Dfq30 derivadascinematica ap
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Las derivadas en cinemática 1.7. Ejercicios de aplicación 1.7.1. Un automóvil recorre 300 m en 20 segundos , sometido a una aceleración constante de 0,8 m.s-
2.Calcular a) su velocidad inicial b) su velocidad a los 20 segundos c) la longitud recorrida en los 10 primeros segundos 1.7.2. El movimiento de una partícula está definido por la ecuación
1028tt6t2x 23 −+−= Donde x se expresa en metros y t en segundos Calcular la posición, velocidad y aceleración cuando t=10 s. 1.7.3. El movimiento de una partícula está definido por la ecuación
16 t20t01tx 23 −−−= x en metros y t en segundos. Calcular la longitud recorrida por la partícula entre t=0s y t= 12 s. Representar las gráficas v-t y a-t 1.7.4. La posición de una partícula está dada por la ecuación
05 t20t6tx 23 −−−= Calcular: 1) El intervalo de tiempo que transcurre para que su velocidad se anule y la longitud recorrida en ese tiempo. 2) La aceleración media en ese intervalo de tiempo y la instantánea cuando la velocidad sea nula. 3) Representar las gráficas x-t, v-t ; y a-t- 1.7.5. Desde una altura de 50 m se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. 1) Determinar las ecuaciones de la posición y velocidad del cuerpo 2) Calcular las posiciones y los tiempos para los que el cuerpo tiene una velocidad absoluta que es la mitad de la inicial. 3) Calcular el tiempo que emplea la piedra en llegar al suelo
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1.7.6. La posición de una partícula que oscila a lo largo del eje X viene dada por la ecuación ( )φtωsenAx +=
Si xo y vo designan la posición y velocidad de la partícula en el instante t=0 s. 1) Encontrar una relación entre ϕ y las constantes características del movimiento xo , vo y ω . 2) Encontrar la expresión que relaciona A con xo, vo y ω.
1.7.7. Una partícula efectúa un movimiento vibratorio armónico definido por la ecuación
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
4πt0,20cos2x
x en metros y t en segundos. 1) Determinar la elongación , velocidad y aceleración cuando t=18s. 2) La velocidad y aceleración cuando el móvil ocupe las posiciones x=+1,5 m y x= -1,5 m 1.7.8. Un móvil efectúa un movimiento vibratorio armónico de amplitud A=0,5 m, ocupa la posición x=+0,25m cuando t=0 y se dirige hacia la posición x=-0,50 m. Determinar utilizando la función coseno, las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración. Repetir el apartado anterior usando la función seno 1.7.9. Desde una altura de 25 metros se lanza una piedra, designada con 1, con velocidad inicial vertical y hacia debajo de 10 m/s. Desde el suelo y en dirección vertical y hacia arriba se lanza otra piedra, designada con 2, con velocidad inicial de 50 m/s. 1) Calcular la posición cuando ambos móviles se cruzan y las velocidades de cada móvil en ese instante 2) Calcular los tiempos que tardan los móviles en llegar al suelo y sus velocidades 3) Calcular la distancia recorrida `por la segunda piedra 1.7.10. Un automóvil se desplaza con movimiento rectilíneo y uniforma a una velocidad de 100 km/hora. El conductor observa un obstáculo en la carretera a 125 m y aplica los frenos con un tiempo de reacción de t segundos. Si los frenos imprimen al coche una aceleración negativa de – 4 m/s2.Calcular el valor máximo de t para que el automóvil no choque con el obstáculo.
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1.7.11. Desde una torre de 50 m se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial vo= 100 m/s. En el origen de referencia situado en el suelo hay un observador que pone en marcha su cronómetro al ver el fogonazo producido por el disparo y él a su vez lanza un nuevo disparo con una velocidad m/s100v´
o = , cuando su cronómetro marca el duodécimo. 1) Ecuaciones de las posiciones y velocidades de cada proyectil en función del tiempo 2) Altura máxima alcanzada por cada proyectil 3) Instante en el que se cruzan 4) Posición y velocidad en el instante anterior 1.7.12. Dos motoristas A y B se encuentran en los extremos de una recta de longitud 2 km. El origen de referencia se toma donde se encuentra inicialmente el motorista A. y ahí está un observador con un cronómetro. La moto A sale con una aceleración de 3 m/s2 que la mantiene durante 10 s para continuar después con movimiento uniforme. La moto B sale 20 segundos más tarde que A y se dirige al encuentro de A con una aceleración de 1 m/s2 que mantiene siempre. 1) Ecuaciones de las posiciones de ambas motos 2 ) Instante en que se cruzan 3) Posición y velocidad en el instante anterior
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1.8.- Solucionario de los ejercicios de aplicación 1.7.1.
tavv;ta21tvxx o
2oo +=++=
Si t = 20 s , a= 0,8 m/s2
m110100,82110v0x)3
sm 23 200,87tavv)2
;sm7v200,8
2120v0300 1)
2o
o
02
o
=⋅⋅+⋅+=
=⋅+=+=
=⇒⋅⋅+⋅+=
Longitud recorrida: x-x0 = 110 m 1.7.2.
m16701010281062.1010t28t6t2x 2323 =−⋅+⋅−=−+−=
2
22
sm10812101212t12
dtdva
sm5082810126.1028t12t6
dtdxv
=−⋅=−==
=+⋅−=+−==
1.7.3. Las posiciones del móvil cuando t=0 y t= 12 s son respectivamente: x(0) = -16 m ; x(12) = 32 m Entre esas dos posiciones el móvil ocupa otras intermedias; es necesario saber qué posiciones ha ocupado el móvil entre esos tiempos. Una forma de solucionarlo es dar valores a la función x(t) y hacer una representación gráfica. Pero antes vamos a obtener las funciones velocidad y aceleración que nos darán la solución de si existe un máximo, un mínimo. s0,88ty7,55st0;2020t3t;2020t3tvx´ 22 −===−−−−== s3,33t;0;206t;206tav´x´´ ==−−=== 06x´´´ ≠= En t=3,33 s, existe un punto de inflexión. Sustituimos en x´´ , el valor de t=7,55 s
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02055,76 >−⋅ Resulta que t=7,55 s es un mínimo. Representamos la función dando valores a t
t/s 0 2 4 6 7,55 8 10 12 x/m. -16 -88 -192 -280 -306,66 -304 -216 +32
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
0 2 4 6 8 10 12
tiempo; t/s
posi
ción
; x/
m
La longitud recorrida es a) desde x=-16 m al mínimo 306,66 , de 306,66+32 L= (306,66-16)+(306,66+32)= 629,3 m La grafica v-t y a-t es la siguiente:
-60-50-40-30-20-10
010203040
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9tiempo/s
v/m
.s-1
; a
/m.s-2
1.7.4.
s1,27tys5,27t02012t-3t2012t-3tdtdxv 22 −==⇒=−⇒−==
m175,7x(5,27);m50x(0) −=−=
Longitud recorrida =175,7-50=125,7 m 2)
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2m sm3,8
27,5)20(0
05,27v(0)v(5,27)a =
−−=
−−
=
2sm19,62125,276a;126t
dtdva =−⋅=−==
3) t=0 ; x=-50 m ; t=5,27 s x=-175,7 m ( máximo o mínimo) t=2 s x=106 m (inflexión)
-200-150-100-50
050
100150200
0 2 4 6 8 10 12
tiempo/s
x(t)/
m ;
v(t)
/m.s-1
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10 12
tiempo/s
a(t)
/m/s
-2
1.7.5.
2ooo2
o0 sm9,8ga,
sm20v,m50x;tavv;ta
21tvxx −=−=+=+=+=++=
1) t9,820v;t4,9t2050x 2 −=−+= 2) Cuando v=10 m/s , la piedra esta subiendo
m65,31,024,91.022050x(1,02);s1,02tt9,82010 2 =⋅−⋅+==⇒−= Cuando v=-10 m/s , la piedra está bajando - m65,306,34,906,32050x(3,06);s06,3tt9,82010 2 =⋅−⋅+==⇒−=
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3) Cuando la piedra llega al suelo x=0
⇒−+= 2t4,9t20500 t=5,8 s ; t=-1,75 s Tiene validez física la solución positiva. 1.7.6.
( )
( )[ ]
o
o
0o
oo
vωx
tag(2)y(1)De
(2)ωA
vcoscosAωv0tcuandoω,tωcosA
dtdxx´v
(1)Ax
sensenAx0tcuando,tωsenAx
=
=⇒=⇒=⋅+⋅===
=⇒=⇒=+=
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
De (1)
2
2o2o2
Ax
1cosAx
cos1 −=⇒=− ϕϕ
De (2) ( ) 2o2
2o
2
2o
22o2
o222
o2
2o
2
o xωv
ωxωv
AxAωvA
xAωAcosωAv +=
+=⇒−=⇒
−== ϕ
1.7.7. 1)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=====
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−===
4πt0,2cos0,08
dtxd
dtdvx´´v´a
4πt0,2sen0,40,2
4πt0,2sen2
dtdxx´v
2
2
( )
m0,64251,3ºcos2x(18)sm0,026cos251,3º0,08
4π180,2cos0,08a
sm0,38947),0(0,445º206,3ºsen0,4
4π3,6sen0,4v(18)
2
−=⋅=
=⋅−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅−=
=−⋅−=+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
2) Sustituyendo en la ecuación de la posición
2
2
sm0,060,750,08
4πt0,2cos0,08a
sm0,264
4πt0,2sen0,4v
0,660,7514πt0,2sen0,75
4πt0,2cos
4πt0,2cos21,5
−=⋅−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
±=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
±=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⇒=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
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( )
( ) 2
2
sm0,060,75-0,08
4πt0,2cos0,08a
sm0,264
4πt0,2sen0,4v
0,660,75-14πt0,2sen0,75
4πt0,2cos
4πt0,2cos21,5-
=⋅−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
±=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
±=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⇒−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
1.7.8.
( )
240ºy120º0,5coscos0,50,25cosAx0tParatωcosAx
==−=⇒=−⇒=⇒=⇒+=
ϕϕϕϕϕϕ
Para
decidir sobre el valor de ϕ, hallamos la velocidad
( )
( ) 00,87ωA240ºsenωAv;00,87ωA120ºsenωAv
senωAv0tPara;tωsenωAdtdxx´v
>−⋅−=−=<⋅−=−=
⇒−=⇒=+−=== ϕϕ
Puesto que para t=0 el móvil se dirige hacia la posición -0,5, se deduce que la velocidad es negativa y por consiguiente ϕ=120º. Si utilizamos la función seno
( )
( ) 00,86Aω)v(150º;00,86Aω)v(30º;ΦtωcosωAv150ºΦy30ºΦ0,5senΦΦsen0,50,25;ΦtωsenAx
<⋅−=>⋅=+===⇒=⇒=+=
Las ecuaciones son:
( ) ( ) ( )150ºtωsenAωxωa;150ºtωcosωAv;150ºtωsenAx 22 +−=−=+=+= 1.7.9. Tomamos como punto de referencia el suelo, las velocidades dirigidas hacia arriba son positivas y hacia abajo negativas. Empleamos el mismo criterio para las aceleraciones. Las ecuaciones de los móviles son:
t9,850v(2);t9,821t50x(2)
t9,810v(1);t9,821t1025x(1)
2
2
−=−=
−−=−−=
Cuando ambos móviles se cruzan ocupan la misma posición
m200,4174,9-0,41710-25x(1)s0,417tt6025t4,9t50t4,9t1025x(2)x(1)
2
22
≈⋅⋅=
=⇒=⇒−=−−⇒=
Las gráficas de las posiciones son:
