Diagramas, categorías y huellasde pájaro

Selim Gómez Ávila

División de Ciencias e Ingenierías, Universidad de Guanajuato

What one fool could understand,another can.

Richard Feynman

La notación en física es importante porque nos ayuda apensar

.

.

.C

.

.B

.

.

A

..

.C

.

.B

.

.

A

..

.C

.

.B

.

.

A

..

.C

.

.B

.

.

A

..

.C

.

.B

.

.

A

..

.C

.

.B

.

.

A

..

.C

.

.B

.

.

A

..

.C

.

.B

.

.

A

..

.C

.

.B

.

.

A

.

El formalismo matemático de las categorías puede expresarme medianteun lenguaje gráfico. Este lenguaje puede utilizarse para realizar cálculos,pero sobre todo representa un auxiliar para el razonamiento.

▶ Alfabeto y gramática de un lenguaje de diagramas 1

▶ Breve mirada a categorías y functores▶ Álgebra lineal escrita de manera no lineal

1A survey of graphical languages for monoidal categories, Peter Selinger (2009)

Feynman llevó la TCC a las masas

..γ.

f

.

sf

.

γ1

.

γ2

.

f

.

sf

Los diagramas de Feynman representanuna contribución particular a la amplitudde transición entre estadosasintóticamente libres de una teoríacuántica de campo.

Los diagramas de Penrose en Relatividad General

La notación tensorial de Penrose permiterepresentar tensores arbitrarios e indicarsus simetrías de manera compacta.

..Γ.

µ

.

ν

.

α

.

β

.

Γµνα;β − Γµν

β;α

Pedrag Cvitanovic y las huellas de pájaro

..1

.3

.3 .

g

.

2

.5

.

3

.

4

.

g

.h

.

2

.

3

.

4

Las huellas de pájaro (birdtracks)permiten describir el acoplamiento dedistintas representaciones de grupos ycalcular sus invariantes.

Cobordismos, computación cuántica, teoría de cuerdas...

................

=.........

|0⟩

.

|0⟩

.

|0⟩

.

H

.

H

.

H

.....

H

.

H

....

|000⟩+ |111⟩√2

.

S

.

CD

.

D

.

SC

.

PC

.

D

.

CD

.

P

.

V1

.

V2

.

V3

Todos estos son lenguajes gráficosUn lenguaje gráfico tiene dos clases de elementos:

..

Alambres

. Cajas

Los extremos de los alambres representan objetos, y las cajastransformaciones entre objetos. Distintos tipos de objetos puedendistinguirse con estilos de líneas diferentes:

.

Todos estos son lenguajes gráficos

Transformaciones diferentes pueden dibujarse como cajas de diferentesformas

...

Podemos representar la composición de transformaciones uniendo losalambres que emergen de las cajas:

.

Un diagrama de Feynman, por ejemplo, es la representación gráfica de unoperador con índices que corresponden a las patas externas:

.

.

p, a

.

p, a

.

k, µ

.

k, ν

Aquí los alambres representan estados físicos y las cajas vértices opropagadores.

.

.

Pρτ (k, k)

.

P ab(p, p)

....

V abµ (p, p, k)

Un diagrama de Feynman, por ejemplo, es la representación gráfica de unoperador con índices que corresponden a las patas externas:

..

p, a

.

p, a

.

k, µ

.

k, ν

Aquí los alambres representan estados físicos y las cajas vértices opropagadores.

.

.

Pρτ (k, k)

.

P ab(p, p)

....

V abµ (p, p, k)

Un diagrama de Feynman, por ejemplo, es la representación gráfica de unoperador con índices que corresponden a las patas externas:

..

p, a

.

p, a

.

k, µ

.

k, ν

Aquí los alambres representan estados físicos y las cajas vértices opropagadores.

.

.

Pρτ (k, k)

.

P ab(p, p)

....

V abµ (p, p, k)

Un diagrama de Feynman, por ejemplo, es la representación gráfica de unoperador con índices que corresponden a las patas externas:

..

p, a

.

p, a

.

k, µ

.

k, ν

Aquí los alambres representan estados físicos y las cajas vértices opropagadores.

