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Determinación del diámetro óptimo de una tubería que transporta una mezcla sólido-

líquido con partículas monodispersas.

Reporte de investigación de Proyecto Terminal I y II

Licenciatura en Ingeniería en Energía

Presentado por:

Mara Ximena Cordero García

Bajo la Asesoría de:

Dra. Elizabeth M. Salinas Barrios

Dr. Juan Manuel Zamora Mata

Aplicación de los Fenómenos de Transporte

Área de Ingeniería en Recursos Energéticos

Departamento de Ingeniería de Procesos e Hidráulica

México D.F., Julio de 2015

iv

Agradecimientos

Este trabajo fue posible por el apoyo incondicional y la ayuda de muchas personas que fui

encontrando en el camino. Si tuviera que dar gracias a cada una de las personas que me han

motivado, no me alcanzarían las páginas en este texto. Por eso de manera muy sintética

agradezco a:

Mi madre, ya que gracias a su fuerza y valentía para seguir adelante siempre me ha dado

ánimos para nunca rendirme y dar lo mejor de mí, y sobre todo por enseñarme a ser libre.

Gracias a todo su esfuerzo he llegado hasta aquí.

A mis hermanos, pues no sólo son mi guía y mis protectores sino que me han dado lo mejor

de ellos mismos, para hacer de mí una mejor persona. Me enseñaron a crecer, a fracasar y a

triunfar. Definitivamente la persona que soy se lo debo a ellos.

A mis amigos, que siempre han estado en los momentos más importantes; los mejores y los

más difíciles. Han sido los hermanos que he encontrado en el camino y sin ellos nunca

hubiera llegado hasta aquí.

A mis asesores, ya que confiaron en mí como estudiante y me han enseñado a ser mejor

alumna y persona. Siempre regalándome de su sabiduría.

A mis profesores, más allá de ser excelentes docentes he encontrado a increíbles personas,

que me han dado las mejores lecciones de vida.

A la Universidad Autónoma Metropolitana, por ser mí casa durante estos años académicos

y darme una de las mejores etapas de mi vida, por dejarme conocer el mundo y por abrirme

los ojos para dedicarme a una vida académica.

Al laboratorio de Fluidos Multifásicos y al Laboratorio de Síntesis, Optimización y

Simulación de Procesos, pues no sólo me han dado un espacio de trabajo, sino que ahí he

encontrado un sitio para desarrollar las mejores ideas.

Gracias infinitas a todos.

v

RESUMEN

El transporte hidráulico de sólidos ha sido una tecnología progresiva para trasladar una gran

cantidad de materias primas sólidas. Esto incluye el desplazamiento a larga distancia para

carbón, minerales, residuos, entre otros. Usado en una gran cantidad de industrias. Además

de sus beneficios económicos, el traslado de sólidos por tuberías es más seguro debido a

que provoca menos accidentes de transporte y por lo tanto es un medio más amigable con el

ambiente.

En este trabajo nos enfocamos a estudiar el transporte hidráulico de sólidos en tuberías de

PVC. Para comprender la conducta de los flujos en suspensiones comenzamos explicando

los fundamentos del flujo de fluidos simples en tuberías, ejemplificando con problemas

clásicos de la hidráulica, considerando unidades en los sistemas inglés e internacional.

A partir de la correlación propuesta por Durand (1952) se obtuvieron otras correlaciones

que permiten adquirir de manera aproximada las velocidades en cada régimen de lecho, las

velocidades de deposición en una mezcla y la pérdida de presión. En este trabajo

estudiamos las correlaciones usadas por Taimoor- Rakesh y col (2012) desarrollando un

modelo para el diseño de tuberías que transportan mezclas con una distribución de

partículas monodispersa, determinando los costos de mantenimiento y operación , así

conseguir el diámetro óptimo de la tubería, y garantizar el costo total mínimo. Pues se ha

demostrado que la optimización permite la viabilidad de estos sistemas. Finalmente con

metodología antes mencionada se obtienen una serie de resultados para 5 flujos másicos de

sólidos transportados de 50 kg/s, 100 kg/s, 150 kg/s, 200 kg/s hasta 250 kg/s, y se presentan

de manera gráfica los costos obtenidos para los diámetros óptimos de cada caso, la

concentración volumétrica de sólidos y las velocidades de mezcla obtenidas. Y así se

reportan los costos totales para cada caso de estudio en dólares y libras.

vi

ÍNDICE

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 3

1.1. Planteamiento General ................................................................................................. 6

Capítulo 2

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS EN TUBERÍAS ........................................ 7

2.1. Balance de energía mecánica en flujo de fluidos ......................................................... 7

2.2. Flujo laminar ........................................................................................................... 10

2.3. Flujo Turbulento ........................................................................................................ 12

2.4. Número de Reynolds ................................................................................................. 13

2.5. Pérdidas de carga por coeficiente de Fricción ........................................................... 13

2.6. Factor de fricción para un flujo laminar en un tubo................................................... 14

2.7. Factor de fricción para un flujo turbulento en la transición a la turbulencia ............. 14

2.8. Factor de fricción para un flujo turbulento en tubos lisos ......................................... 14

2.9. Factor de fricción para un flujo totalmente turbulento (tubos rugosos).................... 15

2.10. Pérdidas de carga o de la altura piezométrica .......................................................... 16

2.11. Pérdidas mayores ..................................................................................................... 16

2.12. Pérdidas de carga menores ....................................................................................... 17

Capítulo 3

USO DEL BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA EN UNIDADES INGLESAS ......... 21

3.1. Ejemplo 1 ................................................................................................................... 21

3.2. Ejemplo 2 ................................................................................................................... 26

3.3. Ejemplo 3 ................................................................................................................... 31

3.4. Ejemplo 4 ................................................................................................................... 35

vii

Capítulo 4

EJEMPLOS PRÁCTICOS .................................................................................................... 43

4.1. Ejemplo 1 ................................................................................................................... 43

4.2. Ejemplo 2 ................................................................................................................... 47

4.3. Ejemplo 3 ................................................................................................................... 53

4.4. Ejemplo 4 ................................................................................................................... 57

Capítulo 5

TRANSPORTE HIDRÁULICO DE SÓLIDOS .................................................................. 66

5.1. Regímenes de flujo típicos en suspensiones .............................................................. 66

5.1.1 Flujo de lecho estancado ..................................................................................... 68

5.1.2 Flujo de lecho móvil ............................................................................................ 69

5.1.3 Flujo heterogéneo (suspensión mantenida por turbulencia) ................................ 69

5.1.4 Flujo homogéneo (Flujo simétrico a altas velocidades) ...................................... 70

5.2. Velocidades en transición para suspensiones ............................................................ 72

5.3 Velocidad de deposición o velocidad de Gradiente de Presión mínimo (𝑉3 𝑜 𝑉𝐷) .. 74

5.4 Correlaciones para la caída de presión de una suspensión en una tubería .................. 77

5.5 Equipo de bombeo para suspensiones......................................................................... 82

Capítulo 6

MODELO PARA DETERMINAR EL DIÁMETRO ÓPTIMO DE UNA TUBERÍA

QUE TRANSPORTA UNA MEZCLA SÓLIDO-LÍQUIDO ............................................. 86

6.1. Planteamiento del problema ....................................................................................... 86

6.2. Metodología ............................................................................................................... 87

6.3. Ejemplo de diseño ...................................................................................................... 91

6.4. Ejemplo de diseño corregido ..................................................................................... 95

Capítulo 7

MODELO PARA LA DETERMINACIÓN DEL DIÁMETRO ÓPTIMO DE UNA

TUBERÍA QUE TRANSPORTA UNA MEZCLA MONODISPERSA. ......................... 104

7.1. Ejemplo de diseño para el transporte de arenas ....................................................... 104

viii

Capítulo 8

CONCLUSIONES ................................................................................................................ 109

Apéndices

Apéndice A-Datos para diseño de equipo ........................................................................... 111

Apéndice B-Gravedades específicas y dureza de minerales ............................................. 117

Capítulo 1

1

Antecedentes.

El transporte hidráulico de minerales y residuos de plantas de tratamiento se conoce desde

el tiempo de los romanos. Esta tecnología ha progresado desde entonces, y sobre todo

durante el siglo XX.

En 1906 Nora Blatch, fue probablemente la primera persona en llevar a cabo una

investigación exhaustiva sobre el flujo de mezclas sólido- líquido. Así en el periodo de

1910-1924 funciono una tubería de 0.2 m de diámetro en Inglaterra para transporta el

carbón a una distancia de aproximadamente 600 m, desde el Támesis hasta la central

térmica de Hammersmith en Londres. Y hasta finales de los años cuarenta se comenzaron

las investigaciones sobre los factores que intervienen en el transporte de sólidos por tubería.

En 1948, Sogreah (Grenoble, Francia) inició el estudio de transporte de arenas y gravas por

tuberías de 0.04 a 0.25 m de diámetro. Las pruebas fueron determinantes para la obtención

de la correlación empírica conocida por la ecuación de Durand (1952), por la que se estima

el gradiente de presión para el flujo de hidromezclas pesadas. Aunque su rango de

operación es limitado pues sólo funciona cuando se tiene un porcentaje de sólidos inferior

al 30% de su volumen. Así en 1952, la British Hydromechanics Research Associaton

(BHRA) comenzó a estudiar el transporte hidráulico del carbón dentro de su convenio con

la National Coal Board. Estos trabajos permitieron estudiar la viabilidad del transporte de

otros productos, y la construcción en 1960 de unos mineroductos para caliza en Trinidad e

Inglaterra. La primera instalación tenía casi 10 km de longitud y un diámetro de 0.2 m,

mientas que la segunda era de 112 km y 0.25m de diámetro. Fue en 1957cuand American

Gilsonite comenzó a transportar gilsonita desde Bonanza en Utah, hasta Gran Junction en

Colorado, sobre una distancia de menos de 115km. El material era triturado a menos de 4

mallas y transportado a una concentración volumétrica del 48% en peso. Los diámetros de

la tubería oscilaban entre 0.1 m y 0.15 m.

Durante los siguientes años se modificaron algunas instalaciones ya existentes, y se

avanzaron con las investigaciones para el transporte de hierro y carbón. Hasta que en 1970,

se construyó el mayor mineroducto propiedad de Black Mesa Coal Pipeline Inc. La

longitud era de 473 km, con un diámetro de 0.46m con capacidad de transportar 5.5

millones de toneladas de carbón anuales. Pero a raíz de la crisis energética a principios de

los 70s, este sistema de transporte empezó a tener un auge, principalmente en

Norteamérica. Así en 1982, se encontraban planificadas seis instalaciones capaces de

transportar más de 10 millones de toneladas de carbón en instalaciones de 10 km de tubería.

2

En la tabla 1.1 se presentan los mineroductos más importantes que se encontraban en

operación desde 1970 hasta 1990, algunos de ellos han sido desmantelados por la

sobreexplotación minera, y algunos otros siguen en funcionamiento.

Tabla 1.1 – Muestra los mineroductos más importantes en operación (Tomado de

Manualde arranque, carga y transporte en minería a cielo abierto, Secretaría General de la

Energía y Recursos Minerales, Madrid España 1991, pág. 371).

Lugar Material Longitud

(km)

Diámetro

de tubería

(m)

Capacidad

(Millones

Toneladas

/año)

Concentración

volumétrica de

sólidos (%)

Tamaño

máximo de

partículas

(mm)

Black Mesa,

Arizona, EEUU Carbón 493 0.457 5.8 45-50 1.2

Cádiz, Ohio,

EEUU Carbón 174 0.254 1.3 50 1.2

Lorraine,

Francia Carbón 9 0.381 1.5 - -

Limburgo,

Países Bajos

Residuos de

preparación de

carbón

22 0.2 0.2 - -

URSS Carbón 61 0.304 1.8 - -

Bonanza, Utah ,

EEUU Gilsonita 116 0.152 0.4 48 5.0

Kensworth,

Gran Bretaña Caliza 92 0.254 1.7 50-60 0.4

Australia Caliza 96 0.2 0.45 - -

Calaveras,

California,

EEUU

Caliza 27 0.178 1.5 70 0.6

Savage River,

Tasmania,

EEUU

Mineral de hierro 85 0.228 2.3 55-60 0.1

Sierra Grande,

Argentina Mineral de hierro 32 0.2 2.1 - -

Corea del Norte Mineral de hierro 98 - 4.5 - -

Peña Colorado,

México Mineral de hierro 48 0.2 1.8 - -

Samarco, Brasil Mineral de hierro 396 0.5 12 67 -

Waipipi, Nueva

Zelanda

Arena

ferruginosa 6 0.203 1 45 0.6

El Salvador,

Chile Mineral de cobre 22 0.152 0.26 - -

Irán occidental,

Indonesia

Concentrados de

cobre 112 0.114 0.3 60-65 0.1

Bougainville,

Nueva Guinea

Concentrados de

cobre

27

0.152

1

55-70

0.2

Turquía Concentrados de

cobre 61 0.127 1 45 0.1

Japón

Residuos de

extracción de

cobre

64 0.2 1 18 < 0.03

África del Sur

Residuos de

extracción de

cobre

35 0.228 1.05 - -

Sandersville,

Georgia, EEUU Caolín 110 0.450 0.06 - -

3

INTRODUCCIÓN

“Avanza con tal fuerza que arrastres a los obstáculos y te sigan como aliados” Alejando

Jodorowsky.

El transporte por tuberías ha sido una tecnología progresiva para trasladar una gran

cantidad de materiales. En la actualidad existen numerosas de tuberías para el transporte

hidráulico de sólidos (mezclas sólido-líquido) que se han mencionado anteriormente. A

estas mezclas que se forman por sólidos de pequeñas dimensiones no solubles, dispersas en

un líquido se le conoce comúnmente como suspensión. El agua es el fluido más común

para transportar sólidos, y si la instalación opera en forma continua, el proceso es capaz de

transportar grandes cantidades de sólidos.

El comportamiento de los sólidos y los líquidos que fluyen a través de tuberías ha sido

objeto de investigación desde finales del siglo XIX. En la naturaleza podemos encontrar

que muchas partículas se transportan mediante las corrientes fluviales, o debido al efecto

del viento en algunos casos.

Debido a la complejidad de las mezclas y comportamiento de los sólidos en los líquidos en

el interior de la tubería, las correlaciones que existen en la literatura para explicar la

conducta de los parámetros antes mencionados tienen un error de predicción entre el 25 -

35%. Lo cual implica que si no se encuentra una solución óptima en el diseño de las

tuberías para las suspensiones, las ventajas pueden ser desfavorables. Y para comprender la

conducta de los mineroductos se comenzó explicando los fundamentos del flujo de fluidos

simples en tuberías, ejemplificando con problemas clásicos de la hidráulica. Además se

presenta una mejor comprensión del comportamiento de las suspensiones en tuberías,

usando adecuadamente la correlación propuesta por Durand (1952). Que nos da una gran

aproximación para calcular las pérdidas de carga y las caídas de presión en una mezcla

heterogénea.

Fuentes (2004) expresa que el transporte hidráulico de sólidos por tuberías se ha convertido

en una alternativa muy atractiva comparado a los sistemas de transporte convencionales

(por vía férrea) por razones técnicas y financieras.

Las ventajas más significativas que presenta el transporte hidráulico de sólidos para

longitudes de tubería no mayores a 300 km (Abulnaga 2002) son:

• Simplicidad en la instalación

• Facilidad para vencer obstáculos naturales o artificiales.

4

• No requiere de gran diseño de instalación ni de operación.

• Proporciona un flujo continuo de sólidos y fácil implementación de control

automático

• Bajo consumo de energía, pues los mayores consumidores de energía en éste

sistema son las bombas.

• Posibilidad de transportar varios productos

• No se produce daño ni se altera el medio ambiente.

• Permitir la elección de la vía más corta entre los puntos de recolección y suministro.

• Eliminar la influencia de factores climáticos temporales.

Es por eso que el enfoque de este trabajo consiste en desarrollar un modelo para el diseño

de tuberías que transportan mezclas, determinando el diámetro óptimo de la tubería y así

garantizando el costo total mínimo. Se utiliza como base el modelo propuesto por Taimoor-

Rakesh y col. (2012).

En la actualidad hay muchas organizaciones de todo el mundo que llevan a cabo la

investigación y el desarrollo en el ámbito del transporte de mezclas. Se entiende que el

mayor interés en los últimos años corresponde para incrementar las distancias de longitud

de tubería, debido a su enorme inversión de capital y mayor precisión en el diseño para

aumentar su viabilidad. Sin embargo, ya existen muchos mineroductos que han sido

construidos y actualmente están en funcionamiento, especialmente para las industrias

mineras, químicas y de procesamiento de alimentos, pero los detalles específicos del

funcionamiento y diseño de las tuberías aún permanecen inéditos.

Es por esto que una comprensión básica y profunda de los fenómenos es necesaria para el

control del transporte hidráulico de sólidos. Los datos revelados en la literatura muestran

que los estudios acerca de los flujos de mezcla sólido-líquido tienen tres enfoques

principales:

1) Enfoque empírico

2) Enfoque reológico y,

3) El enfoque de modelado de flujo multifásico.

El enfoque que ha recibido mayor estudio es el empírico, tal vez por la complejidad de

obtener buenas aproximaciones en el modelado matemático. Este estudio ha acumulado las

correlaciones para la predicción de la caída de presión y la delimitación de los regímenes

de flujo que constituyen dos elementos principales para el trabajo empírico. El enfoque

reológico ha surgido de una manera importante a mediados de los años cincuenta. Es, sin

embargo, estrictamente aplicable a mezclas sólido-líquido de partículas ultrafinas, capaz

de aportar significativa características reológicas para los flujos. Y el enfoque de modelado

de flujo multifásico, que describe el conjunto de fluido y, efectos de las partículas junto

5

con la interacción entre ellas muestra de manera más representativa el flujo en las mezclas

sólido-líquido de tipo heterogéneos.

A pesar de una extensa investigación en la tecnología de transporte de mezclas, nuestros

conocimientos de los fundamentos del flujo de sólido-líquido no satisfacen necesidades de

ingeniería. La necesidad de controlar los procesos de transporte hidráulico de sólidos, así

como el diseño para tuberías y bombas ha dado lugar a la acumulación de una gran

cantidad de datos experimentales. Y así un modelo predictivo con total comprensión en

transporte hidráulico de sólidos no ha resultado tan exitoso como hoy se demuestra en la

literatura.

Para el diseño ingenieril de éste tipo de transporte hidráulico, junto con sus operaciones de

bombeo es necesario una precisa predicción respecto a los cálculos en las caídas de presión,

velocidad crítica, regímenes de flujo de la mezcla y pérdidas de carga, en donde se ve

relacionado directamente el diámetro. Por lo tanto la optimización nos permitiría garantizar

el costo total de mantenimiento y manufactura en el nivel mínimo, asegurando una mayor

competitividad a esta tecnología.

6

1.1. Planteamiento General

En general un problema de transporte hidráulico de sólidos consiste en transportar una

suspensión por medio de una tubería de un lugar a otro. Donde el objetivo es obtener la

mejor predicción posible del comportamiento de la mezcla.

Para que el transporte de mezclas sólido-líquido a través de tuberías sea factible, se deben

cumplir las siguientes condiciones:

• El sólido debe poder mezclarse y separarse fácilmente del líquido.

• No deben existir riesgos, como por ejemplo obstrucción de la tubería debido a

interacciones entre las partículas, que tienen como consecuencia la deposición de

ellas.

• El sólido a transportar no debe reaccionar ni con el fluido que lo transporta ni con la

tubería.

• El desgaste y ruptura que sufren las partículas durante el transporte no deben tener

efectos adversos para el proceso posterior de ellas.

• El flujo volumétrico del fluido que transporta a los sólidos debe ser adecuada, para

que mantenga a los sólidos suspendidos.

Es por eso que para estudiar el transporte hidráulico de sólidos debemos conocer:

El sólido a transportar: densidad, diámetro de partículas. El fluido transportador: densidad,

viscosidad. La instalación de la tubería: material, rugosidad, peso específico, y en algunas

ocasiones la longitud. Así, a partir de estos valores podemos conocer el régimen de flujo en

el que se encuentra, la velocidad del flujo, la densidad de la mezcla, la pérdida de carga de

la mezcla, etc. Y así finalmente hacer una metodología que permita encontrar un valor

óptimo para garantizar el costo total anualizado mínimo.

Capítulo 2

7

FUNDAMENTOS DEL FLUJO DE FLUIDOS EN

TUBERÍAS

INTRODUCCIÓN

Un fluido es un tipo de medio continuo formado por alguna sustancia entre cuyas

moléculas sólo hay una fuerza de atracción débil, mientras que una tubería es un conducto

que cumple con la función de transportar agua u otro tipo de fluido, y por lo tanto es de

gran importancia conocer como puede ser el manejo de un fluido a través de tuberías

siendo un sistema de tuberías el método más sencillo de transporte de fluidos (Bravo D

,2011). Las tuberías de sección circular son utilizadas frecuentemente, ya que ofrecen

mayor resistencia estructural y también mayor sección transversal que cualquier otra forma.

2.1. Balance de energía mecánica en flujo de fluidos

Es necesario aplicar el principio de energía mecánica a la solución de problemas de

flujos en tuberías, lo cual representa la forma más real de resolver los problemas en la

ingeniería.

El flujo de un fluido real es más complicado que el de un fluido ideal. Un fluido ideal es

aquel en donde no se toma en cuenta la viscosidad y es incompresible, por lo tanto no

existen tensiones cortantes y no pueden transmitirse movimientos rotacionales de las

partículas fluidas. De aquí se deriva la Ecuación de Bernoulli en donde se puede despreciar

la fricción, la transferencia de calor y todo el trabajo menos el debido a las fuerzas de

presión.

𝑣2

2+ 𝑔𝑧 +

𝑃

𝜌= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

( 2.1)

𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑧 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑

𝑃 = 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛.

8

Se obtiene la ecuación de la energía mecánica al aplicar al flujo fluido el principio de

conservación de la energía. La energía que posee un fluido en movimiento consiste en la

energía interna y las energías debido a la presión, a la velocidad y a su posición en el

espacio en donde existirá multitud de flujos en los cuales se agrega energía al sistema o se

extrae de él. De Aquí se hace el siguiente balance de energía (Ronald V. Giles 1969).

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 1 + 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑎ñ𝑎𝑑𝑖𝑑𝑎 – 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 – 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎í𝑑𝑎 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 2

( 2.2)

El trabajo ejecutado por una bomba añadirá energía al sistema. Y la energía puede extraerse

de él como a la salida de una turbina, esta ecuación también puede derivarse de la primera

ley de la termodinámica.

De la ecuación (2.1), en los flujos permanentes de fluidos incomprensibles con variaciones

en su energía interna es despreciable y si consideramos todas las perdidas irreversibles

reales a causa de la disipación viscosa, que convierten a la energía mecánica en energía

interna recuperable, un sistema de tubería en donde se puede representar como un cambio

en la constante de Bernoulli (ecuación 2.2) se reduce a

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔

𝑔𝑐− 𝜔´𝑓 =

𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔

𝑔𝑐+ ℎ𝐿𝑇 [=]

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎

𝑀𝑎𝑠𝑎

( 2.3)

En el sistema inglés:

𝑃1 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1[=]𝑙𝑏𝑓

𝑓𝑡2

𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑[=]𝑙𝑏𝑚

𝑓𝑡3

�̅�21 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜1[=] (

𝑓𝑡

𝑠)

2

𝑧1 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 [=]𝑓𝑡

𝜔´𝑓 = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 [=]𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚

𝑃2 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2[=]𝑙𝑏𝑓

𝑓𝑡2

�̅�22 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2[=] (

𝑓𝑡

𝑠)

2

𝑧2 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2[=]𝑓𝑡

9

ℎ𝐿𝑇

= 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠)[=]𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚

𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑[=]32.1850𝑓𝑡

𝑠2

𝑔𝑐 = 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 [=]32.1850𝑙𝑏𝑚𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑓𝑠2

Realizando el análisis de unidades tenemos que:

𝑙𝑏𝑓

𝑓𝑡2

𝑓𝑡3

𝑙𝑏𝑚+

(𝑓𝑡

𝑠)

2

𝑙𝑏𝑚𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑓𝑠2

+𝑓𝑡(

𝑓𝑡

𝑠2)

𝑙𝑏𝑚𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑓𝑠2

−𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚[=]

𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚 [=]


𝑀𝑎𝑠𝑎

En el sistema internacional:

𝑃1 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1[=]𝑁

𝑚2

𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑[=]𝑘𝑔

𝑚3

�̅�21 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜1[=] (

𝑚

𝑠)

2

𝑧1 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 [=] 𝑚

𝜔´𝑓 = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 [=]𝐽

𝑘𝑔

𝑃2 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2[=] 𝑁

𝑚2

�̅�22 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2[=] (

𝑚

𝑠)

2

𝑧2 = 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2[=] 𝑚

ℎ𝐿𝑇 = 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑟𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠)[=]𝐽

𝑘𝑔

𝑔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑[=] 9.8𝑚

𝑠2

10

Realizando el análisis de unidades tenemos que:

𝑘𝑔𝑚

𝑠2𝑚2

𝑘𝑔

𝑚3

+(

𝑚

𝑠)

2

𝑘𝑔 𝑚

𝑁 𝑠2

+𝑚

𝑚

𝑠2

𝑘𝑔 𝑚

𝑁 𝑠2

−𝐽

𝑘𝑔[=]

𝐽

𝑘𝑔 [=]


𝑀𝑎𝑠𝑎

A la ecuación anterior se le conoce como ecuación de Bernoulli ingenieril o teorema de

Bernoulli. Es una forma de la ecuación de la energía que representa la primera ley de la

termodinámica, donde ℎ𝐿𝑇 representa la pérdida de carga debida a la fricción.

La segunda ley de la termodinámica requiere ℎ𝐿𝑇 sea positiva en un flujo de fluido real, es

por eso la convención de agregar el término del lado derecho de la ecuación.

Y el parámetro adimensional de 𝑔𝑐 se le conoce como gravedad específica o densidad

relativa es una comparación de la densidad de una sustancia con la densidad de otra que se

toma como referencia. Ambas densidades se expresan en las mismas unidades y en iguales

condiciones de temperatura y presión, por lo tanto queda como un parámetro adimensional

en función de un cociente de dos densidades, su mayor uso se encuentra cuando se trabaja

en unidades inglesas.

El principal objetivo es calcular los cambios de presión que se tienen en un flujo a través de

un tubo para un fluido incompresible, estos cambios se deben a diferencias de altura,

cambios en la velocidad (debido a un cambio de área en la sección transversal) y al

rozamiento.

Por lo tanto el análisis en un flujo real el principal análisis es tener en cuenta el efecto del

rozamiento; este efecto consiste en una disminución de la presión, y esto se puede

interpretar como una pérdida de energía mecánica en energía térmica.

