DETERMINANTES

La funcin determinante es una funcin con valores reales de una variable matricial, en el sentido de que asocia un nmero real con una matriz.

De acuerdo con el teorema 1,4, 5 la matrizA= abcd

Es invertible si ad bc es diferente de cero. La expresin ad bc aparece con tanta frecuencia en matemticas que tiene un nombre; se llama determinante de la matriz A 2 x 2, y se denota por el smbolo det(A). Con esta notacin, la inversa de A se puede por expresar como:A-1=1det(A)d-b-ca

EVALUACIN DE DETERMINANTES POR REDUCCIN DE RENGLONES

Se empezar con un teorema fundamental sobre determinantes.

Sea A una matriz cuadrada:a) Si A tiene un rengln de ceros o una columna de ceros, entonces det(A)=0b) det(A)=det(AT).

Demostracin de a) Como todo producto elemental con signo de A tiene un factor de rengln y un factor de cada columna, entonces todo producto elemental con signo tiene necesariamente un factor de un rengln cero o de una columna cero. En estos casos, todo producto elemental con signo es cero, y det (A), que es la suma de los productos elementales con signo, es cero. Se omite la demostracin de b), pero recuerda que un producto elemental tiene un factor de cada rengln y un factor de cada columna, de modo que es evidente que A y AT tienen el mismo conjunto de productos elementales. Mediante algunos teoremas de permutaciones, cuyo anlisis llevara demasiado lejos, se puede demostrar que en realidad A y AT tienen el mismo conjunto de productos elementales con signo

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son tiles para simplificar su evaluacin.En los prrafos siguientes consideramos queAes una matriz cuadrada.Propiedad 1.Si una matrizAtiene un rengln (o una columna) de ceros, el determinante deAes cero.

Ejemplo 1.SeaDesarrollando porcofactoresdel primer rengln se tienePropiedad 2.El determinante de una matrizAesigual al determinante de la transpuesta deA.

Esto esEjemplo 2.SeaLa transpuesta deAesPropiedad 3.Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matrizAentonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 3.SeaconIntercambiando los renglones1y2la matriz quedaconNote que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.Propiedad 4.Si una matrizAtiene dos renglones (o dos columnas) igualesentoncesdetA= 0.

Ejemplo 4.SeaentoncesPropiedad 5.Cuando un solo rengln (o columna) de una matrizAse multiplica por un escalarrel determinante dela matrizresultante esrveces el determinante deA,rdetA.

Ejemplo 5.Seacuyo determinante se calcul en el ejemplo 2,Multiplicando el tercer rengln deApor el escalarr= 3 se tiene la matrizBsiguientecuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna deBesPropiedad 6.Si un rengln de la matrizAse multiplica por un escalarry se suma a otro renglndeA,entonces el determinante de la matriz resultante es igualal determinante deA,detA.Lo mismo se cumple para las columnas deA.

Ejemplo 6.Seacuyo determinante se calcul en el ejemplo 2,Multiplicando la segunda columna deApor el escalar2y sumndola a la columna 3 se obtiene la matrizBsiguienteExpandiendo por cofactores de la primera columna se tienePropiedad 7.SiAyBson matrices de, el determinante del productoABes igual al producto de los determinantes deAy deB.

Esto esEjemplo 7.SeanyconyEl productoY su determinanteesEntonces.Propiedad 8.El determinante de la matriz identidadIes igual a 1 (uno)Ejemplo 8.I=detI= (1)(1) (0)(0) = 1Propiedad9.El determinante de unamatriz singular, es decir, que no tieneinversa, es igual a 0 (cero)Ejemplo 9.J=|J| = (1)(-12) (-3)(4) = -12 +12 = 0Se puede fcilmente comprobar que la matrizJno tiene inversa.

Aplicaciones de los determinantes: regla de Cramer

La regla de Cramer llamada as por su inventor Gabriel Cramer (1704-1752), matemtico suizo, aunque Cramer no est considerado al lado de los grandes matemticos de sutiempo, sus contribuciones como diseminador de las ideas matemticas le ganaron un bien merecido lugar en la historia de las matemticas.La siguiente regla proporciona una forma til para la solucin de ciertos sistemas lineales den ecuaciones con n incgnitas. Esta frmula, denominada Regla de Cramer es deintersmarginal para efectos de cmputo, aunque es til para estudiar las propiedades matemticas de una solucin sin necesidad de resolver el sistema.Regla de Cramer: