DESIGUALDADESMATE 3011 – PRESENTACION #6

Desigualdades o Inecuaciones

Una desigualdad es un enunciado que declara que dos cantidades o expresiones NO son equivalentes. Por ejemplo,

2x + 3 > 11.

Si se obtiene un enunciado cierto al reemplazar un número b por la x , entonces b es una solución de la desigualdad.

Desigualdades (continuación)

Por ejemplo, x = 5 es una solución de 2x + 3 > 11

ya que 13 > 11 is cierto, pero…

x = 3 no es una solución ya que 9 > 11 es falso.

Resolver una desigualdad implica encontrar TODAS las soluciones.

Soluciones y Desigualdades

Casi todas las desigualdades tienen un número infinito de soluciones

Por ejemplo, el conjunto de TODAS las soluciones de la desigualdad 2 < x < 5 consiste de todos los números reales entre 2 y 5 .

Llamamos a este conjunto un intervalo abierto y lo denotamos (2, 5) .

Soluciones y Desigualdades (continuación)

La gráfica del intervalo abierto (2, 5) es el conjunto de todos los puntos en la recta numérica que yacen entre x = 2 y x = 5, sin incluirlos extremos.

Ilustramos:

Intervalos

Las soluciones de la desigualdad 2 ≤ x ≤ 5 , SI incluyen x = 2 and x = 5 , y se denota [2, 5] , un intervalo cerrado.

Aquí se muestra la gráfica de este intervalo cerrado:

Otros tipos de Intervalos

La tabla muestra otros tipos de desigualdades, que consideraremos:

Otros Tipos (continuación)

Propiedades de Desigualdades

Nota que multiplicar o dividir ambos lados de la desigualdad por un número real negativo invierte la desigualdad.

PROPIEDAD EJEMPLO

2 < 7, por lo tanto, 2 + 3< 7 + 3 y 2 – 3 < 7 – 3

EjemploResuelve la desigualdad:

Solución:

, como intervalo

, como desigualdad

La gráfica es :

EjemploResolver:

Solución:

Más Desigualdades 

Solución:

Un número es solución de la desigualdad dada si y solo si satisface simultáneamente:

y

Solución (continuación)

 

Valor Absoluto  

EjemploResolver:

Desigualdades cuadráticas

Resolver la desigualdad como si fuera una ecuación cuadrática.

Las soluciones reales de la ecuación dividen el conjunto de los reales en regiones.

Debemos seleccionar puntos de cada región para determinar cuál región contiene puntos que satisfacen la desigualdad.

Describir el conjunto de soluciones.

 

Desigualdades cuadráticas

 

 

Desigualdades cuadráticas

 

Elegir un valor representativo en cada región.

xx=-3 x=0 x= 4

Desigualdades cuadráticas

 

x=-3 x=0 x= 4

Determinar y describir el conjunto de soluciones.

 

Desigualdades cuadráticas

  

Desigualdades cuadráticas

  Examinar un elemento

representativo de cada región

x = -1

x = 0 x = 1

Desigualdades cuadráticas

  Determinar y describir el conjunto de

soluciones.x = -1

x = 0 x = 1

 

Desigualdades Racionales

• A su vez, los signos de P y Q dependen de los ceros de P y Q, si los hay.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 :2𝑥−13 𝑥+3

≥0

El  signo  de   la   expresi ón   racional  𝑃𝑄, donde  P  y  Q  son  polinomios ,  depende  de   los   signos  de   P  y  Q .

Desigualdades Racionales

• Resumiendo, para resolver una desigualdad de la forma (ó ):

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 :2𝑥−13 𝑥+3

≥0

• Determine primeramente los ceros de P y Q.

• Utilice los ceros para dividir la recta numérica en regiones.

• Elegir un valor representativo en cada región.

• Evaluar la ecuación racional en cada valor representativo y determinar si satisface o no la desigualdad.

• Describir el conjunto de soluciones.

Desigualdad Racional

Solución:• El numerador de la expresión es

positivo siempre.• Esta expresión será positivo

cuando el denominador, x – 2, es positivo también.

• x – 2 es positivo cuando x > 2.• El conjunto de soluciones es:

Desigualdades Racionales

R𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 :2𝑥−13𝑥+3

≥0

• Determine primeramente los ceros de P y Q.• 2x – 1 = 0 cuando x = ½ .• 3x + 3 = 0 cuando x = -1.

• Utilice los ceros para dividir la recta numérica en regiones.

𝑥<−1 𝑥>12

−1<𝑥<12

Desigualdades Racionales

R𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 :2𝑥−13𝑥+3

≥0

• Elegir un valor representativo en cada región.

• Evaluar la ecuación racional en cada valor representativo

𝑥<−1 𝑥>12

−1<𝑥<12

x = -2

x = 0

x = 1

Desigualdades Racionales

R𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 :2𝑥−13𝑥+3

≥0

• Describir el conjunto de soluciones.

𝑥<−1 𝑥>12

−1<𝑥<12

x = -2

x = 0

x = 1

(−∞ ,−1 )∪( 12 ,∞)