Determinación de la latitud por distancias cenitales de la...
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DETERMINACION DE LA LATITUD POR DISTANCIASCENITALES DE LA POLAR. METODO DE LITTROW
por M. J. SEVILLA
Este método de determinación de la latitud de un lugar está basadoen la medida de distancias cenitales de la estrella polar en cualquierinstante, es decir, sea cual sea el ángulo horario de la estrella.
La precisión del método da una desviación típica inferior al" dearco utilizando teodolitos geodésicos, por 10 que puede muy bien in-cluirse entre los de segundo orden y puede recomendarse dada su fa-cilidad de observación y cálculo.
Sea z la distancia cenital de la Polar observada en un instante t.Dado que dicha estrella está muy próxima al polo podemos escribir
~-<p=z-x2
(1 )
siendo x una combinación de la distancia polar de la estrella
1tp=--o
2(2 )
y de la reducción al meridiano. Se sabe que p vale unos 58 minutosde arco y x es del mismo orden de magnitud.
P
_-""""'JtZ
E
Consideremos el triángulo esférico PZE
62 M. J. SEVILLA
La primera fórmula de Bessel nos da
cos z = sen <1>cos p + cos <1>sen p cos H (3)
relación fundamental donde <1>es la latitud buscada, z la distanciacenital observada y H el ángulo horario de la estrella calculado parael instante de observación.
H=6-1X (4 )
6 es la hora sidérea aparente local y IX, o las coordenadas aparentes dela estrella es este instante.
El hecho de que las magnitudes de x y de p sean pequeñas haceque podamos considerar sus potencias como infinitésimos y por consí-guiente tomar las funciones trigonométricas que aparecen en (3) porsus desarrollos en serie.
Es decir tomamosx2 x3 x4
sen <1>= cos(z- x) = cos z -}x sen z -- cos z -- sen z+- cos z21 31 41
(5 )
x2 x3 x4cos <I>=sen(z-x) =sen z-x cos z-- sen z+- cos z+- sen z
21 31 41
1 3 1 5sen p = p - - p + - P - ...31 51
cos p = 1- ~ p~+ ~ p"- ...21 41
y sustituímos en la expresión (3)
[X2 x" x3 ] 1 1(1--+- ) cos z-(x--) sen z (1-- p2+_ p4) +2 24 6 6 24
[X2 x" x3 ] 1+ (1--+-) sen z+(x--) cos z (p-- p3) cos H=cos z2 24 6 2
operando resulta
x2 x" 1 1cos z=cos z-- cos z+- cos z-- p2cos z+- x2 p2 cos z -}2 24 2 4
1 x3 1+ - p'' cos Z + x sen z - - sen z - - X p2sen z + p sen z cos H -
24 6 21 1 H-2 x2 p sen z cos H-6 p3sen z cos H-x p cos z cos +
1 1+ - x3P cos z cos H + - X p3 cos Z cos H6 6
LATITUD POR DISTANCIAS CENITALES DE LA POLAR 63
ordenando en potencias de x y p resulta
cos z=cos z -l-x sen z+p cos H sen z+
( 1 2 1 2 H)+ -"2" x -"2" p - x p cos cos z+
(1 3 1 2 1 2 H 1 3 H)+ -6 x -"2" x p -"2" x p cos - 6 p cos sen z +
1 1 1 1 1+(- x4+_ X2p2+_ p4+_ x3p cos H+- X p3 cos H) cos z.24 4 24 6 6
eliminando cos z y despejando x de x sen z obtenemos
1 1x= -p cos H+T (X2+p2+2xp cos H) cotg z+6 (x3+3xp2+
1 (6)+ 3X2pCOS H + p3cos H) - 24 (x"+ 6 X2p2+p4+
+ 4 x' p COS H + 4 Xp3COS H) cotg z
Resolvemos ahora en x por aproximaciones sucesivas
t» aproximación
x= -p cos H (7)
z» aproximación
1x = - p cos H + T (p2cos- H + p2- 2p2 cos- H) cotg z
es decir
1x = - p cos H + - p2 sen- H cotg z2
(8 )
3.a eproximecion
1x= -p cos H+2 (p2cos- H_p3 sen? H cos H cotg z+p2-2p2 cos H+
1+ p3sen- H cos H cotg z) cotg z + 6 (- p3cos! H - 3p3 cos H +
+ 3 p3cos:' H + p3cos H)
64 M. }. SEVILLA
es decir
1 1x = - p COsH +- p2serr' H cotg z - - p3sen? H tos H (9)2 3
4.a aproximación
1 1x = - p cos H +2p2 sen- H cotg z - 3p3serr' H cos H +
1 1+- p" sen" H cotq- z -- p2 (4 - 9 sen- H) serr' H cotg z8 24
(10 )
En determinaciones de segundo orden que es donde se utiliza estemétodo puede emplearse la fórmula (8) o la (9). Los términos adicio-nales de la (10) llegan como mucho a O" 05, que no se alcanza en laobservación.
