Dialnet-AlgunasObservacionesSobreLaIdentidad-2044622

ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE LA IDENTIDAD

PASCUAL MARTINEZ FREIRE

Universidad Com plu tense de Madrid

En las lineas que siguen no pretendo agotar el tema de laidentidad, sino sencillamente, tal como reza el ttulo de esta comu-nicacin, hacer algunas observacionesque creo fundamentales parauna adecuda comprensin del tema. Tales reflexiones semoverntanto en el nivel filosfico como en el nivel estrictamente lgicopero, en todo caso, tienen como objetivo la aclaracinde la nocinde identidad tal como se usa dentro de la lgica matemtica.

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El trmino "identidad" es ambigo,ya que cubre diferentesacepciones. Y adems stas no suelen distinguirse entre s con su-ficiente claridad. Por ello, y a fm de ir despejando el panorama, es-tablecer algunasde las acepcionesbsicasde "identidad".

Para empezar me referir a las variasacepcionesque cabe se-alar relativamente a los individuos. En primer lugar, podemos ha-blar de la id"entidadde un individuo cualquiera consigomismo, y aeste tipo de identidad la llamaremos mismidad, siendo su nocincontradictoria la alteridad. En principio (pero slo en principio) lamismidad no parece presentar problema alguno: cualquier realidadindividual, en un momento dado, es' ella misma y no es otra queella misma. Carter es Carter, y no es Ford o Nixon, pongamosporcaso. Pero, adems de los problemas que puede plantear la propianocin de individuo, el transcurso del tiempo amenaza con deterio-rar, o hacer poner en duda, la mismidad del individuo. En efecto,los cambios y modificaciones del individuo a travs del tiempo pa-recen poder producir que deje de ser el mismo para pasar a ser otro;

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- . ... ... . -. - - -. . -. ~.. . -. . .. - _. -.. .

216 Algunas observaciones sobre la identidad

entonces la mismidad individual no sera un principio universal, si-no que compartira su imperio con la alteridad individual.

Sin embargo, podemos aceptar la mismidad de un individuoentendindola como pennanencia procesual y estructural, y admi-tiendo que la destruccin del individuo termina con tal mismidad.Un individuo es un proceso de acontecimientos en el espacio yenel tiempo, y ese proceso incluye modificaciones; si tales modifica-ciones no afectan a la estructura del individuo, aunque afecten a s-tas o a aquellas partes, el individuo sigue siendo el mismo. La per-manencia de la estructura, relacin fundamental y (aproximada-mente) fija entre ciertos tipos de partes, da razn de la mismidadde un individuo. Comentando a Herclito, podemos decir que nosbaamos dos veces en el mismo ro porque el ro no es stas oaquellas aguas, sino cualesquiera aguas que fluyan por (aproxima-damente) determinado cauce y bajo la estructura de ro.

En segundo lugar, podemos referimos a la identidad totalentre dos o ms individuos. Tal identidad total debe rechazarsecomo una nocin contradictoria, ya que si dos individuos son exac-tamente idnticos son el mismo, con lo que no se trata de dos indi-viduos sino de uno. Este rechazo de la identidad total est fonnu-lado en el "principium identitatis indiscemibilium" de Leibniz. Pa-ra el clebre fIlsofo dos individuos indiscemibles o indistinguiblesno seran sino uno, pero por otra parte, no hay dos individuos in-discemibles o exactamente idnticos. El nombre del principio deLeibniz podra sugerir lo contrario de lo que sostiene; en efecto,podra sugerir que hay indiscemibles y que stos son idnticos,cuando sostiene que no hay indiscemibles y que no hay por tanto,identidad total entre individuos. Quizs debiera denominarse talprincipio "principium non identitatis discemibilium".

