diagrames de Voronoi, GrafS de DelaunaY i GEOMETRIA …ima.udg.edu/~sellares/ComGeo/Delone4.pdf ·...

diagrames de Voronoi, GrafS de DelaunaY i

GEOMETRIA COMPUTACIONAL

Francesc AntónUniversitat Politècnica de Dinamarca

Departament d’Informàtica i Modelització MatemàticaConvidador: Professor Juan Antoni Sellarès, Departament

d’Informàtica i Matemàtica Aplicada, Universitat de Girona

PLa del curs

Diagrames de Voronoi i grafs de Delaunay i les seves connexions amb altres problemes de geometría computacional

Superfícies algèbriques, superfícies implícites, conjunts de nivell i CUDA

Pla de la primera part

Diagrama de Voronoi i graf de Delaunay de punts amb la distància euclidiana

Generalitzacions del conjunt de generadors (rectes, cercles, còniques, quàdriques, conjunts semi-algèbrics)

Generalitzacions de les mètriques (L1, L�, Laguerre, ponderació aditiva o multiplicativa, diagrames de Voronoi d’ordre k, k=1, k=n-1)

Pla de la primera part

Applicació a la visualització del creixement de partícules

Diagrames de Voronoi i grafs de Delaunay cinemàtics

Relacions entre diagrames de Voronoi i grafs de Delaunay amb altres problemes de geometria computacional: embolcalls convexes, localització òptima, etc.

Diagrames de voronoi i grafs de delaunay de

punts

El cercle circumscrit buit: propietat bàsica





principia philosophiae

Examples

TriangulaCions

Una triangulació d’un conjunt de punts P és un conjunt de triangles T tal que:

cada punt pi de P és un vèrtex d’al menys un triangle ti dins de T

els interiors de dos triangles qualsevols no s’intersecten

l’unió de tots els vèrtexs dins de T és P

qualsevol punt pi dins de P pot intersectar triangles ti dins de T només als vèrtexs de T

Triangulació de Delaunay

El cercle buit: Un cercle és buit si, i només si, l’interior del disc que l’entorna és buit.

Circumcercle d’una areste: Un circumcercle de l’areste entre pi i pj és un cercle que passa per pi i pj

Areste de Delaunay: Una areste és de Delaunay si, i només si, té un cirumcercle buit.

Delaunay : Un graf D, és un graf de Delaunay si, i solament si, la següent propietat és veritable:

Una areste a és de Delaunay si, i només si, a és a dins de D

Una areste de Delaunay

e_i

triangle de delaunay

t_i

AREste Localment Delaunay

Una areste d’una triangulació és localment Delaunay si, i solament si, és una aresta del embolcall convex dels vèrtexs de la triangulació, o si és de Delaunay relativament als dos triangles qu’el contenen.



e_j



e_ie_j

Triangles de Delaunay i aRESTES DE DelaunayDonada un triangulació T del conjunt de punts P, tots els triangles de T son Delaunay si, i solament si, tots les arestes de T son Delaunay.

p_i

p_j

t_i

e_i

Lema de DelaunaySi totes les arestes d’una triangulació son localment Delaunay, aleshores també son Delaunay


t_0

t_1

l

e_2

p_1p_2

p_3p_4=pp

e_1

e_3

e_4

t_2

t_3t_4


t_0

t_1

l

e_2

p_1p_2

p_3p_4=pp

e_1

e_3

e_4

t_2

t_3t_4

e_i

Si l’intercanvi de triangles és possible ...

a

c

d

e_i

e_j

Aleshores, la areste que no era de Delaunay, ho esdevé

punts cocirculars

punts cocirculars

punts cocirculars

punts cocirculars

punts cocirculars

algorismes per a constrüir el graf de

delaunay en 2D

Complexitat del problema: �(n log n) (sorteig)

dividir i vèncer (l’agrupament requereix la computació d’una cadena de triangles), òptim: O(n log n) [Shamos i Hoey 1975]

Escombratge de línia de Fortune: O(n log n)

Incremental (intercanvi de triangles adjacents): O(n2); complexitat mitjana: O(n log n)

algorismes VORONOI / delaunay en 3D

Complexitat del problema: �(n2) en 3D;

dividir i vèncer (l’agrupament requereix la computació d’una cadena de triangles) : algorisme “De Wall” : O(n2) o O(n3)