El procedimiento de observación es muy simple: basta observarla estrella polar anotando la hora, distancia cenital, presión y tempe-ratura. Se debe observar en posición directa e invertida del instrumentopara eliminar errores de colimación.
Cada serie consta de unas 8 observaciones y con 20 series se al-canza suficientemente la precisión buscada.
La distancia cenital observada debe ser corregida por refracciónas tronó mica, para lo que puede aplicarse la fórmula:
peo =o¿ tag z (1l1 _ PI )R cos- Z
(11 )
siendo ao= 60".343,1l1 = p¡.273/760 (273+ T) y PI = 8.010 p, 981/760· g.El radio medio terrestre puede tomarse R= 6.371 km. T es la ternpe-ratura en grados centígrados y PI es la presión reducida PI = P (1 --0.00264 cos 2 (90-rp) -0.000000196 H-0.000163 T); p es la pre-sión barométrica observada y g la gravedad, H la altitud de la es-tación.
Las coordenadas a, 'o de la estrella polar, que se toman de las tablashabituales se corrigen de aberración diurna por las expresiones
Ila = 0".32 cos <P cos H sec oIlo = 0".32 cos <P sen H sen o
siendo H = e - a el ángulo horario de la estrella.
(12)
El procedimiento de cálculo también es muy simple, pues a partir
LATITUD POR DISTANCIAS CENITALES DE LA POLAR 65
de cada observación de una serie se determina x por la fórmula (9)por ejemplo; calculamos los términos
T¡= -p cos H
(13 )
entoncesx=T¡+T2+T3
y si todos están reducidos a grados, a partir de la fórmula (1) deter-minamos la latitud por
l1>i=90-z+x
La latitud definitiva de la serie será la media aritmética de las ob-tenidas para cada observación individual:
~l1>iI1>s=--
n
siendo n el número de observaciones de la serie.Con este valor más probable de la latitud calculamos los errores
residuales por
y como medidas de la precisión determinamos el error medio cuadrá-tico de la serie por:
m=l/ ~ri2n-l
y el del valor más probable adoptado por:
mms=--==-
y'n
además del peso correspondiente por
1ps=--
m~
Finalmente la latitud correspondiente al conjunto de todas las se-ries la obtenemos por la media ponderada
11>= ~ I1>sPs~ Ps
66 M. J. SEVILLA
con 10 que determinamos los errores residuales
d, = ID - IDs
y el error medio cuadrático del conjunto de las K series por
así como el valor más probable por
Finalmente, damos a continuación el listado del programa de cálculoautomático junto con un ejemplo calculado.
La sentencia 5 lee los datos de estación
ENO: nombre de la estación.LAG, LAM, SLA: latitud de la estación.G MSLO: longitud de la estación positiva hacia el este.HAL T: altitud de la estación.
La sentencia 21 lee los datos de la serie
NS: número de serie.IDA. MES, NA: día, mes y año de la observación.EST: estado del reloj.ONO: nombre de los observadores.ANOM: tipo de instrumento.
La sentencia 30 lee las coordenadas aparentes de la polar, aseen-sión recta y declinación para el día de la observación y día siguientea O" de TU. El tiempo sidéreo a Oh de TU, la presión, temperatura ygravedad.
Por último la sentencia 41 lee los datos de observación
DZG, DZM, DZS: distancia cenital en grados, minutos ysegundos.
TUH, TUM, TUS: tiempo universal en grados, minutos ysegundos.
Las sentencias 48 a 57 corrigen por refracción atmosférica y las58 a 68 por aberración diurna.