..

Pρτ (k, k)

.

P ab(p, p)

....

V abµ (p, p, k)

Las reglas que obedecen estos lenguajes gráficos les confieren laspropiedades matemáticas de una categoría..

.

Una categoría C consiste de los siguientes elementos▶ Una colección de objetos A,B,C,D . . ..▶ Una colección C(A,B) de morfismos f, g, h, . . . entre cada par de

objetos A,B.▶ Una composición entre los morfismos que satisface

h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f

▶ Un morfismo identidad para cada objeto 1A ∈ C(A,A)

Podemos pensar en A,B,C,D . . . como sistemas físicos, y en f, g, h . . .como las operaciones físicas (por ejemplo, las mediciones). Los objetoscorresponden a la cinemática y los morfismos a la dinámica.

Ejemplos de categorías que son importantes en la física son:▶ La categoría VectC en donde los objetos son espacios vectoriales

sobre los complejos y los morfismos son operadores lineales.▶ La categoría Hilb en donde los objetos son espacios de Hilbert y los

morfismos operadores acotados.▶ La categoría Set en donde los objetos son conjuntos y los morfismos

funciones.▶ La categoría Grp en donde los objetos son grupos y los morfismos

son homomorfismos que preservan su producto.▶ La categoría Top en donde los objetos son espacios topológicos y los

morfismos mapas continuos.▶ La categoría QuantOpp en donde los objetos son sistemas cuánticos

y los morfismos procesos como la preparación de un estado o sumedición.

Los diagramas forman una categoríaLa composición de transformaciones se representa en nuestro lenguajemediante la unión de alambres:

..f.A . g. B.

f ◦ g

Los objetos identidad son cajas que unen a un alambre consigo mismo:

..1S.A . A ∼= ..A . A

Por construcción, esta definición cumple con todos los axiomas de lacategoría cuyos objetos son los alambres y cuyos morfismos son las cajas.A esta propiedad se le llama solidez, y garantiza que los resultadosobtenidos graficamente se siguen de los axiomas de la categoría.

Una clase especialmente importante de categorías es la de categoríamonoidal. Esta es una categoría que posee un «producto externo» obifunctor ⊗ y un objeto unidad I, junto con tres isomorfismos

αABC :(A⊗ B)⊗C ∼= A⊗ (B⊗C)

λ :I⊗ A ∼= A

ρ :A⊗ I ∼= A

de manera que el siguiente diagrama (llamado el axioma triangular)conmute:

....(A⊗ I)⊗ B . ..A⊗ (I⊗ B)

. ..A⊗ B .

.

αAIB

.ρ . λ

Se requiere además que se cumpla el axioma pentagonal:

..

. ..A⊗ (B⊗ (C⊗D)) .

..A⊗ ((B⊗C)⊗D) . ..(A⊗ B)⊗ (C⊗D)

..(A⊗ (B⊗C))⊗D . ..((A⊗ B)⊗C)⊗D

.1A ⊗ αBCD

.

αAB(C⊗D)

.

αA(B⊗C)B

.

α(A⊗B)CD

.

αABC ⊗ 1D

(Todos los ejemplos dados hasta ahora son categorías monoidales).

Podemos representar el producto externo mediante la yuxtaposición dediagramas, de modo que(

..f.A . B)⊗(

..g.C . D)

puede dibujarse como..f.A . B.

g

.

C

.

D

o incluso como..f⊗ g.A .

C. B.

D

Si al hacer esto mantenemos el orden de los factores, automáticamenteestamos garantizando el cumplimiento de los axiomas de una categoríamonoidal. Muchas categorías de interés son monoidales.

.

.

Consideremos la categoría monoidal que posee un solo objeto V, unespacio vectorial real de dimensión n, en donde el producto externo ⊗ esel producto cartesiano. Los morfismos, entonces, son los tensores en(V,V⊗ V, . . .).