Veamos algunos textos de Leibniz al respecto. En los "Nou-veaux essais sur l'entendement humain" escribe: "Es preciso siem-pre que, adems de la diferencia del tiempo y del lugar, haya unprincipio interno de distincin, y aunque haya varias cosas de lamisma especie, es verdadero sin embargo que no hay jams cosaspefectamente semejantes; as, aunque el tiempo y el lugar (es decir,la relacin con el exterior) nos sirven para distinguir las cosas queno distinguimosbien por s mismas, las cosasno dejan de ser distin-guibles en se' ("Opera Philosophica", ed.Erdmann, p. 277). A suvez, en "La Monadologie" nos dice: "Es preciso incluso que cada

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Algunas observaciones sobre la identidad 217

mnada sea diferente de cualquier otra. Pues no hay jams en la na-turaleza dos seres que sea el uno perfectamente como el otro y enel que no sea posible encontrar una diferencia interna, o fundadasobre una denominacin intrnseca" (o. c., p. 705). Finalmente, dela cuarta carta a Clarkepodemos tomar los siguientesprrafos: "Nohay dos individuos indiscernibles. Un gentilhombre de talento,amigo mo, hablando conmigo en presencia de la seora l' Electriceen el jardn de Herrenhausen, crey que encontrara dos hojas en-teramente semejantes. La seora l' Electrice lo desafi a ello, y co-rri largo tiempo en vano buscando. Dos gotas de agua, o de leche,miradas por el microscopio, se encontrarn discernibles" (o. c., p.755).

En tercer lugar, podemos hablar de la identidad parcial en-tre dos o ms individuos. As como la identidad total entre variosindividuos debe rechazarse como contradictoria, en cambio es per-fectamente admisible que dos o ms individuoscoincidan en una ovarias propiedades. Precisamente podemos hablar de una clase oconjunto de individuoscuando tenemos variasrealidadesindividua-les que poseen por lo menos una propiedac en comn. Entre todoslos sereshumanos hay una identidad parcialencuanto todos ellospo-seen caractersticas comunes; entre todos los elefantes hay tambinidentidad parcial al tener propiedades compartidas; etc. Por otrolado, cabe observar que entre los individuosparcialmente idnticostambin se da una parcial diversidad,justamente porque dos indivi-duos slo pueden ser parcialmente idnticos. As, Carter y Fordcoinciden en ser polticos americanos, pero son diversosen cuantoa sus concepciones polticas.

Antes vimosque no hay identidad total entre dos individuos,y ahora podemos preguntamos si cabe diversidadtotal entre dos rea-lidades individuales. Teniendo en cuenta que cualquier realidad in-dividual consta de tomos y est dotada de energa, puede decirseque a un nivelbsico y elemental no se da la diversidadtotal, de talmanera que las diversidades surgen a niveles ms complejos. Porotra parte, hay dos tipos especialesde identidad parcial, muy pre-sentes en el lenguaje cotidiano, que son la identidad cualitativa yla identidad cuantitativa. Segn la primera decimos, por ejemplo,que varios automviles de color rojo son semejantes. Segn la se-gunda, pongamos por caso, se dice que cuatro sillasy cuatro mesasson igual nmero de muebles. La identidad cualitativa es la seme-

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janza, siendo su contrario la desemejanza. A su vez, la identidadcuantitativa es la igualdaden su sentido cotidiano (no matemtico),siendo su contrario la desigualdad.

II

Ahora bien, adems de la identidad referida a los indivi-duos, cabe hablar de la identidad referida a trminos individualesonombres de individuos. Aqu encontraremos la identidad lgicapri-maria, tal como se entiende en el contexto de la lgicamatemtica.

Dados los trminos individuales "Aristteles" y "el Estagi-rita" , decimos que son idnticos. Con ello no se pretende establecerque ambos trminos en cuanto tales sean idnticos, pues es obvioque como signosson diversosentre s, sino que se sealaque ambosdesignan o se refieren al mismo individuo, es decir, nombran a lamisma realidad individual. Por tanto, el enunciado "Aristteles esel Estagirita" es un enunciado de identidad, donde la expresin"es" indica que los trminos que figuran a sus lados designan almismo fIlsofo griego. Tal expresin puede representarse en ellen-guaje lgico mediante el smbolo "=", que se lee de modo preciso"es idntico a". A su vez, hay diversidad de trminos individualescuando no designan al mismo individuo. Por tanto, el enunciado"Rogelio Bacon no es el autor del Novum Organum" es un enun-ciado de diversidad, donde la expresin "no es" indica que los tr-minos individuales que figuran a un lado y a otro no designan almismo fIlsofo. Tal expresin se representar en el lenguaje lgicopor medio del smbolo"=1=",que se lee de modo preciso "es diver-so de".

Esta identidad lgica supone una situacin notable. Por unlado, la identidad se dice de los trminos, pues stos son declaradosidnticos, pero, por otro lado, no se dice de los trminos en cuantotales sino en cuanto a su designacin.Tal situacin puede aclararseutilizando de cierta manera una distincin de la lgicamedieval,quese remonta al parecer a Guillermo de Shyreswood, la distincin en-tre suposicin material y suposicin formal de un trmino. Diremosque un trmino supone materialmente cuando se emplea atendien-do a l en cuanto signo y prescindiendo de lo que designe;en cam-bio, diremos que ese mismo trmino supone formalmente cuando

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r,Algunas observaciones sobre la identidad 219

se emplea atendiendo a lo que designa. Segn ello, cabe precisarque la identidad se dice de los trminos pero tomados en suposi-cin formal, no tomados en suposicinmaterial.

En la literatura lgica-contempornea se marca la suposi-cin material de un trmino escribindoloentre comillaso entre se-micomillas. Este recurso se encuentra ya en Frege, quien en sus"Grundgesetze der Arithmetik" escribe: "Quizs resulte sorpren-dente el frecuente uso de comillas; distingo con ello los casos enque hablo del signomismo, de aquellosen que hablo de su designa-cin (Bedeutung). Por pedante que esto pueda parecer, lo conside-ro sin embargo necesario" (vol. 1, Introd., p. 4). Segnello, consi-deremos los siguientesenunciados:

"Aristteles" es "el Estagirita"Aristteles es el Estagirita

El primer enunciado no es un enunciado de identidad, yaque los trminos individuales suponen materialmente, y estableceuna obvia falsedad,pues los dos trminos en cuanto tales son diver-sos. En cambio, el segundoes un enunciado de identidad, y ademsverdadero.

As pues, la identidad lgica, tal como la consideramoshas-ta aqu, establece que dos trminos individuales,diversoscomo tr-minos, tienen la misma designacin. Pero entonces podemos pre-guntamos qu ocurre con un enunciado como" Aristteleses Aris-tteles" o, de manera general, con un enunciado de la forma"a =a". Como es sabido, esta frmula expresa el carcter reflexivode la identidad y es anotada entre las leyes fundamentales de laidentidad. En realidad puede, en principio, ser considerada de dosmodos: 1) como indicando la mismidaddel individuo a, y 2) comoindicando que un trmino individual es idntico a s mismo. Meapresuro a precisar que, en el segundo caso, se establece que eltrmino "a" en cualquiera de sus presentaciones designael mismoindividuo, es decir, que dentro de un mismo contexto este o aqueltrmino "a" designan en todo caso al mismo individuo. Podraan sugerirseuna tercera interpretacin, aunque fcilmente recha-zable, a saber, que el trmino "a" es en cuanto trmino, es decir,tomado en suposicin material, idntico a s mismo. Obviamenteel trmino "a", supuesto materialmente, es idntico a s mismo,pero esta verdad no se expresa mediante "a =a", sino que se ex-

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presara del modo siguiente:

"a" = "a".

Ahora bien, debemos rechazar esta ltima frmula comofrmula mal formada, ya que el signode identidad lgicaslo debeescribirse entre trminos que suponen formalmente y que, por en-de, no seescribirn entre comillas.

