44.0 7 -1.08 -0.4 -7.10 -6.6 -21.08 -21.0 8 -∞ -46.0 -∞ -33.0 -∞ -47.0 9 7.49 8.2 1.47 2.0 -12.51 -11.8 10 10.97 10.8 10.97 10.8 10.97 10.8 11 7.45 7.2 1.43 1.4 -12.55 -12.4 12 -∞ -46.0 -∞ -34.8 -∞ -50.0 13 -1.43 -3.4 -7.45 -8.8 -21.43 -21.6 14 -∞ -43.0 -∞ -32.8 -∞ -53.0 15 -5.35 -8.8 -11.37 -13.6 -25.35 -27.4 16 -∞ -46.0 -∞ -41.8 -∞ -43.0 17 -7.85 -12.8 -13.87 -16.8 -27.85 -29.8 18 -∞ -41.8 -∞ -36.0 -∞ -53.0 19 -9.69 -16.0 -15.71 -19.2 -29.69 -31.8 20 -∞ -44.0 -∞ -29.4 -∞ -36.8
Apartado c)
Figura 6. Señales (A=0.5V)
Figura 7. Espectro señal modulada (A=0.5V)
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249
Figura 8. Señales (A=0.1V)
Figura 9. Espectro señal modulada (A=0.1V)
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250
Problema PTC0004-29 Una señal cuadrada de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:
a) El espectro de la señal original. b) El espectro de la señal modulada. c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.
Solución PTC0004-29 Apartado a) Sabemos que la señal modulante puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
1( ) nj t
fnn
f t c eT
ω∞
=−∞= ∑
en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:
/ 2
/ 2( ) n
T j tfn T
c f t e dtω−
−= ∫
Según se puede calcular (ver problema PTC0004-08)
2 02fn n
dc AdSa nω = ∀ >
siendo A la amplitud de la señal cuadrada. Cada armónico vale
0fn fn
fn
c cM n
T T−= + ∀ >
y sustituyendo
2 02fn
nM ASa n
π = ∀ >
El espectro de amplitud se refleja en la figura siguiente
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251
Para obtener los valores de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán
20log 02RMS
fnfndBV
MM n= ∀ >
Los resultados son los siguientes
Frecuencia (en Khz.)
Armónico (en dBV)
0 -∞ 1 -0.91 2 -∞ 3 -10.45 4 -∞ 5 -14.89 6 -∞ 7 -17.81 8 -∞ 9 -20.00 10 -∞
Apartado b) Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que
[ ] ( )( ) 1 ( ) cosp pg t A m f t tω= + ⋅
siendo m el índice de modulación. Su representación gráfica es la siguiente
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-10
-5
5
10
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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252
Para calcular su espectro escribimos
( ) ( )( ) cos ( )cosp p p pg t A t A m f t tω ω= +
[ ] ( ) ( )( ) ( ) cos ( )cosp p p pG g t A t A m f t tω ω ω = = + F F
( ) ( )( ) cos ( )cosp p p pG A t A m f t tω ω ω = + F F
El primer sumando corresponde a la portadora senoidal y su espectro será
( )( ) cosp pP A tω ω = F
de donde
( )( ) ( ) ( )cosp pG P A m f t tω ω ω = + F
Por otra parte, el segundo sumando vale
( ) ( )2( ) ( )cos ( )cos j tp p p pG A m f t t A m f t t e dtωω ω ω
∞−
−∞
= = ∫F
2( ) ( )2
p pj t j tj t
p
e eG A m f t e dt
ω ωωω
−∞−
−∞
+= ∫
( ) ( )2( ) ( ) ( )
2 2p pj t j tp pA m A m
G f t e dt f t e dtω ω ω ωω
∞ ∞− − − +
−∞ −∞
= +∫ ∫
2( ) ( ) ( )2 2p p
p p
A m A mG F Fω ω ω ω ω= − + +
2( ) ( ) ( )2p
p p
A mG F Fω ω ω ω ω = − + +
Por lo tanto, finalmente, el espectro de una señal modulada en amplitud vale
( ) ( )( ) ( )2p
p p
A mG P F Fω ω ω ω ω ω = + − + +
Análogamente
, ,2 2p p
p pgn pn fn fn
A m A mc c c cω ω−= + +
donde cfn,ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud fp; mientras que cfn,-ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud -fp.
