Determinantes

Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial S.M.)

Dada una matriz cuadrada

se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:

con

(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n }, e i (s) es la signatura de la permutación)

Determinantes

Definición: Se llama determinante de A al número que se obtiene mediante la suma de los productos de un elemento de cada fila y columna precedidos del signo + o – según la paridad de la permutación que indican sus filas y columnas.

Determinantes de orden 2 y 3

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33.

a11 a12 a13 a 21 a22 a23

a31 a32 a33

Dada una matriz cuadrada de orden 3 A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

det (A) o |A|, al número real siguiente: Se llama determinante de A,

Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a

a A =

11 12

a21 22

se llama determinante de A al número real:

Det( A) = |A| = a a 11 12

a 21 a 22= a11 · a22 – a12 · a21

Ejemplo: 3 2 2 1 = 3·1 - 2·2 = 3 – 4 = -1

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus permite recordar gráficamente los productos que aparecen en la expresión del determinante de orden 2 y 3 y sus signos. Los elementos de la diagonal principal y sus paralelas, con su signo y los de la diagonal secundaria y sus paralelas cambiadas de signo.

Aplicaciones a la regla de Sarrus

24 – 12 – 10 + 4 – 9 + 80 = 77

det(A) = 3 . (–2) . (–4) + 4 . (–3) . 1 + 5 . (–1) . 2 – [1 . (–2) . 2 + (–1) . (–3) . 3 + 5 . 4 . (–4)] =

El determinante de la matriz A =

3 5 1

4 –2 –1 2 –3 –4

es

Cálculo de determinantes usando desarrollo por los elementos

de una fila o columna

• Se llama menor Mij de la matriz A al determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la fila i-ésima y la columna j-ésima.

• Se llama adjunto Aij del elemento aij de la matriz A al número Aij = (–1)i+jMij.

El determinante de una matriz A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

es igual a la suma de los elementos

de una fila o columna multiplicados por sus adjuntos:

det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + ai3 . Ai3 sería el desarrollo por la i-ésima fila det (A) = a1j . A1j + a2j . A2j + a3j . A3j sería el desarrollo por la j-ésima columna

Ejemplos: desarrollos de un determinante de orden 3

Desarrollo por primera columna de un determinante de orden 3

Desarrollo por tercera fila de un determinante de orden 3

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11.(-1)1+1

a22 a23

a32 a33 + a21

.(-1)2+1 a12 a13

a32 a33 + a31

.(-1)3+1 a12 a13

a22 a23

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a31.(-1)3+1

a12 a13

a22 a23 + a32

.(-1)3+2 a11 a13

a21 a23 + a33

.(-1)3+3 a11 a12

a21 a22

Determinante de cualquier orden

–3 5

–1 –1

= 1 · 3 + 6 · 5 + 1 · 1 + 0 · (–1) = 34

El determinante de la matriz A de orden n se puede obtener multiplicando los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos:

det (A) = ai1 . Ai1 + ai2 · Ai2 + ... + ain . Ain sería el desarrollo por la i-ésima fila

det (A) = a1j . A1j + a2j · A2j + .. .+ amj . Amj sería el desarrollo por la j-ésima columna

Por ejemplo:

2 –1 1 2 1 6 1 0

3 –1 –1 3 2 –1 0 1

= 1 · (–1)2+1 –1 1 2 –1 –1 3 –1 0 1

+ 6 · (–1)2+2 2 1 2

3 –1 3 2 0 1

+

+ 1 · (–1)2+3 2 –1 2

3 –1 3 2 –1 1

+ 0 · (–1)2+4 2 –1 1

3 –1 –1 2 –1 0

=

I. El determinante de una matriz con dos filas o columnas proporcionales es cero.

II. El determinante de una matriz con una fila o columnas nulas es cero.

Cálculo inmediato de determinantes (I)

Ejemplos:

El determinante de una matriz A =

–1 4 –1

3 2 3 2 5 2

es igual a cero porque la tercera y

primera columnas son iguales.