Escombratge de pla i GPU [Hoff, Zaferakis, Lin, Manocha RR 2002]

Incremental (intercanvi de triangles adjacents): O(n2) [Hugo Ledoux ISVD 2007]

Estructures de dades

El Doubly-connected edge list (Muller & Preparata 1978)

El Half-Edge (FE : K. Weiler 1985)

El Quad-Edge (2D: Guibas & Stolfi 1985 i 3D: Gold)

El Quad-Edge aumentat (Gold)

El Dual Half-Edge (Gold)

Problemes d’estabilitat

ExpressionValue

Act

ion

C

B

A

Confidence Interval

Bibliografia històrica

Gustav Lejeune Dirichlet (1850). Über die Reduktion der positiven quadratischen Formen mit drei unbestimmten ganzen Zahlen. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 40:209-227.

Georgy Voronoi (1907). Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 133:97-178, 1907

Bibliografia GENERAL

Atsuyuki Okabe, Barry Boots, Kokichi Sugihara & Sung Nok Chiu (2000). Spatial Tessellations - Concepts and Applications of Voronoi Diagrams. 2nd edition. John Wiley, 2000, 671 pages

Franz Aurenhammer (1991). Voronoi Diagrams - A Survey of a Fundamental Geometric Data Structure. ACM Computing Surveys, 23(3):345-405, 1991.

Bibliografia GENERAL

Adrian Bowyer (1981). Computing Dirichlet tessellations, The Computer Journal 1981 24(2):162-166.

David F. Watson (1981). Computing the n-dimensional tessellation with application to Voronoi polytopes, The Computer Journal, Heyden & Sons Ltd., Vol 2, Num 24, pp.167-172.

Mark de Berg, Marc van Kreveld, Mark Overmars, and Otfried Schwarzkopf (2000). Computational Geometry (2nd revised edition ed.). Springer-Verlag.

Generalitzacions del conjunt de generadors

DIAGRAMES DE VORONOI

El diagrama de Voronoi es defineix a partir

d’un espai mètric (conjunt de punts amb una distància),

d’una distància

d’un conjunt de generadors (conjunts inclosos dins del espai mètric).

Generalitzacions dels DIAGRAMES DE VORONOI

El diagrama de Voronoi es pot generalitzar canviant:

el conjunt de punts,

la distància,

el conjunt de generadors (conjunts inclosos dins del espai mètric).



el espai: espais euclidians, elliptics, hyperbolics (ISVD 2009), de Laguerre (cercles amb orientació).



la distància: distància euclidiana (L2), L1, L�, distància amb ponderació additiva, amb ponderació multiplicativa, potència d’un punt relativament a una esfera, distàncies on apareixen més d’un generador (2-site Voronoi diagram, round tour Voronoi diagram), distància al llarg de una xarxa.



el conjunt de generadors (conjunts inclosos dins del espai mètric): punts, (segments de) rectes en 2D i en 3D, punts i segments de rectes, cercles, discs, ellipses, còniques, superfícies quadratiques, conjunts algèbrics o semi-algèbrics, conjunts de k subconjunts de l’espai mètric (diagrames de Voronoi d’ordre k).

Grafs de Delaunay/Voronoi (punts i segments de recta oberts)



Graf de Delaunay de discos



Diagrama de Voronoi de el�lipses

El diagrama de Voronoi de conjunts (semi-)algèbrics ...

CERCLE

CORBA y=x3

El diagrama de Voronoi de conjunts (semi-)algèbrics ...

CERCLE

CORBA y=x3

... és un conjunt semi-algèbric

GENERALITZACIONS DEls espais i de LES Mètriques

Referencia: Applet http://www.nirarebakun.com/voro/ehivorocli.html

Altres espais

Geometria hiperbòlica: diagrames de Voronoi hyperbòlics

Referencia: Frank Nielsen, An interactive tour of Voronoi diagrams on the GPU, ShaderX6: Advanced Rendering Techniques, 2008

Altres espais

Geometria ellìptica: diagrames de Voronoi elliptics : distància elliptica (es pot generalizar a qualsevol conjunt convex)

Referencia : Okabe, Suzuki, European Journal of Operations Research

Altres Mètriques

Mètriques amb ponderació aditiva

Altres espais/MètriquesGeometria de Laguerre sobre el pla : distancia de Laguerre : dL(M,C(P,r))=dE(M,P)2 - r2