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253
En las figuras siguientes se reflejan respectivamente cada uno de los dos sumandos del espectro de amplitud de la señal modulada, cfn,-ωp y cfn,ωp.
El espectro de amplitud completo de la señal modulada, cgn, se refleja en la figura siguiente
Análogamente, para los armónicos podemos escribir
, ,2 2p p
p pgn pn fn fn
A m A mM M M Mω ω−= + +
expresión en la que Mfn,ωp representa a los armónicos (bilaterales) correspondientes al espectro de la modulante centrado en ωp. Los valores numéricos de los armónicos son los siguientes
-20 -10 10 20
0.5
1
1.5
2
2.5
-20 -10 10 20
0.5
1
1.5
2
2.5
-20 -10 10 20
0.5
1
1.5
2
2.5
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254
Frecuencia
(en Khz.) Armónico
(en dBV) 0 -∞ 1 -6.85 2 -∞ 3 -6.11 4 -∞ 5 -4.43 6 -∞ 7 -1.08 8 -∞ 9 7.49 10 10.97 11 7.45 12 -∞ 13 -1.43 14 -∞ 15 -5.35 16 -∞ 17 -7.85 18 -∞ 19 -9.69 20 -∞
Apartado c) En la figura se representan las señales moduladas y sus espectros cuando la amplitud de la modulante es, respectivamente, de 0.5V y de 0.1V.
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-6
-4
-2
2
4
6
-20 -10 10 20
0.5
1
1.5
2
2.5
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255
Los valores numéricos de los armónicos son
Armónico (en dBV) Frecuencia (en Khz.) A=1V A=0.5V A=0.1V
0 -∞ -∞ -∞ 1 -6.85 -12.87 -26.85 2 -∞ -∞ -∞ 3 -6.11 -12.13 -26.11 4 -∞ -∞ -∞ 5 -4.43 -10.45 -24.43 6 -∞ -∞ -∞ 7 -1.08 -7.10 -21.08 8 -∞ -∞ -∞ 9 7.49 1.47 -12.51 10 10.97 10.97 10.97 11 7.45 1.43 -12.55 12 -∞ -∞ -∞ 13 -1.43 -7.45 -21.43 14 -∞ -∞ -∞ 15 -5.35 -11.37 -25.35 16 -∞ -∞ -∞ 17 -7.85 -13.87 -27.85 18 -∞ -∞ -∞ 19 -9.69 -15.71 -29.69 20 -∞ -∞ -∞
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-4
-2
2
4
-20 -10 10 20
0.5
1
1.5
2
2.5
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256
PRÁCTICA LTC-23: MODULACIÓN EN FRECUENCIA: SEÑAL SENOIDAL 1.- Descripción de la práctica Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en frecuencia una portadora senoidal de 10 Khz y 10 voltios de amplitud. La desviación en frecuencia es de 5 Khz. Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas desviaciones de frecuencia. 2.- Equipos y materiales
• Generador de señales • Osciloscopio
NOTA: El generador de señales utilizado modula en FM mediante los siguientes parámetros
• FM FUNC: SINE • FM FREQ: 1 Khz • FM DEVIA: 1 Khz
3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-31
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257
4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa la señal modulada en frecuencia.
Figura 1. Señal modulada (FM)
El espectro de amplitud de la señal modulada (FM) en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2 (en rojo). En ella se observa una componente espectral de 10 Khz. correspondiente a la portadora, y dos bandas laterales (superior e inferior) con el espectro de la señal modulante a cada lado. En dicha figura hemos superpuesto el valor teórico (en amarillo). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.