El determinante de una matriz A =

2 4 –1

1 –2 3 3 –6 9

es igual a cero porque la tercera fila

es igual a la segunda multiplicada por 3.

Ejemplo:

El determinante de una matriz A =

–1 0 –1

3 0 3 2 0 2

es igual a cero porque la segunda columna

es nula.

III. El determinante de una matriz en que una fila o columna depende linealmente de otras filas o columnas es cero.

IV. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Cálculo inmediato de determinantes (II)

Ejemplo:

El determinante de una matriz A =

2 4 0

1 3 –1 3 1 5

es igual a cero porque la tercera columna es

igual al doble de la primera menos la segunda.

Ejemplo:

El determinante de la matriz A =

–1 0 –1

0 2 3 0 0 2

es igual –4.

V. El determinante de la matriz unidad es 1

Cálculo inmediato de determinantes (III)

Ejemplos:

El determinante de la matriz I3 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

es igual a 1.

El determinante de la matriz I5 =

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

es igual a 1.

I. Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz por un número el determinante de la matriz se multiplica por ese número.

II. Si se intercambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.

Propiedades: operaciones con filas y columnas (I)

Ejemplo:

2 3 4 20

= 2 3

4 . 1 4 . 5 = 4

2 3 1 5

Ejemplo:

1 – 4 2 5 = –

– 4 1 5 2

III. Al sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras filas o columnas, respectivamente, el valor del determinante no varía.

Propiedades: operaciones con filas y columnas (II)

Ejemplo: Si en A = 2 3 – 1 1 5 2 4 13 4

sumamos a la tercera fila la primera mult iplicada por – 1 más

la segunda multiplicada por – 2, obtenemos:

B = 2 3 – 1 1 5 2

4 + 2 (–1) + 1(–2) 13 + 3 (–1) + 5(–2) 4 + (–1) (–1) + 2(–2)

y se cumple que ambos determinantes son iguales: BA

I. El determinante del producto de dos matrices cuadradas y multiplicables es igual al producto de los determinantes de cada una de ellas.

II. El producto de los determinantes de dos matrices inversas es 1.

Determinantes de operaciones con matrices (I)

Ejemplo:

Sean A =

2 0

1 –1 y B =

4 1

3 2 . Se tiene que |A| = –2 y |B| = 5.

Como A . B =

8 2

1 –1 y | A . B | = – 10 se observa que | A

. B | = |A|

. |B|

Ejemplo:

Sea A =

3 0

1 1 ; entonces A –1 =

1/3 0

–1/3 1

Como | A | = 3 y | A –1 | = 1/3, se observa que | A | . | A–1 | = 1

III. Al trasponer una matriz su determinante no varía.

VI. Si se multiplica una matriz cuadrada de orden n por un número, el nuevo determinante es igual al anterior multiplicado por la potencia n-ésima del número.

Operaciones con matrices (II)

Ejemplo:

Sea A =

2 0 –2

1 1 3 3 0 2

. Entonces At =

2 1 3

0 1 0 –2 3 2

Se cumple que | A | = | At |

Ejemplo:

Se cumple que: 2

2 0 – 2

1 1 3 3 0 2

=

4 0 – 4

2 2 6 6 0 4

= 23

2 0 – 2

1 1 3 3 0 2

Operaciones con matrices (III)

Ejemplo:

Sea A =

2 3 –1

1 5 2 4 13 4

. Entonces se cumple que | A | = 7

Y se tiene que:

2 3 –1

1 5 2 4 13 4

=

1 + 1 3 –1

3 – 2 5 2 1 + 3 13 4

=

1 3 –1

3 5 2 1 13 4

+

1 3 –1

– 2 5 2 3 13 4

= (-70) + 77

Si A =

a11 a12 + b12 a13

a21 a22 + b22 a23

a31 a32 + b32 a33

se cumple que:

a11 a12 + b12 a13 a21 a22 + b22 a23

a31 a32 + b32 a33 =

a11 a12 a13 a21 a22 a23

a31 a32 a33 +

a11 b12 a13 a21 b22 a23

a31 b32 a33

V.- Si una fila o columna es suma de varios sumandos, se descompone en tantos determinantes como sumandos haya

El rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.