Definimos cajas con un solo alambre que corresponden a los vectores:...u

Cada alambre corresponde a un índice vectorial. El producto puntotradicional corresponde a la composición de dos vectores:

u · v = ...u .. v

El producto externo de dos vectores es un objeto con dos «indices»:

u⊗ v =...u.

.v

Una matriz sería una caja con dos alambres:

...M

Podemos representar su traza así:

...M.

En partícular, la traza de la matriz identidad es un alambre cerrado quecorresponde a un número, la dimensión del espacio:

...= n.

Este diagrama es esencialmente el origen de las divergencias en teoríasde campo, en donde se consideran espacios vectoriales de dimensióninfinita.

SI consideramos el producto de varias matrices identidad:...........

podemos definir los proyectores totalmente simétricos y antisimétricos dela siguiente manera:

..... = ..... + .....

..... = ..... − .....

La extensión a órdenes más altos es directa:.......

=.......

+.......

+.......

−.......

−.......

−.......

En general, podemos construir operadores tensoriales con tantos alambrescomo queramos. Es especialmente importante el tensor completamenteantisimétrico con n alambres

...

1

.

2

.

n

.

. . .

Por ejemplo, en tres dimensiones nos permite definir el producto cruz:

u× v =

..

.

.

u .

.

v

.

así como el triple producto escalar

u× v ·w =

..

.

.

u .

.

v .

.

w

En n dimensiones podemos extender esta definición de producto cruz:

u1 × . . .× un−1 =

..

.

.

u1 .

.

un−1

..

. . .

La propiedad más interesante de este operador tiene que ver con suproducto

....1

.... .

n− 1

.1

. ....

n− 1

.

.

.

.

.

.

. = ..1

.... .

n− 1

.1

. ....

n− 1

.

.

.

En tres dimensiones esto corresponde a

........

.

.

.

. = .......

− .......

....u .. v .. w∼= ....u .. v .. w

∼= ....u .. v .. w∼= ....u .. v .. w

.....u .. v .. w = ...u .. w.. v − ...u .. v .. w

...

..u .. v. .. w .. x = ...u .. w.. v .. x − ..

..u .. x

.

.. v .. w

Muchas identidades vectoriales que nos son familiares resultancompletamente triviales en términos de sus diagramas.

Por ejemplo, reduzcamos el siguiente diagrama:

.........

.

= ........

.

− .......

= ..... − ...... − ...... + .....

= ..... + .....

Esto es equivalente a la ecuación

ϵijkϵkmnϵompϵjqo = δinδqp + δiqδnp .

También sirve para hacer problemas del Jackson

Una aplicación de nuestra álgebra diagramática es la clasificación detodos los tensores con ciertas propiedades. Por ejemplo, ayer miscompañeros de cubo discutían el siguiente problema:.

.

Mostrar que, a segundo orden en H, ésta es la expresión más generalposible para la ley de Ohm generalizada:

E = α0J+ α1H× J+ α21(H ·H)J+ α22(H · J)H.

Es sencillo ver que solo hay un término lineal en H posible:. .. H .. J. .En cuanto a los términos cuadráticos, hay dos posibilidades:

...H .. H .. J y ...H .. H .. J

.

.¿Cómo podríamos resolver el mismo problema, pero considerando objetosde hasta cuarto orden en H?

Los términos de tercer orden posibles corresponden a todas las manerasposibles de conectar los siguientes elementos dejando un alambre libre:

.. .H ..H .. H .. J . Podemos convencernos de que la única posibilidad es

.. .H ..H .. H .. J.

El cuarto orden requiere conectar ahora .. .H . .H ..H .. H .. J .De nuevo, no es difícil ver que solo hay dos posibilidades:

.. .H . .H ..H .. H .. J y .. .H . .H ..H .. H .. J

Para llevarse a casa

▶ El álgebra diagramática unifica métodos y resultados en muchasáreas de la física.

▶ Espero haberlos convencido de que las álgebras diagramáticas sonde gran generalidad y utilidad.

▶ Hay muchas otras aplicaciones: teoría de grupos, cuerdas, mecánicacuántica, ciencia computacional, topología...

¡Gracias!