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258
Figura 2. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala lineal)
Figura 3. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala en dBV RMS)
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259
Armónicos (en dBV) ∆f=0.1 ∆f=0.5 ∆f=1 ∆f=2 ∆f=5
Frecuencia (en Khz)
Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 -374 -25.4 -235 -26.8 -175 -26.4 -115 -25.2 -39.7 -27.0 1 -328 -53.0 -203 -49.0 -149 -52.0 -95.1 -52.0 -28.2 -28.6 2 -283 -53.0 -172 -47.8 -124 -47.0 -76.1 -56.0 -17.7 -18.0 3 -239 -49.0 -141 -49.0 -99.5 -41.2 -58.2 -41.0 -8.46 -10.6 4 -196 -53.0 -112 -49.4 -76.6 -52.0 -41.4 -40.6 -0.66 -3.00 5 -155 -59.0 -84.9 -59.0 -55.5 -53.0 -26.1 -26.8 5.33 4.80 6 -115 -47.0 -58.9 -59.0 -35.1 -34.4 -12.4 -12.6 8.84 8.80 7 -76.7 -56.0 -34.8 -35.0 -17.2 -18.4 -0.80 -2.40 8.23 6.60 8 -41.1 -42.0 -13.3 -15.8 -1.80 -4.40 7.94 5.40 -9.65 -12.8 9 -9.04 -9.60 4.68 4.40 9.86 9.20 12.2 11.8 7.30 7.00 10 17.0 17.2 16.4 16.6 14.6 14.6 3.99 4.00 1.98 2.00 11 -9.04 -10.2 4.68 3.40 9.86 8.80 12.2 11.0 7.30 6.20 12 -41.1 -42.2 -13.3 -16.2 -1.80 -4.80 7.94 4.60 -9.65 -13.6 13 -76.6 -52.0 -34.8 -34.2 -17.2 -17.6 -0.80 -1.20 8.23 7.60 14 -115 -59.0 -58.9 -52.0 -35.1 -35.2 -12.4 -12.4 8.84 9.00 15 -155 -59.0 -84.9 -50.0 -55.1 -47.0 -26.1 -27.2 5.33 4.40 16 -196 -59.0 -112 -56.0 -76.6 -59.0 -41.4 -41.8 -0.66 -4.20 17 -239 -59.0 -141 -52.0 -99.5 -52.0 -58.2 -52.0 -8.46 -9.40 18 -283 -56.0 -172 -53.0 -124 -52.0 -76.1 -50.0 -17.7 -17.4 19 -328 -56.0 -203 -53.0 -149 -56.0 -95.1 -56.0 -28.2 -28.4 20 -374 -56.0 -235 -52.0 -175 -49.0 -115 -59.0 -39.7 -42.4
En las figuras siguientes se representan los espectros de las señales moduladas cuando la desviación de frecuencia es, respectivamente, de 0.1, 0.5, 1 y 2 Khz.
Figura 4. Espectro señal modulada (∆f=0.1)
Figura 5. Espectro señal modulada (∆f=0.5)
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260
Figura 6. Espectro señal modulada (∆f=1)
Figura 7. Espectro señal modulada (∆f=2)
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261
Problema PTC0004-31 Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en frecuencia una portadora senoidal de 10 Khz y 10 voltios de amplitud. La desviación en frecuencia es de 5 Khz. Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas desviaciones de frecuencia. Solución PTC0004-31 Según se puede calcular (ver problema PTC0004-07) la señal modulante es una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión
1( ) cos( ) nj t
f nn
f t A t c eT
ωω∞
=−∞= = ∑
en la que los coeficientes son nulos excepto para
12
ffn
ATc n= ∀ = ±
por lo que el espectro de amplitud de la señal modulante para frecuencias positivas es el siguiente
Para calcular los armónicos recordaremos que cada armónico vale
0n nfn
f f
c cM n
T T−= + ∀ >
En este caso sólo existe el armónico de orden 1, que vale
1 11
1 1
2 2f f
ff f f f
AT ATc cM A
T T T T−= + = + =
Si el osciloscopio representa el valor de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán
20log1RMS
fnRMSfndBV
MM =
2 4 6 8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
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262
20log 02
20log 0
RMS
RMS
fnfndBV
fndBV fn
MM n
M M n
= ∀ >
= ∀ =
Lo que se traduce en nuestro caso en la tabla siguiente
Frecuencia Armónico 1 Khz. -3.01 dBV
Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que
( )( ) cospg t A tθ =
El ángulo de la expresión anterior está ligado con la frecuencia instantánea mediante
( )2i i
d tf
dt
θω π= ≡
o, inversamente,
( ) 2i it dt f dtθ ω π= =∫ ∫
expresión en el que la frecuencia instantánea vale
( )( ) cos 2i p p ff f k f t f k A f tπ= + ⋅ = + ⋅
La máxima desviación de la pulsación angular (y de frecuencia) se produce cuando el coseno en la expresión anterior vale 1 (o -1), por lo que podemos calcular la constante mediante