El resto del programa calcula la latitud por aplicación de las Iór-mulas (13), los valores medios y resultados finales; su interpretaciónno ofrece dificultad.
Seminario de Astronomía y GeodesiaUniversidad Complutense
LATITUD POR DISTANCIAS CENITALES DE LA POLAR 67
FORTRAN IV G LEVEL 21
0001000200030004000500060007000800090010001l00120013001400150016001700180019G0200021002200230024002500260027
002800290030
00310032003300340035003600370038
0039004000410042004300440045C0460047
MAIN DATE = 75336 12Fl37fH
QETEOMINACION DE LA LATITUD POR CENITALES DE LA POLAR
IMPlICIT REAL*8 IA-H.o-ZlOIMENSION OPLtI01.FII01.AFf'1201.PESSI201.ENCI21.0NOI21OIMENSION RFRII01.TTSII01OERA=0.017453292519000
98 RE~O(5,lOO) ENO,LAG,LAM,SLA,GMSLO,PALT100 FORMATI2A8.212.F5.2.F9.2.F7.21
IFILAG.EO.991 GO TO 99LClG=DABSI GMSLOHH 0000AMLO=OABSIGMSLO)-OFLOATILOG*10000)LOM=AMLOfHOOSLO=AMLD-OFLOATILOM*lOOIAF= fDFLCAT IL AGI+OFLOA TI LA MI Fl60. +SLMl360 O. IHE OAAL= I OFL OATI LOGI+OFLOATI LOMI Fl60. +SLO"'360 O. IFl IS.IF I GMSLO.L T. 0.1 AL="'ALIFIGMSLO.LT.O.I LOG=-LOGSAF=OSINIAFICAF=OCOSIAF 1AFS=O.SPES=O.N=O
9 REAO lOl,NS,tDA,MES,NA,EST,ONO,ANOM101 FORMATI412.F7.3,3A81
IFINS.EO.-IIGO TO 10WRTTE16.2221
222 FDPMATIIHI)PRTNT 200
200 FORMATllH0,38X.·OETERMINACION OE LA LAI IT~O PCR CENITALES DE LA PO*LAR', t'J"IFn
EST=ESH3600.N=N+lfH.AD( 5 t 102) ARH 1, ARMl t AP SI ,ARH2, ARH2, ARS 2, [EGl ,OHH, DE S 1 ,0 EG2,DEM2 t
lOES2,TSH,TSM,TSS,PRES,TEMP,GRV102 FORMAT141 2F 3.0.FS. 2 l. 2F3. O. F6.3.F 5. l. F5. 1 .r e , 21
ARI=IAPHl+ARMlFl60.+ARSlFl3600.I*lS.*OERAAR2=IARH2+ARM2Fl60.+ARS2Fl3600.I*lS.*OERAOEl=IOEGl+OEMlFl60.+0ESlFl3600.)*OERAOE2=IOEG2+0EM2Fl60.+0ES2Fl3600.)*OERATS=TSH+TSMFl60.+TSSFl3600.WRITE(6,ZOl)NS,IOA,MES,NA,ONO
201 FORMAIIIHO.16X.l2HSEOIE NUMERO.14.lSX.17HFECHA OBSERVACION.313.12X1.12HOBSERVAOORES.2X.2A8FlFlFlI
PUNTERIAS A LA POLAR
SF=O.L=O
~ READ l03,DlG,OZM,OIS,TUHtTUM,TUS103 FORMATIF4.0.F3.0.FS.2.2F3.0.F6.31
IFI01G.EO.-1.IGO TO 4L=L +1OZ=OZG+OlMFl60.+0lSFl3600.OlL=OZIFIOZ.GT.180.) OZ=360.-0Z
CC CCRRECCION POR REFRACCIONC
68 M. }. SEVILLA
FORTRAN IV G LEVEL 21 75336
0048004900500051005200530054005500560057
00580059006000610062006300640065006600670068
006900700071007200730074001500760077007800790080
00810082008300840085008600870088008900900091con009300940095009600970098
MAl N DATE
PAF=2.*(1.570796325DOO-AFJOZR=OZ*OERAPRO=PR E S*1 l. -o. 00264*OC OS 1PAF J-o. 000000 19 f*HA LT JROH=273.*PRO~(760.·1273.+TEHPJJROS=8.010*981.*PRO~1760.·6371.*GRV*(OCOS([ZRJ·*2JJRO=60.343*OTANIOIRJ*(ROH-ROSJRFRILJ=ROOP=01+RO~3600.OPR=OP*OERAOPL (L J=OIL
CCC
CORRECCION DE A8ERRACION
TU=TUH+TUH~60.+TUS~3600.TU=TU+E STTTS(LJ =TUTSG=TS+TU+TUR365.24219000TSL=(TSG-ALI*15.*OERAAR=ARl+TU*(AR2-ARIJR24.OE=DEl+TU*(DE2-DEll~24.OEL=3.20-1*CAF*OSIN(OEJ*OS!N(TSL-APIOAL=3.20-I*CAF*OCOS(TSL-ARI~OCOS(OE)ALFA=AR+OAL*OERAR3600.OELTA=OE+OEL*OERAR3600.