Las pérdidas se dividirán en pérdidas mayores que son ocasionadas debido al rozamiento

en un flujo completamente desarrollado que pasa a través de un segmento de área

transversal constante Y las pérdidas menores debidas a la presencia de válvulas,

bifurcaciones, codos y cambios en la sección transversal del conducto y la caída de presión

a la entrada de un tubo.

Existen dos tipos de flujos en el caso de fluidos reales, son conocidos como; flujo laminar y

flujo turbulento.

2.2. Flujo laminar

11

En el flujo laminar las partículas fluidas se mueven suavemente unas sobre otras en

la dirección del flujo en trayectorias paralelas, formando un conjunto de capas o láminas.

Este flujo está gobernado por la ley que relaciona la tensión cortante con la velocidad de

deformación angular, en donde la tensión cortante es igual al producto de la viscosidad del

fluido por el gradiente de velocidades. En donde la viscosidad del fluido es la acción

amortiguante de cualquier tendencia a turbulencia.

12

2.3. Flujo Turbulento

En el flujo turbulento las partículas se mueven de forma desordenada y compleja y

dependiente del tiempo, se tiene un considerable movimiento perpendicular a la dirección

principal del flujo, y es imposible conocer la trayectoria de una partícula individualmente.

En la literatura se muestra por experiencia que un límite superior para el régimen laminar,

en tuberías viene fijado por un número de Reynolds mayor a 2100, en la mayoría de los

casos.

Figura2.1- Perfil de velocidades para flujo laminar y flujo turbulento respectivamente.

En la figura 1 se muestran los perfiles de velocidad para los dos tipos de flujo, podemos

observar como en el flujo turbulento el perfil de velocidad se vuelve más achatado, además

en este tipo de flujo no existe una relación entre el campo de esfuerzos cortantes y el campo

de velocidades medias. Por lo tanto es necesario basarse en los resultados experimentales

que se tienen.

El perfil de velocidad para un flujo turbulento a través de un tubo liso suele representarse

mediante la siguiente ecuación conocida como “ley de potencia” (Fox y Mc Donald 1989).

𝑣

Ѵ𝑚á𝑥

9

= (1 −𝑟

𝑅)

1𝑛

( 2.4)

Por lo tanto se conoce que la velocidad promedio es igual a la mitad de la velocidad en la

línea del punto del centro:

�̅�

Ѵ𝑚á𝑥

9

=1

2

( 2.5)

Y el exponente, n, cambia conforme aumenta el número de Reynolds y así conseguimos la

relación para encontrar a la velocidad promedio pues se define como:

13

𝑄 = ∫ �̅� ∙ 𝑑�̅�1

𝐴

( 2.6)

2.4. Número de Reynolds

El número de Reynolds es un número adimensional que relaciona el cociente de las

fuerzas inerciales por las fuerzas viscosas. Para tuberías circulares, se puede demostrar de

la siguiente manera:

𝑅𝑒 =𝜌𝐷�̅�

µ

( 2.7)

donde:

�̅� = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎[=] 𝑚/𝑠

𝐷 = 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 [=] 𝑚

µ = 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 [=]𝑘𝑔

𝑚𝑠

𝜌 = 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑢𝑖𝑑𝑜 [=]𝑘𝑔

𝑚3

2.5. Pérdidas de carga por coeficiente de Fricción

La pérdida de carga puede deducirse en términos del producto de la energía cinética

por unidad de masa (con base en la velocidad promedio) dividida entre 𝑔. Y la relación de

la distancia al diámetro del tubo (𝐿

𝐷) y un coeficiente llamado factor de fricción o

coeficiente de Darcy- Weisbach (𝑓𝐷). Éste es un parámetro adimensional que depende del

número de Reynolds y de la rugosidad (ε) del tubo.

El factor de rozamiento 𝑓𝐷 se determina experimentalmente. Los resultados publicados por

L.F Moody se muestran en el apéndice 1.

También existe una correlación empírica muy útil determinado en la ecuación (2.2) y el

coeficiente de rozamiento ha sido sugerido por Blasius.

𝑓 =0.0791

𝑅𝑒1.4

( 2.8)

14

2.6. Factor de fricción para un flujo laminar en un tubo

La caída de presión para un flujo laminar se puede calcular analítica o experimentalmente

para el caso de un flujo completamente desarrollado en un tubo horizontal.

Por lo tanto se puede escribir que para 𝑅𝑒 < 2100 el factor de fricción se calcula como:

𝑓 =64

(𝜌𝐷�̅�2

µ )=

64

𝑅𝑒

( 2.9)

Por lo tanto en régimen laminar, el factor de fricción es independiente de la rugosidad y

depende únicamente del Reynolds, y se puede comprobar mediante resultados

experimentales.

2.7. Factor de fricción para un flujo turbulento en la transición a

la turbulencia

La manera de cambiar el número de Reynolds en un tubo es variando la velocidad

promedio del flujo, si se tiene un flujo en una tubería o conducto inicialmente laminar, al

incrementar la velocidad hasta el número de Reynolds crítico (𝑅𝐸 ≥ 2100) ocasiona la

transición del flujo; el fluido laminar se transforma en flujo turbulento.

Para calcular el factor de fricción del régimen turbulento en la transición se utiliza la

primera ecuación de Coolebrok simplificada:

1

√𝑓= −1.8 log10 (

6.9

𝑅𝑒+

𝜀1.11

3.7)

(2.10)

2.8. Factor de fricción para un flujo turbulento en tubos lisos

Si se incrementa el número de Reynolds por encima del valor correspondiente a la

transición, el perfil de velocidades se vuelve cada vez más achatado como se mencionó

anteriormente.

15

En la transición, 𝑓 se incrementa rápidamente. En el régimen turbulento, el factor de

rozamiento disminuye gradualmente a lo largo de una curva que corresponde a las tuberías

lisas y en este tipo de tuberías la rugosidad relativa, es decir la relación entre la rugosidad

en las paredes de la tubería y el diámetro de la misma (𝜀 𝐷⁄ ), es muy pequeño con lo que el

término puede despreciarse.

Y para calcular el factor de fricción se utiliza la Ecuación de Kármán Prandtl:

1

√𝑓= −2 log10 (

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

(2.11)

2.9. Factor de fricción para un flujo totalmente turbulento

(tubos rugosos)

Conforme el número de Reynolds aumenta ocasiona que el esfuerzo cortante cerca

de la pared se incremente abruptamente, y esto ocasiona una pérdida de presión debido a al

tamaño de las rugosidades, haciendo que el factor de rozamiento dependa totalmente de la

rugosidad relativa de la tubería (𝜀 𝐷⁄ ).

Es importante mencionar que los valores de (𝜀 𝐷⁄ ) encontrados en la literatura

corresponden a tubos nuevos, o en condiciones relativamente buenas. Conforme pasa el

tiempo y prolongados periodos de servicio, los efectos de corrosión se hacen presentes. La

corrosión generalmente debilita la tubería, e incrementa de modo apreciable la rugosidad de

la pared y disminuye también el diámetro de (𝜀 𝐷⁄ ), hasta que esta finalmente falla. Esto

incrementa el valor de la rugosidad relativa por un factor de dos o tres veces en el caso de

tuberías viejas o de gran uso.

La ecuación usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy 𝑓 también

conocido como coeficiente de rozamiento y se trata del mismo factor que aparece en

la ecuación de Darcy-Weisbach. La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937,

1939)1 2 es la siguiente:

1

√𝑓= −2 log10 (

𝜀𝐷

3.7+

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

(2.12)

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Colebrook-White#cite_note-1

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Colebrook-White#cite_note-2

16

2.10. Pérdidas de carga o de la altura piezométrica

A medida que un fluido fluye por un conducto, tubo u otro dispositivo, ocurren

pérdidas de energía debido al rozamiento que resulta entre el líquido y la pared de la

tubería; éste efecto consiste en una disminución de la presión que ocurre a través de

segmentos con área de sección transversal constante entre dos puntos del sistema.

Por lo tanto para determinar la pérdida de carga en un flujo totalmente desarrollado se

puede obtener mediante la definición:

ℎ𝐿𝑇 =�̅�2

2𝑔

𝐿

𝐷𝑓𝐷

(2.13)

A la ecuación anterior se le conoce cómo la pérdida total de carga (altura piezométrica),

debido a que las pérdidas de carga representan la energía mecánica que se transforma en

energía térmica por el efecto del rozamiento, que en el caso de un flujo totalmente

desarrollado a través de un conducto de sección transversal constante depende únicamente

de las características que tenga el flujo.

2.11. Pérdidas mayores

Las pérdidas de carga tienen dimensiones de energía por unidad de masa, cómo se

mostró anteriormente en el análisis de unidades. Y se pueden dividir en pérdidas mayores y

pérdidas menores, como se muestra en la siguiente expresión:

ℎ𝐿𝑇 = ℎ𝐿 + ℎ𝑙𝑚 (2.14)

Y el término ℎ𝐿 corresponde a las pérdidas de cargas mayores correspondientes a las

pérdidas por presión en el tramo de tubería en donde el flujo se encuentra totalmente

desarrollado, debido a que la capa límite en la pared del tubo se hace más gruesa y se

expresa con la siguiente ecuación,

ℎ𝐿 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐

(2.15)

17

2.12. Pérdidas de carga menores

En el caso de las pérdidas menores se debe a que en los problemas de tuberías se

requiere que el flujo pase a través de varios accesorios y esto se refiere a una pieza que

puede unir dos piezas de tubo, cambiar la dirección del flujo, modificar el diámetro de la

línea de tubo, unir dos corrientes, controlar el flujo etc. Y debido a la separación o

desprendimiento del flujo se considera pérdidas adicionales de carga (Fox y McDonald

1989)

Las pérdidas de carga menores se pueden expresar como:

ℎ𝑙𝑚 = 𝑓𝐿𝑒

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐

(2.16)

O ℎ𝑙𝑚 = 𝐾�̅�2

2𝑔𝑐

(2.17)

Donde el coeficiente de pérdida K se determina de modo experimental y sus valores pueden

ser encontrados en el apéndice 1. Además se considera que:

𝐿𝑒 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙í𝑛𝑒𝑎

𝑓 = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛

El diseño inadecuado del acceso de una tubería puede ocasionar una mayor caída de

presión. Los accesorios típicos que se usan en una tubería son:

i. Válvulas

Es un accesorio, que además de conectar tubos se utiliza para controlar la velocidad

del flujo, o para interrumpirlo. El diseño de cada válvula dicta su uso, ya sea como un

dispositivo para controlar la velocidad o para suspender el flujo del fluido. La válvula de

compuerta y la válvula de globo son los dos tipos de válvula más comunes, aunque existen

otros tipos de válvulas éstas son las más usadas en la industria.

18

Figura 2.2.- Vista de sección transversal de las válvulas a) compuerta y b) de globo.

Imagen tomada del libro Foust y col. “Principios de Operaciones Unitarias” Ed.

Continental 1996

ii. Acceso de entrada a la tubería

El acceso a una tubería depende si la entrada tiene esquinas en ángulo recto, y debido a

esto existe una separación del flujo, por el cambio brusco de entrada. Las pérdidas de

energía mecánica son el resultado del mezclado del flujo entrante y de la corriente de éste

conforme el gasto volumétrico cambia. En el apéndice 1 se pueden encontrar las tres

geometrías básicas para el acceso a una tubería

Figura 2.3.- Muestran el aspecto para la descarga de tuberías. Imágenes tomadas del libro

Fox y Mc Donald “Introducción a la Mecánica de Fluidos “8ava edición ed. Wiley, 2011

a)

b)

c)

d)

19

a) Entrada con proyección hacia adentro K=0.78

b) Entrada con esquina aguda K=0.5

c) Entrada ligeramente redondeada K≈0.23

d) Entrada bien redondeada K=0.04

.

iii. Expansiones y contracciones

Las pérdidas para las expansiones o contracciones repentinas de tubos de sección

circular se pueden calcular a través de los coeficientes experimentales mostrados en el

apéndice 1, y se basan en el valor de la energía cinética promedio (�̅�2 2 ⁄ ) más grande. Es

decir, para las pérdidas de expansión súbita se basan en la velocidad de entrada (𝑣1̅̅ ̅2 2 ⁄ ) y

para una contracción repentina se basan en (𝑣2̅̅ ̅2 2 ⁄ ).

Estas pérdidas debidas al cambio de área se pueden reducir con el uso de toberas o

difusores entre las dos secciones.

Figura 2.4.- Muestra los cambios de área para una contracción y una expansión. Imagen

tomadas del libro Fox y Mc Donald “Introducción a la Mecánica de Fluidos “8ava edición

ed. Wiley, 2011.

iv. Salidas de la tubería

La energía cinética promedio (�̅�2 2 ⁄ ) se disipa por completo debido al mezclado del

flujo que se está descargando en un gran depósito. Esto corresponde a un flujo a través de

una expansión abrupta. Se pueden encontrar algunos valores para el coeficiente de pérdidas

(apéndice 1) Se ha demostrado que el uso de un difusor a la salida del tubo ayuda a reducir

el valor de la energía cinética promedio y que las pérdidas se reduzcan.

Figura 2.5. Muestran el aspecto para la descarga de tuberías. Imágenes tomadas del

libro Fox y Mc Donald “Introducción a la Mecánica de Fluidos “8ava edición ed.

Wiley, 2011.

a)

b)

c)

20

a) Tubo saliente K=1.0

b) Borde cuadrado K=1.0

c) Borde redondeada K=1.0

v. Codos

La pérdida de carga de un codo puede ser tan importante como las pérdidas mayores, y

esto se debe al flujo secundario que se presenta y se expresa mediante la longitud

equivalente de tubería rectilínea. Y los valores de la longitud equivalente se han calculado

experimentalmente dependiendo del valor del radio de la curvatura relativa al diámetro del

tubo como se indican en el apéndice 1.

Figura 2.6. Muestran el aspecto más común de codos usados para tuberías, imágenes

tomadas del libro Foust y col. “Principios de Operaciones Unitarias” Ed. Continental 1996

Algunas otras pérdidas pueden estar relacionadas con las rebabas sobrantes al cortar la

tubería, presentando obstrucciones locales al flujo e incrementando de manera considerable

las pérdidas de carga.

Capítulo 3

21

USO DEL BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA

EN UNIDADES INGLESAS

INTRODUCCIÓN

La importancia del estudio del caudal de flujo en un ducto fundamental en la ingeniería,

calcular el caudal, la velocidad del flujo, las caídas de presión, o el coeficiente de fricción

ayudarán a determinar las necesidades de energía para que el fluido circule por la tubería.

Por eso en los siguientes dos capítulos se mostraran 4 ejemplos prácticos de flujo de agua

en tuberías en el sistema inglés por el uso de este sistema en la industria, y en el sistema

internacional por la familiaridad en las unidades. Y así dar un panorama de los

fundamentos para el flujo de fluidos simples en tuberías.

3.1. Ejemplo 1

Fuente: Ejemplo 8.9 Datos tomados de Fox y Mc Donald, Introducción a la mecánica de fluidos, Mc Graw Hill

Segunda edición 1989, México. Pág. 387

Un sistema de protección contra incendios se alimenta desde una torre de agua donde el

nivel de la superficie libre del agua alcanza 80 pies de altura. El tramo de tubería más largo

del sistema es de 600 ft y está hecho de hierro fundido con una vejez aproximadamente de

20 años. El sistema contiene una válvula o compuerta de descarga, pudiéndose despreciar

otras perdidas menores. El diámetro de la tubería es de 4 pulgadas. Determinar el gasto

volumétrico máximo a través del sistema en galones por minuto (gpm).

Figura 3.1.- Sistema de protección contra incendios, Imagen tomada del libro Fox y Mc

Donald “Introducción a la Mecánica de Fluidos “8ava edición ed. Wiley, 2011

Válvula

Tubo

22

Tenemos la ecuación de energía mecánica:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔



𝑀𝑎𝑠𝑎 … (1)

Haciendo las siguientes suposiciones para nuestro problema tenemos que:

① La torre de agua está expuesta al medio ambiente, y la válvula de la compuerta de

descarga también está expuesta al medio ambiente por lo tanto 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 y además

es un fluido incompresible por lo tanto 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒.

②Si realizamos un balance de masa podemos obtener 𝜌1𝑣1̅̅ ̅𝐴1 = 𝜌2𝑣2̅̅ ̅𝐴2 y de la

consideración 1 sabemos que la densidad es constante, y además no hay un cambio en la

sección transversal por lo tanto 𝑣1̅̅ ̅ = 𝑣2̅̅ ̅.

③ La válvula de descarga está totalmente abierta pues queremos un flujo máximo por lo

tanto de la figura 2. Tenemos el valor para 𝐿𝑒

𝐷= 13 (ver apéndice 1)

④No existe un trabajo de flecha realizado por el fluido por lo tanto 𝜔´𝑓 = 0

⑤ Y podemos observar que (𝑧1 − 𝑧2) = ℎ = 80 𝑝𝑖𝑒𝑠

⑥ Por lo tanta concluimos que �̅�2

2𝑔𝑐=

�̅�22

2𝑔𝑐

Reescribiendo la ecuación de energía mecánica tenemos que:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃1

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔


𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚

De tal forma que la ecuación del balance global de energía queda de la siguiente manera:

𝑔

𝑔𝑐(𝑧1 − 𝑧2) −

�̅�2

2𝑔𝑐= 𝑓

𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐+ 13𝑓

�̅�2

2𝑔𝑐

Es decir,

𝑔

𝑔𝑐

(𝑧1 − 𝑧2) =�̅�2

2𝑔𝑐(𝑓

𝐿

𝐷+ 13𝑓) +

�̅�2

2𝑔𝑐

Despejando y factorizando tenemos:

�̅�2

2𝑔𝑐(𝑓

𝐿

𝐷+ 13𝑓 + 1) =

𝑔

𝑔𝑐

(𝑧1 − 𝑧2)

Despejando a �̅�2 de la ecuación tenemos que:

23

�̅� = (2𝑔(𝑧1−𝑧2)

𝑓𝐿

𝐷+13𝑓+1

)

1

2

Suponiendo que toda la tubería tiene el mismo diámetro podemos hacer la siguiente

conversión:

𝐿

𝐷=

(600𝑓𝑡+80𝑓𝑡)

4 𝑖𝑛 y

1𝑓𝑡 = 12 𝑖𝑛 Por lo tanto

𝐿

𝐷=

(600𝑓𝑡 + 80𝑓𝑡)

4 𝑖𝑛 𝑥

12 𝑖𝑛

1𝑓𝑡= 2040

Retomando la suposición ⑤ tenemos que (𝑧1 − 𝑧2) = ℎ = 80 𝑝𝑖𝑒𝑠

Y en el apéndice 1 podemos encontrar con hierro fundido que el valor para ε=0.00085 ft

Por lo tanto encontramos el valor de 𝜀

𝐷 de la siguiente manera:

𝜀

𝐷=

0.00085 ft

4 𝑖𝑛𝑥

12 𝑖𝑛

1𝑓𝑡= 0.00255

Tabla1.- Rugosidad relativa para tubos fabricados de materiales comunes en ingeniería.

Tubería

Rugosidad, ε

Pies (ft) Milímetros (mm)

Acero remachado 0.003-0.03 0.9-9

Concreto 0.001-0.01 0.3-3

Duela de madera 0.0006-0.0030 0.2-0.9

Hierro fundido 0.00085 0.26

Hierro galvanizado 0.0005 0.15

Asfalto de hierro fundido 0.0004 0.12

Acero Comercial o hierro forjado 0.00015 0.046

Tubo estirado 0.000005 0.0015 Datos tomados de Fox y Mc Donald, Introducción a la mecánica de fluidos, Mc Graw Hill Segunda edición 1989,

México.

No se conoce el valor de �̅�2 y por lo tanto no podemos calcular el número de Reynolds ni

el valor del coeficiente de fricción.

Procederemos a resolver el problema de manera numérica sabiendo que el número de

Reynolds se define cómo (ecuación 2.7):

𝑅𝑒 =�̅�𝐷𝜌

𝜇

24

Y de la Fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de

Darcy también conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor 𝑓 que

aparece en la ecuación de Darcy-Weisbach.

La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939) es la siguiente para tubos

rugosos y flujo turbulento (ecuación 2.12):

1

√𝑓= −2 log10 (

𝜀𝐷

3.7+

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

Utilizando el complemento Solver de Excel podemos obtener la siguiente solución.

Tabla 2.- Muestra los valores obtenidos por el complemento de Excel Solver.

Por lo tanto podemos concluir que el gasto volumétrico resulta:

𝑄 = �̅�𝐴 = 𝑣 (𝜋𝐷2

4) = 0.7786 𝑓𝑡3 𝑠⁄

Convirtiéndolo en gpm tenemos que:

𝑄 = 0.79 𝑓𝑡3 𝑠⁄ 𝑥 7.48𝑔𝑎𝑙

𝑓𝑡3𝑥

60 𝑠

𝑚𝑖𝑛= 349.436𝑔𝑝𝑚

Tabla de resultados.

En la siguiente tabla mostraremos los valores obtenidos por Fox y Mc Donald para la

primera iteración con el factor de fricción 𝑓 y encontrar un valor para la velocidad �̅�.

Variable Dimensiones Valor

V (𝑓𝑡/𝑠) 8.94

Re Adimensional 276533.1978

f Adimensional 0.030894401

25

Tabla 3.- Primera iteración Fox y Mc Donald

Variable Dimensiones Valor 𝜺

𝑫⁄ Adimensional 0.005

𝒇 Adimensional 0.03

𝑹𝒆 Adimensional

�̅� 𝑓𝑡 𝑠⁄ 9.07

En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos para la siguiente iteración

comprobando si el valor de 𝑓 obtenido es el correcto. Para obtener el número de Reynolds

𝑅𝑒 y simultáneamente obtener un valor para la velocidad �̅�

Tabla 4.- Segunda iteración Fox y Mc Donald.

Variable Dimensiones Valor 𝜺

𝑫⁄ Adimensional 0.005


𝑹𝒆 Adimensional 2.52 × 105

�̅� 𝑓𝑡 𝑠⁄ 8.93

Una vez obtenidos los valores haremos una comparación de los resultados obtenidos por

Fox y Mc Donald y Solver de Excel.

Tabla 5- Muestra los resultados obtenidos para el problema usando gráficas e iteraciones,

comparado por los resultados obtenidos de forma computacional.

Variable Dimensiones Valor Fox y Mc

Donald

Valor obtenido

Solver

Porcentaje de

Diferencia 𝜺

𝑫⁄ Adimensional 0.005 0.0051 1.96

𝒇 Adimensional 0.031 0.030894401 0

𝑹𝒆 Adimensional 2.52 × 105 2.76 × 105 8.7

�̅� 𝑓𝑡 𝑠𝑒𝑔⁄ 8.93 8.94 0.2

𝑸 𝑔𝑝𝑚 349.7451 349.436 0

Podemos observar que los valores obtenidos no son muy diferentes a los reportados en la

literatura, a pesar de que Fox y Mc Donald utilizan el diagrama de Moody (representación

gráfica en escala doblemente logarítmica del factor de fricción en función del número de

Reynolds y la rugosidad relativa de la tubería 1959). Y en el valor obtenido por el Solver se

utilizó la fórmula de Colebrook-White para tubos rugosos.

26

3.2. Ejemplo 2



Las puntas del aspersor de un sistema de riego agrícola, se alimentan con agua mediante

conductos de 500 ft hechos de aluminio desde una bomba operada por un motor de

combustión interna. En el intervalo de operación de mayor rendimiento la descarga de la

bomba es de 1500 gpm a una presión que no excede de 65 psi. Para una operación

satisfactoria, los aspersores deben operar a 30 psi o a una presión mayor. Las pérdidas

menores y los cambios de nivel en este sistema se pueden despreciar. Determinar el

diámetro de tubería estándar más pequeño que se puede utilizar.

Figura 3.2.- Sistema de riego agrícola operado por un motor de combustión interna. Imagen

tomada del libro Fox y Mc Donald “Introducción a la Mecánica de Fluidos “8ava edición

ed. Wiley, 2011

Para resolver el problema tenemos de datos; ΔP, L y Q. Además las siguientes ecuaciones:

Presión máxima para una operación satisfactoria cumple que:

𝛥𝑃𝑚á𝑥 = 𝑃1 − 𝑃2 = 35 𝑝𝑠𝑖

Y el balance de energía mecánica:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔



𝑀𝑎𝑠𝑎


① Flujo estacionario

② Flujo incompresible 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒

③ Podemos despreciar las pérdidas menores y los cambios de nivel por lo tanto ℎ𝐿𝑇 =

ℎ𝐿 + ℎ𝑙𝑚 en donde ℎ𝑙𝑚 = 0 (pérdidas menores). Entonces:

ℎ𝐿𝑇 = ℎ𝐿 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐

④ Debido a que no hay diferencia de alturas 𝑧1 = 𝑧2

27

⑤ Si realizamos un balance de masa podemos obtener 𝜌1𝑣1̅̅ ̅𝐴1 = 𝜌2𝑣2̅̅ ̅𝐴2 y de la



⑥𝜔´𝑓=0 debido a que no es trabajo de flecha realizado por el fluido, sino que es un

trabajo mecánico entregado por una bomba.

⑦ Se considera que los tubos de aluminio se le conocen como tubos extruidos, esto

significa que 𝜀 = 0 y por lo tanto 𝜀 𝐷⁄ = 0


𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔



𝑀𝑎𝑠𝑎

Por lo tanto el balance global de energía mecánica se reduce a:

𝑃1 − 𝑃2

𝜌= 𝑓

𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐

Es decir

𝛥𝑃 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐𝜌

No conocemos el valor de 𝐷 ni de �̅�2 pero sabemos que las ecuaciones para el área

y del flujo volumétrico relacionan éstas variables, entonces:

𝐴 =𝜋 𝐷2

4

Y el flujo volumétrico está expresado (ecuación 2.6) como:

𝑄 = �̅�𝐴

Por lo tanto

𝑄

𝐴= �̅�

También conocemos la expresión para el número de Reynolds en donde introduce

nuestras incógnitas, y se expresa como (ecuación 2.7):


𝜇

28

Y para obtener el cálculo el factor 𝑓 del factor de fricción se utiliza en hidráulica la

expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939) es la siguiente para tubos


1

√𝑓= −2 log10 (

𝜀𝐷

3.7+

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

Además recordamos nuestras dos restricciones iniciales para que los aspersores

funcionen satisfactoriamente, sus presiones deben de cumplir que:

𝑃1 ≤ 65𝑝𝑠𝑖

𝑃2 ≥ 30𝑝𝑠𝑖

Debido a que tenemos muchas incógnitas y la expresión para el factor de fricción está

implícita, utilizaremos el complemento Solver del Excel para encontrar el diámetro

estándar más pequeño.