Kokichi Sugihara, Laguerre Voronoi diagram on the sphere

Altres Mètriques

Mètriques amb ponderació multiplicativa

Applicacions a la visualització deL

creixement de partícules

Tesselacions de Johnson-Mehl o la visualització

de partículesLes tesselacions de Johnson-Mehl son generalitzacions dels diagrames de Voronoi, on els generadors son nuclis i el creixement dels nuclis obedeix a una llei matemàtica: dr = e-�t dt

Diferents casos : � = 1 ; � = 0 : creixement independent del temps; � = -1

Tesselacions de Johnson-Mehl o la visualització

de partículesEl model de Johnson-Mehl és un model de creixement de Poisson Voronoi, on els nuclis apareixen a diferents moments i creixen amb la mateixa velocitat radial v.

La tesselació de Johnson-Mehl és equivalent a un diagrama de Voronoi dinamic amb ponderació aditiva, en el cual, la ponderació correspon amb el temps de creació del punt dins del process de Poisson Voronoi.

Johnson-Mehl com a diagrama de voronoi

Cada vegada que un nou nucli arriva, la tesselació de Johnson-Mehl canvia.

La ponderació de cada nucli s’augmenta del producte del interval de temps amb la velocitat.

DIAGRAMES de VORONOI de DISCoS O AMB

PONDERACIÓ Aditiva

El diagrama de Voronoi de discs és equivalent al diagrama de Voronoi amb ponderació aditiva perquè la distància entre un punt i un disc és la distància entre el punt i el centre del disc menys el radi del disc.

Treballs anteriors

Anishchik and Medvedev 1995: Three-dimensional Apollonian packing

Kim, Kim and Sugihara 2001: VD of circles from VD of points

Anton, Kirkpatrick and Mioc 2002: exact Additively Weighted Voronoi diagram

Gavrilova and Rokne 2003: Certified computation of the VD of spheres

El circumcercle buit





Perquè un algorisme exacte?




... per al diagrama de voronoi de discos ?


C

C

C

1

2

3

C4


C

C

C

1

2

3

C4

+2

4

r4

+

rr1

+C

2C

1

C3

C

ELS diferents casos ...


C2

C1

C3


C2

C1

C3

3C1

C2

C


C2

C1

C3

3C1

C2

C

3

2

C1

C

C


C2

C1

C3

3

C

C

C

2

13C1

C2

C

3

2

C1

C

C


C2

C1

C3

3

C

C

C

2

13C1

C2

C

2C C

C3

1

3

2

C1

C

C

... EXPRessats ...

... EXPRessats ...

C1

I

23

1

C’

C’

C’

C

C’’

2

C3

... EXPRessats ...

C3

2C’

3C’

1C’

I

C

C’’

2

C1

C1

I

23

1

C’

C’

C’

C

C’’

2

C3

.. AMB Corbes desplaçades

La corba desplaçada d’un cercle és la uniò de dos cercles concentrics (grau 4).

Sostreient l’equació d’un cercle de les altres, es obté una equació lineal.

El grau de la intersecció és 2x1x1x...x1=2.

La localització dels conflictes dins del graf de Delaunay es pot calcular amb el determinant d’una matriu 2 per 2!

C

4

r R(x,y)

De LA geometrIA ...

... A la Àlgebra!...

Geometria Àlgebra


Geometria Àlgebra

Varietat algebràica X (cercles tangents als objectes C1, C2 i

C3)

Ideal I(X)=<c’1,c’2,c’3>;

c’i equació de la corba

desplaçada generalitzada a Ci


Geometria Àlgebra


C3)



desplaçada generalitzada a Cifunció polinòmica g

restringida a la varietat X (posició repecta amb C4)

Representatiu canònic de g dins del àlgebra quocient

A=K[x]/I(X)


Geometria Àlgebra


C3)






A=K[x]/I(X)

Relacions (syzygies) entre variables geomètriques de X

Base de Gröbner de I(X)


Geometria Àlgebra


C3)






A=K[x]/I(X)



Base del espai vectorial de les funcions polinòmiques on X

Monòmis dels polinòmis de I(X) que no sòn màxims


Geometria Àlgebra


C3)






A=K[x]/I(X)



Base del espai vectorial de les funcions polinòmiques on X

Monòmis dels polinòmis de I(X) que no sòn màxims

Valors de la funcciò g sobre els punts de la varietat X

Valors pròpis de la matriu del operador de multiplicació per g

dins del àlgebra quocient A


BASES DE Gröbner: ordrEs monomials

� Un ordre total < sobre els monomis x1�1...xn

�n dins de

k[x1,...,xn] és un ordre monomial si, i només si, 1�m1 i

(m1�m2�m1·m3�m2·m3) per qualsevols monomis

m1,m2,m3�k[x1,...,xn].

� El més gran monomi d’un polinomi f�k[x1,...,xn] amb

respecte a < es nombrat el monomi inicial de f i notat init(f). Per un ideal I�k[x1,...,xn], definim el seu ideal

inicial com al ideal generat pels monomis inicials dels polinòmis dins de I: init(I)={init(f):f�I}

BASES DE Gröbner� Definició: Un monòmi que no perteneix a init(I) és

un monòmi estandard. Un conjunt finit G={g1,...,gs} d’un ideal I és una base de Gröbner

per I si l’ideal inicial init(I) és generat per {init(g1),...,init(gs)}

� Algoritme de divisió: Es donen f1,...,fs�k[x] i

F�k[x]. Existeixen q1,...,qs�k[x] tal que F=�fiqi + r

on r = 0 o init (f) no divideix cap monòmi de r. El conjunt de monòmis estandard són una base del àlgebra quocient k[x]/I.

Una il.lustració⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0


(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

C1

I

23

1

C’

C’

C’

C

C’’

2

C3


(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

C1

I

23

1

C’

C’

C’

C

C’’

2

C3

2C’

3C’I

C

C’’

2

ELS DiferentS casOs ...

ELS DiferentS casOs ...3C1

C2

C



⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.


3

2

C1

C

C

⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.


⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.


⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 − r)

2= 0

(x − x3)2

+ (y − y3)2 − (r3 − r)

2= 0

with r < 0.

⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.


2C C

C3

1

⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 − r)

2= 0

(x − x3)2

+ (y − y3)2 − (r3 − r)

2= 0

with r < 0.

⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.


⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 − r)

2= 0

(x − x3)2

+ (y − y3)2 − (r3 − r)

2= 0

with r < 0.

⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.


⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 − r)

2= 0

(x − x3)2

+ (y − y3)2 − (r3 − r)

2= 0

with r < 0.

y q⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 + r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 + r)

2= 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 − r)2 = 0such that r > 0.

⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.


3

C

C

C

2

1

⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 − r)

2= 0

(x − x3)2

+ (y − y3)2 − (r3 − r)

2= 0

with r < 0.

y q⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 + r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 + r)

2= 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 − r)2 = 0such that r > 0.

⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.


⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 − r)

2= 0

(x − x3)2

+ (y − y3)2 − (r3 − r)

2= 0

with r < 0.

y q⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 + r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 + r)

2= 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 − r)2 = 0such that r > 0.

⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.


⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 ± r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 − r)

2= 0

(x − x3)2

+ (y − y3)2 − (r3 − r)

2= 0

with r < 0.

y q⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 + r)

2= 0

(x − x2)2

+ (y − y2)2 − (r2 + r)

2= 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 − r)2 = 0such that r > 0.

⎧⎨⎩

(x − x1)2

+ (y − y1)2 − (r1 + r)

2= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 + r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 + r)2 = 0with r > 0.

⎧⎨⎩

(x − x1)2+ (y − y1)

2 − (r1 + r)2

= 0

(x − x2)2 + (y − y2)

2 − (r2 ± r)2 = 0

(x − x3)2 + (y − y3)

2 − (r3 ± r)2 = 0

such that r > 0.

UnA il.lustraCióÉs possible construïr un ordre total sobre monòmis.