k A f⋅ = ∆
fk
A
∆=
Sustituyendo tenemos
( ) ( )cos 2 cos 2i p f p f
ff f A f t f f f t
Aπ π∆= + ⋅ = + ∆
El ángulo vale pues
( ) ( )2 2 cos 2i p ft f dt f f f t dtθ π π π = = + ∆ ∫ ∫
( ) ( )2 2 cos 2p ft f dt f f t dtθ π π π= + ∆∫ ∫
( ) ( )22 sen 2
2p ff
ft f t f t
f
πθ π ππ
∆= +
( ) ( )2 sen 2p ff
ft f t f t
fθ π π∆= +
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263
Por lo tanto la señal modulada en frecuencia vale
( ) ( )( ) cos cos 2 sen 2p p p ff
fg t A t A f t f t
fθ π π
∆ = = +
Su representación gráfica para una desviación de frecuencia de 5 Khz es la siguiente
Por otra parte sabemos que la señal modulada en frecuencia admite un desarrollo en serie del tipo
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1
2
3
( ) cos cos cos
cos 2 cos 2
cos 3 cos 3
p p p p f p f
p p f p f
p p f p f
g t A J t A J t t
A J t t
A J t t
β ω β ω ω ω ω
β ω ω ω ω
β ω ω ω ω
= − − − +
+ − − +
− − − +
+L
Cada uno de esos sumandos supone un armónico de valor
( )gn p nM A J β=
con un espectro que es simétrico y está centrado en la frecuencia portadora. En esta expresión se denomina
f f
f
f
ωβω∆ ∆= =
al índice de modulación, y Jn(β) a la función de Bessel de primera clase. En nuestro caso, se afirma en el enunciado que la desviación de frecuencia es de 5 kHz por lo que
5f Khz∆ = y, por tanto,
55
1m
f Khz
f Khzβ ∆= = =
Las funciones de Bessel de primera clase para este índice de modulación, dependen exclusivamente de n, lo que se recoge en la tabla y gráfica siguientes:
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-10
-5
5
10
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264
n Jn(ββββ); β=1 0 -0,178 1 -0,328 2 0,047 3 0,365 4 0,391 5 0,261 6 0,131 7 0,053 8 0,018 9 0,006 10 0,001 11 -
lo que, multiplicado por la amplitud de la portadora, nos da que el espectro de amplitud de la señal modulada para frecuencias positivas que es el siguiente
En las figuras siguientes se representan los espectros de las señales moduladas cuando la desviación de frecuencia es, respectivamente, de 0.1, 0.5, 1 y 2 Khz.
5 10 15 20
0.5
1
1.5
2
2 4 6 8 10n
-0.2
0.2
0.4
JnHβL
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265
Los valores numéricos de los armónicos son
Armónicos (en dBV) Frecuencia ∆f=0.1Khz ∆f=0.5Khz ∆f=1Khz ∆f=2Khz ∆f=5Khz
0 Khz. -374,41 -234,67 -174,61 -115,00 -39,68 1 Khz. -328,39 -202,63 -148,61 -95,08 -28,17 2 Khz. -283,29 -171,51 -123,53 -76,09 -17,71 3 Khz. -239,21 -141,42 -99,48 -58,15 -8,46 4 Khz. -196,28 -112,48 -76,59 -41,41 -0,66 5 Khz. -154,70 -84,89 -55,06 -26,06 5,33 6 Khz. -114,70 -58,89 -35,13 -12,38 8,84 7 Khz. -76,64 -34,83 -17,18 -0,80 8,23 8 Khz. -41,08 -13,29 -1,80 7,94 -9,65 9 Khz. -9,04 4,68 9,86 12,21 7,30 10 Khz. 16,97 16,44 14,67 3,99 1,98 11 Khz. -9,04 4,68 9,86 12,21 7,30 12 Khz. -41,08 -13,29 -1,80 7,94 -9,65 13 Khz. -76,64 -34,83 -17,18 -0,80 8,23 14 Khz. -114,70 -58,89 -35,13 -12,38 8,84 15 Khz. -154,70 -84,89 -55,06 -26,06 5,33 16 Khz. -196,28 -112,48 -76,59 -41,41 -0,66 17 Khz. -239,21 -141,42 -99,48 -58,15 -8,46 18 Khz. -283,29 -171,51 -123,53 -76,09 -17,71 19 Khz. -328,39 -202,63 -148,61 -95,08 -28,17 20 Khz. -374,41 -234,67 -174,61 -115,00 -39,68
5 10 15 20
1
2
3
5 10 15 20
1
2
3
4
5
5 10 15 20
1
2
3
4
5 10 15 20
0.5
1
1.5
2
2.5
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
266
5. CONCLUSIONES Y FUTURAS AMPLIACIONES
5.1.-CONCLUSIONES
Dentro de las competencias generales que se deben desarrollar para conseguir un
proyecto docente coherente para la formación de un futuro ingeniero, están la capacidad
para aplicar los conocimientos prácticos y la habilidad para realizar buenas medidas
experimentales; así como la capacidad para trabajar en equipo.