Para encontrar la solución necesitamos hacer un cambio de unidades en lo datos del

problema. Entonces tendremos las siguientes conversiones:

𝐿 = 500 𝑓𝑡 ×12 𝑖𝑛

1 𝑓𝑡 = 6000 𝑖𝑛

𝑄 = 1500𝑔𝑎𝑙

𝑚𝑖𝑛×

1 𝑚𝑖𝑛

60 𝑠𝑒𝑔×

231 𝑖𝑛3

1 𝑔𝑎𝑙= 5775

𝑖𝑛3

𝑠𝑒𝑔

𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎(20 °𝐶)= 1.94

𝑠𝑙𝑢𝑔

𝑓𝑡3× 0.01861924

𝑙𝑏𝑚

𝑖𝑛3×

1 𝑙𝑏𝑓

32.17 𝑙𝑏𝑚𝑓𝑡/𝑠2×

1 𝑓𝑡

12 𝑖𝑛

= 9.35688 × 10−5𝑙𝑏𝑓𝑠2

𝑖𝑛4

ʋ𝑎𝑔𝑢𝑎( 20°𝑐)= 1.2 × 10−5

𝑓𝑡2

𝑠𝑒𝑔×

144 𝑖𝑛2

1 𝑓𝑡2= 1.78 × 10−3

𝑖𝑛2

𝑠𝑒𝑔

𝑃1 ≤ 65 𝑝𝑠𝑖

𝑃2 ≥ 30𝑝𝑠𝑖

𝑔𝑐 = 32.2 𝑙𝑏𝑚 𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑓 𝑠2

29

Tabla de resultados

En la siguiente tabla mostraremos los valores obtenidos por Fox y Mc Donald (Segunda

edición 1989),

También se mostrará el resultado con el Solver de Excel .

Tabla 6.-Muestra los valores obtenidos por Fox y Mc Donald para el diámetro y la velocidad

en dos dimensiones comparativas

Tabla 7.- Muestra los valores obtenidos por Fox y Mc Donald para el factor de fricción y el

Reynolds que cumplen la restricción


𝑅𝑒 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 7.01× 105

ƒ 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0.0124

𝑃1 𝑝𝑠𝑖 52.9

𝑃2 𝑝𝑠𝑖 30 𝛥𝑃𝑚𝑎𝑥 ≤ 35 𝑝𝑠𝑖.

Una vez obtenidos los valores haremos una comparación de los resultados obtenidos Solver

de Excel


comparado por los resultados obtenidos de forma computacional y podemos observar que las

presiones toman los valores máximos y mínimos de las restricciones

Variable Dimensiones Valor obtenido Solver

𝒗 (𝑖𝑛/𝑠) 238.31

𝑫 (𝑖𝑛) 5.554

𝑨 (𝑖𝑛²) 24.23

𝑹𝒆 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 7.660 × 105


𝑷𝟏 𝑝𝑠𝑖 65

𝑷𝟐 𝑝𝑠𝑖 30

Podríamos concluir que las diferencias obtenidas se deben a que la solución obtenida por el

Solver es la óptima para cumplir con todas las ecuaciones y con las restricciones en el

intervalo de operación para un mayor rendimiento en el sistema de riego, aunque es

importante mencionar que éste diámetro de tubo no existe en la industria. Por lo tanto

debemos sobre dimensionar nuestro sistema y proponer el diámetro inmediato superior al

encontrado, y en éste caso es de 6.065 D.I.

Variable Dimensiones Valor Dimensiones Valor

𝒗 (𝑖𝑛/𝑠) 199.8 (𝑓𝑡/𝑠) 16.65

𝑫 (𝑖𝑛) 6.065 𝐷(𝑓𝑡) 0.5054

𝑨 (𝑖𝑛²) 28.8902 (𝑓𝑡²) 0.200

30

Por lo tanto proponemos un nuevo sistema de ecuaciones en donde fijaremos el valor del

diámetro al mencionado, y encontraremos cual será la caída de presión en el sistema si de

antemano sabemos que para que se opere satisfactoriamente la bomba los aspersores deben

de operar a 30 psi o a una presión mayor. Pero el hecho de que opere a una presión mayor

conlleva a un mayor gasto energético, por lo tanto fijaremos la presión 2 en 30 psi.

Entonces tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

𝛥𝑃 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐𝜌

𝐴 =𝜋 𝐷2

4

𝑄

𝐴= �̅�


𝜇

1

√𝑓= −2 log10 (

𝜀𝐷

3.7+

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

𝑃1 − 𝑃2 = ∆𝑃𝑚á𝑥

Con nuestras variables: 𝛥𝑃, 𝑓, 𝑃1,𝑅𝑒, �̅�

Nuevamente utilizando el complemento Solver de Excel, planteando nuestro sistema de

ecuaciones y utilizando los datos obtenidos anteriormente nos muestra los siguientes

resultados que serán comparados con los datos obtenidos por los autores.

Tabla 9.- Muestra los valores reales obtenidos por los autores y por el Solver de Excel.


Donald

Valor obtenido

Solver

Porcentaje de

Diferencia (%)

𝑣 (𝑖𝑛/𝑠) 199.8 199.8943 0.4719

𝐷 (𝑖𝑛) 6.065 6.065 0

𝐴 (𝑖𝑛²) 28.8902 28.8902 0

𝑅𝑒 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 7.01 × 105 7.015 × 105 0.0856

ƒ 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0.0124 0.01238 0.1214

𝑃1 𝑝𝑠𝑖 52.9 52.9042 0.0081

𝑃2 𝑝𝑠𝑖 30 30 0

𝛥𝑃𝑚á𝑥 𝑝𝑠𝑖 22.9 22.9042 0.0187

Así podemos concluir que la solución obtenida por los autores es la mejor solución para

que el sistema de riego opere satisfactoriamente, cumpliendo todas las restricciones y

además utilizando el menor diámetro de tubo.

31

3.3. Ejemplo 3

Fuente: Ejemplo 20-3 Datos tomados de, Foust y col “Principio de operaciones unitarias” (modificado) quinta

edición 1996, pág. 548

Una bomba toma agua a 60°F de un gran depósito y la envía al fondo de un tanque

abierto situado a 25 pies por encima de la superficie del depósito, a través de un tubo de 3

in de diámetro interno. La entrada de la bomba está localizada 10 ft por debajo de la

superficie del agua y el nivel del agua en el tanque es constante a una altura de 160 ft por

encima de la superficie del depósito. La bomba suministra 150 gpm (galones por minuto).

Si la pérdida total de energía debida a la fricción en el sistema de tuberías es de 35

𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑚⁄ .

a) Calcular los caballos de potencia requeridos para el bombeo si el conjunto motor-

bomba tiene una η=55%.

b) Calcular el valor de la Longitud equivalente para que se mantenga éste flujo

volumétrico.

c) ¿Cómo podemos disminuir la longitud equivalente del sistema?

160 pies

10 pies

25 pies

1

2

Figura 3.3 Muestra el depósito de agua suministrada a un tanque..

Para poder resolver de manera adecuada nuestro problema debemos plantear correctamente

nuestros planos 1 y 2, para efectuar correctamente el balance de energía. En este caso se

elegirá la superficie del depósito de agua como plano 1 y la superficie del tanque como

plano 2.

Realizado el balance de energía mecánica tenemos que:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔

𝑔𝑐+ 𝜔´𝑓 =

𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔

𝑔𝑐+ ℎ𝐿𝑇

32

Haciendo válidas las siguientes suposiciones:

① Fluido estacionario estacionario e incompresible, por lo tanto 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒.

②Sabemos que el tanque de almacenamiento tiene un venteo a la atmósfera y depósito de

agua también está expuesto a la atmósfera por lo tanto 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚.

③ Si realizamos un balance de masa podemos obtener 𝜌1𝑣1̅̅ ̅𝐴1 = 𝜌2𝑣2̅̅ ̅𝐴2 y de la



④ El depósito de agua se encuentra a 160 ft de altura por lo tanto 𝑧1 − 𝑧2 = 160 𝑓𝑡 ó ℎ =

160 𝑓𝑡.

⑤ Las pérdidas de carga son ℎ𝐿𝑇 = 35 𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑚⁄ .

Reescribiendo nuestro balance de energía tenemos:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔


Acomodando los términos tenemos:

𝜔´𝑓 = (𝑧2 − 𝑧1)𝑔


Sustituyendo términos tenemos:

−𝜔´𝑓 = (160𝑓𝑡)32.1850 𝑓𝑡 𝑠⁄

32.1850𝑙𝑏𝑚𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑓𝑠2⁄+ 35 𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑚⁄

Se puede observar que se obtuvo un trabajo negativo pero esto significa que el trabajo está

siendo realizado por la bomba sobre el fluido.

Por lo tanto

a) 𝜔´𝑓 = 195 𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑚⁄

b) Para calcular la distancia de la longitud equivalente necesitamos las siguientes

ecuaciones :

El flujo volumétrico está expresado como:

𝑄 = �̅�𝐴

Por lo tanto

𝑄

𝐴= �̅�

33

También conocemos la expresión para el número de Reynolds y se expresa como:


𝜇


expresión de la fórmula de Colebrook-White:

1

√𝑓= −2 log10 (

𝜀𝐷

3.7+

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

Además del balance de energía mecánica sabemos que:

ℎ𝐿𝑇 = ℎ𝐿 + ℎ𝑙𝑚 ,

Reescribiéndola de la siguiente manera:

ℎ𝐿𝑇 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐+ 𝑓

𝐿𝑒

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐

Agrupando términos obtenemos:

ℎ𝐿𝑇 = 𝑓�̅�2

2𝐷𝑔𝑐(𝐿 + 𝐿𝑒)

Y podemos encontrar una expresión para la longitud equivalente:

ℎ𝐿𝑇

𝑓�̅�2

2𝐷𝑔𝑐

= (𝐿 + 𝐿𝑒)

Para encontrar el valor de la ecuación anterior utilizaremos el complemento de Excel

Solver para resolver el conjunto de ecuaciones, debido a la expresión del factor de fricción

que se encuentra en forma implícita. A continuación se muestran los resultados:


Re Adimensional 1.57 × 105


𝒗 𝑓𝑡 𝑠⁄ 6.8082

𝑳 + 𝑳𝒆 ft 741.5871

Tabla 10.- Muestra el valor de la longitud equivalente necesaria para cumplir con un gasto volumétrico de

150 gpm con el diámetro de tubería de 3 in.

c) Para disminuir la longitud equivalente del sistema necesitamos disminuir el

diámetro del tubo, o en su defecto aumentar el gasto volumétrico

considerablemente.

35

3.4. Ejemplo 4

Fuente: Ejemplo 20-3 Datos tomados de, Foust y col “Principio de operaciones unitarias” quinta edición

1996. Pág. 555

Se bombea agua desde un recipiente hasta un tanque de almacenamiento que se encuentra

en la parte superior de un edificio, por medio de una bomba centrifuga. Existe una

diferencia de 200 ft de elevación entre las dos superficies de agua. El tubo de entrada en el

recipiente está a 8 ft por debajo de la superficie y las condiciones locales son tales que este

nivel es sustancialmente constante. El tanque de almacenamiento tiene un venteo a la

atmosfera y el nivel del líquido se mantiene constante. El tubo de entrada al tanque de

almacenamiento está a 6 ft por debajo de la superficie. El sistema de tubería consiste en

200ft de tubo de acero Ced.40 de 6 in, conteniendo 2 codos de 90° y una válvula de

compuerta abierta, desde el recipiente hasta la bomba; de ésta sigue un tubo de 6 in para

una longitud de 75 ft, después de la cual el tamaño del tubo se reduce a un tubo de acero de

Ced.40 de 4 in, para 250 ft hasta el tanque. El tubo de 4 in contiene una válvula de

compuerta y 3 codos de 90°. Se desea mantener un flujo de agua hacia el interior del tanque

de 625 gal/min. La temperatura del agua es de 68°F. Si el conjunto motor-bomba tiene una

eficiencia total del 60%, ¿Cuáles serían los costos de bombeo en $/día, si la electricidad

tiene un costo de $0.08/kWh?

200 pies

8 pies

6 pies

2

250 pies céd.40De 4 in. 1 válvula de compuerta y 3 codos de 90°

75 pies céd.40De 6 in y un

reductor 6×4


Figura 3.4.- Bombeo a un tanque de almacenamiento

36

Usaremos como puntos de referencia el punto 1 correspondiente a la superficie del

recipiente y el punto 2, en el líquido del tanque de almacenamiento. Y consideraremos el

plano se referencia a la superficie del recipiente.

De la ecuación de energía mecánica tenemos que:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔


Haciendo las siguientes consideraciones para nuestro problema tenemos que:

① Consideraremos que es un flujo isotérmico por lo tanto la temperatura es constante y

también que es un fluido incompresible por lo tanto 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒.

②Sabemos que el tanque de almacenamiento tiene un venteo a la atmósfera y el tanque de

almacenamiento también está expuesto a la atmósfera por lo tanto 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚.





𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃1

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔


Necesitamos determinar los costos por bombeo por lo tanto la ecuación nos queda de la

siguiente manera:

𝑧1

𝑔

𝑔𝑐− 𝜔´𝑓 = 𝑧2

𝑔


−𝜔´𝑓 = (𝑧2 − 𝑧1)𝑔


En donde

ℎ𝐿𝑇 = ℎ𝐿 + ℎ𝑙𝑚

ℎ𝐿 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐


𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐

Por lo tanto para encontrar el trabajo por bombeo sólo es necesario evaluar la energía

potencial y las pérdidas por fricción.

37

En la ecuación para las pérdidas menores tenemos que considerar todos los tamaños del

tubo, incluyendo todos los accesorios, expansiones y contracciones.

Tenemos que dos tuberías antes de la contracción tienen los siguientes datos:

Tabla 11.- Muestra los datos del problema para el primer tramo de tubería con un diámetro

de 6 in


Diámetro 𝑖𝑛 6

Área seccional interna 𝑓𝑡² 0.200625

Densidad 𝑙𝑏𝑚/𝑓𝑡³ 62.36

Viscosidad cinemática 𝑙𝑏𝑚/𝑓𝑡 0.00067197

Lo primero que debemos calcular es la velocidad promedio, y la podemos obtener de la

siguiente expresión:

𝑄 = �̅�𝐴

𝑄𝐴⁄ = �̅�

Entonces para encontrar el trabajo por bombeo sólo es necesario evaluar la energía


En donde 𝐴 lo podemos encontrar del apéndice C-6ª Para las dimensiones del tubo

convencional y para el diámetro de 6 in obtenemos un valor de 𝐴 = 0.2006 𝑓𝑡2

Por lo tanto la ecuación queda de la siguiente manera:

𝑄 = 625𝑔𝑎𝑙

𝑚𝑖𝑛×

1 𝑚𝑖𝑛

60 𝑠𝑒𝑔×

0.13368 𝑓𝑡3

1 𝑔𝑎𝑙= 1.3925

𝑓𝑡3

𝑠𝑒𝑔

Es decir,

𝑣1̅̅ ̅ =𝑄

𝐴⁄ =1.3925

𝑓𝑡3

𝑠𝑒𝑔

0.2006 𝑓𝑡2 = 6.94080𝑓𝑡

𝑠𝑒𝑔

Para calcular el número de Reynolds tenemos la siguiente expresión:


𝜇

Ahora calculamos las pérdidas de tubería para el tubo de 6 𝑖𝑛 = 6.065 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜

De la ecuación (2.14) tenemos que:



38


𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐+ 𝑓

𝐿𝑒

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐


ℎ𝐿𝑇 = 𝑓�̅�2


Para calcular la longitud equivalente necesitamos conocer todas las pérdidas menores

ocasionadas por los accesorios, en ésta tubería tenemos:

Accesorio 𝑳𝒆𝑫⁄ Cantidad 𝑳𝒆 (𝒇𝒕)

Codo de 90° 30 2 30.125

Válvula de compuerta abierta 13 1 6.5270

Entrada con resistencia debida al ensanchamiento K=0.78 54 1 27.2925

Tabla 12.- Datos fueron tomados de los apéndices C-2b, C-2c, C-2d del libro de Foust et al, “Principio de

Operaciones Unitarias”, Ed. Continental, México 1996

Entonces podemos obtener que:

𝐿1 = 75𝑓𝑡 + 200𝑓𝑡 = 275𝑓𝑡

𝐿𝑒1= 30.125𝑓𝑡 + 6.5270𝑓𝑡 + 27.2925 = 63.9445𝑓𝑡

Y del apéndice C-1 del libro de Foust et al, “Principio de Operaciones Unitarias”, Ed.

Continental, México 1996 podemos obtener el valor de la rugosidad relativa,

𝜀𝐷1

⁄ =0.00015 𝑓𝑡

( 6.065 𝑖𝑛1𝑓𝑡

12𝑖𝑛⁄ )

= 2.9678 × 10−4

Por lo tanto la ecuación para calcular las pérdidas por fricción queda de la siguiente

manera:

ℎ𝐿𝑇1= 𝑓

𝑣1̅̅ ̅2

2𝐷1𝑔𝑐(𝐿1 + 𝐿𝑒1

)

Para calcular 𝑓 necesitamos se utiliza en hidráulica la expresión de la fórmula de

Colebrook-White (1937, 1939) para tubos rugosos y flujo turbulento:

1

√𝑓1

= −2 log10 (

𝜀𝐷1

3.7+

2.51

𝑅𝑒1√𝑓1

)

39

Para la segunda parte de la tubería de 4 . 026 𝑖𝑛 igual suponemos un estado estable, si

realizamos un balance de masa podemos obtener el valor de la velocidad en ésta tubería.

Entonces:

𝜌1𝑣1̅̅ ̅𝐴1 = 𝜌2𝑣2̅̅ ̅𝐴2

Sabemos que la densidad es constante por lo tanto la ecuación nos queda de la siguiente

manera:

𝑣1̅̅ ̅𝐷1 = 𝑣2̅̅ ̅𝐷2

Despejando a 𝑣2̅̅ ̅ de la ecuación tenemos que:

𝑣2(4𝑖𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ =𝑣1(6 𝑖𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅𝐴1(6𝑖𝑛)

𝐴2(4𝑖𝑛)=

(6.94𝑓𝑡

𝑠𝑒𝑔) (0.200625𝑓𝑡2)

(0.0884𝑓𝑡)2=

15.7502𝑓𝑡

𝑠𝑒𝑔

Las áreas se pueden encontrar en Chemical Engineer’s Handbook, V, 11-10 –de las normas

TEMA VI Ed, 1978

Realizaremos los mismos cálculos para la longitud equivalente de pérdidas menores por

accesorios, por lo tanto:

Tabla 13.- Datos fueron tomados de los apéndices C-2b, C-2c, C-2d del libro de Foust et al,

“Principio de Operaciones Unitarias”, Ed. Continental, México 1996

Accesorio 𝑳𝒆𝑫⁄ Cantidad 𝑳𝒆 (𝒇𝒕)

Contracción súbita K=0.24 y 𝐷1

𝐷2⁄ = 0.664 17 1 5.7035

Codo de 90°

30

3

30.195

Válvula de compuerta abierta

13 1 4.3615

Salida con proyección al tubo (expansión súbita del tubo al

tanque) K=1.0

60 1 20.13

Podemos obtener que:

𝐿2 = 250𝑓𝑡

𝐿𝑒2= 5.7035𝑓𝑡 + 30.195𝑓𝑡 + 4.3615𝑓𝑡 + 20.13𝑓𝑡 = 60.39𝑓𝑡

De la misma manera del apéndice C-1 del libro de Foust et al, “Principio de Operaciones

Unitarias”, Ed. Continental, México 1996 podemos obtener el valor de la rugosidad

relativa,

40

𝜀𝐷2

⁄ =0.00015 𝑓𝑡

( 4.026 𝑖𝑛1𝑓𝑡

12𝑖𝑛⁄ )

= 4.47093 × 10−4

En consiguiente la ecuación para calcular las pérdidas por fricción queda de la siguiente

manera:

ℎ𝐿𝑇2= 𝑓

𝑣2̅̅ ̅2


)

Y se usa la misma expresión mencionada antes para calcular 𝑓:

1

√𝑓2

= −2 log10 (

𝜀𝐷2

3.7+

2.51

𝑅𝑒2√𝑓2

)

Para realizar los cálculos anteriores utilizaremos el complemento Solver de Excel con los

siguientes datos y las ecuaciones mencionadas anteriormente.

Tabla 14.- Datos necesarios para utilizar Solver de Excel


𝝆(𝒂𝒈𝒖𝒂 𝟔𝟖°𝑭) 𝑙𝑏𝑚𝑓𝑡3⁄ 62.36

𝝁(𝒂𝒈𝒖𝒂 𝟔𝟖°𝑭) 𝑙𝑏𝑚𝑓𝑡⁄ 0.000671971

𝑫𝟏

𝑓𝑡 0.5054

𝒗𝟏̅̅ ̅ 𝑓𝑡𝑠𝑒𝑔⁄ 6.9408

𝑳𝟏 + 𝑳𝒆𝟏

𝑓𝑡 338.762

𝜺𝑫𝟏

⁄

𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 2.9678 × 10−4

𝑫𝟐

𝑓𝑡 0.3355

𝒗𝟐̅̅ ̅ 𝑓𝑡𝑠𝑒𝑔⁄ 15.7502

𝑳𝟐 + 𝑳𝒆𝟐

𝑓𝑡 310.39

𝜺𝑫𝟐

⁄ 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 4.47093 × 10−4

41

Y los valores obtenidos por el Solver fueron los siguientes:

Tabla 15.- Muestra los valores obtenidos de manera computacional con Solver de Excel.


obtenido por

Foust 1996

Valor

obtenido con

el Solver

Porcentaje de

Diferencia (%)

𝑹𝒆𝟏 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 325000 325536.9901 0.164955171

𝒇𝟏 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0.017 0.016831597 1.000517063

𝒉𝑳𝑻𝟏 𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑚⁄ 8.5 8.443457564 0.66965974

𝑹𝒆𝟐 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 489000 490381.6078 0.281741358

𝒇𝟐 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0.0175 0.017342624 0.907452067

𝒉𝑳𝑻𝟐 𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑚⁄ 62 61.83276144 0.270469175

Como se puede observar el porcentaje de diferencia no es mayor al 1%, por lo tanto

podemos ver que los resultados obtenidos para los costos de bombeo son muy similares a

los presentados en la literatura, por lo tanto recordamos que de nuestro balance de energía

mecánica obtuvimos que:

−𝜔´𝑓 = (𝑧2 − 𝑧1)𝑔


ℎ𝐿𝑇 = ℎ𝐿𝑇1+ ℎ𝐿𝑇2

= 70.276219𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚⁄

Sustituyendo valores:

−𝜔´𝑓 = (200𝑓𝑡)32.1850 𝑓𝑡 𝑠⁄


𝑙𝑏𝑓𝑠2⁄+ 70.276219

𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡𝑙𝑏𝑚

⁄

= 270.276219 𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚⁄

42

Como se puede observar se obtuvo un trabajo negativo pero esto significa que el trabajo

está siendo realizado por la bomba sobre el fluido. Y lo convertimos a potencia de la

siguiente manera :

270.276219 𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚⁄ × (1

ℎ𝑝 𝑚𝑖𝑛

33000 𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑓 ) × (625

𝑔𝑎𝑙

𝑚𝑖𝑛) × (8.34

𝑙𝑏𝑚

𝑔𝑎𝑙) × (

0.746𝑘𝑊ℎ

ℎ𝑝ℎ )

= 31.84775256 𝑘𝑊ℎ/ℎ

Con un 60% de eficiencia para el conjunto motor bomba se que debe satisfacer la siguiente

relación termodinámica:

�̇�′𝑓 =𝜔´𝑓

𝜂𝑡ℎ=

31.84775256 𝑘𝑊ℎ/ℎ

0.6= 53.0795 𝑘𝑊ℎ/ℎ

El costo diario por bombeo es igual a :

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑒𝑜 = 53.0795𝑘𝑊ℎ

ℎ× 0.080 𝑘𝑊ℎ × 24 ℎ 𝑑í𝑎 ⁄ = $101.91264 𝑝𝑜𝑟 𝑑í

Capítulo 4

43

EJEMPLOS PRÁCTICOS

4.1. Ejemplo 1



Un sistema de protección contra incendios se alimenta desde una torre de agua donde el

nivel de la superficie libre del agua alcanza 24.384 m de altura. El tramo de tubería más

largo del sistema es de 182.88 m y está hecho de hierro fundido con una vejez

aproximadamente de 20 años. El sistema contiene una válvula o compuerta de descarga,

pudiéndose despreciar otras perdidas menores. El diámetro de la tubería es de 0.1016 m (4

in). Determinar el gasto volumétrico máximo a través del sistema en galones por minuto

(gpm).

Figura 4.1.- Sistema de protección contra incendios, Imagen tomada del libro Fox y Mc

Donald “Introducción a la Mecánica de Fluidos “8ava edición ed. Wiley, 2011

Tenemos la ecuación de energía mecánica:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔



𝑀𝑎𝑠𝑎 … (1)


① La torre de agua está expuesta al medio ambiente, y la válvula de la compuerta de

descarga también está expuesta al medio ambiente por lo tanto 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 y además

es un fluido incompresible por lo tanto 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒.

Válvula

Tubo

44

②Si realizamos un balance de masa podemos obtener 𝜌1𝑣1̅̅ ̅𝐴1 = 𝜌2𝑣2̅̅ ̅𝐴2 y de la



③ La válvula de descarga está totalmente abierta pues queremos un flujo máximo por lo

tanto de la figura 2. Tenemos el valor para 𝐿𝑒

𝐷= 13 (ver apéndice 1)

④No existe un trabajo de flecha realizado por el fluido por lo tanto 𝜔´𝑓 = 0

⑤ Y podemos observar que (𝑧1 − 𝑧2) = ℎ = 24.384 𝑚

⑥ Por lo tanta concluimos que �̅�2

2𝑔𝑐=

�̅�22

2𝑔𝑐


𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃1

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔


𝑚2

𝑠2

De tal forma que la ecuación del balance global de energía queda de la siguiente manera:

𝑔

𝑔𝑐(𝑧1 − 𝑧2) −

�̅�2

2𝑔𝑐= 𝑓

𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐+ 13𝑓

�̅�2

2𝑔𝑐

Es decir,

𝑔

𝑔𝑐

(𝑧1 − 𝑧2) =�̅�2

2𝑔𝑐(𝑓

𝐿

𝐷+ 13𝑓) +

�̅�2

2𝑔𝑐

Despejando y factorizando tenemos:

�̅�2

2𝑔𝑐(𝑓

𝐿

𝐷+ 13𝑓 + 1) =

𝑔

𝑔𝑐

(𝑧1 − 𝑧2)

Despejando a �̅�2 de la ecuación tenemos que:

�̅� = (2𝑔(𝑧1−𝑧2)

𝑓𝐿

𝐷+13𝑓+1

)

1

2

Suponiendo que toda la tubería tiene el mismo diámetro podemos hacer la siguiente

conversión:

𝐿

𝐷=

207.264 𝑚

0.1016 𝑚 = 2040

Retomando la suposición ⑤ tenemos que (𝑧1 − 𝑧2) = ℎ = 24.384 𝑚

45

Y en el apéndice 1 podemos encontrar con hierro fundido que el valor para 𝜀 = 0.00085𝑓𝑡

ósea

𝜀 = 0.00085𝑓𝑡 ×0.3048 𝑚

1 𝑓𝑡= 0.00025908𝑚

Por lo tanto encontramos el valor de 𝜀

𝐷 de la siguiente manera:

𝜀

𝐷=

0.00025908 m

0.1016 𝑚= 0.00255

Tabla1.- Rugosidad relativa para tubos fabricados de materiales comunes en ingeniería.