Cee
CALCULO DE LA LATITUD
AH=TSL-ALFAP=90.-0ELTA~OERATI =-?*OCOS (AH 1T2=0.5*P**2*OSINIAHJ**2*OCOTAN(OPR)T3=-P**3*OSINIAH)**2*OCOS(AHI~3.X=Tl+IT2+T3*OERA)*OERAF( U=90 .-OP+X
16 SF=SF+F IUGO TO 5
4 'fl=SF~OFLOAT(llPR!NT 207
207 FORHATlIHO,10X,'REFRACCION',5X,'OlSTANCU CENtTAL',9X,",,'r, EMPOS' t 13X, 'LATITUDES' ,lOX, 'REsrnuos '1\1)
RESC=O.DO 7 K=I,LRES=AF I-F( K IPESC=RESC+RES*RESRfS=RES*3600.CALL GRMS( F( K) ,11, M!, SIlCALL GRHS(OPl(KJ, !2,M2,S2)CALL GRMS(ITS(K),13,M3,S3)
7 PRINT 20l,RFR{KJ,12,M2,S2,J3,H3,S3,Jl,Hl,51,RES202 FORHAT(lHO,12X,F7.3,)(8X,213,F7.31,7X,F7.:)
PR!NT 203203 FnRMATIIHO,~"',48X,'F'RROR MEO!O CUAORATICa DE LA SER!E'~I
F'MCS= 1 O SOR TI PESC '"IOFLOA TI i i-r: ) 1*3600.WRlTE16,211) EMCS
211 FORMATIIHO,58X,F7.3JWP !TE 16 ,2o 4 )
204 FOPMAT( l""O,34X,'LATTTUD DE LA SERIE' ,29X, 'E.M.C.·~)eALL GRMSI AF 1 ,11, MI, Sil
12"'3ml
LATITUD POR DISTANCIAS CENITALES DE LA POLAR 69FUR TR'AN IV G LEVEL 21
OV9901000101010Z01030104010501060107010801090110011101120113011401150116011701.18011901Z001210122
012301Z4012501260127
01280129013001310132
MAIN DhTE ; 75336 l?/BNl
E~CM;E~CS~OSORTIOFLOATILII\-IR 1TE ( 6,212) 11, ~ 1 , SI t E Me f'4
212 FOPMAT(lHO,36X,213,F7.3,32X,F7.3JPESSINI;I.~IEMCM*EMCMI~FHIN I=AF IAf$=AfS+AfI*PESS(NISPES=SPES,PESSINIGn TO 9
ID ~rIN=AFS¡;¡SPESwP.' T!: (6,222)w~ lTfI6,ZOO)WRlTE I 6, ZI 3)
213 FQPMAT( lHO,38X,·SF.RTE', llX,'LATITUO',12X, 'RES IOUQ' ,8l(,'PESO'~)DIFS=O.0[1 12 K=l,NDIF=IAFIN-AFHIK»*3600.CALL GRMSIAFHIKI.TI,MI,SlIWRlTE(6,214) K,ll,,··n,Sl,OTF,PES$(K)
214 FORMAT(39X,14,9X,2J3,f~.2,lOX,F6.3,8X,F6.~')Z OIFS=OIFS'PESSIK)*OIF*DIF
EMC=DSQRTIOIFS¡;¡IDFLOATIN)-!.»WP!TE 1 6, Z2 2)WPlTEl6,215)
215 FORMATllHO,'UNIVERSIOAD COMPLUTENSE DE MACRIO',¡;¡IX,'FACULTAO DE CI"ENeIAS MATEMATIChS',¡;¡IX,'CATEORA DE AsrRO~O~I' y GEODESIA'¡;¡I
WRlTEI6,200)EM( F= E M(¡;¡O SOR TI SP f S 1ChLL GRMSIAFIN,II,MI,SIIwRTTEeb,216) ENOtlAGflAM,SLA,LOG,LOM,SLO,~ALT