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0
10
20
30
40
50
60
70
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
tiempo/s
posi
cion
es e
n m
etro
s
móvil que asciende
móvil que desciende
sm14417,0*8,910)1( −≈−−=v
El signo menos nos indica que la velocidad es hacia abajo
m/s46417,0*8,950)2( +≈−=v El signo más indica que la velocidad es hacia arriba. Cuando la piedra (1) llega al suelo su posición es x(1)=0
s1,46t0t4,9t1025 2 =⇒=−−
sm24,31,469,810v(1) −=⋅−−=
Cuando la piedra (2) llega al suelo su posición es x(2)=0
sm5010,2*9,8-50v(2)
s2,019,405t t4,9-50t0x(2) 2
−==
==⇒==
La velocidad al llegar al suelo es igual a la de salida en valor absoluto, el signo indica que esa velocidad es vertical y dirigida hacia abajo 3) La distancia recorrida por la segunda piedra se calcula determinando hasta dónde sube la piedra, lo que corresponde a que su velocidad se anule
m127,65,14,95,150x(5,1s)s5,1tt9,850)v(2
2 =⋅−⋅=
=⇒−=
La distancia recorrida es la suma de la distancia hacia arriba y la misma distancia hacia abajo Longitud recorrida = 127,6+127,6=255,2 m
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1.7.10.
El tramo de longitud x lo recorre con movimiento uniforme, empleando el tiempo de reacción t. El resto de la longitud 125-x la recorre con movimiento uniformemente retardado, de manera que el automóvil al llegar al obstáculo debe tener velocidad cero.
sm27,78
s3600m1000100
hkm100 ==
Desde que ve el obstáculo hasta que aplica los frenos el coche recorre x metros x=27,78 t Designamos con t´ el tiempo que emplea el automóvil en recorrer los 125- x metros con aceleración: a = -4 m/s2. En ese tiempo el automóvil pasa de la velocidad 27,78 m/s a cero
s6,95t´4t´27,78v =⇒−=
s1,0327,7828,53
27,78xt
m28,536,954216,9527,78125xt´4
21t´27,78x125 22
===⇒
⇒=⋅⋅+⋅−=⇒⋅⋅−⋅=−
1.7.11.
1) ( ) ( )22
21 10t10
2110t1000x;t10
21t10050x −−−+=−+=
( )10t10100dt
dxv;10t100dt
dxv 22
11 −−==−==
2) En el punto de altura máxima la velocidad es nula
( ) s20t10-t10-1000s10tt101000
=⇒==⇒−=
( ) ( ) m500102051020100x(2)
m5501051010050x(1)2
2
=−−−=
=⋅−⋅+=
3) Cuando se cruzan ambos tienen la misma posición respecto del sistema de referencia.
v=0
x 125-x Tramo x, a velocidad constante de 100 km/h
Tramo de longitud 125-x metros con movimiento uniformemente retardado y aceleración constante de -4 m/s2.Al llegar al obstáculo la velocidad debe ser cero.
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s15,5tt100500t51000t100t5t10050xx 22
21 =⇒+−−−=−+⇒= 5) Posición y velocidad de cada proyectil en el instante t=15,5 s.
sm45v
sm55v;m398,75xx 2121 =−===
1.7.12. Ecuación del movimiento de A. Hasta t=10 s
t3dt
dxv:t321x A
A2
A ==⋅=
Para t =10 s
sm30v;m150x AA ==
Para valores de s10t ≥
( )10t30150xsm30v;m150x;tvxx
A
oo
−+=
==+=
Ecuación del movimiento de B.
( )2B 20t1)(
212000x −−+=
Puesto que empezó su movimiento 20 segundos después que el móvil A.
2 )xA=xB
( ) ( ) s53,25t;10t21200010t30150 2 =−−=−+
3)
( )
( ) ( )sm33,252053,25120t1
dtdxv
sm30v
m1447,52053,25212000x
m1447,510)53,25(30150x
BB
A
2B
A
−=−−=−−==
=
=−−=
=−⋅+=