Tubería

Rugosidad, ε

Pies (ft) Milímetros (mm)

Acero remachado 0.003-0.03 0.9-9

Concreto 0.001-0.01 0.3-3

Duela de madera 0.0006-0.0030 0.2-0.9

Hierro fundido 0.00085 0.26

Hierro galvanizado 0.0005 0.15

Asfalto de hierro fundido 0.0004 0.12

Acero Comercial o hierro forjado 0.00015 0.046

Tubo estirado 0.000005 0.0015

Datos tomados de Fox y Mc Donald, Introducción a la mecánica de fluidos, Mc Graw Hill Segunda edición 1989,

México.

No se conoce el valor de �̅�2 y por lo tanto no podemos calcular el número de Reynolds ni

el valor del coeficiente de fricción.

Procederemos a resolver el problema de manera numérica sabiendo que el número de

Reynolds se define cómo (ecuación 2.7):


𝜇

Y de la Fórmula usada en hidráulica para el cálculo del factor de fricción de Darcy también

conocido como coeficiente de rozamiento. Se trata del mismo factor 𝑓 que aparece en la ecuación

de Darcy-Weisbach.

La expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939) es la siguiente para tubos rugosos y

flujo turbulento (ecuación 2.12):

46

1

√𝑓= −2 log10 (

𝜀𝐷

3.7+

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

Utilizando el complemento Solver de Excel podemos obtener la siguiente solución.

Tabla 2.- Muestra los valores obtenidos por el complemento de Excel Solver.

Por lo tanto podemos concluir que el gasto volumétrico resulta:

𝑄 = �̅�𝐴 = 𝑣 (𝜋𝐷2

4) = 0.02208157 𝑚3 𝑠⁄

Convirtiéndolo en gpm tenemos que:

𝑄 = 0.02208157𝑚3

𝑠× 60

𝑠

𝑚𝑖𝑛× 264.17205236

𝑔𝑎𝑙

𝑚𝑖𝑛= 350 𝑔𝑝𝑚

Es el mismo resultado obtenido en el sistema inglés.


V (𝑚/𝑠) 2.72

Re Adimensional 276816.92

f Adimensional 0.03089

47

4.2. Ejemplo 2



Las puntas del aspersor de un sistema de riego agrícola, se alimentan con agua mediante

conductos de 152.4 m hechos de aluminio desde una bomba operada por un motor de

combustión interna. En el intervalo de operación de mayor rendimiento la descarga de la

bomba es de 1500 gpm a una presión que no excede de 65 psi (448.16 kPa). Para una

operación satisfactoria, los aspersores deben operar a 30 psi (206.84 kPa) o a una presión

mayor. Las pérdidas menores y los cambios de nivel en este sistema se pueden despreciar.

Determinar el diámetro de tubería estándar más pequeño que se puede utilizar.

Figura 4.2.- Sistema de riego agrícola operado por un motor de combustión interna. Imagen

tomada del libro Fox y Mc Donald “Introducción a la Mecánica de Fluidos “8ava edición

ed. Wiley, 2011

Para resolver el problema tenemos de datos; ΔP, L y Q. Además las siguientes ecuaciones:

Presión máxima para una operación satisfactoria cumple que:

𝛥𝑃𝑚á𝑥 = 𝑃1 − 𝑃2 = 35 𝑝𝑠𝑖 = 157889.942 𝑃𝑎

Y el balance de energía mecánica:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔



𝑀𝑎𝑠𝑎


① Flujo estacionario

② Flujo incompresible 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒

③ Podemos despreciar las pérdidas menores y los cambios de nivel por lo tanto ℎ𝐿𝑇 =

ℎ𝐿 + ℎ𝑙𝑚 en donde ℎ𝑙𝑚 = 0 (pérdidas menores). Entonces:

ℎ𝐿𝑇 = ℎ𝐿 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐

④ Debido a que no hay diferencia de alturas 𝑧1 = 𝑧2

48

⑤ Si realizamos un balance de masa podemos obtener 𝜌1𝑣1̅̅ ̅𝐴1 = 𝜌2𝑣2̅̅ ̅𝐴2 y de la



⑥𝜔´𝑓=0 debido a que no es trabajo de flecha realizado por el fluido, sino que es un

trabajo mecánico entregado por una bomba.

⑦ Se considera que los tubos de aluminio se le conocen como tubos extruidos, esto

significa que 𝜀 = 0 y por lo tanto 𝜀 𝐷⁄ = 0


𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔



𝑀𝑎𝑠𝑎

Por lo tanto el balance global de energía mecánica se reduce a:

𝑃1 − 𝑃2

𝜌= 𝑓

𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐

Es decir

𝛥𝑃 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐𝜌

No conocemos el valor de 𝐷 ni de �̅�2 pero sabemos que las ecuaciones para el área

y del flujo volumétrico relacionan éstas variables, entonces:

𝐴 =𝜋 𝐷2

4

Y el flujo volumétrico está expresado (ecuación 2.6) como:

𝑄 = �̅�𝐴

Por lo tanto

𝑄

𝐴= �̅�

También conocemos la expresión para el número de Reynolds en donde introduce

nuestras incógnitas, y se expresa como (ecuación 2.7):

49


𝜇


expresión de la fórmula de Colebrook-White (1937, 1939) es la siguiente para tubos


1

√𝑓= −2 log10 (

𝜀𝐷

3.7+

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

Además recordamos nuestras dos restricciones iniciales para que los aspersores

funcionen satisfactoriamente, sus presiones deben de cumplir que:

𝑃1 = 65 𝑝𝑠𝑖 ×6894.75729318 𝑃𝑎

1 𝑝𝑠𝑖= 448159.22 𝑃𝑎 = 448.16 𝑘𝑃𝑎

𝑃2 = 30 𝑝𝑠𝑖 ×6894.75729318 𝑃𝑎

1 𝑝𝑠𝑖= 206842.71879535 = 206.84 𝑘𝑃𝑎

𝑃1 ≤ 448.16 𝑘𝑃𝑎

𝑃2 ≥ 206.84𝑘 𝑃𝑎

Debido a que tenemos muchas incógnitas y la expresión para el factor de fricción está

implícita, utilizaremos el complemento Solver del Excel para encontrar el diámetro

estándar más pequeño.

Para encontrar la solución necesitamos hacer un cambio de unidades en lo datos del

problema. Entonces tendremos las siguientes conversiones:

𝐿 = 500 𝑓𝑡 ×0.3048 𝑚

1 𝑓𝑡 = 152.4 𝑚

𝑄 = 1500𝑔𝑎𝑙

𝑚𝑖𝑛×

1 𝑚𝑖𝑛

60 𝑠×

0.00378541

1 𝑔𝑎𝑙= 0.09463529

𝑚3

𝑠

𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎(20 °𝐶)= 1000

𝑘𝑔

𝑚3

ʋ𝑎𝑔𝑢𝑎( 20°𝑐)= 1.114836 × 10−6

𝑚2

𝑠

50

𝑔𝑐 = 9.8 𝑘𝑔 𝑚

𝑁 𝑠2

Tabla de resultados

En la siguiente tabla mostraremos los valores obtenidos por Fox y Mc Donald (Segunda

edición 1989),

También se mostrará el resultado con el Solver de Excel.

Tabla 6.-Muestra los valores obtenidos por Fox y Mc Donald para el diámetro y la velocidad

(convertido en el sistema internacional)

Tabla 7.- Muestra los valores obtenidos por Fox y Mc Donald para el factor de fricción y el

Reynolds que cumplen la restricción 𝛥𝑃𝑚𝑎𝑥 ≤ 241.316𝑘𝑃𝑎.


𝑅𝑒 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 7.01× 105


𝑃1 𝑘𝑃𝑎 364.73

𝑃2 𝑘𝑃𝑎 206.82

𝐴𝑃𝑚𝑎𝑥 = 364.73 𝑘𝑃𝑎 − 206.82 𝑘𝑃𝑎 = 157.91 Por lo tanto se cumple la restricción

de la presión

Una vez obtenidos los valores haremos una comparación de los resultados obtenidos Solver

de Excel


comparado por los resultados obtenidos de forma computacional y podemos observar que las

presiones toman los valores máximos y mínimos de las restricciones

Variable Dimensiones Valor obtenido Solver

𝒗 (𝑚/𝑠) 6.05298

𝑫 (𝑚) 0.1410

𝑨 (𝑚²) 0.01563

𝑹𝒆 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 7.66 × 105


𝑷𝟏 𝑘𝑃𝑎 448.159

𝑷𝟐 𝑘𝑃𝑎 206.84


𝒗 (𝑚/𝑠) 5.0749

𝑫 (𝑚) 0.1540

𝑨 (𝑚²) 0.01863

51

Podríamos concluir que las diferencias obtenidas se deben a que la solución obtenida por el

Solver es la óptima para cumplir con todas las ecuaciones y con las restricciones en el

intervalo de operación para un mayor rendimiento en el sistema de riego, aunque es

importante mencionar que éste diámetro de tubo no existe en la industria. Por lo tanto

debemos sobre dimensionar nuestro sistema y proponer el diámetro inmediato superior al

encontrado, y en éste caso es de 6.065 in D.I. o en el sistema internacional es 0.154051 m

de D.I.

Por lo tanto proponemos un nuevo sistema de ecuaciones en donde fijaremos el valor del

diámetro al mencionado, y encontraremos cual será la caída de presión en el sistema si de

antemano sabemos que para que se opere satisfactoriamente la bomba los aspersores deben

de operar a 206.84 kPa o a una presión mayor. Pero el hecho de que opere a una presión

mayor conlleva a un mayor gasto energético, por lo tanto fijaremos la presión 2 en 206.84

kPa.

Entonces tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

𝛥𝑃 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐𝜌

𝐴 =𝜋 𝐷2

4

𝑄

𝐴= �̅�


𝜇

1

√𝑓= −2 log10 (

𝜀𝐷

3.7+

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

𝑃1 − 𝑃2 = ∆𝑃𝑚á𝑥

Con nuestras variables: 𝛥𝑃, 𝑓, 𝑃1,𝑅𝑒, �̅�

Nuevamente utilizando el complemento Solver de Excel, planteando nuestro sistema de

ecuaciones y utilizando los datos obtenidos anteriormente nos muestra los siguientes

resultados que serán comparados con los datos obtenidos por los autores.

52

Tabla 9.- Muestra los valores reales obtenidos por los autores y por el programa Solver de

Excel.


Donald

Valor obtenido

Solver

Porcentaje de

Diferencia (%)

𝑣 (𝑚/𝑠) 5.0749 5.077 0.041

𝐷 (𝑚) 0.1540 0.1540 0

𝐴 (𝑚²) 0.01863 0.01863 0

𝑅𝑒 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 7.01 × 105 7.015 × 105 0.071

ƒ 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0.0124 0.01238 0.16

𝑃1 𝑘𝑃𝑎 364.732 364.76 0.007

𝑃2 𝑘𝑃𝑎 206. .84 206.84 0

𝛥𝑃𝑚á𝑥 𝑘𝑃𝑎 157.889 157.925 0.022

Así podemos concluir que la solución obtenida por los autores es la mejor solución para

que el sistema de riego opere satisfactoriamente, cumpliendo todas las restricciones y

además utilizando el menor diámetro de tubo.

53

4.3. Ejemplo 3

Fuente: Ejemplo 20-3 Datos tomados de, Foust y col “Principio de operaciones unitarias” (modificado) quinta

edición 1996, pág. 548

Una bomba toma agua a 15.55°C (288.70 K) de un gran depósito y la envía al fondo de

un tanque abierto situado a 7.62 m por encima de la superficie del depósito, a través de un

tubo de 0.0762 m de diámetro interno (3 in D.I). La entrada de la bomba está localizada

3.048 m por debajo de la superficie del agua y el nivel del agua en el tanque es constante a

una altura de 48.768 m por encima de la superficie del depósito. La bomba suministra 150

gpm (galones por minuto). Si la pérdida total de energía debida a la fricción en el sistema

de tuberías es de 10.668 𝑚2 𝑠2⁄ .

d) Calcular los caballos de potencia requeridos para el bombeo si el conjunto motor-

bomba tiene una η=55%.

e) Calcular el valor de la Longitud equivalente para que se mantenga éste flujo

volumétrico.

f) ¿Cómo podemos disminuir la longitud equivalente del sistema?

160 pies

10 pies

25 pies

1

2

Figura 4.3 Bombeo de una cisterna a un tanque.

Para poder resolver de manera adecuada nuestro problema debemos plantear correctamente

nuestros planos 1 y 2, para efectuar correctamente el balance de energía. En este caso se

elegirá la superficie del depósito de agua como plano 1 y la superficie del tanque como

plano 2.

Realizado el balance de energía mecánica tenemos que:

54

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔


Haciendo válidas las siguientes suposiciones:

① Fluido estacionario estacionario e incompresible, por lo tanto 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒.

②Sabemos que el tanque de almacenamiento tiene un venteo a la atmósfera y depósito de

agua también está expuesto a la atmósfera por lo tanto 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚.




④ El depósito de agua se encuentra a 48.768 m de altura por lo tanto 𝑧1 − 𝑧2 = 48.768 𝑚

⑤ Las pérdidas de carga son ℎ𝐿𝑇 = 10.668 𝑚2 𝑠2⁄ .

Reescribiendo nuestro balance de energía tenemos:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔


Acomodando los términos tenemos:

𝜔´𝑓 = (𝑧2 − 𝑧1)𝑔


Sustituyendo términos tenemos:

−𝜔´𝑓 = (48.768 𝑚)9.80665 𝑚 𝑠2⁄

9.80665 𝑘𝑔 𝑚

𝑁 𝑠2⁄+ 10.668 𝑚2

𝑠2⁄

Se puede observar que se obtuvo un trabajo negativo pero esto significa que el trabajo está

siendo realizado por la bomba sobre el fluido.

Por lo tanto

d) 𝜔´𝑓 = 59.436 𝑚2

𝑠2⁄

𝑊 = 1000 𝑘𝑔

𝑚3⁄ × 0.00946353 𝑚3

𝑠⁄ × 59.436 𝑚2

𝑠2⁄ = 562.4743 𝑘𝑊

e) Para calcular la distancia de la longitud equivalente necesitamos las siguientes

ecuaciones :

55

El flujo volumétrico está expresado como:

𝑄 = �̅�𝐴

Por lo tanto

𝑄

𝐴= �̅�

También conocemos la expresión para el número de Reynolds y se expresa como:


𝜇


expresión de la fórmula de Colebrook-White:

1

√𝑓= −2 log10 (

𝜀𝐷

3.7+

2.51

𝑅𝑒√𝑓)

Además del balance de energía mecánica sabemos que:




𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐+ 𝑓

𝐿𝑒

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐


ℎ𝐿𝑇 = 𝑓�̅�2


Y podemos encontrar una expresión para la longitud equivalente:

ℎ𝐿𝑇

𝑓�̅�2

2𝐷𝑔𝑐

= (𝐿 + 𝐿𝑒)

Para encontrar el valor de la ecuación anterior utilizaremos el complemento de Excel

Solver para resolver el conjunto de ecuaciones, debido a la expresión del factor de fricción

que se encuentra en forma implícita. A continuación se muestran los resultados:

Tabla 10.- Muestra el valor de la longitud equivalente necesaria para cumplir con un gasto

volumétrico de 150 gpm con el diámetro de tubería de 0.0762 m.

56


Re Adimensional 1.58 × 105


𝒗 𝑚 𝑠⁄ 2.0751

𝑳 + 𝑳𝒆 m 226.006

Para disminuir la longitud equivalente del sistema necesitamos disminuir el diámetro del

tubo, o en su defecto aumentar el gasto volumétrico considerablemente

57

4.4. Ejemplo 4

Fuente: Ejemplo 20-3 Datos tomados de, Foust y col “Principio de operaciones unitarias” quinta edición

1996. Pág. 555

Se bombea agua desde un recipiente hasta un tanque de almacenamiento que se encuentra

en la parte superior de un edificio, por medio de una bomba centrifuga. Existe una

diferencia de 200 ft de elevación entre las dos superficies de agua. El tubo de entrada en el

recipiente está a 8 ft por debajo de la superficie y las condiciones locales son tales que este

nivel es sustancialmente constante. El tanque de almacenamiento tiene un venteo a la

atmosfera y el nivel del líquido se mantiene constante. El tubo de entrada al tanque de

almacenamiento está a 6 ft por debajo de la superficie. El sistema de tubería consiste en

200ft de tubo de acero Ced.40 de 6 in, conteniendo 2 codos de 90° y una válvula de

compuerta abierta, desde el recipiente hasta la bomba; de ésta sigue un tubo de 6 in para

una longitud de 75 ft, después de la cual el tamaño del tubo se reduce a un tubo de acero de

Ced.40 de 4 in, para 250 ft hasta el tanque. El tubo de 4 in contiene una válvula de

compuerta y 3 codos de 90°. Se desea mantener un flujo de agua hacia el interior del tanque

de 625 gal/min. La temperatura del agua es de 68°F. Si el conjunto motor-bomba tiene una

eficiencia total del 60%, ¿Cuáles serían los costos de bombeo en $/día, si la electricidad

tiene un costo de $0.08/kWh?

58

200 pies

8 pies

6 pies

2


75 pies céd.40De 6 in y un

reductor 6×4


Figura 4.4.- Bombeo a un tanque de almacenamiento

Usaremos como puntos de referencia el punto 1 correspondiente a la superficie del

recipiente y el punto 2, en el líquido del tanque de almacenamiento. Y consideraremos el

plano se referencia a la superficie del recipiente.

De la ecuación de energía mecánica tenemos que:

𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃2

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔


Haciendo las siguientes consideraciones para nuestro problema tenemos que:

① Consideraremos que es un flujo isotérmico por lo tanto la temperatura es constante y

también que es un fluido incompresible por lo tanto 𝜌 = 𝑐𝑡𝑒.

59

②Sabemos que el tanque de almacenamiento tiene un venteo a la atmósfera y el tanque de

almacenamiento también está expuesto a la atmósfera por lo tanto 𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚.





𝑃1

𝜌+

�̅�21

2𝑔𝑐+ 𝑧1

𝑔


𝑃1

𝜌+

�̅�22

2𝑔𝑐+ 𝑧2

𝑔


Necesitamos determinar los costos por bombeo por lo tanto la ecuación nos queda de la

siguiente manera:

𝑧1

𝑔

𝑔𝑐− 𝜔´𝑓 = 𝑧2

𝑔


−𝜔´𝑓 = (𝑧2 − 𝑧1)𝑔


En donde

ℎ𝐿𝑇 = ℎ𝐿 + ℎ𝑙𝑚

ℎ𝐿 = 𝑓𝐿

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐


𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐

Por lo tanto para encontrar el trabajo por bombeo sólo es necesario evaluar la energía


En la ecuación para las pérdidas menores tenemos que considerar todos los tamaños del

tubo, incluyendo todos los accesorios, expansiones y contracciones.

Tenemos que dos tuberías antes de la contracción tienen los siguientes datos:

Tabla 11.- Muestra los datos del problema para el primer tramo de tubería con un diámetro

de 6 in

Variable Dimensiones Valor Dimensiones Valor

Diámetro 𝑖𝑛 6 m 0.1524

Área seccional

interna 𝑓𝑡² 0.200625 𝑚2 0.01863

Densidad 𝑙𝑏𝑚/𝑓𝑡³ 62.36 𝑘𝑔/𝑚3 1000

Viscosidad

cinemática 𝑙𝑏𝑚/𝑓𝑡 0.00067197 𝑚2/𝑠 1.007

× 10−6

60

Lo primero que debemos calcular es la velocidad promedio, y la podemos obtener de la

siguiente expresión:

𝑄 = �̅�𝐴

𝑄𝐴⁄ = �̅�

Entonces para encontrar el trabajo por bombeo sólo es necesario evaluar la energía


En donde 𝐴 lo podemos encontrar del apéndice C-6ª Para las dimensiones del tubo

convencional y para el diámetro 0.1524 m (6 in )obtenemos un valor de 𝐴 = 0.01863 𝑚2

Por lo tanto la ecuación queda de la siguiente manera:

𝑄 = 625𝑔𝑎𝑙

𝑚𝑖𝑛×

1 𝑚𝑖𝑛

60 𝑠𝑒𝑔×

0.0038 𝑚3

1 𝑔𝑎𝑙= 0.0396

𝑚3

𝑠

Es decir,

𝑣1̅̅ ̅ =𝑄

𝐴⁄ =0.0396

𝑚3

𝑠

0.01863 𝑚2 = 2.1247𝑚

𝑠

Para calcular el número de Reynolds tenemos la siguiente expresión:


𝜇

Ahora calculamos las pérdidas de tubería para el tubo de 0.1525 𝑚 =

0.153 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜

De la ecuación (2.14) tenemos que:




𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐+ 𝑓

𝐿𝑒

𝐷

�̅�2

2𝑔𝑐


ℎ𝐿𝑇 = 𝑓�̅�2


Para calcular la longitud equivalente necesitamos conocer todas las pérdidas menores

ocasionadas por los accesorios, en ésta tubería tenemos:

61



Entonces podemos obtener que:

𝐿1 = 22.86𝑚 + 60.96𝑚 = 83.82𝑚

𝐿𝑒1= 30.125𝑓𝑡 + 6.5270𝑓𝑡 + 27.2925 = 19.4902 𝑚

Y del apéndice C-1 del libro de Foust et al, “Principio de Operaciones Unitarias”, Ed.

Continental, México 1996 podemos obtener el valor de la rugosidad relativa,

𝜀𝐷1

⁄ =4.572 × 10−5

( 0.1530)= 2.9678 × 10−4

Por lo tanto la ecuación para calcular las pérdidas por fricción queda de la siguiente

manera:

ℎ𝐿𝑇1= 𝑓

𝑣1̅̅ ̅2


)

Para calcular 𝑓 necesitamos se utiliza en hidráulica la expresión de la fórmula de

Colebrook-White (1937, 1939) para tubos rugosos y flujo turbulento:

1

√𝑓1

= −2 log10 (

𝜀𝐷1

3.7+

2.51

𝑅𝑒1√𝑓1

)

Para la segunda parte de la tubería de 0.1022 𝑚 (4 . 026 𝑖𝑛) igual suponemos un estado

estable, si realizamos un balance de masa podemos obtener el valor de la velocidad en ésta

tubería. Entonces:

𝜌1𝑣1̅̅ ̅𝐴1 = 𝜌2𝑣2̅̅ ̅𝐴2

Sabemos que la densidad es constante por lo tanto la ecuación nos queda de la siguiente

manera:

𝑣1̅̅ ̅𝐷1 = 𝑣2̅̅ ̅𝐷2

Despejando a 𝑣2̅̅ ̅ de la ecuación tenemos que:

Accesorio 𝑳𝒆𝑫⁄ Cantidad 𝑳𝒆 (𝒇𝒕) Le (m)

Codo de 90° 30 2 30.125 9.1821

Válvula de compuerta abierta 13 1 6.5270 1.9894

Entrada con resistencia debida al ensanchamiento

K=0.78

54 1 27.2925 8.3187

62

𝑣2(4𝑖𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ =𝑣1(6 𝑖𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅𝐴1(6𝑖𝑛)

𝐴2(4𝑖𝑛)=

(2.1247𝑚𝑠 ) (0.01863 𝑚2)

0.008212𝑚2=

4.8201𝑚

𝑠

Las áreas se pueden encontrar en Chemical Engineer’s Handbook, V, 11-10 –de las normas

TEMA VI Ed, 1978

Realizaremos los mismos cálculos para la longitud equivalente de pérdidas menores por

accesorios, por lo tanto:



Accesorio 𝑳𝒆𝑫⁄ Cantidad 𝑳𝒆 (𝒇𝒕) 𝑳𝒆(𝒎)

Contracción súbita K=0.24 y 𝐷1

𝐷2⁄ = 0.664 17 1 5.7035 1.7384

Codo de 90°

30

3

30.195

9.2034

Válvula de compuerta abierta

13 1 4.3615 1.3293

Salida con proyección al tubo (expansión

súbita del tubo al tanque) K=1.0

60 1 20.13 6.1356

Podemos obtener que:

𝐿2 = 76.2 𝑚

𝐿𝑒2= 1.7384𝑚 + 9.2034 + 1.3293 + 6.1356 = 18.4067𝑚

De la misma manera del apéndice C-1 del libro de Foust et al, “Principio de Operaciones

Unitarias”, Ed. Continental, México 1996 podemos obtener el valor de la rugosidad

relativa,

𝜀𝐷2

⁄ =4.572 × 10−5

( 0.1022 𝑚)= 4.47093 × 10−4

En consiguiente la ecuación para calcular las pérdidas por fricción queda de la siguiente

manera:

ℎ𝐿𝑇2= 𝑓

𝑣2̅̅ ̅2


)

63

Y se usa la misma expresión mencionada antes para calcular 𝑓:

1

√𝑓2

= −2 log10 (

𝜀𝐷2

3.7+

2.51

𝑅𝑒2√𝑓2

)

Para realizar los cálculos anteriores utilizaremos el complemento Solver de Excel con los

siguientes datos y las ecuaciones mencionadas anteriormente.