216 FORMAl( lHO,lOX,'ESTACION ',2X,2A8t5X,'COO~DE~AO~S PROVISIONALES'*,2X,'LAT' ,2T3,F6.2,2X,· LON' ,2IJ,F6 .• 2,3X,· n l' ,F8.2)
WP J TE e 6,211) ti, M 1 , S 1 ,E Me F217 FüRMAT( lHO,40X,'LATITUD FINAL ',2X,2I3,F~.2,10x,'E •."".C .•• ,Fñ.7)
GO TO 9899 STOP
ENO
MAIN DATE = 75336FORT~AN IV G LEVEL 21
00010002000300040005000600070008000900100011001200130014
PASO DE GRADOS y DECIMALES A GRADOS MINUTOS' SEGUNDOS
SUBROUTINE GRMS(X'!G,~I ,SE)REAL*B X,AM,SE,VK=OIFIX.LT.O.1 K=1Y=DABSI XlIG=YA~=IY-DFLOAT(IGl)"60.MI=AMSE=IAM-DFLOATIMI)I"60.TF 1 (K. EO.I ) .ANO. 11 G. EO. 01. ANO. 1 MI .EO.OI 1 ~E;- SEIf((~.EQ.II.AND.IIG.EO.OI) MI=-MIIFIK.EO.U IG=-IGRFTURNENn
DETERMINACION DE LA LATITUD POR CENTrALES DE LA POLAR
ESTACION LANUM,OHID COORDENADAS PROVIS IOALES LAT 39 39 39.65 LON 83 32 38.40 ur 0.0
LATITUD FINAL 39 39 42.58 E.M.C. 0.36
OFTERMINACION DE LA LATITUD POR CENITALES DE LA POLAR
SERIE LAT ITUD RESIDUO PESO
39 39 42.8139 39 42.13
-'0.2880.452
13.9178.901
DETERMINACION DE LA LATITUD POR CENITALES OE LA POLAR
SERIE NUMERO FEC~A OBSERVACICN 14 8 64 OBSERVADORES BOSSL=R, e US'iHAri
REFRACC ION DISTANCIA CENITAL TIEMPOS LATITUDES RES IDUOS
68.123 50 50 19.900 40 52.701 39 39 41.387 0.744
68.109 50 49 59.900 42 2'.697 39 39 43.294 -1.164
68.101 50 49 48.100 43 31.296 39 39 42.219 -0.148
68.088 50 49 28.800 45 10.417 39 39 42.124 0.006
68.080 50 49 15.900 46 18.189 39 39 41.569 0.562
ERROR MEDIO CUACRAfICO DE LA SERIE
0.149
LATITUD OE LA SERIE E .M.C.
393942.131 0.335
DETERMINACID~ DE LA LATITUD PO. CENITALES DE LA POLAR
SERIE NUMERO FECHA 08SERVACICN 14 8 64 OBSERVADORES BOSSL=R,CUSHMAN
REFRACC ION DISTANCIA CENIT AL TIEMPOS LAT ITUDES RES !OUOS
68.221 50 54 9.800 20 25.063 39 39 42.041 0.829
68.211 50 53 55.400 21 42.231 39 39 42.428 0.442
68.207 50 53 40.300 23 0.116 39 '9 43.318 -0.448
68.199 50 53 28.900 24 2.158 39 39 43.350 -0.480
68.190 50 53 15.000 25 18.460 39 39 43.212 -0.342
ERROR MEDIO CUACRATIcr DE LA SERIE
o. !q8
LATITUD DE LA SERIE E.M.C.
39 39 42.870 0.261