Rango de una matriz por determinantes I

Se llama “menor” de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).

En una matriz cualquiera A m×n  puede haber varios menores de un cierto orden p dado.

Definición:

El RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. El rango o característica de una matriz A se representa por rg(A).

Consecuencias

Las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes si y sólo si su determinante es cero.

• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4.

• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 4.

• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 3.

• Se añaden a la matriz anterior todas las filas y columnas posibles para formar matrices de orden 3.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A) 3.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden tres es distinto de cero rang(A) 3.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A) 2.

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden dos es distinto de cero rang(A) 2. En caso contrario rang(A) = 1

En caso contrario rang(A) = 1

En caso contrario rang(A) = 2En caso contrario rang(A) = 2

• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de orden cuatro es distinto de cero rang(A) 4.• Si el determinante de alguna matriz cuadrada de

orden cuatro es distinto de cero rang(A) 4.En caso contrario rang(A) = 3

En caso contrario rang(A) = 3

Y así hasta que no sea posible continuarY así hasta que no sea posible continuar

• El rango de la matriz nula es 0.• Si la matriz A no es nula rang(A) 1.• El rango de la matriz nula es 0.• Si la matriz A no es nula rang(A) 1.

Algoritmo para el cálculo del rango de una matriz

• La matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si | A | ≠ 0.

• Dada la matriz cuadrada A, se llama “matriz adjunta” de A y se representa adj (A), a la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento a ij por su adjunto Aij.

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (I)

Ejemplo: Dada la matriz (A) =

2 -2 2

2 1 0 3 -2 2

, su adjunta sería:

adj (A)=

1 0 –2 2 –

2 0 3 2

2 1 3 –2

––2 2 –2 2

2 2 3 2 –

2 –2 3 –2

–2 2 1 0 –

2 2 2 0

2 –2 2 1

=

2 –4 –7 0 –2 –2 –2 4 6

• Se llama “Adjunto Ai,j” del elemento “ai,j” al determinante del menor Mi,j multiplicado por (-1)i+j

La matriz A tiene inversa ya que: det(A) = – 2 0

Obtención de la matiz inversa mediante determinantes (II)

Ejemplo: Dada la matriz A =

2 –2 2

2 1 0 3 –2 2

, pretendemos encontrar su inversa:

Ya hemos visto que: adj (A) =

2 –4 –7

0 –2 –2 –2 4 6

Entonces: [adj (A)]t =

2 0 –2

–4 –2 4 –7 –2 6

Por lo tanto: A–1 = 1

| A | [adj (A)]t = 1 –2

2 0 –2

–4 –2 4 –7 –2 6

=

–1 0 1

2 1 –2 7/2 1 –3

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0

Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos I

Calculo de la matriz inversa por el método de los adjuntos II

• El determinante de una matriz se obtiene sumando los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos.

• El método de Gauss consiste en, utilizando las propiedades anteriores, anular todos los elementos de una fila o columna excepto uno llamado pivote, y que interesa que valga 1 ó –1, para simplificar los cálculos.

• 2ª fila por (–3) + 1ª fila• 2ª fila por (–2) + 3ª fila• 2ª fila por (–3) + 4ª fila

desarrollo por 1ª columna

• 1ª fila por 1 + 3ª fila

desarrollo por 1ª columna

–18

Cálculo de determinantes por el método de Gaus

Ejemplo:

3 5 – 2 6 1 2 – 1 1 2 4 1 5 3 7 5 3

=

0 – 1 1 3 1 2 –1 1 0 0 3 3 0 1 8 0

= –1 . – 1 1 3 0 3 3 1 8 0

= –1 . – 1 1 3 0 3 3 0 9 3

=

= (–1) . (–1) 3 3 9 3 =