64

Y los valores obtenidos por el Solver fueron los siguientes:

Tabla 15.- Muestra los valores obtenidos de manera computacional con Solver de Excel.


obtenido por

Foust 1996

Valor

obtenido con

el Solver

Porcentaje de

Diferencia (%)

𝑹𝒆𝟏 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 325000 325536.9901 0.164955171

𝒇𝟏 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0.017 0.016831597 1.000517063

𝒉𝑳𝑻𝟏 𝑚2/𝑠2 8.5 8.443457564 0.66965974

𝑹𝒆𝟐 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 489000 490381.6078 0.281741358

𝒇𝟐 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0.0175 0.017342624 0.907452067

𝒉𝑳𝑻𝟐 𝑚2/𝑠2 62 61.83276144 0.270469175

Como se puede observar el porcentaje de diferencia no es mayor al 1%, por lo tanto

podemos ver que los resultados obtenidos para los costos de bombeo son muy similares a

los presentados en la literatura, por lo tanto recordamos que de nuestro balance de energía

mecánica obtuvimos que:

−𝜔´𝑓 = (𝑧2 − 𝑧1)𝑔


ℎ𝐿𝑇 = ℎ𝐿𝑇1+ ℎ𝐿𝑇2

= 70.276219𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚⁄

Sustituyendo valores:

−𝜔´𝑓 = (200𝑓𝑡)32.1850 𝑓𝑡 𝑠⁄


𝑙𝑏𝑓𝑠2⁄+ 70.276219

𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡𝑙𝑏𝑚

⁄

= 270.276219 𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚⁄

65

Como se puede observar se obtuvo un trabajo negativo pero esto significa que el trabajo

está siendo realizado por la bomba sobre el fluido. Y lo convertimos a potencia de la

siguiente manera :

270.276219 𝑙𝑏𝑓𝑓𝑡

𝑙𝑏𝑚⁄ × (1

ℎ𝑝 𝑚𝑖𝑛

33000 𝑓𝑡 𝑙𝑏𝑓 ) × (625

𝑔𝑎𝑙

𝑚𝑖𝑛) × (8.34

𝑙𝑏𝑚

𝑔𝑎𝑙) × (

0.746𝑘𝑊ℎ

ℎ𝑝ℎ )

= 31.84775256 𝑘𝑊ℎ/ℎ

Con un 60% de eficiencia para el conjunto motor bomba se que debe satisfacer la siguiente

relación termodinámica:

�̇�′𝑓 =𝜔´𝑓

𝜂𝑡ℎ=

31.84775256 𝑘𝑊ℎ/ℎ

0.6= 53.0795 𝑘𝑊ℎ/ℎ

El costo diario por bombeo es igual a :

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑒𝑜 = 53.0795𝑘𝑊ℎ

ℎ× 0.080 𝑘𝑊ℎ × 24 ℎ 𝑑í𝑎 ⁄ = $101.91264 𝑝𝑜𝑟 𝑑í𝑎

Capítulo 5

66

TRANSPORTE HIDRÁULICO DE SÓLIDOS

INTRODUCCIÓN

El transporte de sólidos a través de tubería es ahora una realidad industrial. En todo el

mundo hay muchas instalaciones que dan testimonio de la practicidad, y en la mayoría de

los casos de las ventajas económicas de este tipo de transporte.

Cuando la mezcla de un sólido-líquido se transporta a través de un tubo horizontal, cuatro

condiciones de flujo dependen de las propiedades de los sólidos transportados, las

propiedades del líquido transportador y las características específicas de la tubería. Estas

cuatro condiciones hidrodinámicas son: flujo homogéneo, flujo heterogéneo, lecho móvil y

lecho fijo. Y conocer acerca de estos regímenes de flujo responderán las preguntas

específicas para determinar las características de la suspensión cómo: pérdidas de carga,

velocidades de mezcla, distribución de sólidos entre otros, lo cual se explicará en este

Capítulo.

5.1. Regímenes de flujo típicos en suspensiones

En el transporte mezclas sólido-líquido se observaron diferentes patrones de movimientos

de sólidos, dependiendo de la naturaleza de la suspensión y la condición de flujo

predominante. La turbulencia es uno de los factores más importantes que permiten la

suspensión de los sólidos. Sin embargo, en algunos casos particulares puede presentarse el

régimen de flujo laminar si la concentración de partículas sólidas es muy grande (sobre un

70% - 80% en peso) y por lo tanto la viscosidad del lecho es alta.

En tuberías horizontales éstas podrán convenientemente ser clasificadas de acuerdo a los

cuatro regímenes siguientes:

Flujo homogéneo: Este régimen también se nombra como el flujo simétrico, que se

caracteriza por su distribución uniforme de sólidos alrededor del eje horizontal de la

tubería, aunque no necesariamente es exactamente uniforme. En este régimen, las fuerzas

de elevación, turbulentas y otras son capaces de superar la red fuerzas de cuerpo, así como

la resistencia viscosa de las partículas.

Flujo heterogéneo: Con disminución en la velocidad de la suspensión, la intensidad de la

turbulencia y las otras fuerzas se reducen. Como resultado hay una distorsión del perfil de

concentración, incrementando la deposición de partículas más grandes quedando

contenidas en la parte inferior del tubo. Por lo tanto hay un gradiente de concentración a

través de la sección transversal de la tubería con una mayor concentración de sólidos en la

parte inferior. Este flujo también se llama flujo asimétrico.

67

Flujo de lecho móvil: Este tipo de flujo se lleva a cabo a velocidades de mezcla bajas y en

éste tipo de flujo las partículas sólidas tienden a acumularse en la parte inferior de la

tubería, primero en forma de "lechos" separados y luego como un lecho en movimiento

continuo.

Flujo de lecho estancado: A medida que la velocidad del lecho se reduce aún más, las

partículas inferiores en la suspensión convertido en casi un lecho fijo, que se limita a las

partículas más grandes que caen unas sobre otras (cómo en el lecho móvil). Finalmente, con

la continua reducción en la velocidad de la mezcla y la acumulación de sólidos

concentrados, los aumentos en el gradiente de presión se incrementan muy rápidamente y

se producen obstrucciones en la tubería.

Esta clasificación inicial se perfeccionó por Newitt et al. (1955), Ellis y Round (1963),

Thomas (1964), Shen (1970), y Wicks (1971). Debido a la interrelación entre los tamaños

de partículas y velocidades de deposición, la clasificación original propuesto por Durand ha

sido modificada para cuatro regímenes de flujo en una tubería horizontal.

Figura 5.1 Regímenes de flujos para mezclas heterogéneas en términos de velocidad frente

a la concentración de sólidos (Newitt et al., 1955)

68

Figura 5.2 Regímenes de flujo en mezclas heterogéneas en términos de tamaño de las

partículas contra velocidad media (Shen, 1970)

5.1.1 Flujo de lecho estancado

Cuando la velocidad de flujo en la suspensión es baja, el lecho se espesa. A medida que el

fluido por encima del lecho intenta arrastrar los sólidos, estos tienden a moverse y caer de

nuevo. Las partículas con la menor velocidad de deposición se mueven como una

suspensión asimétrica, mientras que las partículas más gruesas se acumulan en el lecho. A

medida que la velocidad disminuye aún más, la presión para mantener el flujo en

movimiento se vuelve bastante alta y, finalmente, la tubería se bloquea.

La suspensión asimétrica con movimiento se produce por encima de la velocidad de

sedimentación. Esto significa que las partículas más gruesas se "depositan", mientras que

las partículas más finas siguen moviéndose. Ciertas líneas de relaves han exhibido este

fenómeno. De hecho, cuando una planta de proceso se construye con una línea de relaves

demasiado grande para manejar el flujo inicial, el operador puede optar por dejar que la

mezcla se deposite en la parte inferior de la tubería hasta reducir el área de sección

transversal efectiva de la tubería. El movimiento de la suspensión con velocidades bajas

puede eventualmente conducir a la obstrucción de una tubería. Y esto ocasiona una serie de

problemas, tales como la corrosión, desgaste excesivo de la tubería, y la congelación en

climas fríos. En la ingeniería se requiere que la tubería esté diseñada para funcionar a

velocidades más altas de la velocidad de sedimentación.

69

5.1.2 Flujo de lecho móvil

Cuando la velocidad del flujo es baja y hay un gran número de partículas gruesas, el lecho

se mueve como las dunas de arena del desierto. En donde las partículas superiores son

arrastradas junto con el fluido en movimiento por encima del lecho. En consecuencia, las

capas superiores del lecho se mueven más rápido que las capas inferiores en una tubería

horizontal. Si la mezcla se compone de una amplia gama de partículas con diferentes

tamaños y velocidades de sedimentación, el lecho se compondrá por las partículas con la

mayor velocidad de sedimentación. Las partículas con una velocidad de sedimentación

moderada se mantienen en una suspensión asimétrica, y la mayoría de las partículas se

concentraran en la mitad inferior de la tubería, mientras que las partículas de menor

velocidad de sedimentación se mantendrán en movimiento como una suspensión simétrica

5.1.3 Flujo heterogéneo (suspensión mantenida por turbulencia)

A medida que la velocidad del flujo aumenta hasta volverse turbulento, logra mantener más

sólidos en suspensión. En este flujo todas las partículas se mueven en un patrón asimétrico,

las más gruesas se mantienen en la parte inferior de la tubería, cubiertas por capas con

partículas más finas. Muchas partículas pueden golpear la parte inferior de la tubería y

rebotan. El desgaste en la parte inferior de la tubería se debe tomar en cuenta para un

mantenimiento frecuente con el fin de mantener un patrón de desgaste uniforme de la pared

interna de la tubería. Aunque el flujo no es simétrico, desde el punto de vista de consumo

de energía, este régimen puede ser el más económico para el transporte de un cierto flujo

másico de sólidos.

Wilson (1991) llama a todos los flujos de debajo de la “velocidad crítica” (ver en sección

5.2) flujos totalmente depositados y a todos los flujos encina de la “velocidad crítica” flujos

suspendidos completamente. La transición de totalmente depositados a flujos

completamente suspendidos se considera bastante complejo. Debido a que es una transición

en un rango de la velocidad y no una transición abrupta en un solo valor de la velocidad.

70

Figura 5.3 Muestra los cuatro regímenes de flujo en suspensiones para tuberías

horizontales. Tomada de Abulnaga 2002.

5.1.4 Flujo homogéneo (Flujo simétrico a altas velocidades)

Si existen velocidades superiores a 3.3 𝑚 / 𝑠 (10 𝑝𝑖𝑒𝑠 / 𝑠), todos los sólidos pueden

moverse en un patrón simétrico (pero no necesariamente de manera uniforme). A éste flujo

se le conoce como “flujo semihomogéneo” debido su simetría alrededor del eje de la

tubería. El consumo de energía es una relación lineal para la pérdida de carga multiplicada

por la velocidad, y es proporcional al cubo de la velocidad necesaria para superar las

pérdidas por fricción. El consumo de energía en mezclas semihomogéneas para partículas

finas o gruesas puede llegar a ser excesivo para las tuberías a largas distancias. Algunas

mezclas semihomogéneas de partículas finas o ultrafinas también puede ocurrir a

velocidades tan bajas como 1,52 𝑚 / 𝑠 (5 𝑝𝑖𝑒𝑠 / 𝑠).

Una definición de partículas finas y gruesas se explicó Govier y Aziz (1972) citado en

Abulnaga (2012) y propusieron lo siguiente:

Partículas ultrafinas: 𝑑𝑝 < 10 𝜇𝑚 (𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑑𝑒 1250), donde las fuerzas

gravitacionales son insignificantes.

Partículas finas: 10 𝜇𝑚 <𝑑𝑝 <100 μm (𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 1250 < 𝑑𝑝 < 𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 140), por lo

general se encuentran suspendidas pero sujetas a los gradientes de concentración y

las fuerzas gravitacionales.

Partículas de tamaño medio: 100 𝜇𝑚 <𝑑𝑝 <1000 μm (𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 240 < 𝑑𝑝 <

𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 15), se moverá con deposición de partículas en la parte inferior de la tubería

sujeta a un gradiente de concentración.

71

Partículas gruesas: 1000 𝜇𝑚 <𝑑𝑝 <10000 𝜇𝑚 (0.039 𝑖𝑛 < 𝑑𝑝 < 0,394 𝑖𝑛).

Estos son rara vez suspendidos totalmente y forman depósitos en la parte inferior de

la tubería.

Partículas ultra gruesas: mayores de 10 𝑚𝑚 (0.4 𝑖𝑛). Estas partículas son

transportadas por el lecho móvil en la parte inferior de la tubería.

72

5.2. Velocidades en transición para suspensiones

Los cuatro regímenes de flujo descritos anteriormente pueden ser representados por un

gráfico del gradiente de presión frente a la velocidad media de la mezcla. La transición de

velocidades se definen como:

𝑉1: Velocidad igual o por encima del lecho, donde la mitad inferior de la tubería es

estacionaria. En la mitad superior de la tubería, algunos sólidos se pueden mover.

𝑉2: Velocidad igual o por encima de la mezcla, donde la mezcla fluye como una suspensión

asimétrica, que forman un lecho móvil con partículas las partículas más gruesas, que se van

asentando en el fondo.

𝑉3 𝑜 𝑉𝐷: Velocidad igual o por encima de la mezcla en donde todas las partículas siguen

moviendo como una suspensión asimétrica y por debajo de esta velocidad los sólidos

comienzan a asentarse y formar un lecho en movimiento. A esta velocidad también se le

conoce cómo “velocidad crítica” es la mínima velocidad de flujo para que no exista

riesgo de depósito y obstrucción de la tubería.

𝑉4: Velocidad igual o por encima en donde todos los sólidos se mueven como una

suspensión simétrica.

Figura 5.4 concepto simplificado de la distribución de partículas en un tubo en función de

la concentración volumétrica de sólidos y su velocidad. Tomada de Abulnaga 2002.

73

La velocidad 𝑉3 es efectivamente la velocidad de deposición, a menudo anteriormente se

conocía como velocidad de Durand para partículas gruesas de tamaño uniforme.

Y depende fundamentalmente de las siguientes variables.

Granulometría de las partículas sólidas

Densidad relativa de las partículas sólidas

Concentración de sólidos en la mezcla.

En la siguiente figura podemos observar porqué se han enfocado en el estudio de las

suspensiones heterogéneas, debido a su comportamiento similar con un fluido simple como

el agua y además es el flujo que presenta menores caídas de presión.

Figura 5.5 Regímenes de velocidad para suspensiones heterogéneas.Tomada

de Abulnaga 2002.

74

5.3 Velocidad de deposición o velocidad de Gradiente de Presión

mínimo (𝑽𝟑 𝒐 𝑽𝑫)

La velocidad de deposición es extremadamente importante porque es la velocidad en donde

gradiente de presión es mínimo. Aunque hay pruebas de que los sólidos comienzan a

ubicarse en velocidades más lentas en mezclas complejas, operadores e ingenieros a

menudo se hace referencia velocidad de deposición como velocidad crítica

Durand y Condolios (1952) derivan de la siguiente ecuación para la arena de tamaño

uniforme y grava:

𝑉𝐷 = 𝐹𝐿 [2𝑔𝐷 (𝜌𝑠 − 𝜌𝐿)

𝜌𝐿 ]

0.5

5.1

Dónde:

𝐹𝐿

= 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐷𝑢𝑟𝑎𝑛𝑑 𝑏𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑦 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

𝑉𝐷

= 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑦 𝑢𝑛 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑜

𝐷 = 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 (𝑒𝑛 𝑚)

𝑔 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 (9.81 𝑚

𝑠)

𝜌𝑠 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 (𝑘𝑔

𝑚3)

𝜌𝐿 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟

El factor 𝐹𝐿 de Durand (1953) se suele representar en un gráfico para los diámetros de

partículas, como se muestra en la siguiente figura. Sin embargo, ya que la mayoría de las

suspensiones son mezclas de partículas de diferentes tamaños, está clasificación se

considera demasiado limitada. Por lo tanto el factor de velocidad de Durand ha sido

mejorado por varios autores. En un esfuerzo para representar las concentraciones más

diluidas, Wasp y col. (1970) propuso que se incluyera una relación entre el diámetro de

partícula y el diámetro de la tubería. Por lo tanto propuso un nuevo factor 𝐹𝐿′ modificado y

por lo tanto la ecuación para la velocidad de deposición será:

𝑣𝐷 = 𝐹𝐿′ (𝑑

𝐷)

16

[2𝑔𝐷 (𝜌𝑠 − 𝜌𝐿)

𝜌𝐿 ]

0.5

5.2

75

Figura 5.6 El factor de velocidad de Durand vs partículas de tamaño para

concentración de suspensiones individuales y la ecuación de Schiller usando una

malla 𝑑50 para una suspensión graduada.

Newitt, Richardson, Abbott & Turtle correlations (1955): Mientras que el trabajo de

Durand y Condolios (1952) se centró en el coeficiente de arrastre para arena y grava, las

ecuaciones de Newitt y col (1955) y Wilson (1942) se centraron en la velocidad final. Por

lo tanto Newitt y col. Prefiere expresar la velocidad de transición entre el lecho móvil y el

flujo heterogéneo en términos de la velocidad máxima de las partículas.

𝑣𝐷 = 17 𝑉𝑡 5.3

Donde 𝑉𝑡 es la velocidad terminal.

Correlación de Zandi and Govatos (1967): Zandi y Govatos extendieron la obra de Durand

a otros sólidos y a diferentes mezclas. Y definieron un número índice cómo:

𝑁𝑒 =𝑉2𝐶𝐷

0.5

𝐶𝑣𝐷𝑔 (𝜌𝑠

𝜌𝐿− 1)

5.4

76

El valor crítico en la transición de lecho móvil a flujo turbulento encontramos el valor de

𝑁𝑒 = 40. Esto se refiere que si 𝑁𝑒 < 40 se encuentra en un flujo de lecho móvil. Y si 𝑁𝑒 >

40, entonces se desarrolla en un flujo heterogéneo. Por lo tanto sustituyendo el valor

crítico de Newitt en la expresión para la velocidad de deposición tendremos que:

𝑣𝐷 = [40 𝐶𝑣 𝑔𝐷 (

𝜌𝑠

𝜌𝐿− 1)

𝐶𝐷0.5 ]

0.5

5.5

Por lo tanto, esta ecuación es una versión modificada de la ecuación propuesta por Durand

y Condolios. Debido a su simplicidad este método sigue siendo utilizado para

concentraciones de menos de 20 % en volumen.

Aproximación de Durand, Condolios y Worster (1970): Los regimens de lecho móvil y

flujo heterogeneo para suspensions se han estudiado más ampliamente en el transporte

hidráulico de sólidos, y la correlación más conocida para el mayor gradiente de presión

debido a la presencia de partículas sólidas en la suspensión es la de Durand, Condolios Y

Woster (1970). Y se escribe cómo:

ф =∆𝑃𝑓 , 𝑠𝑙 − ∆𝑃𝑓𝑤

∆𝑃𝑓𝑤= 𝛺𝐶(√𝐶𝐷

∗ 𝐹𝑟)−1.5

5.6

Dónde 𝛺 es una constante y 𝐶 es la fracción volumétrica de sólidos en la suspensión y 𝐶𝐷∗

es el coeficiente de resistencia a la velocidad de deposición final. El valor que se utilizará

para la constante es incierto y los valores entre 65 y 150 han sido reportados en la literatura

(Abulnaga 2002). Como esta correlación no es aplicable para todos los regímenes de flujo,

los datos experimentales no se pueden utilizar para fijar el valor de la constante. Finalmente

esta correlación no es tan grave, ya que en muchos casos la caída de presión debido a los

sólidos es únicamente una fracción de la caída de presión total a lo largo de la tubería y los

errores en el valor de ф pueden resultar de menor importancia. El número de Froude para

tubos es un número adimensional que indica la fuerza relativa de la suspensión y las

tendencias de sedimentación de las partículas en la mezcla.

𝐹𝑟 =𝑉2

𝑔 𝐷 (𝑆 − 1)

5.7

Donde 𝑉 es la velocidad de la suspensión, 𝑆 es la gravedad específica expresada con la

relación de la densidad de sólidos entre la densidad del líquido transportador y 𝐷 es el

diámetro de la tubería. El número de Froude es in índice muy útil en el proceso de

77

transferencia de momento entre las partículas y la pared del tubo con respecto a la

transferencia directa de impulso desde el fluido hacia la pared de la tubería

5.4 Correlaciones para la caída de presión de una suspensión en

una tubería

La caída de presión es el parámetro más significativo para el transporte de líquido en una

mezcla sólido líquido o cualquier otra suspensión. El consumo de energía y,

posteriormente, el conjunto de la economía del transporte hidráulico depende de él. Por esta

razón, el diseño de la tubería se basa principalmente en la optimización para la caída de

presión o cualquier variable directamente relacionada con este, que se ve afectado

mayormente a la inversión inicial. Hay un gran número de correlaciones empíricas y semi

empíricas disponibles en la literatura para predecir la caída de presión. La mayoría de estas

ecuaciones se han desarrollado sobre la base de datos experimentales limitados, que

comprenden una dispersión uniforme de partículas o un rango muy moderado de diferentes

concentraciones. Debido a que las correlaciones son empíricas, su aplicación está limitada

en la naturaleza. Estas correlaciones en su gran mayoría son propensas a una gran

incertidumbre en los resultados cuando tu aproximación se aleja de la base de datos

experimentales en las cuales se apoya.

Nuevamente nos basaremos en enfocar las correlaciones al flujo heterogéneo, pues es en

este régimen en donde se produce la menor caída de presión en mezclas para el transporte

hidráulico, debido a que este tipo de flujo se produce cuando las partículas sólidas son

gruesas y de gran densidad y por lo tanto la velocidad media del flujo es tal que permite una

separación parcial entre las partículas sólidas y el líquido. Y podemos suponer que la fase

sólida y líquida se comporta mínimamente por separada. Ya que las partículas se mueven

debido a que están en suspensión, pero también existe un gradiente de densidad con el

líquido. Durand (1950) define las partículas con un tamaño superior a 2 mm para este tipo

de flujo, mientras que Govier y Charles (1977) proponen una velocidad de flujo por debajo

de 0.0015 m/s como criterio. Sin embargo, es importante señalar que los criterios para un

flujo heterogéneo:

a) Las partículas no interactúan químicamente o por medio de cargas eléctricas con el

fluido transportador.

b) Existe una distribución de concentración a través de la sección transversal de la

tubería

c) No se sedimentan todos los sólidos en la parte inferior de la tubería.

Algunos ejemplos para flujo heterogéneo se pueden encontrar en el transporte de arena

gruesa, suspensiones de níquel, suspensiones de hielo y agua y la más conocida es la

mezcla en sólidos de carbón.

Debido a la complejidad del fenómeno, el trabajo teórico se ha dirigido principalmente

hacia suspensiones muy diluidas y para dispersiones de sólidos uniformes, y esto no es de

gran importancia industrial. Es por eso que existe una gran cantidad de trabajo experimental

78

con el objetivo de desarrollar algún tipo de correlación para la predicción de los gradientes

de presión.

En la figura 5.5 pudimos observar que inicialmente el valor en la pérdida de carga

disminuye conforme va incrementando la velocidad del flujo, pasando por un punto

mínimo. Mediante esta observación se establece que la velocidad en este punto mínimo

coincide con la aparición de sólidos suspendidos en la parte superior de la tubería que son

arrastrados por el cambio de velocidad entre un flujo de lecho fijo a un flujo heterogéneo

como se ha mencionado anteriormente. En la figura 5.7 se puede observar que no siempre

se mostraran gradientes de presión mínimos.

79

La mayoría de los intentos hasta la fecha se han dirigido a desarrollar una relación para la

predicción de la pérdida de carga cuando la velocidad está por encima del punto crítico. En

la siguiente tabla se muestra las ecuaciones propuestas para tal predicción. En general,

después de Wilson (..) los investigadores han asumido que el gradiente de energía requerida

para mantener el flujo de una suspensión se compone de dos partes. En primer lugar, el

gradiente de energía necesaria para mantener el flujo turbulento del líquido transportador, y

segundo, el gradiente de energía necesaria para mantener las partículas en suspensión. En

consecuencia, el gradiente de energía total estará dado por:

∆ℎ𝑠 = ∆ℎ𝑊 + ∆ℎ𝑝 5.8

Donde ∆ℎ𝑇 es el gradiente de energía (pérdida de carga) para la suspensión y, ∆ℎ𝑊 es la

pérdida de carga para agua sin sólidos de la ecuación de Darcy- Weisbach (expresada en el

capítulo 2) y ∆ℎ𝑝 es la pérdida de energía resultante por los sólidos suspendidos, todo en

metros de agua por metros de tubería (o en el sistema inglés en pies de agua por pies de

tubería, expresada de forma diferente en la tabla 5.1 por diferentes autores.

Cabe destacar que actualmente el alcance de nuestra comprensión del sistema sólido-

líquido es bastante limitado y todos los análisis disponibles se deben de considerar sólo

como un primer pasa hacia un mejor conocimiento en las mezclas sólido –liquido. Por eso

nos basaremos en la primera ecuación propuesta por Durand y Condolios (1952) para el

diseño de nuestra tubería.

80

Tabla 5.1 Ecuaciones para pérdida de carga que rige el flujo heterogéneo.

Año Investigador Ecuación ∆ℎ𝑠

Ecuación Bases de correlación Limitaciones Observaciones

1952 Durand

y

Condolios (a) 𝜙 = 𝐾 [

𝑉2√𝐶𝐷

𝑔𝐷]

−1.5

𝑐𝑣∆ℎ𝑊𝐾 [𝑉2√𝐶𝐷

𝑔𝐷]

−1.5

Experimental (carbón y

arena) 𝑉 > 𝐹𝐿[2𝑔𝐷(𝑆 − 1)]

12

𝜌L es función de Dg y Cv

(1) K no está especificado

(2) Datos se derivan de

S=2.65

(3) FL está dado en forma

de una familia de

curvas para Cv arriba

del 15%

(4) La ecuación (a) se

extiende

arbitrariamente para

producir la ecuación

(b) para incluir el

efecto de la gravedad

específica

1953 Durand (b) 𝜙 = 𝐾𝜓−1.5 𝑐𝑣∆ℎ𝑊𝐾𝜓−1.5

1953 Durand

1954 Worster (c)

√∆ℎ𝑠 − √∆ℎ𝑤

∆ℎ𝑠

=4𝑈𝑡

0.173[𝐶𝑣𝑔𝐷(𝑆 − 1)]0.143

𝑉

−2𝑔√𝐷∆ℎ𝑊

𝑉

__

Análisis y comparación

con datos de "The

Hydraulic Conveying

of Granular Material"

por Turtle (1952)

𝑉

√(𝐷∆ℎ𝑊𝑔 4⁄ )−

𝑉

√(𝐷∆ℎ𝑠𝑔 4⁄ )

√𝑔

< 13

La ecuación original de

Worster es convertida al

presente para su

comparación con otras

ecuaciones

1955 Newitt y col. (d) 𝜙 = 1100

𝑔𝐷

𝑉2

𝑉𝑡

𝑉(𝑆 − 1) 1100𝐶𝑣∆ℎ𝑊

𝑔𝐷

𝑉2

𝑉𝑡

𝑉(𝑆

− 1)

Experimental (arena) 1800𝑔𝐷𝑉𝑡 > 𝑉 > 17𝑉𝑡 Se ofrecen algunos análisis

para justificar la forma de

la ecuación

1961 Bonnington (e) 𝜙 = 150𝜓−1.5

150𝐶𝑣∆ℎ𝑊𝜓−1.5 Reportado Las mismas que Durand No se dan datos para flujo

heterohgéneo.