Si aceptamos la primera interpretacin, tampoco estaremosempleando el signode identidad lgicaen su sentido habitual, pues-to que al indicar la mismidad de un individuo consigomismo deja-mos de referimos a trminos para pasar a referimos a individuos.E~ cambio, aceptando la segunda interpretacin, seguimos em-pleando el signo de identidad lgicaen su sentido habitual, es decir,para expresar que dos trminos individuales, diversoscomo trmi-nos, tienen la misma designacin.Por supuesto, el caso siguesiendoespecial, ya que la diversidadde "a" en sus sucesivaspresentacionesno es como la diversidadentre Ha"y "b".

La frmula "a =a", si es entendida como indicando la mis-midad y no la identidad lgica,no es el nico caso de expresin dela mismidad dentro de la lgica matemtica. En efecto, en la defi-nicin de clase total se recurre a la mismidad, y en la defmicin declase nula se recurre a la nocin contradictoria de la mismidad, estoes, a la alteridad. En efecto, se defme:

.l=dfx(x = x)

O=df X (x =/=x)

Con ello se indica que la clase total es el conjunto de los in-dividuos idnticos consigo mismos, mientras que la clasenula es elconjunto de los individuos diversosde s mismos;o mejor dicho, enun caso nos referimos a los individuos que son ellosmismos, y en elsegundo caso, a los individuos que no son ellosmismos sino otros,clase,en verdad, inexistente y fingida.

Tambin en las defmiciones habituales de relacin total yde relacin nula se recurre, respectivamente, a la mismidad y a laalteridad. En efecto, se defme:

l=df xy(x =x1\Y=y)

O =df xY(x =/=x1\ Y =/=y)

Con ello se pretende indicar, caracterizando las relaciones

rAlgunas observaciones sobre la identidad 221

mediante la caracterizacin de sus elementos, que la relacin totalse da entre los individuosque son ellosmismosy los individuosqueson ellos mismos, mientras que la relacin nula se cumple entre losindividuos que no son ellos mismos y los individuos que no sonellosmismos;es decir, la relacin total es aquella que cualquierindi-viduo tiene con cualquier otro, mientras la relacin nula es aquellaque no se da entre ninguna pareja de individuos. Sin embargo, enestos ltimos casos podemos evitar el recurso a la mismidad y a laalteridad, empleando, en lugar de las defInicioneshabituales, las si-guientes:

l=~f R(/\x /\y. xRy v yRx)

Q:;afR( /\x /\y .xRy .!, yRx)Como una ltima precisin de las observacionesestablecidas

en este apartado, podemos decir que caben tres posibilidades: 1)hablar de los trminos en cuanto tales, 2) hablar de los trminos encuanto a su designacin, y 3) hablar de las cosas mediante trmi-nos. Dado el tnnino "Aristteles", esas tres posibilidadesse reali-zan respectivamente en los tres enunciados siguientes:

"Aristteles" tiene cinco s11abas

Aristteles es el Estagirita

Aristteles es un filsofo griego.

La identidad lgicaexplota tal segundaposibilidad. Interesaobservar que la suposicin fonnal est presente en las dos ltimasposibilidades, mientras que la suposicin material lo est en la pri-mera. Quiere esto decir que la suposicin fonnal consubstancialcon la identidad lgica es una suposicin fonnal especial, que meatrevo a calificar de fonnal-material.

III

Cuando el smbolo de identidad lgica"=" no es introduci-do como un signo primitivo, se defme usualmente del modo si-guiente:

a=b =df /\f.f(a) ~f(b).Un carcter obvio de tal defInicin es que presupone la lgi-

ca superior de predicados, ya que en ella aparece cuantificada la va-

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riable predicativa "f'. Segn tal definicin, a es idntico a b quieredecir que, para toda propiedad f, si f se dice de a entonces f se dicede b, Yviceversa.Es decir, dos trminos indivdualescualesquiera,ay b, son idnticos si todas las propiedades que se dicen del indivi-duo llamado a se dicen tambin del individuo llamado b, y vicever-sa, con lo que sepone de relieveque a y b designanel mismo indivi-duo.