Ideal I(X) = <c’1,c’2,c’3> = { f1c’1+f2c’2+f3c’3 | �i�{1,2,3}, fi�k[x,y,r] }

k: algebraicament tancat (e.g. �)<c’1,c’2-c’1,c’3 -c’1 > = <c’1,c’2,c’3>

<c’1,c’2-c’1,c’3 -c’1 > és una base de Gröbner (pel ordre grevlex)

UnA il.lustraCió

C1

I

23

1

C’

C’

C’

C

C’’

2

C3

És possible construïr un ordre total sobre monòmis.Ideal I(X) = <c’1,c’2,c’3> = { f1c’1+f2c’2+f3c’3 | �i�{1,2,3}, fi�k[x,y,r] }



UnA il.lustraCió

C1

I

23

1

C’

C’

C’

C

C’’

2

C3

2C’

3C’I

C

C’’

2

És possible construïr un ordre total sobre monòmis.Ideal I(X) = <c’1,c’2,c’3> = { f1c’1+f2c’2+f3c’3 | �i�{1,2,3}, fi�k[x,y,r] }



UnA illustraCió I(X) = <c’1,c’2,c’3> = { f1c’1+f2c’2+f3c’3 | �i�{1,2,3}, fi�k[x,y,r] }


Calcular g dins de la àlgebra quocient k[x,y,r]/I(X) correspond amb substreient de g tots els polinòmis dins de I(X).

Geometricament, això correspond amb calculant sobre X en lloc de kn. El resultat és el representatiu canònic de g dins del àlgebra quocient.

L’ àlgebra quocient k[x,y,r]/I(X) esta generada pels monomis no-estandard (els monomis que no son dividibles per qualsevol dels monomis

inicials). Si el sistema té solucions dins de �3, la base de la àlgebra quocient és

(1, r). Si no hi ha solucions dins de �3 la base de la àlgebra quocient és (1).La multiplicació per g dins de k[x,y,r]/I(X) es pot expressar amb una

matriu 2x2. Llavors, hi ha 2 solucions dins de �3.

... I el càlcul!

Només necessitem saber el signe de la potència del vèrtex de Voronoi repecta amb el cercle C4.

Llavors, només necessitem saber el signe dels valors pròpis de la matriu que expressa la multiplicació per g; és a dir el signe de les rels del polinomi caracteristic!

Programa algebraic (MACAULAY 2)

GeneraliTzació a esferes

Tota la geometria i la topologia (els conflictes dins del graf de Delaunay) es generalitzen a qualsevol dimensió del punt de vista algèbric!

Sostreient dues equacions de esferes sempre es obté una equació lineal!

El grau de la intersecció de superfícies desplaçades és 2x1x1x...x1=1.

el creixement de partícules o cristals

el creixement de partícules o cristals

La creixança de particules o cristals

La creixança de particules o cristals

CONNECTIVITAT

connectivitATProposition 3.1. (Connectivity of the Voronoi diagram in the plane) The Voronoi diagram V (C) of aset C = {c1, . . . , cm} ⊂ R2 of at least two circles (m > 1) considered in P2 is not connected if, and

only if, there exist a subset I of [1, . . . , m] and one index j of [1, . . . , m] such that ∀i ∈ I, ci ⊂◦cj and

∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅.

Proof. If: Assume there exist a subset I of [1, . . . , m] and one index j of [1, . . . , m] such that ∀i ∈ I, ci ⊂◦cj

and ∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅. Let cl ∈ C with l ∈ [1, . . . , m] \ I . Let S =⋃

i∈I ci. Since

S ⊂◦cj , any circle touching both a ci, i ∈ I and cj must be contained in cj . Since S ∩ cl = cj ∩ cl = ∅,

no circle can touch each of an ci, i ∈ I , cj and cl. Thus, there is no point that has a ci, i ∈ I , cj and cl

as nearest neighbours. Thus, there is no Voronoi vertex of a ci, i ∈ I , cj and cl. Since there is no Voronoivertex of a ci, i ∈ I , cj and an cl with l ∈ [1, . . . , m] \ I , there are no Voronoi vertices on the bisector ofS and cj . Since S ∩ cl = S ∩ cl = ∅, any circle centred on the bisector of S and cj and touching both S

and cj does not intersect any circle ck with k ∈ [1, . . . , m] \ I . Thus, the bisector of S and cj is contained

in V (C). Since cj is connected and S ⊂◦cj , the bisector of S and cj is a closed curve. Thus, the Voronoi

diagram of C is not connected in P2.



∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅.



i∈I ci. Since







2C C

C3

1



∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅.



i∈I ci. Since







Only if: Assume the Voronoi diagram of C is not connected in P2. Then, V (C) has at least two connected

components. Thus, at least one of these connected components does not have points at infinity. Let usconsider the connected component (let us call it C1) that does not have points at infinity. Since C1 iscomposed of Voronoi edges (a one-dimensional component of the Voronoi diagram,which is also the locusof points having two nearest circles), each edge in C1 must end at either a Voronoi vertex or a point atinfinity. Since C1 does not have any point at infinity, all Voronoi edges in C1 connect Voronoi vertices.Thus C1 is a network of vertices and edges linking those vertices. The regions that this network definesare Voronoi regions. Let D be the union of the closure of those Voronoi regions. D is a closed set byits definition. Let us consider now the circles cl, l ∈ L whose Voronoi regions are contained in D. LetS =

⋃l∈L cl. Thus S is a union of circles. We will now consider S as a circle instead of each one of the

cl, l ∈ L. The influence zone of S =⋃

l∈L cl is clearly◦

D, because the influence zone of a union of circlesis clearly the closure of the union of the Voronoi regions of those circles. Let e = ∂D. It is a portion of thebisector of S and another circle. Let us call it cj . If not all the bisector of S and cj was contained in V (C),then e would end at Voronoi vertices (a point on the Voronoi diagram has at least two closest circles) or thepoint at infinity, a contradiction with e not being connected. Thus, the bisector of S and of cj is containedin V (C), and it is equal to e. By the definition of e, e must be a closed curve. Assume the positions ofS and cj with respect to e are not always the same. Then, S and cj must intersect. The bisector of S andcj must have two branches near the intersection points (see Figure 3.1). Since e is a closed curve and S iscontained in the interior of e, cj must be closed, and the other branches must be unbounded (a contradictionwith e not being connected in P

2). Thus, the positions of S and cj with respect to e are always the samealong e. Since cj is connected, S is contained in the interior of e and the positions of S and cj with respect

to e are always the same along e, S ⊂◦cj . Since e is the bisector of S and cj and belongs to V (C), any

circle centred on e and touching both S and cj does not intersect any circle ck with k ∈ [1, . . . , m] \ I .Thus, ∀k ∈ [1, . . . , m] \ I, ci ∩ ck = cj ∩ ck = ∅.

connectivitAT

Diagrames de voronoi i grafs de delaunay

cinemàtics

delaunay i voronoi cinemàtics

Diagrama de Voronoi cinemàtic de punts

Graf de Delaunay constrenyit cinemàtic de punts

Diagrama de Voronoi cinemàtic de línies

GRAF de delaunay constrenyit

A methodology for automated cartographic data input, drawing and editing using

kinetic delaunay/voronoi diagrams

Recerca conjunta amb Christopher Gold, Darka Mioc, Ojaswa Sharma i Maciej Dakowicz

Basada sobre un algorisme incremental sobre el plÀ o la

esfera (anton, SNOEYINK i gold 1998)

Saltant línies dins de l’algorisme iteratiu

diagrames de voronoi cinemàtics de línies

GD/DV cinemàtics

GD/DV cinemàtics

GD/DV cinemàtics

diagrama de voronoi cinemàtic de punts

SORPRESA: voronoi del delaunay CONSTRENYIT

estructura de dadescinemàtica

Voronoi i delaunay cinemàtics de línies

Relacions amb altres problemes de geometria

computacional

L’espai de les esferes [DMT92] permeteix ...

... relacionar al embolcall convexE (�n+1)

amb Grafs de Delaunay i diAgrames de Voronoi �n

Graf de Delaunay com a projecció d’un embolcall

convèxa [Fisher04]

polaritAT / ORThogonalitAT

�0

�

(M,N,A,B) = -1

<�-�0,�-�0> = r2 + r02

<�,�> + <�0,�0> - 2 <�0,�> = r2 + r02

= 2 <�0,�> - 0

Gráfs de cobertura mínima euclidianS

El graf de cobertura mìnima euclià és un subgraf del graf de Delaunay dels vèrtexs.

En el cas de vèrtexs cocirculars, és el graf de Delaunay que s’ha d’utilitzar, i no pás la triangulació de Delaunay.

localització òptima

Els diferents diagrames de Voronoi generalitzats permeteixen la localització òptima cuan el criteri de localització és la proximitat.

diagrames de Voronoi, GrafS de DelaunaY i GEOMETRIA …ima.udg.edu/~sellares/ComGeo/Delone4.pdf ·...

Documents

Transcript of diagrames de Voronoi, GrafS de DelaunaY i GEOMETRIA …ima.udg.edu/~sellares/ComGeo/Delone4.pdf ·...