1962 Koch

(f) 𝜙 = 81𝜓−1.5

81𝐶𝑣∆ℎ𝑊𝜓−1.5 Reportado Las mismas que Durand No se incluye ni trabajo

experimental ni análisis

en este artículo. Es un

artículo de revisión

1962 Wayment y

col. (g) 𝜙 = 𝐴1 + 𝐴2(𝜌𝑠) + 𝐴3(𝑣)

+𝐴4(𝜌𝑠)2 + 𝐴5(𝑣)2

+𝐴6(𝜌𝑠𝑣)

__

Experimental (tizón del

carbón)

Ninguna dada Coeficientes de A1 a A6 son

encontrados por datos

experimentales y son

funciones del diámetro de

la tubería

81

1963 Condolios y

Chapus

(h) 𝜙 = 180 [𝑉2√𝐶𝐷

𝑔𝐷]

−1.5

180𝐶𝑣∆ℎ𝑊 [𝑉2√𝐶𝐷

𝑔𝐷]

−1.5

Experimental igual que

Durand

Ninguna dada Los datos aparentemente

son los mismos que los

reportados por Durand

(1953). El efecto de la

gravedad específica no se

incluye.

1963 Ellis y Col.

(i) 𝜙 = 85𝜓−1.5

85𝐶𝑣∆ℎ𝑊𝜓−1.5 Reportado Ninguna dada No se incluye ni trabajo

experimental ni análisis

en este artículo. Es un

artículo de revisión

1963 Ellis y

Round. (j) 𝜙 = 385𝜓−1.5 385𝐶𝑣∆ℎ𝑊𝜓−1.5 Experimental

(suspensión níquel-

agua)

Ninguna __

1964 Babcock (k) 𝜙 = 85𝜓−1.5 81𝐶𝑣∆ℎ𝑊𝜓−1.5 Reportado Ninguna Es un artículo de revisión

1967 Zandi y

Govatos (l) 𝜙 = 6.3𝜓−0.35

𝜙 = 283𝜓−1.93

__ Análisis para la

mayoría de los datos

publicados

𝑁𝐼 =𝑉2√𝐶𝐷

𝐶𝑣𝑔𝐷(𝑆 − 1)< 40

Nótese que la primera

ecuación es usada cuando

ψ > 10 y la segunda

cuando

ψ < 10

82

La experiencia para suspensiones con carbón ha demostrado que la correlación empírica de

Durand ha dado un valor para la pérdida de carga que, cuando se añade al valor de la

pérdida de carga por agua simple se predijo con exactitud el gradiente de presión para una

variedad de concentraciones de sólidos y distribuciones de tamaño de partícula. Las

pérdidas de carga debidas a cada fracción de sólido se sumaron para producir una pérdida

de carga total para la porción heterogénea de la suspensión y está dado por la siguiente

expresión:

∆𝐻𝑇 − ∆𝐻𝑤

∆𝐻𝑤 𝐶𝑣= 80 [(

𝑉2

𝑔𝐷) (

𝜌𝑤

(𝜌𝑠 − 𝜌𝑤)) √𝐶𝐷]

−1.5

5.9

Un problema importante en el uso de cualquiera de estas ecuaciones para predecir la

pérdida de carga, es la incapacidad de saber a priori el conjunto de condiciones

determinadas para las variables independientes tales como el diámetro de las partículas, el

diámetro de la tubería, la concentración volumétrica de sólidos, o su densidad específica y

saber que correlación utilizar en la velocidad de deposición.

Es por eso que también nos basaremos en los parámetros propuestos inicialmente por

Durand y Condolios (1952) para su correlación.

5.5 Equipo de bombeo para suspensiones

Se requiere un sistema de bombeo para cualquier instalación de transporte hidráulico de

sólidos a excepción de flujos que fluyen por gravedad. Los tipos de bombas para transporte

de suspensiones son generalmente los mismos que se utilizan para fluidos simples, con

algunas modificaciones. También existen dispositivos específicos, como alimentadores

para la introducción de materiales sólidos o bombas monofásicas en funcionamiento

continuo o discontinuo.

Las bombas centrífugas son las usadas en la mayoría de los sistemas de transporte de

sólidos debido a su fácil funcionamiento y su bajo costo, puede ser utilizado para una

amplia gama de condiciones operativas. Las bombas de pistón son generalmente más caras,

a excepción de que sean utilizadas para caudales muy pequeños (𝑄 = 10 𝑚3/ℎ) . sin

embargo, pueden ofrecer mejoras, las cuales no se puede lograr con bombas centrifugas:

producen una velocidad de flujo cuasi constante a diferentes presiones de bombeo, manejo

de suspensiones a altas concentraciones volumétricas de sólidos, bombeo para pérdidas de

cabeza a más de 100 metros de la columna del líquido, etc.

El área de aplicación de las bombas de diafragma y sistemas de alimentación es altamente

abrasivo y para lechos concentrados, lo que puede justificar su costo más alto que para

bombas de pistón estándar.

83

Las bombas de Jet y sistemas de Gas-Lift pueden convertirse en alternativas económicas

solamente en situaciones específicas, tales como el bombeo subterráneo, la industria del

petróleo (en particular se utilizan sistemas de gas-lift), o en equipos para mezclado. Las

áreas para la aplicación de los principales tipos de bombas en función del tamaño de

partícula se presentan en la figura 5.10 (después de Gandhi y col, 1980). El diagrama

considera bombas centrífugas (de caucho y metal forrado), bombas de desplazamiento

positivo: pistón y émbolo. Y sistemas de alimentación como el método “elevador de agua”.

Figura 5.9. Áreas de aplicación de bombas para suspensiones. (De Gandhi et al,1980. Conf.

Transporte de suspensiones, p. 268. Tomada de Shoko y Rocco 1991)

Una guía sencilla para la selección preliminar de una bomba para el transporte hidráulico

de sólidos se da en la tabla 5.2 (después de Odrowaz-Pieniazek, 1982). Una bomba para un

fluido simple está diseñada para alcanzar la eficiencia energética en condiciones

84

particulares para la tasa de presión de flujo, mientras que las bombas para suspensiones

están diseñadas con estos requerimientos suplementarios:

1. Permitir el paso de partículas o materiales fibrosos sin que existan obstrucciones. Si

una suspensión consiste en partículas con una distribución de tamaño reducido, la

mínima apertura de los canales de la bomba debe exceder el tamaño máximo de las

partículas por un factor de 2 o 3. Este factor es menor para partículas con amplia

distribución de tamaño.

2. Buena resistencia al desgaste de erosión, así como a la corrosión y la cavitación

que son los factores más probables en la presencia de sólidos.

3. Desgaste mínimo por el roce de partículas, que es esencial en algunas aplicaciones

(por ejemplo, bombeo para arcilla donde la rugosidad de las partículas es esencial o

en manejo de producto alimenticio).

4. La capacidad para eliminar cualquier obstrucción.

5. Facilidad de sustitución de los componentes desgastados o dañados.

6. Entregar curvas características, que se recomiendan para la estabilidad de la

operación en el sistema de bomba-tubería.

Un sistema de bomba-tubería es más estable si el ángulo ∅ entre la curva de la tubería y

la curva del bombeo para el flujo es suficientemente grande (Figura 5.11).

El desplazamiento de bombas pistón se dice que son sin condiciones estables porque el

ángulo ∅𝑦 es positivo y muy grande. A bajas velocidades de flujo en el tubo (cerca de

la velocidad de deposición), el ángulo ∅𝐶 puede ser puy pequeño para una bomba

centrífuga o incluso negativo en función de las curvas de bombas y tuberías. Si el

ángulo ∅𝐶 es negativo y podría bloquear la tubería porque el flujo en el tubo excedería

la capacidad de flujo de la bomba.

85

Como resultado, el fluido se desacelera hasta que se produce obstrucción. Sin embargo,

si la curva de la bomba es lo suficientemente inclinada respecto a la horizontal de modo

que ∅𝐶 > 0, la tubería puede operar de forma segura incluso a velocidades de flujo por

debajo de la velocidad de depósito crítica.

Figura 5.10 Curvas de estabilidad de un sistema de bomba-tubería. Tomada de Shoko y

Rocco 1991, pág. 185.

Capítulo 6

86

MODELO PARA DETERMINAR EL

DIÁMETRO ÓPTIMO DE UNA TUBERÍA QUE

TRANSPORTA UNA MEZCLA SÓLIDO-

LÍQUIDO

INTRODUCCIÓN

Se ha mencionado anteriormente que el transporte hidráulico de sólidos en tuberías es de

gran interés para muchas industrias, incluyendo la del petróleo y minerales. El diseño

óptimo de estas tuberías es de gran interés comercial por sus ventajas económicas. Por lo

tanto los autores Taimoor- Rakesh y col (2012) han propuesto una metodología que

determina el diámetro óptimo de una tubería que transporta una mezcla sólido-líquido con

partículas del mismo tamaño. La determinación del diámetro óptimo se asocia con el costo

mínimo dado por la cantidad de flujo másico de sólidos transportados. Esta metodología

también propone la determinación de diámetro óptimo para otras partículas sólidas y

diferente flujo másico de sólido transportado.

Las técnicas convencionales que se usan para la hidráulica en tuberías de fluidos simples,

también son usadas para el análisis y la optimización de la hidráulica de suspensiones en

tuberías.

6.1. Planteamiento del problema

A continuación se realiza una recopilación del problema estudiado por Taimoor- Rakesh y

col (2012). Para la determinación del diámetro óptimo de una tubería de PVC que

transporta una mezcla sólido- líquido.

El transporte de suspensiones están diseñados generalmente en base al consumo específico

de energía requerida, los autores proponen que los datos estimados correspondientes a la

energía mínima específica consumida se toman como óptimos, por lo tanto el costo mínimo

en el diámetro de la tubería estará basado en los costos de del tubo, y en base a los costos

de energía de bombeo. Por lo tanto se hacen las siguientes suposiciones: la dispersión de

partículas es monodispersa (mismo tamaño), la ecuación de Durand (1952) para una mezcla

monodispersa es una aproximación razonables para la predicción en los cálculos para

pérdidas de carga en la suspensión, el factor de fricción se puede obtener mediante la

ecuación propuesta por Wood (1966) que es una ecuación explícita de la ecuación de

Colebrook-White y no se consideran pérdidas menores (debido a válvulas, codos,

desviaciones etc.).

87

6.2. Metodología

En el transporte de suspensiones por tuberías, la energía utilizada debe de ser la suficiente

para superar las pérdidas causadas por los sólidos. Por lo tanto se propone en la

metodología que la determinación del diámetro óptimo estará directamente relacionada con

el tamaño de partículas basadas en las características del sólido, en el costo de la tubería

utilizada debido a su espesor y rugosidad, así como en la potencia de bombeo.

Anteriormente varios investigadores han sugerido métodos para dimensionar una tubería de

transporte de sólidos en base a un mínimo costo. Estos métodos están basados en la

velocidad de deposición, los cuál como hemos estudiado debe de cumplir un rango ya

establecido por los parámetros en la ecuación de Durand. Tal es el caso para la

aproximación del costo anual Total de la tubería Daughery y Franzini (1997), encontraron

que estaba dada por:

𝐶 = 𝑎1𝐷2 +𝑏1

𝐷5

6.1

En donde sólo consideraban el diámetro de la tubería y la rugosidad relativa (ε). Y además

a y b son constantes en función del factor de fricción 𝑓𝐷 (𝑅𝑒 ,𝜀

𝐷). Mientras que Mishra y

Agarwal (1998) han sugerido un método para determinar el tamaño óptimo de las tuberías

que transportan capsulas con modelos enfocados a la caída de presión, el costo de tuberías y

el costo de la cápsula. Ellos propusieron una metodología para el cálculo computacional

para el menor costo total, y en la que se han basado Taimoor – Rakesh y col para encontrar

el diámetro óptimo con el menor costo total anualizado.

La nomenclatura utilizada para el modelo es la siguiente:

Nomenclatura

𝑪𝟏 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑒𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑊𝑎𝑡𝑡 (£

𝑊)

𝑪𝟐 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 (£

𝑁)

𝑪𝒄 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑦 𝑒𝑙 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 (−)

𝑪𝑫 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 (−)

𝑪𝒗 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 (−)

𝑫 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 (𝑚)

𝒅 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 (𝑚)

88

𝒈 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 (𝑚

𝑠2)

𝒉𝒔 𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 (𝑚 "agua"

𝑚 "𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎")

𝒉𝒘 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 (𝑚 "agua"

𝑚 "𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎")

𝑸 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑚3

𝑠)

𝑸𝒘 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑎 (𝑚3

𝑠)

𝑸𝒔 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝑘𝑔

𝑠)

𝑹𝒆 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑦𝑛𝑜𝑙𝑑𝑠 (−)

𝝆 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 (𝑘𝑔

𝑚3)

𝜸 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 (𝑁

𝑚3)

𝑺 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 (−)

𝒕 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 (𝑚)

𝒗𝑫 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 (𝑚

𝑠)

𝝁 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎 (𝑃𝑎 𝑠 )

𝜼 𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 (%)

Subíndices

𝑳 𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑎𝑔𝑢𝑎)

𝒎 𝑀𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎

𝒑 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎

Pérdida de carga por unidad de longitud para suspensiones en tuberías puede ser estimada

mantiene la correlación de Durand (1952) en base a sus parámetros permitidos (Capítulo 5)

para un flujo heterogéneo:

89

𝛥ℎ𝑠

𝐿= 𝛥ℎ𝑤 +

40√𝑔𝐷(𝑆 − 1)1.5𝐶𝑣𝑓

𝑣 𝐶𝑑0.75 [=]

√𝑚2

𝑠2

𝑚𝑠

⁄ =𝑚"𝑎𝑔𝑢𝑎"

𝑚"𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎"

6.2

En donde S es la gravedad específica del sólido y se obtiene con 𝑆 =𝜌𝑠

𝜌𝑙⁄ . Y el término

𝛥ℎ𝑤 es la pérdida de carga por unidad de longitud para un fluido simple se calcula

mediante la ecuación de Bernoulli (Capítulo 2).

𝛥ℎ𝑤

𝐿=

𝑓𝑣2

2𝑔𝐷[=]

𝑚2

𝑠2

𝑚2

𝑠2

=𝑚"𝑎𝑔𝑢𝑎"


6.3

Mientras que el cálculo del factor de fricción está dado por la ecuación de Wood. Utilizado

también en la correlación de Wasp en 1977, que fue una modificación a la ecuación de

Durand para caídas de presión. Se supone inicialmente un flujo turbulento (para Mezclas

Re > 2300)

𝑓 = 4(𝑎 + 𝑏 𝑅𝑒−𝑐)[=]

𝑚

𝑚= 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

6.4

Dónde:

𝑎 = 0.0235 (𝜀

𝐷)

0.225

+ 0.1325 (𝜀

𝐷)

6.5

𝑏 = 22 (𝜀

𝐷)

0.44

6.6

𝑐 = 1.62 (𝜀

𝐷)

0.134

6.7

Y el cálculo para el número de Reynolds se encuentra de la siguiente manera (Capítulo 2):

𝑅𝑒 =𝜌𝐿 𝑣 𝐷

𝜇[=]

𝑘𝑔𝑚3 ×

𝑚𝑠 × 𝑚

𝑁 𝑠𝑚2

= 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

6.8

90

Varios parámetros usados en la ecuación de Durand han sido mencionados en el capítulo 5 ,

tal como la velocidad de deposición (de una densidad y tamaño conocido para un sólido

dado) con concentración de sólidos bajos se puede calcular usando la ecuación de Wasp

(1970) utilizando un factor de 𝐹𝐿′ = 1.87 (Wick 1968):

También llamada como la velocidad critica de una mezcla

𝑣𝐷 = 1.87 (𝑑

𝐷)

16

[2𝑔𝐷 (𝜌𝑠 − 𝜌𝐿)

𝜌𝐿 ]

0.5

[=]√

𝑚2

𝑠2 ×𝑘𝑔𝑚3

𝑘𝑔𝑚3

=𝑚

𝑠

6.9

Y así asumimos una velocidad del flujo con un valor agregado de 0.2 m/s que permite

mantenernos en un régimen de flujo mayor al de lecho móvil y menor a flujo homogéneo.

Entonces:

𝑣[=]𝑣𝐷 + 0.2 =𝑚

𝑠

6.10

Mientras la concentración de sólidos se ha calculado a partir del valor conocido del flujo

másico de sólidos transportados, a partir de la siguiente ecuación:

𝑄𝑠 =𝜋 𝐷2 𝑣 𝐶𝑣𝜌 𝑠

4[=]𝑚2 ×

𝑚

𝑠×

𝑘𝑔

𝑚3=

𝑘𝑔

𝑠

6.11

El flujo volumétrico del fluido transportador está dada por:

𝑄𝐿 =𝜋𝐷2𝒗

4[=]𝑚2 ×

𝑚

𝑠=

𝑚3

𝑠

6.12

Así el flujo volumétrico total en la tubería, es la suma de los caudales individuales del

fluido transportador el flujo másico de sólidos transportados por la densidad de sólidos:

𝑄 =𝑄𝑠

𝜌𝑠+ 𝑄𝐿[=]

𝑘𝑔𝑠

𝑘𝑔𝑚3

⁄ +𝑚3

𝑠=

𝑚3

𝑠

6.13

La concentración volumétrica de sólidos se calcula a partir de la expresión:

𝐶𝑣 =4𝑄𝑠

𝜋 𝑣 𝐷2𝜌𝑠

[=]

𝑘𝑔𝑠

𝑚𝑠

× 𝑚2 ×𝑘𝑔𝑚3

= 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

6.14

La potencia requerida por metro de longitud de la tubería, en términos de la pérdida de

carga de la tubería (W):

𝑃

𝐿=

𝛾𝑚 𝑄 ∆ℎ𝑠

𝜂[=]

𝑘𝑔

𝑚3𝑠2×

𝑚3

𝑠=

𝑘𝑔𝑚

𝑠3=

𝐽

𝑠= 𝑊

6.15

Peso específico de la suspensión:

91

𝛾𝑚 = 𝜌𝑚 𝑔[=]𝑘𝑔

𝑚3×

𝑚

𝑠2[=]

𝑘𝑔

𝑚2𝑠2=

𝑁

𝑚3

6.16

La densidad específica de la mezcla se calcula como una función de la fracción de volumen

de la fase sólida en la tubería (Iraj Zandi 1971):

𝜌𝑚 = (𝐶𝑣 𝜌𝑠) + (1 − 𝐶𝑣)𝜌𝐿 =𝑘𝑔

𝑚3

6.17

El costo anual neto normalizado de la energía por bombeo:

𝐶𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑃 × 𝐶1[=]𝑊 ×£

𝑊𝑎ñ𝑜

=£

𝑎ñ𝑜

6.18

El costo anual neto normalizado de la tubería por Chermisinoff (1998)

𝐶𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 = 𝜋 𝐷 𝑡 𝛾𝑝𝐶2[=]𝑚2 ×𝑁

𝑚3×

£

𝑁=

£


6.19

Mishra y Agrawal (1998) han tomado el espesor del tubo como t en términos del diámetro

de la tubería y el coeficiente Cc (que está dado en los costos anualizados de tuberías):

𝑡 = 𝐶𝑐 𝐷[=]𝑚 6.20

Por lo tanto el costo de la tubería será:

𝐶𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 = 𝜋𝐷2𝐶𝑐𝛾𝑝𝐶2 6.21

El costo anual normalizado de la tubería por longitud total, será dado por:

𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐶𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 + 𝐶𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎[=]£ (𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜) + £(𝑚𝑎𝑛𝑢𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎) 6.22

Por lo tanto el diámetro correspondiente al costo mínimo total de la tubería es función del

costo de bombeo y el costo de la tubería, por lo tanto podemos escribir:

𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹1(𝐷) + 𝐹2(𝐷) 6.23

6.3. Ejemplo de diseño

Se quiere determinar el diámetro óptimo para una tubería que transporta partículas de

aluminio 2mm de tamaño, en un rango para transporte de flujo másico de sólidos desde 50

kg/s hasta 250 kg/s.

92

Los datos utilizados por los autores se muestran en la siguiente tabla, no sabemos con

precisión total si son totalmente correctos, pero basados en sus resultados presentados

obtuvimos lo siguiente:

Tabla 6.1 Muestra los datos necesarios para seguir la metodología que determina el

diámetro óptimo de una tubería que transporta un flujo másico de sólidos determinados,

propuesto por Taimoor-Rakesh y col. (2012).


Diámetro óptimo 𝑚 0.14

Diámetro de partículas 𝑚 0.002

Densidad de las partículas 𝑘𝑔

𝑚3⁄ 4790

Densidad fluido

transportador 𝑘𝑔

𝑚3⁄ 1000

Viscosidad 𝑃𝑎𝑠⁄ 0.001

Velocidad del flujo 𝑚/𝑠 3.1720

Flujo másico de sólidos

transportados 𝑘𝑔

𝑠⁄ 50

Coeficiente de arrastre 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0.1

Constante de gravedad 𝑚/𝑠2 9.81

Gravedad específica 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 4.79

Peso específico del

material de tubería 𝑁/𝑚3 14224

Rugosidad de la tubería 𝑚 1.5 × 10−6

Eficiencia de la bomba % 60

C1 (constante de costo de

bombeo)

£

𝑊𝑎ñ𝑜⁄

0.085


tubería)

£

𝑁 4.9559

CC (constante espesor de

tubería) 𝐴𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 0.0333

Capítulo 6

93

Resultados

Figura 6.1 Variación de los costos para una tubería de PVC en función de su diámetro

óptimo que transporta de partículas de aluminio con un flujo másico de sólidos de 50 kg/s.

0

100

200

300

400

500

600

700

0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24

Co

sto

(£

)

Diámetro del tubo (m)

Cmanufactura(£)

Cmantenimiento(£)

94

Tabla 6.2 Muestra los valores utilizados para la reproducción de la figura 6.1, mostrando

que el costo unitario anualizado corresponde a un diámetro óptimo de 0.14m para la tubería

de PVC.

Diámetro

(m)

Cmanufactura

(£)

Cmantenimiento

(£)

Ctotal

(£)

0.08 47.2 647.8829 695.0829

0.09 59.7375 439.9172 499.6547

0.1 73.75 316.2895 390.0395

0.11 89.2375 237.7681 327.0056

0.12 106.2 185.2171 291.4171

0.13 124.6375 148.5416 273.1791

0.14 144.55 122.0617 266.6117 Diámetro óptimo

0.15 165.9375 102.4054 268.34298

0.16 188.8 87.4779 276.2779

0.17 213.1375 75.9262 289.0637

0.18 238.95 66.8469 305.7969

0.19 266.2375 59.6193 325.8568

0.2 295 53.8058 348.8058

0.21 325.2375 49.0908 374.3283

Con los datos anteriores y siguiendo la metodología presentada obtuvimos los siguientes

costos de mantenimiento y manufactura, y la suma de ambos nos da un costo total de

266.611 £ correspondiente a un diámetro óptimo de 0.14 m con un flujo másico de sólidos

transportados de 50 kg/s. Es importante mencionar que para reproducir estos resultados, la

ecuación utilizada para el cálculo de la densidad de una mezcla fue la siguiente:

𝜌𝑚 = (𝐶𝑣 𝜌𝑠) + (1 − (𝐶𝑣𝜌𝐿)) =𝑘𝑔

𝑚3

6.24

Mostrando inconsistencias adimensionales, además el valor para la densidad de partículas

de aluminio se consideró de 4790 𝑘𝑔/𝑚3, mientras que en el Ápendice 2, podemos

encontrar el valor para la densidad específica del aluminio de 2.7 correspondiente a una

densidad de 2700 𝑘𝑔/𝑚3, y considerar una constante de costo de bombeo de 0.085, lo que

correspondería a un costo de electricidad de 0.009731 £/𝑘𝑊ℎ, lo cual está lejano a un

valor real.

Es por eso que reproduciremos el caso de estudio presentado por Taimoor-Rakesh y col.

(2012) con los valores reales, y haremos una comparación con sus valores presentados.

95

Además de utilizar contantes de costo lejos a los presentados por los mismos autores en

artículos más recientes, lo que conllevan a una solución incorrecta.

6.4. Ejemplo de diseño corregido

Siguiendo la metodología presentada en este capítulo, utilizaremos los siguientes datos para

encontrar el diámetro óptimo para una tubería de PVC que transporta partículas

monodispersas de aluminio de 2 mm.

Tabla 6.3 Muestra los datos necesarios para seguir la metodología que determina el

diámetro óptimo de una tubería que transporta un flujo másico de sólidos determinados,

basado en datos de la literatura.





𝑚3⁄ 2700

Densidad fluido


𝑚3⁄ 1000





𝑠⁄ 50









bombeo)

£

𝑊𝑎ñ𝑜⁄

0.085


tubería)

£

𝑁𝑎ñ𝑜⁄

4.9559



96

En donde el valor obtenido para la constante de costo de bombeo corresponde a:

𝐶1 = 0.0097031 £𝑘𝑊ℎ⁄ × 8760 ℎ𝑟

𝑎ñ𝑜⁄ × 1𝑘𝑊1000 𝑊⁄ = 0.085 £

𝑊𝑎ñ𝑜⁄⁄

6.25

Y el valor para la constante correspondiente al espesor de material para una tubería de

PVC es:

𝐶𝑐 = 0.00660.2⁄ = 0.0333

6.26

Por lo tanto la constante de costo para 100 metros de tubería por unidad del peso del

material es:

𝐶2 =2.95 £ × 100 𝑚

𝜋 × (0.2𝑚)2 × 14224.5 𝑁 𝑚3 × 0.0333⁄= 4.956

£

𝑁

6.27

Y así los costos obtenidos para este problema, para un flujo másico de sólidos

transportados de 50 kg/s muestran que el diámetro óptimo es de 0.27m correspondiente al

mínimo costo unitario anualizado será de 1082.2487 £.

97


que el costo unitario anualizado corresponde a un diámetro óptimo de 0.27 m para la

tubería de PVC.