Aparentemente esta defmicin coincidira con el "princi-pium identitatis indiscernibilium" de Leibniz. Segn tal principio,si dos cosas fuesen exactamente iguales,esto es, si compartiesen to-das las mismas propiedades, seran indiscernibles y al mismo tiem-po no seran sino una misma cosa. Leibniz escribeen su cuarta car-ta a Clarke: "poner dos cosas indiscernibleses poner la misma cosabajo dos nombres" (o.c., p. 756). Esta idea ya fue formulada, va-rios siglosantes, por Santo Toms, quien en la "Suma Teolgica"dice: "quaecumque sunt idem, ita sehabent, quod quidquid praedi-catur de uno, praedicatur et de alio" (1, q. 40, a.1, 3). Es decir, se-gn el Aquinate, si de variascosasse predican las mismaspropieda-des, tales cosasno son sino la misma.

Sin embargo, hay notables diferencias entre el principio deLeibniz y la definicin de identidad lgica.En primer lugar, el prin-cipio de Leibniz es una formulacin ontolgica, relativa a las reali-dades individuales, mientras que esa defmicin es una formulacinlgica y relativa a los trminos individuales.Ms precisamente, ensegundo lugar, el principio rechaza la identidad total entre dos indi-viduos, mientras que esa defmicin establece la identidad entre dostrminos individuales. En resumen, el principio de Leibniz dice queno hay individuostotalmente idnticos entre s, y esa defmicin ca-racteriza a los trminos idnticos

Adems de la defmicin anterior de identidad lgica, cabeestablecer esta otra:

a= b=df /\ K . a K~ b KMientras en la anterior se recurra a la nocin de propiedad,

al emplear la variable predicativa "f', ahora se recurre a la nocinde clase, al emplear la variable de clase "K". As pues, puede decir-se que la primera es una defmicin intensional de la identidad y lasegunda una caracterizacin extensional de la identidad. Segn s-ta, dos trminos individuales cualesquiera, a y b, son idnticos si el

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, - ... .-. -- - - --- --- ------


individuo llamado b pertenece a todas las clasesa las que pertenez-ca el individuo llamado a, y viceversa,con lo que se pone de relieveque a y b designanel mismo individuo.

Podemos resumir diciendo que el criterio bsico de la iden-tidad lgica es la mismidad de designacin. Es decir, dos trminosindividuales son idnticos si y slo si designanelmismoindividuo.Con ello se pone de manifiesto que la mismidad ontolgica es elfundamento explcito o el presupuesto implcito de la identidad l-gica. Si un individuo no es el mismo no tiene sentido indicar quedos trminos distintos le designan por igual,es decir, que son idn-ticos. Pero adems cabe sealarun criterio derivadode la identidadlgica, a saber, que dos trminos individualesson idnticos si y slosi son intercambiables entre s, dentro de un contexto determina-do, sin alteracin de 19que dice el contexto. As pues, si dos trmi-nos a y b son idnticos, podemos escribir b en todas las presenta-ciones de a, y viceversa,sin que se altere lo que dicen las frases. Enel enunciado, por ejemplo, "Cervantes muri en 1616", podemoscambiar "Cervantes" por su idntico "el autor del Quijote" y tene-mos el enunciado "el autor del Quijote muri en 1616", el cual re-gistra el mismo hecho que el anterior. Tal criterio derivado quedaexpresado en la siguiente frmula, denominada ley de intercambiode idnticos:

a =b1\ fea)~ f(b)

IV

Debemos considerar ahora las siguientes defmiciones:

K = L =df I\x .X K ~ X LR = S =dfI\x I\y .xRy ~ xSy

La primeradefInicin debe entenderse como estableciendoque dos expresiones de clase, K Y L, son iguales si, para todo indivi-duo x, si pertenece a la clase llamada K tambin pertenece a la clasellamada L, y viceversa; es decir, dos expresiones de clase son igualescuando se refieren a los mismos miembros o elementos, esto es, desig-nan la misma clase. As pues, podemos escribir: "los animales racio-nales=los bpedos implumes". En un enunciado como ste identifi-

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camas dos expresiones de manera anloga a cuando identificamosdos trminos individuales en el enunciado "Aristteles = el Estagi-rita". En efecto, en aquel enunciado las expresiones de clase sonidentificadas en cuanto designanlo mismo. Asimismonos referimosa las expresionesde clasepero tomadas en suposicin formal.