Dichas capacidades exigen la realización presencial de una buenas prácticas de
laboratorio dentro del proceso enseñanza – aprendizaje. En este sentido se hace
necesaria la elaboración de un conjunto de actividades de laboratorio, exigentes; pero a
la vez lo más autocontenidas posible que permitan al alumno, poder trabajar de forma
autónoma, pudiendo realizar de forma independiente las experiencias prácticas en
laboratorio, más allá de los horarios formales de las asignaturas; permitiendo una
flexibilidad de las necesarias horas presénciales en un laboratorio.
Las Prácticas de laboratorio permiten la aplicación de los principios de diseño
expuestos en teoría además de permitir el aprendizaje de las técnicas y los instrumentos,
tanto software como hardware, que los estudiantes habrán de manejar en su vida
profesional.
Las Prácticas contribuyen a cubrir otros tres objetivos que consideramos básicos:
la experiencia de trabajo en equipo, la comunicación oral (discusión de resultados) y
escrita (memoria) y la familiarización con la profesión.
Cuando un profesional ingeniero se enfrenta con el proceso de diseño, está
conceptualizando y realizando sistemas en el contexto de las restricciones del mundo
real. Los alumnos deben aprender a diseñar tanto por experiencia directa como mediante
el estudio de los diseños de otros. Muchas prácticas y proyectos de laboratorio están
orientadas al proceso de diseño, dando a los estudiantes una experiencia de primera
mano en el desarrollo de un sistema o de un componente de un sistema para la
resolución de un problema particular.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
267
5.2.-FUTURAS AMPLIACIONES
En este sentido las posibles ampliaciones del proyecto irían dirigidas en esta línea:
Elaboración de nuevas actividades prácticas que complementen y/o amplíen el catalogo
de actividades de laboratorio expuesto. Y aprovechando las nuevas tecnologías para el
apoyo de la docencia a través de Internet de la Universidad de Sevilla, elaborar con la
plataforma web disponible, un conjunto de herramientas útiles para la enseñanza a
través de Internet y que permitan por un lado complementar la docencia presencial y
favorecer la enseñanza a distancia y por otro facilitar el contacto entre el conjunto de
alumnos de la asignatura y entre estos y el profesorado.
Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo
268
6. REFERENCIAS
[FREN03] FRENZEL. “Electrónica Aplicada a los Sistemas de las
Comunicaciones”. Alfaomega. 3ª Edición 2003.
[LAU03] “Proyecto de Ley Andaluza de Universidades”. Parlamento de
Andalucía. 2003.
[LOU01] “Ley Orgánica 6/2001, de 21 de diciembre, de Universidades”.
Ministerio de Educación, Cultura y Deportes. B.O.E. de 24 de diciembre
de 2001.
[LRU83] “Ley Orgánica, 11/1983, de 25 de agosto, de Reforma Universitaria”.
Ministerio de Educación y Cultura. B.O.E. de 11 de septiembre de 1983.
[MAND80] Mandado, E.: "La enseñanza de la electrónica aplicada y su
metodología". Mundo Electrónico, no. 100, pp. 231-240, 1980.
[OPPE98] ALAN V. OPPENHEIM, ALAN V. WILLSKY, S. HAMID NAWAD: “ Señales y Sistemas”. Pearson Educación. 2ª Edición 1998.