Diámetro

(m)

Cmanufactura

(£)

Cmantenimiento

(£)

Ctotal

(£)

0.08 47.2 27181.5287 27228.7287

0.09 59.7375 16885.2188 16944.9563

0.1 73.75 11173.8723 11247.6223

0.11 89.2375 7783.42489 7872.66239

0.12 106.2 5655.79544 5761.99544

0.13 124.6375 4257.47294 4382.11044

0.14 144.55 3301.96737 3446.51737

0.15 165.9375 2627.04786 2792.98536

0.16 188.8 2136.57922 2325.37922

0.17 213.1375 1771.3092 1984.4467

0.18 238.95 1493.44115 1732.39115

0.19 266.2375 1278.12318 1544.36068

0.2 295 1108.56925 1403.56925

0.21 325.2375 973.165575 1298.40307

0.22 356.95 863.70157 1220.65157

0.23 390.1375 774.258418 1164.39592

0.24 424.8 700.493382 1125.29338

0.25 460.9375 639.168535 1100.10603

0.26 498.55 587.834032 1086.38403

0.27 537.6375 544.611248 1082.24875 Diámetro óptimo

0.28 578.2 508.041718 1086.24172

0.29 620.2375 476.980239 1097.21774

0.3 663.75 450.518113 1114.26811

0.31 708.7375 427.927282 1136.66478

0.32 755.2 408.619148 1163.81915

0.33 803.1375 392.113872 1195.25137

0.34 852.55 378.017218 1230.56722

0.35 903.4375 366.002926 1269.44043

0.36 955.8 355.799154 1311.59915

0.37 1009.6375 347.177957 1356.81546

0.38 1064.95 339.947057 1404.89706

0.39 1121.7375 333.943354 1455.68085

0.4 1180 329.027767 1509.02777

98

Figura 6.2 Variación de los costos para una tubería de PVC en función de su diámetro

óptimo que transporta de partículas de aluminio(𝜌 = 2700 𝑘𝑔/𝑚3) con un flujo másico de

sólidos de 50 kg/s.

Ahora si consideramos que el costo de la electricidad para bombeo es de 0.16 £𝑘𝑊ℎ⁄

según Taimoor-Rakesh y col. (2014), y corregimos el valor en nuestra metodología

obtenemos que:

𝐶1 = 0.16 £𝑘𝑊ℎ⁄ × 8760 ℎ𝑟

𝑎ñ𝑜⁄ × 1𝑘𝑊1000 𝑊⁄ = 1.4 £


6.28

Y un costo de 900 £ por 100 m de tubería según el fabricante Leo-Pipes para un díametro

de 4 in tenemos que

𝐶2 =900 £ × 100 𝑚

𝜋 × (0.2𝑚)2 × 14224.5 𝑁 𝑚3 × 0.0333⁄= 15.1112

£

𝑁

6.27

Este es el resultado más exacto, pues todos los valores utilizados se han basado en datos

correspondientes de la literatura, por lo tanto el diámetro óptimo para una tubería que

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0.09 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24 0.27 0.3 0.33 0.36 0.39

Co

sto

(£

)


Cmanufactura(£)

Cmantenimiento(£)

Ctotal(£)

99

transporta partículas de aluminio de 2 mm con un flujo másico de sólidos transportados

corresponde a 0.36 m, con un costo total unitario anualizado de 8776.22£. Este valor se

encuentra dentro de los rangos especificados para el uso de la ecuación de Durand y según

la tabla 1.1 en operación existen tuberías con este diámetro.

Figura 6.3 Muestra la variación de los costos para una tubería de PVC en función de su

diámetro óptimo que transporta de partículas de aluminio(𝜌 = 2700 𝑘𝑔/𝑚3) con un flujo

másico de sólidos de 50 kg/s. Los datos obtenidos están basados en las constantes de costos

tomadas de la literatura.

Los resultados de costos se presentan en la siguiente tabla:

-1000

1000

3000

5000

7000

9000

11000

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

Co

sto

(£

)


Cmanufactura(£)

Cmantenimiento(£)

Ctotal(£)

100


que el costo unitario anualizado corresponde a un diámetro óptimo de 0.36 m para la

tubería de PVC.

Diámetro

(m)

Cmanufactura

(£)

Cmantenimiento

(£)

Ctotal

(£)

0.2 900 18258.7876 19158.7876

0.21 992.25 16028.6095 17020.8595

0.22 1089 14225.6729 15314.6729

0.23 1190.25 12752.4916 13942.7416

0.24 1296 11537.5381 12833.5381

0.25 1406.25 10527.4817 11933.7317

0.26 1521 9681.97229 11202.9723

0.27 1640.25 8970.06762 10610.3176

0.28 1764 8367.74595 10131.7459

0.29 1892.25 7856.14511 9748.39511

0.3 2025 7420.29833 9445.29833

0.31 2162.25 7048.21405 9210.46405

0.32 2304 6730.19774 9034.19774

0.33 2450.25 6458.34613 8908.59613

0.34 2601 6226.16594 8827.16594

0.35 2756.25 6028.28349 8784.53349

0.36 2916 5860.22136 8776.22136 Diámetro óptimo

0.37 3080.25 5718.22517 8798.47517

0.38 3249 5599.128 8848.128

0.39 3422.25 5500.24348 8922.49348

0.4 3600 5419.28086 9019.28086

0.41 3782.25 5354.277 9136.527

0.42 3969 5303.54165 9272.54165

0.43 4160.25 5265.61302 9425.86302

0.44 4356 5239.22163 9595.22163

0.45 4556.25 5223.26061 9779.51061

0.46 4761 5216.7612 9977.7612

0.47 4970.25 5218.8725 10189.1225

0.48 5184 5228.84458 10412.8446

0.49 5402.25 5246.01431 10648.2643

0.5 5625 5269.79353 10894.7935

0.51 5852.25 5299.659 11151.909

0.52 6084 5335.14393 11419.1439

0.53 6320.25 5375.83076 11696.0808

0.54 6561 5421.34498 11982.345

0.55 6806.25 5471.34985 12277.5999

0.56 7056 5525.5419 12581.5419

0.57 7310.25 5583.64697 12893.897

0.58 7569 5645.41684 13214.4168

0.59 7832.25 5710.62633 13542.8763

0.6 8100 5779.07068 13879.0707

Ahora vamos a mostrar las diferencias entre los resultados mostrados por Taimoor-Rakesh

y col. Y los obtenidos en este trabajo.

101

Tabla 6.6 Muestra la variación en los datos obtenidos por los autores Taimoor- Rakesh y

col con este trabajo para el diámetro óptimo, y la velocidad de flujo.

Flujo másico

de sólidos

transportados

Diámetro

óptimo

Diámetro

óptimo

Para este

trabajo

Porcentaje

de

diferencia

Velocidad

del flujo

(Taimoor-

Rakesh y

col

2012)

Velocidad

del flujo

(Este

trabajo)

Porcentaje

de

diferencia

(kg/s) (m) (m) (%) (m/s) (m/s) (%)

50 0.14 0.36 61.11111111 3.17 2.927 7.66561514

100 0.19 0.43 55.81395349 3.49 3.093 11.3753582

150 0.23 0.48 52.08333333 3.71 3.2014 13.7088949

200 0.27 0.52 48.07692308 3.9 3.2826 15.8307692

250 0.29 0.56 48.21428571 3.99 3.3597 15.7969925

102

Tabla 6.7 Muestra la variación en los datos obtenidos por los autores Taimoor- Rakesh y

col con este trabajo para la concentración volumétrica de sólidos suspendidos, y los costos

totales unitarios anualizados para cada caso.

Concentración

volumétrica

de sólidos

(Taimoor-

Rakesh y col

2012)

Concentración

volumétrica

de sólidos

(Este trabajo)

Procentaje de

diferencia

Costo Total unitario

anualizado para el

diámetro óptimo

(Taimoor- Rakesh y

col 2012

Costo Total

unitario

anualizado

para el

diámetro

óptimo (Este

trabajo)

(%) (%) (%) £ £

21.3 6.21 70.8450704 266.611 8776.2213

21 8.24 60.7619048 508.5854 12376.2701

20.2 9.58 52.5742574 743.8687 15330.8795

19 10.62 44.1052632 977.4648 17986.0754

19 11.18 41.1578947 1209.2185 20463.6563

Finalmente podemos encontrar que la mayor diferencia es en los resultados de costos

totales unitarios anualizados. Esto se debe a que sus valores utilizados no son congruentes

con lo propuesto en la literatura, y los errores cometidos en la metodología propuesta por

los autores.

103

En la siguiente figura veremos la diferencia de diámetros óptimos para el mismo transporte

másico de sólidos de partículas de aluminio de 2 mm, obtenido por Taimoor- Rakesh y col.

Y los obtenidos en este trabajo.

Figura 6.4 Muestra los diferentes diámetros óptimos para el mismo transporte másico de

partículas de aluminio, determinados por los autores y en este trabajo.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0 50 100 150 200 250 300

Diá

me

tro

óp

tim

o (

m)

Diá

me

tro

óp

tim

o (

m)

Flujo másico de sólidos transportados (kg/s)

Diámetro óptimo vs flujo másico de sólidos transportados

Autores

Este trabajo

Capítulo 7

104

MODELO PARA LA DETERMINACIÓN DEL

DIÁMETRO ÓPTIMO DE UNA TUBERÍA QUE

TRANSPORTA UNA MEZCLA

MONODISPERSA.

Introducción

Basado en el principio de costo mínimo, se ha corregido la metodología desarrollada por

Taimoor- Rakesh y col (2012) para la determinación del diámetro óptimo de una tubería

que transporta una mezcla con distribución de partículas monodispersa. El análisis indica

que el diámetro óptimo aumenta con el aumento del flujo másico de sólidos transportados.

Esta metodología se puede aplicar para obtener el diámetro óptimo de varios tipos de

tubería (acero, hierro, hierro forrado, PVC, etc.) y para el transporte de diferentes partículas

sólidas, siempre y cuando se encuentren en el rango de operación de la ecuación de Durand

para el cálculo de las pérdidas de carga.

7.1. Ejemplo de diseño para el transporte de arenas

Una vez que hemos probado nuestra metodología con un ejemplo de diseño publicado en la

literatura, determinaremos el diámetro óptimo para una tubería de PVC que transporta

partículas ultra finas de arena. El estudio de las partículas de arena ha sido el diseño

experimental más utilizado para el transporte hidráulico de sólidos, y es el que ha dado los

mayores resultados para la creación de las correlaciones para el entendimiento del

comportamiento en las suspensiones (Capítulo 5). Ahora expresaremos nuestros valores de

costo en dólares, ya que de esta manera podemos exponer una mejor propuesta en costos,

que pueda ser comparada a nivel internacional

105

Por lo tanto los datos a utilizar con la metodología presentada en el Capítulo 6 son los

siguientes:





𝑚3⁄ 2650

Densidad fluido


𝑚3⁄ 1000





𝑠⁄ 50









bombeo)

£

𝑊𝑎ñ𝑜⁄

0.11


tubería)

£

𝑁𝑎ñ𝑜⁄

8.2463



Utilizando unas constantes de costo propuestas por Agarwal- Rakesh (1998). Tomando en

cuenta que:

𝐶1 = 0.0125 $𝑘𝑊ℎ⁄ × 8760 ℎ𝑟

𝑎ñ𝑜⁄ × 1𝑘𝑊1000 𝑊⁄ = 0.11 $


7.1

Y que los costos para tubería son:

𝐶2 =457$ × 100 𝑚

𝜋 × (0.2𝑚)2 × 14224.5 𝑁 𝑚3 × 0.0333⁄= 7.6775

£

𝑁

Así los resultados en costos utilizando la metodología propuesta fueron:

Tabla 7.2 Muestra los costos obtenidos usando la metodología del Capítulo 6.

106

Diámetro

(m)

Cmanufactura

($)

Cmantenimiento

($)

Ctotal

($)

0.08 73.12 5608.37088 5681.49088

0.09 92.5425 3483.89903 3576.44153

0.1 114.25 2305.37549 2419.62549

0.11 138.2425 1605.73151 1743.97401

0.12 164.52 1166.66565 1331.18565

0.13 193.0825 878.095932 1071.17843

0.14 223.93 680.90579 904.83579

0.15 257.0625 541.617739 798.680239

0.16 292.48 440.39299 732.87299

0.17 330.1825 365.003804 695.186304

0.18 370.17 307.650111 677.820111

0.19 412.4425 263.203238 675.645738 Diámetro óptimo

0.2 457 228.199084 685.199084

0.21 503.8425 200.240967 704.083467

0.22 552.97 177.634537 730.604537

0.23 604.3825 159.158407 763.540907

0.24 658.08 143.916447 801.996447

0.25 714.0625 131.240527 845.303027

0.26 772.33 120.625151 892.955151

0.27 832.8825 111.682698 944.565198

0.28 895.72 104.112254 999.832254

0.29 960.8425 97.6775451 1058.52005

0.3 1028.25 92.1911 1120.4411

107

Entonces los costos de mantenimiento y manufactura crearan un costo total de la siguiente

manera:

Podemos observar que los costos totales unitarios anualizados presentados son similares a

los presentados por los autores Taimoor- Rakesh y col 2012. Sin embargo ellos presentaban

sus costos en libras, además de varias incongruencias en su trabajo, lo que nos demuestra

que de manera cualitativa esta es la tendencia para la determinación de un diámetro óptimo

que transporta arena (𝜌 = 2650𝑘𝑔

𝑚3). Obteniendo un diámetro óptimo de 0.19 m

relacionado con un costo anualizado de $ 675.64 dólares.

1

501

1001

1501

2001

2501

3001

3501

4001

0.08 0.13 0.18 0.23 0.28

Co

sto

s ($

)

Diámetro óptimo de la tubería (m)

Cmanufactura(£)

Cmantenimiento(£)

Ctotal(£)

108

Y con la variación del flujo másico de sólidos transportados de 50 kg/s, 100 kg/s, 150 kg/s ,

200 kg/s y 250 kg/s obtenemos lo siguiente :

Flujo másico

de sólidos

transportados

Diámetro

óptimo

Velocidad del flujo

(Taimoor-Rakesh

2012)

Fracción

volumétrica de

sólidos

(Taimoor-Rakesh

2012)

Costo total

unitario

anualizado ($)

(kg/s) (m) (m/s) (%) $

50 0.19 2.3711 28.06 675.6457

100 0.24 2.5469 32.65 1073.2516

150 0.27 2.64 37.43 1438.9559

200 0.3 2.7282 39.13 1792.0425

250 0.33 2.8098 39.25 2135.5017

Y así comprobamos que al aumentar el flujo másico de sólidos que se transportan, se ve

directamente relacionado con el incremento de la tubería, y el incremento en la

concentración de sólidos que puede empezar a depositarse. De igual forma un aumento en

el diámetro de la tubería incrementa los costos totales para el sistema, es por eso la

necesidad de encontrar el valor óptimo para cada situación.

Capítulo 8

109

CONCLUSIONES

En este trabajo se analizó en el transporte hidráulico de sólidos en tuberías de PVC, por su

importancia para muchas industrias. Se ha demostrado que este tipo de transporte tiene

grandes ventajas económicas cuándo se obtiene una solución óptima. Y también existen

ventajas ambientales a nivel mundial puesto es más seguro debido a que provoca menos

accidentes de transporte.

Posteriormente, en los primeros tres capítulos, al estudiar cuatro ejemplos para flujo simple

en tuberías, primero en unidades inglesas y posteriormente en unidades internacionales, se

utilizaron conceptos regímenes de flujo y caídas de presión y definiciones como: número de

Reynolds y factor de fricción, entre otros, que son de gran importancia para el análisis de

estos sistemas.

Para explicar el comportamiento de un flujo en una tubería, se introdujeron los conceptos

utilizados en el transporte hidráulico de mezclas que son en principio similares a flujos

simples, adicionando comportamiento de los sólidos. En el capítulo 5 se muestra una

recopilación de correlaciones para cálculos de caída de presión que tomaron como base la

de Durand (1952), para una buena predicción de la conducta que de las suspensiones. En

este trabajo nos enfocamos en la ecuación de Durand debido a su simplicidad matemática.

En el capítulo 6 se analizó el modelo de Taimoor- Rakesh y col. (2012) que consiste en una

mezcla monodispersa con partículas de aluminio 2 mm que se transporta en una tubería de

PVC. Los resultados de los autores se lograron considerando la correlación de Durand

(1952) y se obtuvo un diámetro óptimo de 0.14 m para un transporte másico de sólidos de

50kg/s. Su solución refleja una similitud con respecto a la presentada en la literatura para su

diámetro de tubería. Sin embargo, el trabajo de Taimoor- Rakesh y col. muestra

inconsistencias en valores de la densidad real del aluminio, así como en la relación para la

densidad de la mezcla, además de utilizar contantes de costo lejos a los presentados por los

mismos autores en artículos más recientes, lo que conllevan a una solución incorrecta. En

este trabajo se han hecho las correcciones para el mismo problema, obteniendo un diámetro

óptimo de 0.33 m para el mismo transporte másico de sólidos, considerando un costo de

15£/m en el costo de la tubería y una constante de 1.4 £/W/año para la constante de costo

por bombeo, correspondiente a un costo de energía de 0.16 £/kWh, alcanzando un costo

total de 10542.09 £ de costo unitario anualizado. Se obtuvieron diferentes diámetros

óptimos, para diferentes flujos másicos de sólidos transportados con valores de 50kg/s, 100

kg/s, 150 kg/s, 200 kg/s y 250kg/s. Se presentan los resultados de diferentes diámetros

óptimos dependiendo el flujo másico de sólidos transportados, mostrando un incremento

110

del diámetro óptimo de la tubería, aumentando este flujo y esto conlleva a un aumento en el

costo unitario anualizado del sistema.

Finalmente en el capítulo 7 se utiliza el mismo modelo para el cálculo del diámetro óptimo

en el transporte de arena con una tubería de PVC, debido a la relevancia del uso

experimental de transporte hidráulico de arena para la obtención de las correlaciones

utilizadas en el Capítulo 5. De la misma forma se obtienen diferentes diámetros óptimos

para varios flujos másicos de sólidos transportados como: 50kg/s, 100 kg/s, 150 kg/s, 200

kg/s y 250kg/s. Se presentan los costos en dólares, para fines prácticos los resultados

obtenidos pueden ser de utilidad, pues nos ayudan a tener una idea cercana de los costos de

operación y de mantenimiento para esta tecnología encontrando el costo total mínimo para

diferentes densidades específicas de partículas, diámetro de partículas y flujo másico de

sólidos.

Apéndice A

111

Datos para diseño de equipo

Figura A-1.- Rugosidad relativa en función del diámetro para tuberías de diferentes materiales

(1 in =25. 4 mm) Moody, L.F., Trans. ASME.66, pags 671-84 (1944). Imagen tomada del libro

Foust y col. “Principios de Operaciones Unitarias” Ed. Continental 1996

112

Figura A-2.- Longitud equivalente representativa en diámetro de tubos 𝐿 𝐷⁄ de varias válvulas

y accesorios representativos (Crome Co.). Imagen tomada del libro Foust y col. “Principios de

Operaciones Unitarias” Ed. Continental 1996

*Longitud equivalente exactamente igual a la longitud entre las caras de las bridas o extremos

soldados.

113

Figura A-3.- Longitud equivalente representativa en codos usados convencionalmente. Imagen

tomada del libro Foust y col. “Principios de Operaciones Unitarias” Ed. Continental 1996

Figura A-4.- Resistencia debida al ensanchamiento y contracciones súbitas (Crane Co.).

Imagen tomada del libro Foust y col. “Principios de Operaciones Unitarias” Ed. Continental

1996

Para diversos ensanchamientos y contracciones, se útiliza los valores de K para la geometría

apropiada como se mostro en el capitulo 2, en la sección de pérdidas menores.

114

Figura A-6.- Longitudes equivalentes 𝐿 y 𝐿𝐷⁄ y coeficiente de resistencia K (Crane Co.).

Imagen tomada del libro Foust y col. “Principios de Operaciones Unitarias” Ed. Continental

199

115

Figura A-7 Factor de Fricción en función del número de Reynolds con la rugosidad relativa como parámetro (Moody, L.F, Trans,

ASME,66 pags 671-84 (1944). Imagen tomada del libro Fox y Mc Donald “Introducción a la Mecánica de Fluidos “8ava edición ed. Wiley, 2011

116

Figura A-8 Las dimensiones fueron tomadas de ANSI B36 10-1975. Los números clásicos

de cédula, que se expresan en relación de tamaño, presión externa y esfuerzo longitudinal,

han sudo ampliados en la publicación mencionada. Esta lista sólo incluye a la tubería

clásica “convencional” y “extra pesada”. Imagen tomada del libro Foust y col. “Principios

de Operaciones Unitarias” Ed. Continental 1996.

Apéndice B

117

Gravedades específicas y dureza de minerales

Las siguientes abreviaciones son usadas en la siguiente tabla.

A

B

C

D

E

F

Fp

G

H

J

Amphibole group

Bauxite component

Clay or clay-like

Diopside series

Enstatite group

Feldspar group

Feldspathoid group

Garnet group

Hornblende

Jamesonite

M

O

Ov

P

R

S

Sc

W

Z

Mica group

Orthoclase

Olivine group

Pyroxene

Rare earth group

Spinel group

Scapolite series

Wolframite

Zeolite group

Nombre Descripción o composición Gravedad

específica

Dureza Mohr

Acanthite

Achroite

Ag2S

Colorless tourmaline

7.2–7.3 2–2.5

Acmite

Actinolite

Adularia

NaFe(SiO3)2

Ca2(MgFe)5(Si8O22)(OH)2

Clear orthoclase

3.4–3.6

3.0–3.2

6–6.5

5–6

Aergite Acmite, aegrinine Agate Banded chalcedony Alabandite MnS 4.03.4–4 Alabaster Fine-grained gypsum Albite

Alexandrite

Na(AlSi3O8)

Chrysoberyl, gemstone

Allanite

Allemontite

(Ce,Ca,Y)(Al,Fe)3(SiO4)3(OH)

AsSb

3.5–4.2

5.8–6.2

5.5–6

3–4

Allophane Al2O3·SiO2·nH2O 1.8–1.9 3

Almandite Fe3Al2(SiO4)3, red 4.25 7

Altaite PbTe 8.16 3

Alunite

Amazonstone

KAl3(SO4)2(OH)6

Green microcline

2.6–2.8 4

Amblygonite

Amethyst

(Li,Na)AlPO4(F,OH)

Purple quartz

3.0–3.1 6

118

Nombre Descripción o composición Gravedad específica

Dureza Mohr

Amphibole A group of minerals Analcime Na(AlSi2O6)·H2O 2.27 5–5.5

Anastase TiO2 3.9 5.5–6

Anauxite Silicon-rich kaolinite Andalusite Al2SiO5 3.1–3.2 7.5

Andesine Ab70An30—Ab50An50 2.69 6

Andradite Ca3Fe2(SiO4)3 3.75 7

Anglesite PbSO4 6.2–6.4 3

Anhydrite CaSO4 2.8–3.0 3–3.5

Ankerite Ca(Fe,Mg,Mn)(CO3)2 2.9–3.0 3.5

Annabergite (Ni,Co)3(AsO4)2·8H2O 3.0 3–3.5

Anorthite CaAl2Si2O8 2.76 6

Anorthoclase (Na,K)AlSi3O8 2.58 6

Antigorite Serpentine Antimony Sb 6.7 3

Anterite Cu3SO4(OH)4 3.9 3.5–4

Apatite Ca5(PO4,CO3)3(F,OH,Cl) 3.1–3.2 5

Apophylite KCa4Si8O20(F,OH)·8H2O 2.3–2.4 4.5–5

Aquamarine Green-blue beryl, gemstone Aragonite CaCO3 2.95 3.5–4

Arfvedsonite Na2-3(Fe,Mg,Al)5Si8O22(OH)2 3.45 6

Argentite Ag2S 7.3 2–2.5

Arsenic As 5.7 3.5

Arsenopyrite FeAsS 5.9–6.2 5.5–6

Asbestos A group of minerals Altacamite Cu2Cl(OH)3 3.7–3.8 3–3.5

Augite (Ca,Na)(Mg,Fe,Al)(Si,Al)2(O)6 3.2–3.4 5–6

Aurichalcite (Zn,Cu)5(CO3)2(OH)6 3.2–3.7 2

Autunite Ca(UO2)2(PO4)2·10H2O 3.1–3.2 2–2.5

Awaruite FeNi2 7.7–8.1 5

Axinite (Ca,Mn,Fe)3Al2BSi4O15(OH) 3.2–3.4 6.5–7

Azurite Cu3(CO3)2(OH)2 3.77 3.5–4

Balas ruby Red Spinel, gemstone Barite BaSO4 4.5 3–3.5

Barytes Barite Bastnaesite (Ce,La)(CO3)(F,OH) 4.9–5.2 4–4.5

Bauxite Aluminum hydroxide mixture Beidellite Al8(Si4O10)3(OH)12·12H2O 2.6 1.5

Bentonite Montmorillonite clay Beryl

Biotite

Be3Al2(Si6O18)

K(Mg,Fe2+)3(Al,Fe3+)Si3O10(OH)12

2.7–2.8

2.8–3.2

7.5–8

2.5–3

Bismite Bi2O3 8 4.5

Bismuth Bi 9.8 2–2.5

Black Jack Sphalerite Blende Sphalerite Bloodstone Heliotrope Blue vitriol Chalcanthite Boehmite AlO(OH) 3.0–3.1 Boracite Mg3B7O13Cl 2.9–3.0 7

Borax

Bornite

Boulangerite

Boumonite

Brannerite

Braunite

Na2B4O7·10H2O

Cu5FeS4

Pb5Sb4S11

PbCuSbS3

(U,Ca,Ce)(Ti,Fe)2O6

3Mn2O3·MnSiO3

1.7

5.0–5.1

6–6.3

5.8–5.9

4.5–5.4

4.8

2–2.5

3

2.5–3

2.5–3

4.5

6–6.5

Bravoite (Ni,Fe)S2 4.66 5.5–6

Brochantite

Bromyrite Cu4(OH)6SO4

Ag(Br,Cl)—Br,Cl

3.9

6–6.5

3.5–4

2.5

Bronzite

Brookite

Brucite

(Mg,Fe)SiO3

TiO2

Mg(OH)2

3.1–3.3

3.9–4.1

2.39

5.5

5.5–6

2.5

119

Descripción o composición Gravedad

específica

Dureza Mohr

Bytownite

Caimgom Ab30An70-Ab10An90

Quartz, black/smoky

2.74 6

Calamine Hemimorphite Calaverite AuTe2 9.35 2.5

Calcite CaCO3 2.73 3

Calomel Hg2Cl2 7.2 1.5

Cancrinite (Fp) (Na2,Ca)4(AlSiO4)6CO3nH2O 2.45 5–6

Carnalite KMgCl3·6H2O 1.6 1.0

Carnolite

Cassiterite

Cat’s eye

K(UO2)2(VO4)2·3H2O

SnO2

Chrysoberyl or quartz, gemstone

4.1

6.8–7.1

soft

6–7

Celestite

Celsian (F)