Con todo, hay diferenciasobviasentre la igualdadde expre-siones de clase y la identidad de trminos individuales, las cualesjustifican el empleo de diferentes smbolos lgicos, el smbolo "="en un caso y el smbolo" =" en el otro. Por lo pronto no es lo mis-mo identificar expresiones de claseo identificar trminos individua-les, ya que unas y otros son categoras lingsticas distintas. En se-gundo lugar, y de conformidad con lo anterior, lo designadoen uncaso es un conjunto de individuos, mientras que lo designadoen elotro caso es un individuo tomado aisladamente. En tercer lugar,debe repararse en que la igualdad de expresiones de clase no dice(ni podra decir) que los individuosdel conjunto designadosean losmismos entre s; en cambio, la identidad estricta o primaria presu-pone que el individuo designadoes el mismo respecto de s.

A su vez, la segunda defmicin debe entenderse como esta-bleciendo que dos expresiones de relacin, R y S, son igualessi, pa-ra todo individuo x y para todo individuo y, si se cumple el esque-ma relacional "xRy" tambin se cumple el esquema relacional"xSy", y viceversa. Es decir, dos expresiones de relacin, R y S,son iguales cuando los relacionantes de la relacin llamada R sonlos mismos individuos que los relacionantes de la relacin llamadaS, y los relacionados de R son los mismos individuos que los rela-cionados de S. Con ello se pone de relieve que R y S designan lamisma relacin, esto es (y de acuerdo con el punto de vista exten-sional habitual), designan el mismo conjunto de relacionantes y elmismo conjunto de relacionados.As pues, podemos escribir: "vs.tago de = descendiente de". En un enunciado como ste identifi-camos dos expresiones de cierta manera anloga a cuando identifi-camos dos trminos individualesen el enunciado "Comte = el crea-dor de la sociologa". En efecto, en aquel enunciado las expresio-nes de relacin son identificadas en cuanto designanlo mismo y setoman, por ende, en suposicin formal.

La igualdad de expresiones de relacin se distingue, sin em-bargo, de la identidad estricta o de trminos individuales,y asimis-mo se distingue de la igualdad de expresionesde clase,aunque cier-


to carcter la aproxima a esta ltima. Todo ello justifica que no seemplee aqu el smbolo de identidad primaria "_", y que se indi-que mediante el signo "=", tal como la igualdadde expresionesdeclase. (La posible confusin entre igualdad de expresionesde clasee igualdad de expresiones de relacin, al emplear el mismo smbolo,queda eliminada por el contexto, es decir, segn empleemosvaria-bles de claseo variablesrelacionales).En la igualdadde expresionesde relacin lo designado no es un individuo,sino dos conjuntos deindividuos, a saber, el dominio anterior y el dominio posterior deuna relacin. Coincide por tanto con la igualdad de expresionesdeclase en que su designacinest en el nivelontolgico de las clases,aunque lo designadosea dos conjuntos y no uno solo.

v

Las analogas observadasentre identidad de tnninos indi-viduales, igualdad de expresionesde clasee igualdadde expresionesde relacin, sugieren el establecimiento de una nocin general deidentidad lgica, que comprenda por igual aquellos casoscomo es-pecies suyas,e incluso sugierenun lgebrageneral de identidad.

Tambin apoya esta sugerencia el hecho de que tanto laidentidad primaria o estricta como las igualdades sealadasson re-flexivas, simtricas y transitivas, es decir, son leyes las siguientesfnnulas:

a=a K=K R=R

a=b~b=a K=L~L=K R=S~S=R

a=bAb=c~a=c K=LAL=M~K=M

R=SAS=Q~R=Q

En consecuencia, podemos ensayar la siguiente defmicingeneral de identidad lgica:

A = B=df.1\r . r (A)~ r (B)En tal defmicin, A y B son tnninos que corresponden am-

bos a un orden variable n, ya se trate de tnninos individuales,deexpresiones de clase o de expresiones de relacin, y a su vez r esuna expresin predicativa que corresponde al orden n+ 1. Segntal frmula, A es idntico a B quiere decir que, para toda propiedad

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r , si sta se dice de A entonces tambin se dice de B, y viceversa.Esto es, dos trminos cualesquiera A y B, que corresponden a unorden cualquiera n, son idnticos si todas las propiedades de ordenn + 1 que se dicen de la entidad llamada A tambin se dicen de laentidad llamada B, y viceversa,con lo que se pone de relieveque Ay B designanla misma entidad.

As pues, la nocin general de identidad lgica se refiere atrminos, aunque tomados formalmente, e indica la mismidad dedesignacin, esto es, que la entidad designada por los trminos esla misma.Asimismo,los trminos identificados son intercambiablesentre s, dentro de un contexto determinado, sin alteracin de loque dice el contexto. En virtud de esto ltimo,podemos presentarla siguiente ley general de intercambio de idnticos:

A = B1\r(A) ~ r(B)

Por otro lado, cabe establecer la siguienteley como criteriode diversidadlgicaen general:

r (A)1\r (B) ~ A:1=B

Es decir, si una mismapropiedad r se dice de la entidad lla-mada A y se niega de la entidad llamada B, entonces A y B no de-signanla mismaentidad.

VI

Finalmente, examinemos las siguientesfrmulas que son le-yes lgicas:

(1) P~ P (2) K=K (3) R=RTales leyes se consideran frecuentemente como expresin

del principio de identidad, al nivel de lgica de enunciados, lgicade clases y lgicade relaciones, respectivamente.Asimismopuedenconsiderarse como expresin del carcter reflexivo de la equivalen-cia, de la igualdad de clasesy de la igualdadde relaciones, respecti-vamente, y esta segundainterpretacin no ofrece problema alguno.

En cambio, podemos preguntamos en qu medida (1) ex-presa el principio de identidad. Por un lado, no puede tratarse dela identidad lgica, ya que sta se refiere a trminos mientras quela frmula (1) se refiere a enunciados. Pero, por otro lado, tampoco


puede tratarse de la identidad referida a individuos,puesto que "pnno representa un individuo. El principio de identidad debe enten-derse primariamente como fonnulacin de la mismidad de un indi-viduo respecto de s, es decir, como expresin de que cualquier rea-lidad individuales ellamismay no otra; sin embargo, la frmula (1)no alcanza a expresar tal, esto es, no expresa el principio de identi-dad.

La interpretacinadecuadade "p~ pn es comparablea lasegunda interpretacin propuesta, en el apartado 11,para "a = an,es decir, que la variable enunciativa "p" en cualquiera de sus pre-sentaciones, dentro de un mismo contexto, representa el mismoenunciado, con lo que mantendr el mismovalorveritativo.

A su vez, (2) y (3) pueden recibir las dos interpretacionesposibles que advertimos para "a = a". En primer lugar, pueden in-dicar, respectivamente, que cualquier clasees idntica a s mismayque cualquier relacin es idntica a s misma(es decir, en el ltimocaso y bajo un punto de vista extensional, que el conjunto de rela-cionantes es idntico a s mismo y tambin lo es el conjunto de re-lacionados). Segn esta interpretacin, (2) y (3) expresan la mismi-dad de una clase y la mismidad de una relacin. Pero entonces noestaremos empleando el signo "=" en su sentido habitual, ya queusualmente se emplea para establecer la igualdad de expresionesdeclase o de relacin. Asimismo, al hablar de la mismidadde clasesyde relaciones vamos ms all del nivel de acepciones bsicas de"identidad" establecidas en el apartado primero. En segundolugar,(2) y (3) pueden indicar, respectivamente, que la variable "K" o lavariable "R" en cualquiera de sus presentaciones, dentro de un mis-mo contexto, designanel mismo conjunto o la misma relacin.

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