SrSO4

BaAl2Si2O8

3.9–4.0

3.37

3–3.5

6

Cerargyrite Ag(Cl,Br)—Cl, Br 5.5–6 2.5

Cerussite

Cervanite

Chabazite (Z)

Chalcanthite

Chalcedony

PbCO3

Sb2O4

Ca(Al2Si4O12)·6H2O

CuSO4·5H2O

Cryptocrystaline quartz

6.55

4.0–5.0

2.0–2.2

2.1–2.3

2.6–2.7

3–3.5

4–5

4–5

2.5

Chalcocite

Chalcopyrite

Chalcotrichite

Cu2S

Cu2FeS2

Cuprite, fibrous

5.5–5.8

4.1–4.3

2.5–3

3.5–4

Chalk Calcite, fine-grained Chalybite Siderite Chert

Chessylite

SiO2, cryptocrystalline quartz

Azurite 2.65

Chiastolite Andalusite Chloanthite Skutterudite, nickel variety Chlorite

Chloritoid (M)

Chondrodite

Chromite

(MgFe2+,Fe3+)6AlSi3O10(OH)8

Fe2Al4Si2O10(OH)4

(Mg,Fe)3SiO4(OH,F)2

(Fe,Mg)O.(Fe,Al,Cr)2O3

2.6–2.9

3.5

3.1–3.2

4.3–4.6

2–2.5

6–7

6–6.5

5.5

Chrysoberyl BeAl2O4 3.6–3.8 8.5

Chrysocolla

Chrysolite Cu2H2(Si2O5)(OH)4

Olivine

2.0–2.4 2 -4

Chrysoprase Chalcedony, green Chrysolite Serpentine asbestos Endenite (H) Ca2NaMg5(AlSi7O22) 3.0 6.0

Electrum Au, Ag, natural alloy 13.5–17 3.0

Eleolite Nepheline Embolite Ag(Cl,Br)—Cl=Br 5.6 1.0–1.5

Emerald Beryl, green gemstone Emery Corundum with magnetite Enargite

Endichite

Cu3AsS4

Vanadite, arsenic variety

4.4–4.5 3.0

Enstatite (P)

Epidote

Epsomite

MgSiO3

Ca2(Al,Fe)3Si3O12(OH)

MgSO4·7H2O, Epsom salt

3.2–3.5

3.3–3.5

1.75

5.5

6–7

2.0–2.5

Erythrite

Essonite (G) Co3(AsO4)·8H2O

Grossularite

2.95 1.5–2.5

Euclase

Eucryptite

Fahlore

BeAlSiO4(OH)

(Y,Ce,Ca,U,Th)2(Ti,Nb,Ta,Fe)2O6

Tetrahedrite

3.1

5.0–5.9

7.5

5.5–5.6

Fayalite (OV)

Feather ore

Fe2SiO4

Jamesonite

4.14 6.5

Feldspar (F) A group of minerals Feldspathoid A group of minerals Ferberite (W)

Fergusonite (R)

Ferrimolybdite

FeWO4

(RE,Fe)(Nb,Ta,Ti)

O4 Fe2(MoO4)3·8H2O

7.5

4.2–5.8

3

5

5.5–6.5

1.5

120


específica

Dureza Mohr

Fluorite Fool’s gold CaF2

Pyrite

Formanite (R) Fergusonite with TaNb

Forsterite (Ov) Fowlerite

Mg2SiO4

Rhodonite, zinc bearing

3.2 6.5

Franklinite Freibergite

(Fe2+,Zn,Mn2+) (Fe3+, Mn3+)2O4

Tetrahedrite, silver bearing

5.15 6

Gadolinite (R) Gahnite (S)

Be2FeY2Si2O10

ZnAl2O4 4.0–4.5

4.55 6.5–7.0

7.5–8.0

Galaxite (S) Galena

MnAl2O4

PbS

4.03 7.4–7.6

7.5–8.0 2.5 Garnet (G) A group of minerals 3.5–4.3 6.5–7.5

Gamierite

Gaylussite

Gedrite (A)

(Ni,Mg)3Si2O5(OH)4

Na2Ca(CO3)2·5H2O

Anthophylite, Al variety

2.2–2.8

1.99

2.0–3.0

2.0–3.0

Geocronite Pb5(Sb,As)2S8 6.6–6.5 2.5

Gersdorffite NiAsS 5.9 5.5

Geyserite Opal

Gibbsite Glauberite Glaucodot

Al(OH)3

Na2Ca(SO4)2

Danaite

2.3–2.4 2.7–2.8

2.5–3.5 2.5–3.0

Glauconite (M) (K,Na)(Al,Fe3+,Mg)2(Al,Si)4O10(OH)2 2.3 2

Glaucophane (A) Na2(Mg,Fe2+)3Al2Si8O22(OH)2 3.0–3.2 6.0–6.5

Gmelinite (Z) (Na2·Ca)Al2Si4O12·6H2O 2.0–2.2 4.5

Goethite FeO(OH) 4.37 5.0–5.5

Gold Au 15–19.3 2.5–3.0

Goslarite ZnSO4·7H2O 1.98 2.0–2.5

Graphite C 2.3 1.0–2.0

Greenockite CdS 4.9 3.0–3.5

Grossularite (G) Ca3Al2(SiO4)3 3.53 6.5

Gummite UO3·nH2O 3.9–6.4 2.5–5

Gypsum CaSO4·2H2O 2.32 2.0

Halite NaCl, common salt 2.16 2.5

Hallosite (C) Al2Si2O5(OH)·nH2O 2.0–2.2 1.0–2.0

Harmotome (Z) (Ba,K)(Al,Si)2Si6O16·6 H2O 2.45 4.5

Hastingsite (H) NaCa2(Fe,Mg)5Al2Si6O22(OH)2 3.2 6.0

Hausmannite Mn3O4 4.8 5.5

Hauynite (Fp) (Na,Ca)4·8Al6Si6O24·(SO4·S)1-2 2.4–2.5 5.5–6

Hectorite (C) (Mg,Li)6Si8O20(OH)4 2.5 1.0–1.5

Hedenbergite (P) CaFe(Si2O6) 3.6 5.0–6.0

Heliotrope Chalcedony, green and red Helvite (Mn,Fe,Zn)4Be3(SiO4)3S 3.2–3.4 6.0–6.5

Hematite Fe2O3 5.3 5.5–6.5

Hemimorphite Zn4(Si2O7)(OH)2·H2O 3.4–3.5 4.5–5.0

Hercynite (S) FeAl2O4 4.4 7.5–8.0

Hessite Ag2Te 8.4 2.5–3.0

Heulandite (Na,Ca)4—6Al6(Al,Si)4Si26O72·24H2O 2.2 3.5–4.0

Hiddenite Spodumene, green Holmquisite (A) Glaucophane, Li variety Homblende Ca2Na(MgFe2+)4(AlFe3+,Ti)Al Si8O22 3.2 5.6

(O,OH)2 Hom silver Cerargyrite Huebnerite (W) MnWO4 7.0 5.0

Humite Mg7(SiO4)3(F,OH)2 3.1–3.2 6.0

Hyacinth Zircon Hyalite Opal Hyalophane (O) (K,Ba)Al(Al,Si)3O8 2.8 6.0

Hydromica (M) Illite Hydrozincite Zn5(CO3)2(OH)6 3.6–3.8 2.0–2.5

Hypersthene (P) (MgFe)SiO3 3.4–3.5 5.0–6.0

Ice H2O 0.95 1.5

Iddingsite H8Mg9Fe2Si3O14 3.5–3.8 3.0

121


específica

Dureza Mohr

Idocrase Ca10(Mg,Fe)2Al4(SiO4)5(Si2O7)2(OH)4 3.3–3.4 6.5

Illite (C) Al,K,Ca,Mg Ilmenite FeTiO3 4.7 5.5–6.0

Ilvaite CaFe2+ Fe3+(SiO4) (OH) 2 2 4.0 5.5–6.0

Indicolite Tourmaline Iodobromite Ag(Cl,Br,I) 5.7 1.0–1.5

Iodyrite AgI 5.7 1.0–1.5

Iolite Cordierite, gemstone Iridium Ir, platinoid 22.7 6.0–7.0

Iridosmine Ir,Os, platinoid 19.3–21.0 6.0–7.0

Iron pyrite Pyrite Jacinth Hyacinth, zircon Jacobsite (S) (Mn2+,Fe2+,Mg)(Fe3+,Mn3+)2O4 5.1 5.5–6.5

Jade Jadeite or nephrite Jadeite (P) Na(Al,Fe)Si2O6 3.3–3.5 6.5–7.0

Jamesonite Pb4FeSb6S14 5.5–6.0 2.0–3.0

Jarcon Zircon Jarosite KFe3(SO4)2(OH)6 2.9–3.3 3.0

Jasper Quartz Kainite MgSO4·KCl.3H2O 2.1 3.0

Kalinite Alum, potash Kallophilite K(AlSiO4) 2.61 6.0

Kalsilite Nephelines Kaolin Clay mineral Kaolinite Al2(Si2O5)(OH)4 2.6–2.7 2.0–2.5

Kemite Na2B4O7·4H2O 1.95 3.0

Krennerite AuTe2 8.62 2.0–3.0

Kunzite Spudomene, pink Kyanite Al2SiO5 3.6–3.7 5.0–7.0

Labradorite (P) Ab50An50·Ab30An70 2.71 6.0

Langbeinite K2Mg2(SO4)3 2.83 2.5–3.5

Lapis lazuli Impure lazurite Larsenite (Ov) PbZnSiO4 5.9 3.0

Laumontite (Z) (Ca,Na)Al2Si4O12·4H2O 2.3 4.0

Lawsonite

Lazulite CaAl2(Si2O7)(OH)2·H2O

(Mg,Fe3+)Al2PO4)2(OH)2

3.1

3.0–3.1

8.0

5.0–5.5

Lazurite (Na,Ca)4(AlSiO4)3(SO4,S,Cl) 2.4–2.5 5.0–5.5

Lechatelierite SiO2, fused silica 2.2 6.0–7.0

Lepidocrocite FeO(OH) 4.1 5.0

Lepidolite (M) K(LiAl)3(Si,Al)4O10(F,OH)2 2.8–3.0 2.5–4.0

Leucite Libethenite Cu2(PO4)(OH) 4.0 4.0

Limonite FeO(OH)·nH2O 3.6–4.0 5.0–5.5

Linarite PbCu(SO4)(OH)2 5.3 2.5

Linnaeite Co3S4 4.8 4.5–5.5

Lithium mica Lepidolite Lithiophilite Li(Mn2+,Fe2+)PO4 3.5 5.0

Loellingite FeAs2 7.4–7.5 5.0–5.5

Magnesite MgCO3 3.0–3.2 3.5–5.0

Magnetite (S) (Fe,Mg)Fe2O4 5.2 6.0

Malachite Cu2CO3(OH)2 3.9–4.0 3.5–4.0

Manganite MnO(OH) 4.3 4.0

Manganosite MnO 5.0–5.4 5.5

Marcasite FeS2, white iron pyrite 4.9 6.0–6.5

Margarite (M) CaAl2(Al2Si2O10)(OH)12 3.0–3.1 3.5–5.0

Marialite (Sc) 3NaAlSi3O8·NaCl 2.7 5.5–6.0

Marmatite Sphalerite, iron bearing 3.9–4.0 Martite Hematite after magnetite

122


específica

Dureza Mohr

Meerschaum Sepiolite Meionite (Sc)

Melaconite

3CaAl2Si2O8·CaCO3

Tenorite

2.7 5.0–5.6

Melanite (G) Andradite garnet (black) Melanterite FeSO4·7H2O 1.9 2.0

Melilite

Menaccanite (Na,Ca)2(Mg,Al)(Si,Al)2O7

Limenite

2.9–3.1 5.0

Menaghinite (J) CuPb13Sb7S24 6.36 2.5

Mercury Hg 13.6 Miargyrite

Mica (M)

AgSbS2

A group of minerals

5.2–5.3 2.5

Microcline (F) K(AlSi3O8), K feldspar 2.5–2.6 6.0

Microlite

Microperthite (F) (Na,Ca)2(Ta,Nb)2O6

Microcline and albite

6.33 5.5

Milerite NiS 5.3 -5.7 3.0–3.5

Mimetite Pb5Cl(AsO4)3 7.0–7.2 3.5

Minium

Mispickel Pb3O4

Arsenopyrite

8.9–9.2 2.5

Molybdenite

Monazite

Monticellite

MoS2 (Ce,La,Y,Th)(PO4,SiO4)

CaMgSiO4, rare olivine

4.6–4.7

5.0–5.3

3.2

1.0–1.5

5.0–5.5

5.0

Montmorillonite (C)

Moonstone (O) (Al,Mg)8(Si4O10)3(OH)10·10H2O Opalescent albite or orthoclase

2.5 1.0–1.5

Morganite Beryl, rose color Mullite

Muscovite (M)

Nacrite (C)

Al6Si2O13

KAl2(AlSi3O10)(OH)2

Al2(Si2O5)(OH)2, kaolin group

3.2

2.7–3.1

2.6

6.0–7.0

2.0–2.5

2.0–2.5

Nagyagite

Natroalunite Pb5Au(Te,Sb)4S5-8

Alunite with NaK

7.4 1.0–1.5

Natrolite

Nepheline (Fp)

Nephrite

Na2(Al2Si3O10)·2H2O

(Na,K)AlSiO4

Tremolite, similar to jade

2.3

2.5–2.7

5.0–5.5

5.5–6.0

Niccolite NiAs 7.8 5.0–5.5

Nickel bloom Annabergite Nickel iron Ni,Fe, meteorite alloy 7.8–8.2 5.0

Ni skutterudite

Nitre

Nontronite (C)

Norbergite

(Ni,Co,Fe)As3

KNO3, saltpeter

Fe(AlSi)8O20(OH)4

Mg3(SiO4)(F,OH)2

6.1–6.9

2.0–2.1

2.5

3.1–3.2

5.5–6.0

2.0

1.0–1.8

6.0 Noselite (Fp)

Octahedrite Na8Al6Si6O24(SO4)

Anatase

2.2–2.4 6.0

Oligoclase (P)

Olivine (Ov)

Onyx

Ab90An10·Ab70An30

(Mg,Fe)2SiO4

Chalcedony, layered structure

2.5

3.3–4.4

6.0

6.5–7.0

Opal

Orpiment

Orthite

SiO2·nH2O

As2S3

Allanite

1.9–2.2

3.5

5.0–6.0

1.5–2.0

Orthoclase (F)

Osmiridium

K(AlSi3O8), K feldspar

Iridosmine

2.6 6.0

Ottrelite (M) (Fe2+,Mn)(Al,Fe3+)Si3O10·H2O 3.5 6.0–7.0

Palladium Pd 11.9 4.5–5.0

Paragonite (M) NaAl2(AlSi3O10)(OH)12 2.85 2.0

Pargasite (H)

Peacock ore NaCa2Mg4Al3Si6O22(OH)2

Bomite

3.0–3.5 5.5

Pearceite (Ag,Cu)16As2S11 6.15 3.0

Pectolite

Penninite NaCa2Si3O8(OH) Chlorite

2.7–2.8 5.0

Pentlandite

Peridot (Ov)

(Fe,Ni)9S8

Olivine, gemstone

4.6–5.0 3.5–4.0

Perovskite

Perthite (F)

CaTiO3

Mixture of microcline and albite

4.03 5.5

123


específica

Dureza Mohr

Petalite (Fp)

Petzite

Phenacite

Phillipsite (Z)

Li(AlSi4O10)

Ag3AuTe2

Be2SiO4

(K2,Na2,Ca)Al2Si4O12·H2O

2.4

8.7–9.0

2.9–3.0

2.2

6.0–6.5

2.5–3.0

7.5–8.0

4.5–5.0

Phlogopite (M)

Phosgenite

Phosphuranylite

Picotite (S)

K(Mg,Fe)3AlSi3O10(OH,F)2

Pb2Cl2CO3

Ca(UO2)4(PO4)2(OH)4·7H2O

Spinel, chromium

2.86

6.0–6.3

2.5–3.0

3.0

Piedmontite Epidote, Mn2+ 3.4 6.5

Pigeonite (P)

Pinite (M)

(Ca,Mg,Fe)SiO3

Muscovite mica

3.2–3.4 5.0–6.0

Pitchblende Uraninite Plagioclase (P) A group of aluminum silicates Plagionite (J)

Platinum

Pb5Sb8S17

Platinum metal alloy

5.6

14–19

2.5

4.0–4.5

Pleonaste (S) Spinel, iron Plumbago Graphite Polianite MnO2, pyrolusite 5.0 6.0–6.5

Pollucite

Polybasite

Polycrase (R)

(Cs,Na)2Al2Si4O12·H2O

(Ag,Cu)16Sb2S11

Y,Ce,Ca,U,Th,Ti,Nb,Ta,Fe oxide

2.9

6.0–6.2

4.7–5.9

6.5

2.0–3.0

5.5–6.5

Polyhalite K2Ca2Mg(SO4)4·2H2O 2.78 2.5–3.0

Potash aluminum

Potassium feld

Potash mica (M)

KAl(SiO4)2·11H2O

KalSi3O8, see orthoclase

Muscovite

1.75 2.0–2.5

Powellite

Prase

CaMoO4

Jasper, green

4.2 3.5–4.0

Prehnite

Prochlorite

Ca2Al2(Si3O10)(OH)12

Chlorite group

2.8–2.9 6.0–6.5

Proustite

Psilomelane

Ag3AsS3

Manganese mineral group

5.6 2.0–2.5

Pyrargyrite Ag3SbS3 5.9 2.5

Pyrite

Pyrochlore

Pyrolusite

Pyromorphite

Pyrope (G)

FeS2

(Na,Ca)2(Nb,Ta)2O6(OH,F)

MnO2

Pb5(PO4)3Cl

(Mg,Fe)3Al2(SiO4)3

5.02

4.2–4.5

4.8

6.5–7.1

3.5

6.0–6.5

5.0

1–2

3.5–4.0

7.0

Pyrophylite

Pyroxene (P)

Al2Si4O10(OH)2

A group of minerals

2.8–2.9 1.0–2.0

Pyrrhotite Fe1-x S where x = 0.0 to 0.2 4.6 4.0

Quartz SiO2 2.7 7

Rammelsbergite

Rasorite NiAs2

Kemite

7.1 5.5–6.0

Realgar AsS 3.5 1.5–2.0

Red ochre Hematite Rhodochrosite

Rhodolite (G)

Rhodonite

Riebeckite (A)

Rock salt

MnCO3

3(Mg,Fe)O,Al2O3·3SiO2

MnSiO3

Na2(Fe,Mg)5Si8O22(OH)2

Halite

3.5–3.6

3.8

3.6–3.7

3.4

3.5–4.5

7.0

5.5–6.0

4.0

Roscoelite (M)

Rubellite

K(U,Al,Mg)3Si3O10(OH)2

Tourmaline, red or pink

3.0 2.5

Ruby Corundum, red, gemstone Ruby copper Cuprite Ruby silver Pyrargyrite or proustite Rutile

Samarskite

Sanadine (O)

TiO2

(Y,Ce,U,Ca,Fe,Pb,Th)(Nb,Ta,Ti,Sn)2O6

Orthoclase, high temperature

4.2–4.3

4.1–6.2

6.0–6.5

5.0–6.0

Saponite (C)

Sapphire

(Mg,Al)6(Si,Al)8O20(OH)4

Corundum, blue, gemstone

2.5 1.0–1.5

Satin spar Gypsum, fibrous

124

Nombre Descripción o composición Gravedad específica Dureza Mohr

Scapolite

Scheelite

Schorlite

(Na or Ca)4Al3(Al,Si)3Si6O24(Cl,CO3,SO4)

CaWO4

Tourmaline, black

2.6–2.7

5.9–6.1

5.0–6.0

4.5–5.0

Scolecite (Z)

Scorodite

Scorzalite

Selenite

Ca(Al2Si3O10)·3H2O

FeAsO4·2H2O

(Fe,Mg)Al2(PO4)2(OH)2

Clear and crystalline gypsum

2.2–2.4

3.1–3.3

3.4

5.0–5.5

3.5–4.0

5.5–6.0

Semseyite Pb9Sb8S21 5.8 2.5

Sepiolite

Sericite (M) Mg4(Si2O5)3(OH)2·6H2O, Meerschaum

Muscovite mica, fine grained

2.0 2.0–2.5

Serpentine

Siderite

Siegenite

(Mg,Fe)3SiO5(OH)4

FeCO3

(Co,Ni)3S4

2.2

3.8–3.9

4.8

2.0–5.0

3.5–4.0

4.5–5.5

Sillimanite Al2SiO5 3.2 6.0–7.0

Silver Ag 10.5 2.5–3.0

Silver glance Argentite Sklodowskite

Skutterudite

Mg(UO2)2Si2O7·6H2O

(Co,Ni,Fe)As3

3.5

6.1–6.9

5.0

Smaltite Skutterudite variety Smithsonite

Soapstone

ZnCO3

Talc

4.3–4.4 5.0

Sodalite (Fp)

Soda nitre

Specular iron

Na4Al3Si3O12Cl

NaNO3

Hematite, foliated

2.2–2.3

2.3

5.5–6.0

1.0–2.0

Sperrylite PtAs2 10.5 6.0–7.0

Spessartite (G) Mn3Al2(SiO4)3, red, brown 4.2 7.0

Sphalerite (Zn,Fe)S 3.9–4.1 3.5–4.0

Sphene CaTiO(SiO4) 3.4–3.5 5.0–5.5

Spinel group (Mg,Fe,Zn,Mn)Al2O4 3.6–4.0 8.0

Spodumene (P) LiAl(Si2O6) 3.1–3.2 6.5–7.0

Stannite Cu2FeSnS4 4.4 4.0

Staurolite (Fe,Mg)2Al2Si4O23(OH) 3.6–3.8 7.0–7.5

Steatite Talc Stephanite Ag5SbS4 6.2–6.3 2.0–2.5

Stembergite AgFe2S3 4.1–4.2 1.0–1.5

Stibnite Sb2S3 4.5–4.6 2.0

Stilbite (Z) NaCa2Al5Si3O36·14H2O 2.1–2.2 3.5–4.0

Stillwellite (Ce,La,Ba)BSiO5 4.6 Stolzite PbWO4 8.3–8.4 2.5–3.0

Stromeyerite (Cu,Ag)S 6.2–6.3 2.5–3.0

Strontianite SrCO3 3.7 3.5–4.0

Sulphur S 2.0–2.1 1.5–2.5

Sunstone (F) Oliglase, translucent Sylvanite (Au,Ag)Te2 8.0–8.2 1.5–2.0

Sylvite KCl 2.0 2.0

Talc Mg3(Si4O10)(OH)2 2.7–2.8 1.0

Tantalite (Fe,Mn)(Ta,Nb)2O6,TaNb 6.2–8.0 6.0–6.5

Tennantite (Cu,Fe,Zn,Ag)12As4S13 4.6–5.1 3.0–4.5

Tenorite CuO 5.8–6.4 3.0–4.0

Tephroite (Ov) Mn2(SiO4) 4.1 6.0

Tetrahedrite (Cu,Fe,Zn,Ag)12Sb4S13 4.6–5.1 3.0–4.5

Thenardite Na2SO4 2.68 2.5

Thomsonite (Z) NaCa2Al5Si5O20·6H2O 2.3 5.0

Thorianite ThO2 9.7 6.5

Thorite Th(SiO4) 5.3 5.0

Thulite Zoisite, pink to red Tiger’s eye Form of quartz Tin Sn 7.3 2.0

Tinstone Cassiterite Titanite Sphene Topaz Al2(SiO4)(F,OH)2 3.4–3.6 8.0

Torbernite Cu(UO2)2(PO4)2·8H2O 3.2 7.0–7.5

125

Nombre Descripción o composición Gravedad específica Dureza Mohr

Tourmaline (Na,Ca)(Al,Fe,Li,Mg)3Al6(BO3)3(Si6O22) 3.0–3.2 7.0–7.5

Tremolite (A)

(OH)4

Ca2Mg5(Si8O22)(OH)2

3.0–3.3

5.0–6.0

Tridymite SiO2 2.3 7.0

Triphylite Li(Fe,Mn)PO4 3.4–3.6 4.0–5.5

Troilite Pyrrhotite

Trona Na2CO3·NaHCO3·2H2O 2.1 3.0

Troostite Manganiferous willemite

Tungstite WO3·nH2O 2.5 Turgite 2Fe2O3·nH2O 4.2–4.6 6.5

Turquoise CuAl6(PO4)4(OH)8·5H2O 2.6–2.8 6.0

Tyuyamunite Ca(UO2)2(VO4)2·5H2O 3.7–4.3 2.0

Ulexite

Uralite (H)

NaCaB5O9·8H2O

Homblende after pyroxene

1.96 1.0

Uraninite

Uranophane

Uvarovite (G)

UO2 to UO3

Ca(UO2)2Si2O7·6H2O

Ca3Cr2(SiO4)2, green

9.0–9.7

3.8–3.9

3.5

5.5

2.0–3.0

7.5

Vanadinite

Variscite

Vermiculite (M)

Pb5(VO4)3Cl

Al(PO4)·2H2O

Biotite, altered

6.7–7.1

2.4–2.6

2.4

3.0

3.5–4.5

1.5

Vesuvianite Idocrase Violarite

Vivianite

Wad

Ni2FeS4 Fe3(PO4)2·

8H2O

Manganese oxides

4.8

2.6–2.7

4.5–5.5

1.5–2.0

Wavelite

Wemerite (Sc)

Al3(OH)3(PO4)2·5H2O

Scapolite

2.3 3.5–4.5

White pyrite Marcasite White mica (M) Muscovite Wilemite Zn2SiO4 3.9–4.2 5.5

Witherite

Wolframite

Wollastonite Wood

tin

BaCO3

(Fe,Mn)WO4

Ca(SiO3)

Cassiterite

4.3

7.0–7.5

2.8–2.9

3.5

5.0–5.5

5.0–5.5

Wulfenite PbMoO4 6.5–7.5 3.0

Wurtzite (Zn,Fe)S 4.0 4.0

Xenotime

Zeolite

YPO4

A group of minerals

4.4–5.1 4.0–5.0

Zincite ZnO 5.7 4.0–4.5

Zinc spinel Gahnite Zinkenite (J) Pb6Sb14S27 5.3 3.0–3.5

Zinnwaldite Fe,Li, mica 3.0 2.5–3.0

Zircon ZrSiO4 4.7 7.5

Zoisite Ca2Al3Si3O12(OH) 3.3 6.0

Adaptado de T. J. Glover, Pocket Ref, Second Edition. Littleton, CO: Sequoia

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